第四章 生命表基础

t x
q Pr(T ( x) t) Pr( x X x t X x)
S ( x) S ( x t ) S (x t) 1 S ( x) S ( x)
S (x t) t px 1 t qx S ( x)
q 对于 t x ，则有：
t

对上式从 x 到
S ( x) F ( x) S ( x) 1 F ( x)
x t S ( y) dy d ln S ( y) x S ( y)
x t 进行积分，得：
x t x

y dy
x t
x
S ( x t ) ln ln t px S ( x)
x
x
0 1 2 3 4
lx
1000000 996963 994813 993210 991968
...
104 105 106
...
438 228 0
赋予 l x 以概率的意义，在二项概率模型 B(l , S ( x)) 的作用下，有 lx l0 S ( x) 因此， l x 就是在一个初始有l0个新生命的群体中生存到 x 岁时个体的期望 数。
F ( x) f (t )dt
0
0
其期望为： E( X )
xf ( x)dx

二阶矩为： E( X 2 )

0
x 2 f ( x)dx
2
方差为： Var ( X ) E ( X 2 ) E ( X )
若将新生婴儿的死亡年龄 X 取整数，且用 K 表示，即 K X ，则 离散型随机变量 K 的概率分布律为： 死亡年龄 ( K )
qx Pr(t T ( x) t ) t qx t qx
S ( x t ) S ( x t ) S ( x t ) S ( x t ) S ( x t ) S ( x) S ( x) S (x t)
t px qxt
S ( x ) 1 F ( x)
S ( x) Pr( X x)
( x 0)
上式表示新生婴儿能活到 X 的概率。 S ( x) 的性质：
1.S (0) 1, lim S ( x) 0
x
2.S ( x)是单调递减的函数 3.S ( x)是一个右连续的函数
人的寿命是有限的，通常不超过某一特定年龄，用 表示极限年龄，则：
• 4.3.2 生命表函数 符号 n d x表示在年龄x 到 x n 之间的死亡个数，当n 1 时， n d x就是 d x ，也 可认为 n d x 是年龄x 到 x n 之间的期望死亡个数，因为：
n
dx lx lxn l0 S ( x) l0 S ( x n) l0 S ( x) S (x n)
F ( x) 1 e
1 e
ln
x

x
生存函数：
S ( x) 1 F ( x) 1
1
x
(0 x )
密度函数：
f ( x) S ( x)
• 4.2.2 Gompertz分布 Gompertz 于1825年提出将该分布作为人类生存模型
死力函数：
x BC x
( x 0)
其中
B 0, C 1
分布函数： F ( x) 1 e 0

x
BCt dt
1 e
B x ln C (1C )
生存函数： S ( x) 1 F ( x) e
B x ln C (1C )

x
s ds 0 f X ( x) S ( x) x e x p0 x

x
T ( x) 的分布函数与概率密度函数分别为：
xs ds 0 FT (t ) 1 t px 1 e

t
fT (t ) t px t px x t
即： 或
x p e t x

xt
y dy
x p e t x

xt
s ds
s ds 0 当 x 0, t x 时， S ( x) x p0 e

xBiblioteka Baidu
从而随机变量 X 的分布函数与概率密度函数为：
s ds 0 FX ( x) 1 S ( x) 1 e
• 4.1 生命函数
• 4.1.1 分布函数 一个新出生的婴儿，其死亡年龄 X 是一个连续的随机变量，则其分布函 数为： F ( x) Pr( X x) ( x 0) 假设分布函数可导，对其求导，得到其概率密度函数 d f ( x) F ( x) ( x 0) dt x 从而有：
分布函数：
F ( x) 1 e
生存函数：
S ( x) e

k n1 x n 1
k n1 x n 1
密度函数：
f ( x) kx e
n

• 4.3 生命表
• 4.3.1 传统生命表 l x 表示在 传统生命表即为表格生存模型，用 l0 表示一组新生婴儿的数目， 岁时该组新生婴儿仍存的个数， 随着 x 的增大而减少 传统生命表示例
t
qx Pr(t T ( x) t )
t
qx t qx t px t px
当 1 时，符号 t 1 qx 可简写成 t qx
x • t qx t p x t q 与生存函数 S ( x) 之间的关系 由于 ( x ) 的未来寿命T ( x) X x ，隐含着新生婴儿在x岁时仍生存的前提条 件，所以事件 T ( x) t 与事件 0 X x t X x 是同一事件，从而 T ( x) 的 分布函数为：
密度函数：
f ( x) BC e
B x (1 C ) x ln C
• 4.2.3 Makeham 分布 Makeham 于1860年对 Gompertz 分布进行了修改
x 死力函数： x A BC
( x 0) 其中 B 0, C 1, A B
dx lx d qx x lx
n
因此 ，n d x 是二线概率模型 B l0 , S ( x) S ( x n) 的数学期望。 还可得出：
n qx
1
S ( z) S ( x)
新生婴儿在x岁仍生存的条件下，在年龄 y岁与 z ( x y z ) 岁之间死亡的条 件概率为： Pr( y X x) S ( y ) S ( x) Pr( y X x X x) Pr( X x) S ( x) 现引入符号( x ) 表示年龄为 x 岁的人，X 表示新生婴儿的死亡年龄，则该新生 婴儿在x岁仍活着的条件下，未来仍生存的时间是 X x ，则称 X x 为该新 生婴儿在 x岁的未来寿命，记为 T ( x) ，即该新生婴儿在x岁时仍存的条件下， 有 T ( x) X x
当x 时, S ( x) 0 当x 时, S ( x) 0
新生婴儿在年龄x与 z ( x z )岁之间死亡的概率为：
Pr( x X z) F ( z) F ( x) S ( x) S ( z)
新生婴儿在x岁时仍活着的条件下，在年龄 x岁与 z ( x z )岁之间死亡的条件 概率为： Pr( x X z ) S ( x) S ( z ) Pr( x X z X x) Pr( X x) S ( x)
• 4.1.3 连续型未来寿命的生存分布 • 用国际通用的精算符号来描述随机变量 T ( x) 的概率分布
t t
qx Pr(T ( x) t )
(t 0)
px 1 t qx Pr(T ( x) t ) (t 0)
符号 t qx 表示( x ) 将在未来 t 年内死亡的概率，是T ( x) 的分布函数 T ( x) 的生存函数。 符号 t px 表示( x ) 将在 x t 岁时仍生存的概率，是 T (0) X ，即0岁新生婴儿的未来寿命就是刚出生婴儿的死亡年 当 x 0 时， 龄，有
Pr( K ( x) k ) Pr(k T ( x) k 1)
由于 Pr(T ( x) k ) Pr(T ( x) k 1) 0 因此 Pr( K ( x) k ) Pr(k T ( x) k 1)
(k 0,1, 2,...)
(k 0,1, 2,...)
概率
0
q0
1
q1
2
q2
3
q3
…
…
(q)
分布函数为： F (k ) 期望： E ( K ) iqi
i 0
q
i k
2
i
(i 0)
方差
Var ( K ) E ( K ) E ( K )
i E ( K ) qi
i 0 2
2
• 4.1.2 生存函数 F ( x) Pr( X x) ，则 新生婴儿死亡年龄 X 的分布函数为 为新生婴儿的生存函数，即：
x 0
p S ( x) ( x 0)
1 p x 可以写 当 t 1时， 1 qx可以写为qx ，表示 ( x ) 在未来一年内死亡的概率； 为 px ，表示 ( x ) 在 x t岁时生存的概率。 另外，符号 t q x 表示 ( x )在生存 t 年后， 在 x t 岁与 x t 岁之间死亡 的概率，即：
k 1 qx k qx k px k 1 px k px qx k k qx
在不易混淆的情况下，通常将符号T ( x) 简写为 T ，符号K ( x ) 简写为K
• 4.1.5 死力 死力：在到达 x岁的人中，在一瞬间里死亡的人所占的比率，记为x ， 其基本关系式为： 1 S ( x) S ( x x) x lim S ( x) x0 x
(t 0)
• 4.2 参数生存模型
• 4.2.1 均匀分布 均匀分布于1724年由Abraham de Moivre 首先建议作为人类的生存模型 死亡年龄 X 在 0, 服从均匀分布， 为极限年龄 死力函数：
x
1 x

x
(0 x )
1 dt 0 t
分布函数：
( x ) 在 x t 岁与 x t 岁之间死亡的条件概率，等于( x ) 在 x t 上式表明： 岁时仍生存的条件概率与 ( x t )在以后的 年内死亡的条件概率的乘积。
• 4.1.4 离散型未来寿命的生存分布 记 K ( x)表示 ( x )未来寿命的整年数，即 K ( x) T ( x) ，是 T ( x) 的最大整数部 分。例如，若T ( x) 34.25 ，则 T ( x) 34 ；若T ( x) 35.98 ，则 T ( x) 35 K ( x) 是取值于非负整数集上的一个随机变量，对于任意非负整数 k ， k T ( x) k 1 K ( x) k ，则随机变量 K ( x) 的概率分布律为：
B x ln C (1C ) Ax
Makeham分布就简化成 Gompertz 分布 当 A 0 时，
• 4.2.4 Weibull 分布 Weibull 在1939年创建
死力函数：
x kx n
( x 0)
k n1 x n 1
其中 k
0, n 0
x
分布函数： F ( x) 1 e 0

A BCt dt
1 e
B x ln C (1C ) Ax
生存函数： S ( x) 1 F ( x) e
B x ln C (1C ) Ax
密度函数： f ( x) ( A BC x )e