第三章生命表基础
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生命表基本函数
0
1 1 1 ω −1 1 平均寿命为: e0 = ( l1 + l2 + L + lω −1 ) + = ∑ t + dt l0 2 l0 t =0 2
0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx + lx+1 1 Lx = = lx+1 + d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx =
( 2 ) qω −1 =
n
qx : 表示x岁的存活人在x岁到x + n岁之间死亡的概率，用公式表示即为： lx − lx + n n d x = n qx = lx lx 当n = 1时， x = qx . 1q
5. px : 生存率，表示x岁的人在一年内存活的概率，即到x + 1岁时仍然存活的概率。 lx +1 px = , px + qx = 1 lx
生命表的通常函数
1. x : 年 龄 ， 在 生 命 表 中 的 范 围 ， − − (ω − 1) 岁 。 x取 整 数 值 。 0 2.l x : 存 活 到 确 切 整 数 年 龄 x岁 的 人 数 。 x = 0,1, K , ω − 1。 l0 = 100000,1000000, K > l1 > l 2 > L
(1) l0
( 2 ) lω
=0
3.d x : x岁 的 存 活 人 在 x岁 这 一 整 年 内 的 死 亡 人 数 。 (1)l x − l x +1 = d x lx =
n
(2)l0 = d 0 + d 1 + d 2 + L + d ω −1
1 1 1 ω −1 1 平均寿命为: e0 = ( l1 + l2 + L + lω −1 ) + = ∑ t + dt l0 2 l0 t =0 2
0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx + lx+1 1 Lx = = lx+1 + d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx =
( 2 ) qω −1 =
n
qx : 表示x岁的存活人在x岁到x + n岁之间死亡的概率，用公式表示即为： lx − lx + n n d x = n qx = lx lx 当n = 1时， x = qx . 1q
5. px : 生存率，表示x岁的人在一年内存活的概率，即到x + 1岁时仍然存活的概率。 lx +1 px = , px + qx = 1 lx
生命表的通常函数
1. x : 年 龄 ， 在 生 命 表 中 的 范 围 ， − − (ω − 1) 岁 。 x取 整 数 值 。 0 2.l x : 存 活 到 确 切 整 数 年 龄 x岁 的 人 数 。 x = 0,1, K , ω − 1。 l0 = 100000,1000000, K > l1 > l 2 > L
(1) l0
( 2 ) lω
=0
3.d x : x岁 的 存 活 人 在 x岁 这 一 整 年 内 的 死 亡 人 数 。 (1)l x − l x +1 = d x lx =
n
(2)l0 = d 0 + d 1 + d 2 + L + d ω −1
(荐)保险事务专业保险精算习题及答案(财经类)保险事务)
2014年保险事务专业保险精算习题及答案第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
6．设m ＞1，按从大到小的次序排列 ()222x x v b q e p +与δ。
7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。
8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
9．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6t tδ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
10. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。
11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。
A. 7.19B. 4.04C. 3.31D. 5.2112.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。
初学生命表
生命表
生命表的基本概念
生命表是反映在封闭人口条件下一批人从出 生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。它 是以各年龄死亡概率为依据，并以此计算出 各年龄的死亡人数，编制出相应的生命表。
生命表主要函数
1、尚存人数
lx
和死亡人数
dx
l 生命表基数：0 是指生命表的出生人数，也即0岁（确切年龄）的人 数，通常定 l 0 =100000。
静止人口
3. 基本性质
每年出生人数与死亡人数不变且相等 B=D 各年龄人数不变
Px B Lx, Lx表示出生婴儿活到 x岁的比例
出生率与死亡率相等且与平均预期寿命互为倒数
P
P
x 0
x
B L
x 0
x
B Lx B e0
x 0
B B 1 b d P B e0 e0
静止人口
4. 重新阐释生命表
l0 每年出生数及死亡数 lx 每日历年到达 岁的人数 x nLx 任何时间点存活的 到x n岁人数 N L x , Tx 任何时间点存活的 岁以上人数 x T0 总人口规模 ndx 每年x到x n岁死亡人数 e0 任何一年死亡人口的平 均年龄
静止人口
讨论：
静止人口是一种非常理想化的人口，在现实 中很难出现，那么研究静止人口的意义何在？
时期生命表
时期生命表
② 高龄组
l d m d a l a 1 m
时期生命表
7. 编制步骤
获取基础数据 mx n 选择一套nax 计算nqx n nmx n nmx nmx 1 选定l0 100000 计算lx
生命表的基本概念
生命表是反映在封闭人口条件下一批人从出 生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。它 是以各年龄死亡概率为依据，并以此计算出 各年龄的死亡人数，编制出相应的生命表。
生命表主要函数
1、尚存人数
lx
和死亡人数
dx
l 生命表基数：0 是指生命表的出生人数，也即0岁（确切年龄）的人 数，通常定 l 0 =100000。
静止人口
3. 基本性质
每年出生人数与死亡人数不变且相等 B=D 各年龄人数不变
Px B Lx, Lx表示出生婴儿活到 x岁的比例
出生率与死亡率相等且与平均预期寿命互为倒数
P
P
x 0
x
B L
x 0
x
B Lx B e0
x 0
B B 1 b d P B e0 e0
静止人口
4. 重新阐释生命表
l0 每年出生数及死亡数 lx 每日历年到达 岁的人数 x nLx 任何时间点存活的 到x n岁人数 N L x , Tx 任何时间点存活的 岁以上人数 x T0 总人口规模 ndx 每年x到x n岁死亡人数 e0 任何一年死亡人口的平 均年龄
静止人口
讨论：
静止人口是一种非常理想化的人口，在现实 中很难出现，那么研究静止人口的意义何在？
时期生命表
时期生命表
② 高龄组
l d m d a l a 1 m
时期生命表
7. 编制步骤
获取基础数据 mx n 选择一套nax 计算nqx n nmx n nmx nmx 1 选定l0 100000 计算lx
生命表
静态生命表
• 适用于世代重叠的生物，表中的数据是根据在某一特定 时刻对种群年龄分布频率的取样分析而获得的，实际反映 了种群在某一特定时刻的剖面 。它是生命表的最常见形 式。
• 假设条件：（1）假定种群所经历的环境年复一年地没有 变化；（2）种群大小稳定；（3）年龄结构稳定。
• 优点：（1）易于看出种群的生存对策和生殖对策；（2） 易于编制。
将动态与静态生命表相结合。它所记载的内
容同动态生命表一致，只是该生命表把不同年份 同一时期标记的个体作为一组处理，即这组动物 不是同一年出生的。
•
野生动物专家可连续几年，每年都在同一时
期标记一批新孵化的幼鸟或新出生的仔兽，并对
每一批都进行跟踪观察和记录。然后再将汇集所
有动物的观察资料，作为同年出生的一组动物来
• 缺点：（1）工作量很大；（2）不易跟踪，且易因人为因 素造成较大的误差。
• 注意：（1）在某一时期内，坚持观察同一个自然种群； （2）在每一观察时刻，对种群大小进行估计。
静态生命表
根据某一特定时间对生物种群作一个年 龄结构调查，并根据调查结果而编制的生 命表.如去某村调查所有人口（规定时间特 别严）。它是某一个特定时间的静态横切 面，所研究的种群成员的各年龄组都是在 不同的年中所经历过来的，但在此假定了 种群所经历的环境条件是年复一年地没有 变化的。
一、生命表的编制方法与步骤
• 1、根据研究对象和目的，设计生命表类型及实验 方案
• 2、合理划分年龄组或发育阶段（X）的时间间隔 • 3、确定实验条件 • 4、建立同龄群的种群 • 5、跟踪观察和记录，收集实验数据 • 6、实验与田间调查相结合 • 7、资料整理与参数统计，制作生命表 • 8、生命表分析与构建种群动态数学模型
保险精算 第三章 生命表基础(一)
s ( x) s ( x t ) t qx s ( x)
(3.1.8)
s( x t ) t px s ( x)
(3.1.9)
s( x t ) s( x t u ) t |u qx t px t u px s ( x)
(3.1.10)
9/17
s( x t ) s( x t u ) t |u qx s ( x) s( x t ) s( x t ) s( x t u ) t px u qx t s ( x) s( x t )
t |u
qx 和 t p x 分别表示T(x)的分布函数和(x)的生存函数
qx Pr[t T ( x) t u ] t|u qx t qx t px t|u px
8/17
当u=1时，t | qx 表示 (x)在(x+t)岁与(x+t+1)岁之间死亡的概率。 用生存函数表示死亡率和生存率：
0
14/17
3.1.6 s(x)的解析表达式 x De Moivre模型假设(1729) s ( x) 1
,
0 x
式中，w为人的极限年龄，即假定所有人都在w岁之前死亡。 Gompertze模型假设(1825)
x Bc x
B x s( x) exp{ (c 1)} , B 0,c 1,x 0 ln c
11/17
概率函数
Pr ( K ( x) k ) Pr (k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k qx k px qx k
保险精算学3-生命表
dx列：各年龄间的死亡人数。
o
e
x
列：x岁人的余命的平均值。
三、用途和分类
1、用途：
生命表是过去经验的总结，而在寿险中，保 险金的给付、责任准备金的提取、保单现金 价值的估计、保单红利的分配都与被保险人 的死亡率息息相关，因此反映了被保险人生 命规律的生命表对于寿险经验有着非常重要 的作用。
know : s(x)
100 x ,0 x 100,to
10
find : 15q36, 36, e36
q 15 36
s(36) s(51) s(36)
1 8
36
s( x) s(x)
1 2(100
x)
1 128
e36
0
t
p36dt
1 80
64 tdt 128 3
思考：人们寿命的延长对寿险业的经营 有哪些影响？
k 0
k 0
k 0
T(x)的期望值是完全平均余命：
lxtdt
ex E(T (x)) t g(t)dt t t px xtdt td ( t qx ) t pxdt
两种余0 命之间的0关系：
0
0
0
lx
T (x) K(x) S(x)
E(T (x)) E(K (x)) E(S(x))
F(x)表示新生儿在x岁前死亡的概率，即xq0
设s(x) 1 F(x) Pr( X
x)
lx l0
,x0，
这是新生儿活到x岁的概率，即xp0，s(x)就是生
存函数。
新生儿在x~z岁间死亡的概率为：
Pr(x X z) F(z) F(x) s(x) s(z)
E(x)表示x的期望值，即新生儿的平均寿命。
第三章-单生命生存模型与生命表-第二节-生命表PPT课件
二、生命表的构造
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人 群的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号
新生生命组个体数：l 0
年龄：x
极限年龄：
l 0 个新生生命能生存到年龄 x的期望个数：l x
-
4
二、生命表的构造
l 0 个新生生命中在年龄 x与xn之间死亡的期望个
数：n d x
实务中，通常设定一个年限r，当选择经过了r年后， 我们q 认[x 为k] 这k个j r年qx就j称;j为0 选,1 择, 期。
由选择期内的死亡率构造的生命表就称为选择表。 在选择期结束后，死亡率只与到达年龄有关，与 选择年龄无关。以选择影响消失后的死亡率构造 的生命表称为终极表。习惯上，将终极表并列在 选择表的右边，就构成了选择-终极表。
-
11
思考题
（1）相比较新旧两个生命表，从数据上反映了 十年间有哪些变化？
（2）试分析这些变化的原因。
（3）这些变化对保险公司开发险种，设立保险 条款，确定保险费以及准备金等将产生什么 影响？
注：以上问题没有标准答案，就其所能尽量
发挥。
-
12
三、选择-终极生命表
选择-终极生命表构造的原因
需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新 成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成 员。因此那些在投保时健康状况良好的被保险人 的死亡率低于没有接受健康状况检查的人。
-
6
例2.10答案
利用旧生命表中的数据，有 （1）80p20ll1200098 31 91 14 100.003986.
（2）5 0q 2 0 1 5 0p 2 0 1 ll7 2 0 09 6 8 8 1 7 1 0 4 7 0 40 .2 9 9 7 2 .
3.生命表
n1 x ｜
q = n qx；当m = ∞时， ∞ qx = n px。 ｜ n ｜
6
生命表基本函数
nLx：x岁的人在x~x+n生存的人年数。
人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是 1人年，2个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假 设下，x~x+n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到 lx+n岁的人存活了n年，故
K ( X ) = k,
概率函数
k ≤ T ( x) < k + 1, k = 0,1,⋯
Pr( K ( X ) = k ) = Pr(k ≤ T ( x) < k + 1) = k +1 qx − k qx = k px − k +1 px = k px ⋅ qx+ k = k qx
15
死亡力
定义：( x) 的瞬时死亡率，简记 µ x
n n n Lx ≈ nl x + n + n d x = (l x + l x + n ) 2 2 1 当n=1时， Lx ≈ (l x + l x +1 ) 2
7
生命表基本函数
Tx：x岁的人群未来累积生存人年数。
Tx = Lx + Lx +1 + ⋯ + Lω −1 =
在均匀分布假设下，
∞
ω − x −1
yq x 1 − tq x qx 1 − tq x
1− e
e
− ut
− ut
y q x +t
1− e
− ut
µ x+t
fT(t) (t pxµx+t )