2018春北师大版八年级下册数学专题冲刺第四章因式分解
思维导图
考纲要求
会用提取公因式法、公式法（直接用公式 不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）.
知识梳理
1. 因式分解 把一个______ 多项式__化成几个______ 整式 的____ 积 的形式，这 种变形叫做因式分解.
2. 公因式的定义
相同因式 ，叫做这个多项式各 多项式各项都含有的__________
2. 若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取 （ B ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3. (3x+2)(-x6+3x5)+(3x+2)(-2x6+x5)+(x+1)(3x6-4x5)
与下列哪一个式子相同？（ C ） A. （3x6-4x5）（2x+1） B. （3x6-4x5）（2x+3） C. -（3x6-4x5）（2x+1） D. -（3x6-4x5）（2x+3）
项的公因式.
知识梳理
3. 确定公因式的方法 确定公因式的一般步骤： （1）确定公因式的系数，即多项式各项系数的 最大公约数 __________. （2）确定公因式的字母及其指数：字母取各项都含有 最低 的. 的相同字母，相同字母的指数取次数_______ （3）当第一项系数为负时，应将公因式的符号取为
公约数与相同字母的最低次幂的积.
知识梳理
②将多项式除以它的公因式，从而得到多项式的另一 个因式. 5. 平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差 ，公式为（a＋b）（a－b）＝_________. a2－b2 ________ 6. 完全平方公式
平方和 两个数的和 （或差） 的平方，等于它们的________,
4. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是
（B） A． （a+1）（a-1）=a2-1 B． a2-6a+9=（a-3）2 C． x2+2x+1=x（x+2x）+1 D． -18x4y3=-6x2y2· 3x2y
二、填空题
(x+1)(x-2) 5. 因式分解：x2-2x+(x-2)=__________.
6. 如图Z4-1中的四边形均为矩形，根据图形，写出 一个正确的等式 am+bm+cm=m（a+b+c） _________________________________.
7. 若ab=2，a-b=-1，则代数式a2b-ab2的值等于 __________. -2 三、解答题 8. 把下列各式分解因式：
易错点 【例3示：确定公因式时：一看系数，二看字母，三 看指数，提公因式时，容易漏掉系数和弄错因式中各 项的符号. 正解：原式=-2ab(a2+2ab+b2) =-2ab(a+b)2.
学以致用 3. 分解因式：
（1）-x3y3+2x2y2-xy; （2）6x4-4x3+2x2; （3）a2(a-1)2-a(1-a)2.
______. 负号
知识梳理
4. 提公因式法
公因式 ， （1）定义：如果一个多项式的各项含有________
公因式 提出来，从而将多项式化 那么就可以把这个________
因式乘积 的形式. 这种分解因式的方法叫做 成两个__________
提公因式法.
（2）用提公因式法因式分解的一般步骤：
①确定多项式的公因式，公因式等于各项系数的最大
加上（或减去）它们积的2倍，公式为（a±b）2=
__________. a2±2ab+b2
知识梳理
7. 因式分解的一般步骤 （1）如果多项式各项有________ 公因式 ，应先提取_______. 公因式 （2）如果各项没有_________ （或已提取完），可以 公因式
（再）尝试使用公式法，当多项式为两项时，考虑用
易错点 易错点3 运用提公因式法因式分解时出现疏漏或分
解因式不彻底 运用提公因式法分解因式时，提公因式后，括号 里的多项式项数与原多项式项数应一致. 当系数有公 因式时，注意系数不能丢掉；当提出的公因式的系数 为负时，括号里的各项都要改变符号. 同时注意，分 解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止.
解：（1）原式=-xy(x2y2-2xy+1)
=-xy(xy-1)2.
（2）原式=2x2(3x2-2x+1).
（3）原式=a(a-1)2(a-1)
=a(a-1)3.
专题三 本章重要考点专练——提 公因式法
一、选择题
1. 把a2-2a分解因式，正确的是（ A ） A. a（a-2） C. a（a2-2） B. a（a+2） D. a（2-a）
易错点 易错点2 错误运用完全平方公式
在运用完全平方公式进行有关整式乘法计算时， 容易出现以下错误：（1）漏掉“2倍之积项”；（2） 漏掉乘积中的因数“2”；（3）弄错“2倍之积项” 的符号，尤其当两数都是负数时，易出现符号错误； （4）与平方差公式相混淆.
易错点 【例2】计算：(x+y)(x2－y2)(x－y).
易错提示：运用完全平方公式时容易出现以下错误: （1）混淆完全平方公式与平方差公式;（2）容易写 错中间项符号.
正解：原式=（x+y）（x－y）（x2－y2）
=（x2－y2）（x2－y2） =（x2－y2）2 =x4－2x2y2+y4.
学以致用 2. 计算:（－3x＋y）2. 解：原式=9x2－6xy＋y2.
易错点 【例1】计算：(m＋5n)(－m＋5n).
易错提示：运用平方差公式时容易出现以下错误： （1）弄不清谁与谁的差；（2）写平方差时忘记系数 也要平方. 正解：(m＋5n)(－m＋5n)＝(5n)2－m2=25n2－m2.
学以致用 x2-4y2 1. （－x－2y）（2y－x）＝_________.
_________ 平方差公式；当多项式为三项式时，考虑用
_____________. 完全平方公式
（3）检查因式分解是否__________ ，要求必须分解 彻底
到每一个因式都不能再分解为止.
专题二 本章易错点归总
易错点 易错点1 错误运用平方差公式
在运用平方差公式进行有关整式乘法计算时，容 易出现以下错误：（1）不能准确判断是否能利用平 方差公式；（2）运用平方差公式时，弄不清等于谁 和谁的平方差；（3）写平方差时，容易只把字母平 方，而遗漏系数平方.
北师大版八年级数学下册同步精品第四章 因式分解(单元小结)
考点专练
例4：把多项式因式分解:ax2-ay2=
.
解析：先提取公因式a,再根据平方差公式进行二次分解.
注意平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b),
则ax2-ay2=a(x2-y2)=a(x+y)(x-y).
答案:a(x+y)(x-y)
考点专练
【知识点睛】 符合用平方差公式因式分解的多项式一般有以下特点: 1.有两项. 2.两项都能写成平方的形式. 3.符号相反.
知识专题
四、运用公式法分解因式
平方差公式 a2-b2=（a+b）（a-b）
完全平方公式 a2+2ab+b2=（a+b）2 a2-2ab+b2=（a-b）2
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子称为完全平方式。 利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解 的方法叫做公式法。
知识专题
即：一个多项式 →几个整式的积
知识专题
二、分解因式的方法： （1）、提取公因式法 （2）、运用公式法 （3）、十字相乘法 （4）、分组分解法
知识专题
三、提公因式法分解因式
整式乘法： m（a+b+c）=ma+mb+mc， 逆变形得到 因式分解的第一种方法：ma+mb+mc=m（a+b+c）
知识专题
“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:如对于多项 式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时, 则各个因式的值是:(x-y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可 以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3-xy2, 取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码有哪些?
北师大版八年级数学下册第四章 因式分解 小结与复习
四、公式法 —— 完全平方公式 1. 完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 a2 - 2ab + b2 = ( a - b )2 2. 完全平方式的特征：(1) 三项式；
(2) 有两项是两个数 (或式) 的_平__方__和__
的形式；
(3) 另一项是这两个数 (或式) 的_乘__积___
考点三 利用提公因式法求值
例3 计算： (1) 39×37－13×91； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. 解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91
＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14
解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积 的差， 而正方形的面积是其边长的平方， 则 S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050．
答：所有阴影部分的面积和是 5050 cm2.
考点五 完全平方公式分解因式
例5 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2) (a2＋4)2－16a2. 解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2. (2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2.
练一练
5. 已知 a＋b＝5，ab＝10，求 1 a3b＋a2b2＋ 1 ab3的值.
2
2
解：1 a3b＋a2b2＋ 1 ab3＝ 1 ab(a2＋2ab＋b2)
北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案(可编辑修改word版)
北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案1 因式分解【知识与技能】使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力.【过程与方法】认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.【情感态度】培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度.【教学重点】因式分解的概念.【教学难点】难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法.一.情景导入，初步认知下题简便运算怎样进行？问题1：736×95+736×5问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫.二.思考探究，获取新知问题：(1)993-99 能被99 整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)∴993-99 能被99 整除.(2)993-99 能被100 整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99- 1）= 99×98×100所以993-99 能被100 整除.想一想：（1）在回答993-99 能否被100 整除时，小明是怎么做的？（2）请你说明小明每一步的依据.（3）993-99 还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？【教学说明】老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99 化成了怎样的形式？【归纳结论】以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.可以了解:993-99 可以被98、99、100 三个连续整数整除.将99 换成其他任意一个大于 1 的整数,上述结论仍然成立吗?学生探究发现：用a 表示任意一个大于1 的整数，则：a3-a=a×a2-a=a×(a2-1)=a ×(a+1)(a-1)=(a-1)×a×(a+1)① 能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？② 这样变形是为了达到什么样的目的？【教学说明】经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性.【归纳结论】把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.三.运用新知，深化理解1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a（a+2b）=4a2+8ab；（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）；（3）a2－4=（a+2）(a－2）；（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.答案：（2）（3）是因式分解.2.试将下列各式化成几个整式的积的形式（1）3x2-2x= - (2)m2-4n2 =答案：（1）x(3x-2) （2）(m+2n)(m-2n)3.分解因式.4m2-4m= 2a3+2a= y2+4y+4=答案：4m(m-1) 2a(a2+1) (y+2)2 4.如果a+b=10,ab=21,则a2b+ab2 的值为.答案：210.5.如果a-3b=-3,那么5-a+3b 的值是（）A.0B.2C.5D.8答案：D.6.9993-999 能被998 整除吗？能被1000 整除吗？解：9993-999=999（9992-1）=999（999+1）（999-1）=999×1000×998 所以9993- 999 能被998 整除，能被1000 整除。
北师大版八年级数学下册课件：因式分解
993－99
＝99×992－99×1
993－99还能被
＝99(992－1)
哪些正整数整除？
＝99×9 800
＝98×99×100.
所以，993－ 99能被100整除.
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数
的积的情势.
议一议
你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的情势吗？
与同伴交流.
解： a3-a =a·a2-a·1
整式乘法与因式分解的关系：
整式乘法与因式分解一个是积化和差，
另一个是和差化积，是两种互逆的变形．
即：多项式 因式分解
整式乘法
因式分解 和差化积
x2-1 整式乘法 积化和差
整式乘积． (x+1)(x-1)
例题讲授
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) A．a2＋1＝a(a＋ 1 )
3.下列多项式因式分解的结果是2x(x-3)的是( C )A.6x-
2x2
B.2x2+6x
C.2x2-6x
D.-2x2-6x
3. 因为(a－2)2＝a2－4a＋4，所以a2－4a＋4可因式分解为_(_a_－__2_)_2__ ．
4. 把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)， 则a= -2 ，b=_-3__
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
分解因式的要求： 1.分解的结果最后是积的情势； 2.每个因式必须是整式，且每个因式的次 数都必须低于多项式的次数； 3.必须分解到每个因式不能再分解为止
例2 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)， 求a，b的值. 解：∵x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)
北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末复习课件(共42张)
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
第四章 因式分解复习题---解答题（含解析）
北师大版数学八下第四章分解因式---解答题一．解答题1．（2018秋•西城区期末）（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy2．（2018秋•双阳区校级期中）因式分解：﹣24m2x﹣16n2x．3．（2018秋•如皋市期中）因式分解：（1）x2﹣10x（2）﹣8ax2+16axy﹣8ay24．（2018秋•宁阳县期中）把下列各式分解因式：（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）（2）（a2﹣2a+1）﹣b（a﹣1）（3）2x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y）5．（2018秋•句容市期中）如图，图①、图②分别由两个长方形拼成，其中a＞b．（1）用含a、b的代数式表示它们的面积，则S①＝，S②＝；（2）S①与S②之间有怎样的大小关系？请你解释其中的道理；（3）请你利用上述发现的结论计算式子：20182﹣20172．6．（2018秋•松江区期中）因式分解：x4﹣16y4．7．（2018春•工业园区期末）分解因式：x4﹣2x2+1．8．（2018秋•江门期末）分解因式：﹣2a3+12a2﹣18a9．（2018秋•荔湾区期末）分解因式：（1）mn2﹣2mn+m（2）x2﹣2x+（x﹣2）10．（2018秋•安岳县期末）将下列各式分解因式：（1）﹣25ax2+10ax﹣a（2）4x2（a﹣b）+y2（b﹣a）11．（2018春•定边县期末）因式分解（1）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab（2）（x+1）（x+2）+．12．（2018秋•海淀区期末）已知2a﹣b＝﹣2，求代数式3（2ab2﹣4a+b）﹣2（3ab2﹣2a）+b的值．13．（2018秋•宽城区期末）已知a、b、c分别是△ABC的三边．（1）分别将多项式a2c2﹣b2c2，a4﹣b4进行因式分解，（2）若a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状，并说明理由．14．（2018秋•思明区校级期中）定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a＝，b＝1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，证明“如意数”c≤0．15．（2018秋•思明区校级期中）已知a（a+1）﹣（a2+2b）＝1，求a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b的值．16．（2018秋•延边州期末）如图，边长为a，b的矩形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：（1）a2b+ab2；（2）a2+b2+ab．17．（2018秋•宽城区月考）给你若干个长方形和正方形的卡片，如图所示，请你运用拼图的方法，选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形，使它的面积等于a2+3ab+2b2，并根据你拼成的图形分解因式：a2+3ab+2b2．18．（2018秋•海门市期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）试分析28是否为“神秘数”；（2）2019是“神秘数”吗？为什么？（3）说明两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”是4的倍数．（4）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，两个连续奇数的平方差（k取正整数）是“神秘数”吗？为什么？19．（2018秋•延庆区期中）定义：任意两个数a，b，按规则c＝﹣a+b得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b的“机智数”．（1）若a＝1，b＝2，直接写出a，b的“机智数”c；（2）如果，a＝m2+2m+1，b＝m2+m，求a，b的“机智数”c；（3）若（2）中的c值为一个整数，则m的整数值是多少？20．（2018秋•万州区期中）如果一个整数，将其末三位截去，这个末三位数与余下的数的7倍的差能被19整除，则这个数能被19整除，否则不能被19整除，能被19整除的我们称之为“灵异数”．如46379，由379﹣7×46＝57，∵57能被19整除，∴46379能被19整除，是“灵异数”．（1）请用上述规则判断52478和9115是否为“灵异数”；（2）有一个首位数字是1的五位正整数，它的个位数字不为0且是千位数字的2倍，十位和百位上的数字之和为8，若这个数恰好是“灵异数”，请求出这个数．21．（2018秋•南关区期中）如图，有若干个长方形和正方形卡片，请你选取相应种类和数量的卡片，拼成一个新长方形，使它的面积等于2a2+3ab+b2（1）则需要A类卡片张，B类卡片张，C类卡片张；（2）画出你所拼成的图形，并且请你用不同于2a2+3ab+b2的形式表示出所拼图形的面积；（3）根据你拼成的图形把多项式2a2+3ab+b2分解因式．22．（2018春•宁波期中）如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：5＝32﹣22，16＝52﹣32，则5，16都是奇妙数．（1）15和40是奇妙数吗？为什么？（2）如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗？为什么？（3）如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数．23．（2018春•凤阳县期中）发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证：（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．延伸：任意三个连续整数的平方和能被3整除吗？如果不能，余数是几呢？请给出结论并写出理由．24．（2018春•东明县期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”（1）28和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？25．（2018春•沙坪坝区校级月考）我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．26．（2018春•巴南区期中）任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，那么称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝p+q+pq．例如12可以分解成1×12、2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝3+4+12＝19．（1）计算：F（18），F（24）（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y是自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为27，那么我们称这个数t为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．27．（2018•九龙坡区校级模拟）在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．（1）请根据以上方法判断31568（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．北师大版数学八下第四章分解因式---解答题参考答案与试题解析一．解答题1．（2018秋•西城区期末）（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy【分析】（1）直接提取公因式（x﹣a）分解因式即可．（2）先提取公因式xy，然后利用完全平方公式进一步进行因式分解．【解答】（1）解：x（x﹣a）+y（a﹣x）＝x（x﹣a）﹣y（x﹣a）＝（x﹣a）（x﹣y）；（2）解：x3y﹣10x2y+25xy＝xy（x2﹣10x+25）＝xy（x﹣5）2．2．（2018秋•双阳区校级期中）因式分解：﹣24m2x﹣16n2x．【分析】直接找出公因式﹣8x，进而提取公因式得出答案．【解答】解：原式＝﹣8x（3m2+2n2）．3．（2018秋•如皋市期中）因式分解：（1）x2﹣10x（2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式即可；（2）直接提取公因式﹣8a，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）x2﹣10x＝x（x﹣10）；（2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2＝﹣8a（x2﹣2xy+y2）＝﹣8a（x﹣y）2．4．（2018秋•宁阳县期中）把下列各式分解因式：（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）（2）（a2﹣2a+1）﹣b（a﹣1）（3）2x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y）【分析】根据分解因式的方法﹣提公因式法分解因式即可．【解答】解：（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）＝2（x﹣y）（a+3b）；（2）（a2﹣2a+1）﹣b（a﹣1）＝（a﹣1）（a﹣b﹣1）；（3）2x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y）＝（y﹣x）（2x﹣x﹣y）＝﹣（x﹣y）2．5．（2018秋•句容市期中）如图，图①、图②分别由两个长方形拼成，其中a＞b．（1）用含a、b的代数式表示它们的面积，则S①＝a2﹣b2，S②＝（a+b）（a﹣b）；（2）S①与S②之间有怎样的大小关系？请你解释其中的道理；（3）请你利用上述发现的结论计算式子：20182﹣20172．【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式列代数式即可；（2）根据（1）得出的结果即可直接得出答案；（3）根据（2）的公式进行计算即可．【解答】解：（1）图①的面积是a2﹣b2；图②的面积是（a+b）（a﹣b）；故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b），（2）根据（1）可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；相同的两个长方形拼成的两个图形的面积相等，即都等于这两个长方形面积的和；（3）20182﹣20172＝（2018+2017）（2018﹣2017）＝4035×1＝4035．6．（2018秋•松江区期中）因式分解：x4﹣16y4．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x4﹣16y4＝（x2+4y2）（x2﹣4y2）＝（x2+4y2）（x+2y）（x﹣2y）．7．（2018春•工业园区期末）分解因式：x4﹣2x2+1．【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x4﹣2x2+1＝（x2﹣1）2＝（x+1）2（x﹣1）2．8．（2018秋•江门期末）分解因式：﹣2a3+12a2﹣18a【分析】先提取公因式﹣2a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a ±b）2．【解答】解：原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2．9．（2018秋•荔湾区期末）分解因式：（1）mn2﹣2mn+m（2）x2﹣2x+（x﹣2）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝m（n2﹣2n+1）＝m（n﹣1）2；（2）原式＝x（x﹣2）+（x﹣2）＝（x﹣2）（x+1）．10．（2018秋•安岳县期末）将下列各式分解因式：（1）﹣25ax2+10ax﹣a（2）4x2（a﹣b）+y2（b﹣a）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝﹣a（25x2﹣10x+1）＝﹣a（5x﹣1）2；（2）原式＝4x2（a﹣b）﹣y2（a﹣b）＝（a﹣b）（2x+y）（2x﹣y）．11．（2018春•定边县期末）因式分解（1）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab（2）（x+1）（x+2）+．【分析】（1）提公因式分解因式即可；（2）先根据多项式乘法法则将式子展开，再根据完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab＝﹣2ab（2a2b2﹣3a+1）（2）（x+1）（x+2）+＝x2+3x+2+＝x2+3x+＝（x+）2．12．（2018秋•海淀区期末）已知2a﹣b＝﹣2，求代数式3（2ab2﹣4a+b）﹣2（3ab2﹣2a）+b的值．【分析】利用去括号法则和合并同类项的方法先对所求式子进行化简，然后根据2a﹣b的值，即可求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：3（2ab2﹣4a+b）﹣2（3ab2﹣2a）+b＝6ab2﹣12a+3b﹣6ab2+4a+b＝﹣8a+4b，∵2a﹣b＝﹣2，∴原式＝﹣8a+4b＝﹣4（2a﹣b）＝﹣4×（﹣2）＝8．13．（2018秋•宽城区期末）已知a、b、c分别是△ABC的三边．（1）分别将多项式a2c2﹣b2c2，a4﹣b4进行因式分解，（2）若a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】（1）利用平方差公式分解因式；（2）利用（1）中分解的结果得到c2（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）（a+b）（a2+b2）＝0，再提公因式得到（a+b）（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，于是a﹣b＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，然后判断三角形的形状．【解答】解：（1）a2c2﹣b2c2＝c2（a2﹣b2）＝c2（a+b）（a﹣b）；a4﹣b4＝（a2﹣b2）（a2+b2）＝（a﹣b）（a+b）（a2+b2）；（2）∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴c2（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b）（a2+b2）；∴c2（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）（a+b）（a2+b2）＝0；∴（a+b）（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，∵a、b、c分别是△ABC的三边．∴a﹣b＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，∴a＝b或c2＝a2+b2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．14．（2018秋•思明区校级期中）定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a＝，b＝1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，证明“如意数”c≤0．【分析】（1）c＝ab+a+b＝++1＝2+1；（2）c＝ab+a+b＝（m﹣4）（﹣m）+m﹣4+（﹣m）＝4m﹣m2﹣4＝﹣（m﹣2）2≤0．【解答】解：（1）c＝ab+a+b＝++1＝2+1；（2）c＝ab+a+b＝（m﹣4）（﹣m）+m﹣4+（﹣m）＝4m﹣m2﹣4，＝﹣（m﹣2）2≤0，即：c≤0．15．（2018秋•思明区校级期中）已知a（a+1）﹣（a2+2b）＝1，求a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b的值．【分析】先将已知化简得：a﹣2b＝1，再把所求的式子进行因式分解，最后代入计算．【解答】解：a（a+1）﹣（a2+2b）＝1，a2+a﹣a2﹣2b﹣1＝0，a﹣2b＝1，a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b，＝（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b），＝12﹣2×1，＝﹣1．16．（2018秋•延边州期末）如图，边长为a，b的矩形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：（1）a2b+ab2；（2）a2+b2+ab．【分析】（1）应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．（2）先根据a+b＝7，ab＝10求出a2+b2的值，即可求出a2+b2+ab的值．【解答】解：（1）∵a+b＝7，ab＝10，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×10＝29，∴a2+b2+ab＝29+10＝39．17．（2018秋•宽城区月考）给你若干个长方形和正方形的卡片，如图所示，请你运用拼图的方法，选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形，使它的面积等于a2+3ab+2b2，并根据你拼成的图形分解因式：a2+3ab+2b2．【分析】用6张卡片（边长为a的正方形卡片1张，边长为b的正方形卡片2张，边长为a、b的矩形卡片3张）拼成一个大长方形，可判断矩形ABCD的面积为a2+3ab+2b2，从而得到因式分解得结果．【解答】解：如图，矩形ABCD的面积为a2+3ab+2b2，a2+3ab+2b2可分解为（a+b）（a+2b）．18．（2018秋•海门市期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）试分析28是否为“神秘数”；（2）2019是“神秘数”吗？为什么？（3）说明两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”是4的倍数．（4）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，两个连续奇数的平方差（k取正整数）是“神秘数”吗？为什么？【分析】（1）根据“神秘数”定义可判断；（2）把2019写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；（3）由（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1），可判断构造的“神秘数”是4的倍数；（4）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k＝4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．【解答】解：（1）∵28＝82﹣62＝64﹣36∴28是“神秘数”（2）2019不是“神秘数”设2 019是由y和y﹣2两数的平方差得到的，则y2﹣（y﹣2）2＝2 019，解得：y＝505.75，不是偶数，∴2 019不是“神秘数”．（3）（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1），∴由2k+2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍（4）（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，是8的倍数，但不是4的倍数，根据定义得出结论，不是“神秘数”．19．（2018秋•延庆区期中）定义：任意两个数a，b，按规则c＝﹣a+b得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b的“机智数”．（1）若a＝1，b＝2，直接写出a，b的“机智数”c；（2）如果，a＝m2+2m+1，b＝m2+m，求a，b的“机智数”c；（3）若（2）中的c值为一个整数，则m的整数值是多少？【分析】（1）根据题意和a、b的值可以求得“机智数”c；（2）根据题意，可以求得a＝m2+2m+1，b＝m2+m时的“机智数”c；（3）根据（2）中的结论和分式有意义的条件可以求得m的值．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝2，c＝，∴c＝＝，即a，b的“机智数”c是；（2）∵a＝m2+2m+1，b＝m2+m，c＝，∴c＝﹣（m2+2m+1）+（m2+m）＝﹣m；（3）∵c＝﹣（m2+2m+1）+（m2+m）＝﹣m，c＝﹣m为一个整数，∴m＝1或m＝﹣1（舍去），即m的整数值是1．20．（2018秋•万州区期中）如果一个整数，将其末三位截去，这个末三位数与余下的数的7倍的差能被19整除，则这个数能被19整除，否则不能被19整除，能被19整除的我们称之为“灵异数”．如46379，由379﹣7×46＝57，∵57能被19整除，∴46379能被19整除，是“灵异数”．（1）请用上述规则判断52478和9115是否为“灵异数”；（2）有一个首位数字是1的五位正整数，它的个位数字不为0且是千位数字的2倍，十位和百位上的数字之和为8，若这个数恰好是“灵异数”，请求出这个数．【分析】（1）根据题意可以判断52478和9115是否能被19整除，从而判断是否为灵异数；（2）根据题意．写出相应的式子，从而可以解答本题．【解答】解：（1）∵478﹣7×52＝114，114÷19＝6，∴52478能被19整除，是“灵异数”；∵115﹣7×9＝52，52÷19＝2…14，∴9115不能被19整除，不是“灵异数”；（2）设这个五位数的千位为a，则个位为2a，十位为b，则百位为8﹣b，∵[100（8﹣b）+10b+2a]﹣7×（10×1+a）＝730﹣90b﹣5a，这个数恰好是灵异数，即能被19整除，a为正整数、b为非负整数，∴730﹣90b﹣5a能被19整除，解得，，，∴这个数为：11172或12084．21．（2018秋•南关区期中）如图，有若干个长方形和正方形卡片，请你选取相应种类和数量的卡片，拼成一个新长方形，使它的面积等于2a2+3ab+b2（1）则需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片1张；（2）画出你所拼成的图形，并且请你用不同于2a2+3ab+b2的形式表示出所拼图形的面积；（3）根据你拼成的图形把多项式2a2+3ab+b2分解因式．（2）由图形可得；（3）由图形面积的两种表达形式可把多项式2a2+3ab+b2分解因式．【解答】解：（1）∵面积等于2a2+3ab+b2∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片1张；故答案为：2，3，1（2）如图：图形的面积＝（2a+b）（a+b）（3）2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）22．（2018春•宁波期中）如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：5＝32﹣22，16＝52﹣32，则5，16都是奇妙数．（1）15和40是奇妙数吗？为什么？（2）如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗？为什么？（3）如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数．【分析】（1）根据题意可判断；（2）利用平方差公式可证；（3）将“奇妙数”从小到大排列后，可求第12个奇妙数．【解答】解：（1）15和40是奇妙数，理由：15＝42﹣12，40＝72﹣32．（2）设这两个数为2n﹣1，2n+1∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n∴是8的倍数．（3）“奇妙数”从小到大排列为：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19∴第12个奇妙数为1923．（2018春•凤阳县期中）发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证：（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．延伸：任意三个连续整数的平方和能被3整除吗？如果不能，余数是几呢？请给出结论并写出理由．（2）通过完全平方公式可求平方和，即可证平方和是5的倍数；延伸：通过完全平方公式可求平方和，即可判断平方和是否被3整除．【解答】解：（1）∵（﹣1）2+02+12+22+32＝1+0+1+4+9＝15＝5×3∴结果是5的3倍．（2）设五个连续整数的中间一个为n，则另四个整数为：n﹣2，n﹣1，n+1，n+2∴它们的平方和为（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2∵（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2＝5n2+10＝5（n2+2）∴它们的平方和是5的倍数延伸：不能被3整除，余数为2设中间的整数为n，∵（n﹣1）2+n2+（n+1）2＝3n2+2∴不能被3整除，余数为224．（2018春•东明县期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”（1）28和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？【分析】按照新概念的定义，进行验证即可．【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，2020＝5062﹣5042，∴28和2020是“和谐数”；（2）∵（2k+2）2﹣（2k）2＝4（2k+1），∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．25．（2018春•沙坪坝区校级月考）我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．【分析】（1）写出最小的五位“轴对称数”，即首位数字和个位数字为1，其它为0的数；（2）先表示这个任意的n（n≥3）位“轴对称数”：＝A×10n+B×10+A，再表示“轴对称数”与它个位数字的11倍的差，合并同类项并提公因式，可得结论；（3）设这个三位“轴对称数”为（1≤a≤4，0≤b≤9），根据与k的和能同时被5和9整除，即能被45整除，设100a+10b+a+k＝45c，化为90a+11a+10b+k＝45c，所以11a+10b+k能同时被45整除，分情况计算可得结论．【解答】（1）解：最小的五位“轴对称数”是10001；（2）证明：由题意得：A×10n+B×10+A﹣11A＝A×10n+10B﹣10A＝10（A×10n﹣1+B﹣A），∴该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除；（3）解：设这个三位“轴对称数”为（1≤a≤4，0≤b≤9），∵与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，∴设100a+10b+a+k＝45c，101a+10b+k＝45c，90a+11a+10b+k＝45c，∴因为101a+10b+k能同时被5和9整除，所以11a+10b+k能同时被5和9整除，即11a+10b+k的值为0或45或90或135，又1≤a≤4，0≤b≤9，∴当a＝1，b＝3，k＝4时，这个三位“轴对称数”是131．当a＝1，b＝8，k＝4时，这个三位“轴对称数”是131．当a＝2，b＝2，k＝3时，这个三位“轴对称数”是222．当a＝3，b＝1，k＝2时，这个三位“轴对称数”是313．当a＝4，b＝0，k＝1时，这个三位“轴对称数”是404．当a＝4，b＝9，k＝1时，这个三位“轴对称数”是494．所有满足条件的三位“轴对称数”为：131，222，313，404，494．26．（2018春•巴南区期中）任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，那么称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝p+q+pq．例如12可以分解成1×12、2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝3+4+12＝19．（1）计算：F（18），F（24）（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y是自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为27，那么我们称这个数t为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．【分析】（1）把18因式分解为1×18，2×9，3×6，再由定义即可得F（18），把24因式分解为1×24，2×12，3×8，4×6，再由定义即可得F（24）；（2）根据吉祥数的定义，求出两位数的吉祥数，再根据F（t）的概念计算即可．【解答】解：（1）∵18＝1×18＝2×9＝3×6，其中3与6的差的绝对值最小；∴F（18）＝3+6+18＝27；∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，其中4与6的差的绝对值最小，∴F（24）＝4+6+24＝34；（2）设t＝10x+y，则新的两位是10y+x，∴（10y+x）﹣（10x+y）＝27，即y﹣x＝3，∵1≤x≤y≤9，x，y是自然数，∴t的值为14，25，36，47，58，69，∵F（14）＝2+7+14＝23，F（25）＝5+5+25＝35，F（36）＝6+6+36＝48，F（47）＝1+47+47＝95，F（58）＝2+29+58＝81，F（69）＝3+23+69＝94，∴吉祥数中F（t）的最大的值为95．27．（2018•九龙坡区校级模拟）在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．（1）请根据以上方法判断31568是（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．【分析】（1）根据定义表示31568的“顺数”与“逆数”，计算它们的差能否被17整除，可判断31568是“最佳拍档数”；根据定义设这个首位是5的四位“最佳拍档数”N，并表示出来，计算的它的“顺数”与“逆数”之差，根据“最佳拍档数”的定义，分情况讨论可得结论；（2）先证明三位的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，再证明四位的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，同理可得结论．【解答】（1）解：31568的“顺数”为361568，31568的“逆数”为315668，31568的“顺数”与“逆数”之差为361568﹣315668＝45900，45900÷17＝2700，所以31568是“最佳拍档数”；设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，则个位数字为8﹣x，y≥x，N＝5000+100y+10x+8﹣x＝100y+9x+5008，∵N是四位“最佳拍档数”，∴50000+6000+100y+10x+8﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x]，＝6000+100y+9x+8﹣1000y﹣100x﹣68+x，＝5940﹣90x﹣900y，＝90（66﹣x﹣10y），∴66﹣x﹣10y能被17整除，①x＝2，y＝3时，66﹣x﹣10y＝34，能被17整除，此时N为5326；②x＝3，y＝8时，66﹣x﹣10y＝﹣17，能被17整除，此时N为5835；③x＝5，y＝1时，66﹣x﹣10y＝51，能被17整除，但x＞y，不符合题意；④x＝6，y＝6时，66﹣x﹣10y＝0，能被17整除，此时N为5662；⑤x＝8，y＝3时，66﹣x﹣10y＝28，不能被17整除，但x＞y，不符合题意；⑥当x＝9，y＝4时，66﹣x﹣10y＝17，能被17整除，但x＞y，不符合题意；综上，所有符合条件的N的值为5326，5835，5662；故答案为：是；（2）证明：设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，它的“顺数”：1000z+600+10y+x，它的“逆数”：1000z+100y+60+x，∴（1000z+600+10y+x）﹣（1000z+100y+60+x）＝540﹣90y＝90（6﹣y），∴任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，设四位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，千位数字为a，∴（10000a+6000+100z+10y+x）﹣（10000a+1000z+100y+60+x）＝5940﹣900z﹣90y＝90（66﹣10z﹣y），∴任意四位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，同理得：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．。
北师大版八年级数学下册第四章《4因式分解》优 课件(共19张PPT)
归纳概念
把一个多项式化为 几个整式的积的形式,这 种变形叫做把这个多项式 分解因式.
做一做,计算下列各式
(1) 3x(x-1)=__3_x__2____3_x_
(2) m(a+b+c)=_m__a____m__b___m_ c
(3) (m+4)(m-4)=___m__2____1_6_____
（1）x2m xn能分解成 (x2)(x5 )
-7 -10 则 m = ______, n = ______.
（2）某沿江风景带修建了三块长方形的绿化草坪， 他们的宽都是８㎝，长分别是５５．５㎝，２ ４．４㎝，２０．１㎝，那么这些绿化带的面积
800 之和是_____
20.1
颗粒归仓
通过本节课的研究, 你有哪些收获?还有什 么疑问?
作业 课后习题
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月3日星期日2022/4/32022/4/32022/4/3 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/32022/4/32022/4/34/3/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/32022/4/3April 3, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
想一想
分解因式与整式乘法有什么关系?
分解因式
a2-b2
(a-b)(a+b)
整式乘法
二者是互逆的过程
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
（1） a2aa(a1)是
第四章 因式分解复习题---填空题（含解析）
北师大版数学八下第四章因式分解---填空题一．填空题1．（2018春•泗县期中）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n的公因式是．2．（2018秋•道外区期末）把多项式3mx﹣6my分解因式的结果是．3．（2018秋•松江区校级月考）分解因式：3x2yz+15xz2﹣9xy2z＝．4．（2018秋•闵行区期末）因式分解：9a2﹣12a+4＝．5．（2018秋•昆明期末）因式分解：1﹣4a2＝．6．（2018秋•如皋市期中）把a2﹣16分解因式，结果为．7．（2017秋•雨花区校级期末）因式分解：（a+b）2﹣64＝．8．（2018•义乌市模拟）多项式x2+1加上一个单项式后，可以分解因式，那么加上的单项式可以是（只需填写二个）．9．（2018•沈河区二模）分解因式：x4﹣2x2y2+y4＝．10．（2018•苏州）若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为．11．（2018•株洲）因式分解：a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝．12．（2018•井研县模拟）分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2＝．13．（2017秋•新津县期末）若2a＝3b﹣1，则4a2﹣12ab+9b2﹣1的值为．14．（2018秋•宁城县期末）因式分解：4x2y﹣9y3＝．15．（2018秋•松北区期末）代数式a2b﹣2ab+b分解因式为．16．（2018秋•鸡东县期末）分解因式：4m2﹣16n2＝．17．（2018•武威模拟）分解因式：﹣3x2+6x﹣3＝．18．（2018•祁县模拟）因式分解：3x2﹣18xy+27y2＝．19．（2018•葫芦岛一模）分解因式：a2b﹣8ab+16b＝．20．（2018春•宿豫区期末）已知xy＝，x+y＝5，则2x3y+4x2y2+2xy3＝．21．（2017秋•宜春期末）计算50×1252﹣50×252的结果是．22．（2018春•郯城县期中）分解因式：a2+2ab+b2﹣4＝．23．（2017秋•松滋市期末）y2﹣x2﹣x+y分解因式：．24．（2018秋•靖远县期末）如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，那么这个三角形一定是．25．（2017秋•昌江区校级期末）若ab+bc+ca＝﹣3，且a+b+c＝0，则a4+b4+c4＝．26．（2018春•高密市期末）已知a﹣b＝3，a+c＝﹣4，则代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为．27．（2018秋•金牛区校级月考）若3x3﹣x＝1，则9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001＝．28．（2018秋•汉阳区校级期中）已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2018＝．29．（2018秋•文登区期中）已知a，b，c为三角形ABC的三边，且a4﹣b4＝c2（a2+b2），则三角形ABC为三角形30．（2018春•雨城区校级期中）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足等式3（a2+b2+c2）＝（a+b+c）2，则该三角形是三角形．31．（2018春•宿豫区期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足a2﹣6a+b2﹣4b+13＝0，c为奇数，则△ABC的周长为．32．（2018•建湖县二模）若a+b＝﹣5，ab＝6，则a2b+ab2的值为．33．（2018春•常州期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则m2n+mn2的值为．北师大版数学八下第四章因式分解---填空题参考答案与试题解析一．填空题1．（2018春•泗县期中）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n的公因式是5m2n．【分析】根据确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂进行解答即可．【解答】解：多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n的公因式是：5m2n，故答案为：5m2n．2．（2018秋•道外区期末）把多项式3mx﹣6my分解因式的结果是3m（x﹣2y）．【分析】直接提取公因式3m，进而分解因式即可．【解答】解：3mx﹣6my＝3m（x﹣2y）．故答案为：3m（x﹣2y）．3．（2018秋•松江区校级月考）分解因式：3x2yz+15xz2﹣9xy2z＝3xz（xy+5z﹣3y2）．【分析】直接找出公因式3xz，进而提取3xz分解因式得出答案．【解答】解：3x2yz+15xz2﹣9xy2z＝3xz（xy+5z﹣3y2）．故答案为：3xz（xy+5z﹣3y2）．4．（2018秋•闵行区期末）因式分解：9a2﹣12a+4＝（3a﹣2）2．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：9a2﹣12a+4＝（3a﹣2）2．5．（2018秋•昆明期末）因式分解：1﹣4a2＝（1﹣2a）（1+2a）．【分析】直接利用平方差分解因式进而得出答案．【解答】解：1﹣4a2＝（1﹣2a）（1+2a）．故答案为：（1﹣2a）（1+2a）．6．（2018秋•如皋市期中）把a2﹣16分解因式，结果为（a+4）（a﹣4）．【分析】利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a2﹣16＝（a+4）（a﹣4）．故答案是：（a+4）（a﹣4）．7．（2017秋•雨花区校级期末）因式分解：（a+b）2﹣64＝（a+b﹣8）（a+b+8）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：（a+b）2﹣64＝（a+b﹣8）（a+b+8）．故答案为：（a+b﹣8）（a+b+8）．8．（2018•义乌市模拟）多项式x2+1加上一个单项式后，可以分解因式，那么加上的单项式可以是2x或﹣2x（只需填写二个）．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：多项式x2+1加上一个单项式后，可以分解因式，加上的单项式可以是：±2x，则x2±2x+1＝（x±1）2．故答案为：2x或﹣2x．9．（2018•沈河区二模）分解因式：x4﹣2x2y2+y4＝（x+y）2（x﹣y）2．【分析】直接利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：x4﹣2x2y2+y4＝（x2﹣y2）2＝（x+y）2（x﹣y）2．故答案为：（x+y）2（x﹣y）2．10．（2018•苏州）若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为12．【分析】对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝1，∴（a+1）2﹣（b﹣1）2＝（a+1+b﹣1）（a+1﹣b+1）＝（a+b）（a﹣b+2）＝4×（1+2）＝12．故答案是：12．11．（2018•株洲）因式分解：a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣2）（a+2）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝（a﹣b）（a2﹣4）＝（a﹣b）（a﹣2）（a+2），故答案为：（a﹣b）（a﹣2）（a+2）．12．（2018•井研县模拟）分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2＝3（x+y）（x﹣y）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（y+2x+x+2y）（y+2x﹣x﹣2y）＝3（x+y）（x﹣y），故答案为：3（x+y）（x﹣y）13．（2017秋•新津县期末）若2a＝3b﹣1，则4a2﹣12ab+9b2﹣1的值为0．【分析】把式子4a2﹣12ab+9b2﹣1运用完全平方公式整理，整体代入求得数值即可．【解答】解：∵2a＝3b﹣1，∴2a﹣3b＝﹣1，∴4a2﹣12ab+9b2﹣1＝（2a﹣3b）2﹣1＝（﹣1）2﹣1＝0．故答案是：0．14．（2018秋•宁城县期末）因式分解：4x2y﹣9y3＝y（2x+3y）（2x﹣3y）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝y（4x2﹣9y2）＝y（2x+3y）（2x﹣3y），故答案为：y（2x+3y）（2x﹣3y）15．（2018秋•松北区期末）代数式a2b﹣2ab+b分解因式为b（a﹣1）2．【分析】先提取公因式b，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．【解答】解：a2b﹣2ab+b＝b（a2﹣2a+1）＝b（a﹣1）2．故答案为：b（a﹣1）2．16．（2018秋•鸡东县期末）分解因式：4m2﹣16n2＝4（m+2n）（m﹣2n）．【分析】原式提取4后，利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝4（m+2n）（m﹣2n）．故答案为：4（m+2n）（m﹣2n）17．（2018•武威模拟）分解因式：﹣3x2+6x﹣3＝﹣3（x﹣1）2．【分析】直接提取公因式﹣3，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：﹣3x2+6x﹣3＝﹣3（x2﹣2x+1）＝﹣3（x﹣1）2．故答案为：﹣3（x﹣1）2．18．（2018•祁县模拟）因式分解：3x2﹣18xy+27y2＝3（x﹣3y）2．【分析】直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：3x2﹣18xy+27y2＝3（x2﹣6xy+9y2）＝3（x﹣3y）2．故答案为：3（x﹣3y）2．19．（2018•葫芦岛一模）分解因式：a2b﹣8ab+16b＝b（a﹣4）2．．【分析】先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解．【解答】解：a2b﹣8ab+16b＝b（a2﹣8a+16）＝b（a﹣4）2．20．（2018春•宿豫区期末）已知xy＝，x+y＝5，则2x3y+4x2y2+2xy3＝﹣25．【分析】因式分解后，整体代入计算即可；【解答】解：2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）2，∵xy＝，x+y＝5，∴原式＝﹣25．故答案为﹣25．21．（2017秋•宜春期末）计算50×1252﹣50×252的结果是750000．【分析】直接提取公因式50，再利用平方差公式分解因式进而得出答案．【解答】解：原式＝50×（125+25）×（125﹣25）＝50×150×100＝750000．故答案为：750000．22．（2018春•郯城县期中）分解因式：a2+2ab+b2﹣4＝（a+b+2）（a+b﹣2）．【分析】前三项利用完全平方公式分解，再进一步利用平方差公式分解可得．【解答】解：原式＝（a+b）2﹣22＝（a+b+2）（a+b﹣2），故答案为：（a+b+2）（a+b﹣2）．23．（2017秋•松滋市期末）y2﹣x2﹣x+y分解因式：（y﹣x）（y+x+1）．【分析】将y2﹣x2、﹣x+y各为一组，利用平方差公式分解后，再提取公因式y﹣x可得．【解答】解：原式＝（y+x）（y﹣x）+（y﹣x）＝（y﹣x）（y+x+1），故答案为：（y﹣x）（y+x+1）．24．（2018秋•靖远县期末）如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，那么这个三角形一定是直角三角形．【分析】已知等式变形后，利用非负数的性质求出a，b及c的值，即可对于三角形形状进行判断．【解答】解：∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∵32+42＝52，∴三角形为直角三角形．故答案是：直角三角形．25．（2017秋•昌江区校级期末）若ab+bc+ca＝﹣3，且a+b+c＝0，则a4+b4+c4＝18．【分析】由a+b+c＝0，利用平方公式结合ab+bc+ca＝﹣3可得出a2+b2+c2＝6，由ab+bc+ca＝﹣3，利用平方公式结合a+b+c＝0可得出a2b2+b2c2+c2a2＝9，再由a2+b2+c2＝6，利用平方公式结合a2b2+b2c2+c2a2＝9即可求出a4+b4+c4＝18，此题得解．【解答】解：a+b+c＝0，两边平方得：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝0，∵ab+bc+ca＝﹣3，∴a2+b2+c2+2×（﹣3）＝0，∴a2+b2+c2＝6．ab+bc+ca＝﹣3，两边平方得：a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+2abc2+2a2bc＝9，即a2b2+b2c2+c2a2+2abc（a+b+c）＝9，∴a2b2+b2c2+c2a2＝9．a2+b2+c2＝6，两边平方得：a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2＝36，∴a4+b4+c4＝36﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）＝18．故答案为：18．26．（2018春•高密市期末）已知a﹣b＝3，a+c＝﹣4，则代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为﹣12．【分析】先利用分组分解的方法把ac﹣bc+a2﹣ab因式分解为（a﹣b）（c+a），再利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵ac﹣bc+a2﹣ab＝c（a﹣b）+a（a﹣b）＝（a﹣b）（c+a），∵a﹣b＝3，a+c＝﹣4，∴ac﹣bc+a2﹣ab＝3×（﹣4）＝﹣12；故答案为：﹣12．27．（2018秋•金牛区校级月考）若3x3﹣x＝1，则9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001＝2005．【分析】利用提公因式法将多项式分解为3x（3x3﹣x）+4（3x3﹣x）﹣3x+2001，将3x3﹣x＝1代入可求其值．【解答】解：∵9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001＝3x（3x3﹣x）+4（3x3﹣x）﹣3x+2001，且3x3﹣x＝1，∴9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001＝3x+4﹣3x+2001＝2005故答案为200528．（2018秋•汉阳区校级期中）已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2018＝2019．【分析】将已知条件变形为a2＝1﹣a、a2+a＝1，然后将代数式a3+2a2+2018进一步变形进行求解．【解答】解：∵a2+a﹣1＝0，∴a2＝1﹣a、a2+a＝1，∴a3+2a2+3，＝a•a2+2（1﹣a）+2018，＝a（1﹣a）+2﹣2a+2020，＝a﹣a2﹣2a+2020，＝﹣a2﹣a+2020，＝﹣（a2+a）+2020，＝﹣1+2020，＝2019．故答案为：2019．29．（2018秋•文登区期中）已知a，b，c为三角形ABC的三边，且a4﹣b4＝c2（a2+b2），则三角形ABC为直角三角形【分析】首先将等式的左边利用公式法因式分解，然后移项后提取公因式，根据乘积为0的条件确定三边的关系，从而可以确定三角形的形状．【解答】解：等式左边因式分解得：（a2﹣b2）（a2+b2）＝c2（a2+b2），移项得：（a2﹣b2）（a2+b2）﹣c2（a2+b2）＝0，所以三角形是直角三角形，提取公因式得：（a2+b2）（a2﹣b2﹣c2）＝0，得：a2+b2＝0或（a2﹣b2﹣c2）＝0，所以，a2＝b2+c2所以三角形是直角三角形，故答案为：直角．30．（2018春•雨城区校级期中）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足等式3（a2+b2+c2）＝（a+b+c）2，则该三角形是等边三角形．【分析】根据题目中的式子进行变形，然后因式分解，由非负数的性质可以求得a、b、c之间的关系，从而可以判断△ABC的形状，本题得以解决．【解答】解：∵3（a2+b2+c2）＝（a+b+c）2，∴3a2+3b2+3c2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0∴a﹣b＝0，a﹣c＝0，b﹣c＝0，解得，a＝b，a＝c，b＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形，故答案为：等边．31．（2018春•宿豫区期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足a2﹣6a+b2﹣4b+13＝0，c为奇数，则△ABC的周长为8．【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．【解答】∵a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣6b+9）＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0，∴a＝2，b＝3，∴边长c的范围为1＜c＜5．∵边长c的值为奇数，∴c＝3，∴△ABC的周长为2+3+3＝8．故答案为：8．32．（2018•建湖县二模）若a+b＝﹣5，ab＝6，则a2b+ab2的值为﹣30．【分析】根据因式分解得出a2b+ab2＝ab（a+b），进而解答即可．【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝6，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝6×（﹣5）＝﹣30，故答案为：﹣3033．（2018春•常州期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则m2n+mn2的值为48．【分析】根据长方形周长与面积公式求出mn与m+n的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值．【解答】解：∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，∴2（m+n）＝16，mn＝6，即m+n＝8，mn＝6，则原式＝mn（m+n）＝48，故答案为：48。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了完全平方公式的推导、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对完全平方公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式（教案）
一、教学内容
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3节，主要围绕完全平方公式展开教学。本节课内容如下：
1.探索完全平方公式的推导过程，掌握完全平方公式：（a±b）^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
2.学会运用完全平方公式分解因式，解决实际问题。
其次，对于完全平方公式的应用，我发现学生们在解决具体问题时，有时会忽略符号的判断。在讲解过程中，我特别强调了“同号得正，异号得负”的规律，并通过大量练习帮助学生加深记忆。但在实际操作中，仍有个别学生会出现错误。为此，我考虑在今后的教学中，增加一些关于符号判断的专项训练，以提高学生们的准确率。
此外，在学生小组讨论环节，我发现学生们能够积极参与，主动提出自己的观点和想法。但在讨论过程中，部分学生可能会偏离主题，讨论一些与完全平方公式无关的内容。为了提高讨论效率，我计划在今后的教学中，明确讨论主题，并在讨论过程中适时引导，确保学生们围绕主题展开讨论。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式的推导和运用这两个重点。对于难点部分，如符号判断，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与完全平方公式相关的实际问题。
北师大八年级数学下册教案：第4章 因式分解
北师大八年级数学下册教案：第4章因式分解4．1因式分解1．理解并掌握因式分解的概念；2．理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够运用其解决问题．(难点)一、情境导入某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma＋mb)元．”小华说：“总共需要m(a＋b)元．”同学们，你们觉得他们计算出的总金额一样吗？二、合作探究探究点一：因式分解的概念下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选B.方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．探究点二：因式分解与整式乘法的关系及简单应用已知三次四项式2x3－5x2－6x＋k分解因式后有一个因式是x－3，试求k的值及另一个因式．解析：此题可设此三次四项式的另一个因式为(2x2－mx－k3)，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k的值．解：设另一个因式为2x2－mx－k3，∴(x－3)(2x2－mx－k3)＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－mx2－k3x－6x2＋3mx＋k＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－(m＋6)x2－(k3－3m)x＋k＝2x3－5x2－6x＋k，∴m＋6＝5，k3－3m＝6，解得m＝－1，k＝9，∴k＝9，∴另一个因式为2x2＋x－3.方法总结：因为整式的乘法和分解因式互为逆运算，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式．三、板书设计1．因式分解的概念把一个多项式转化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．2．因式分解与整式乘法的关系因式分解是整式乘法的逆运算．本课是通过对比整式乘法的学习，引导学生探究因式分解和整式乘法的联系，通过对比学习加深对新知识的理解．教学时采用新课探究的形式，鼓励学生参与到课堂教学中，以兴趣带动学习，提高课堂学习效率.4．2提公因式法第1课时直接提公因式因式分解1．理解公因式的概念，能熟练确定多项式各项的公因式；2．掌握用直接提公因式法分解因式的基本方法．(重点)一、情境导入小华家买了一套新房，装修时打算在三室两厅的地面上贴相同规格的地板砖，为此小华的父亲要求小华测算出三室两厅的地面总面积．小华发现三室两厅的地面宽度相同，都是a 米，大厅长度为c米，三室长度均为d米，其中a＝3.6，b＝5.6，c＝2.8，d＝4.2，那么怎样计算总面积比较简便呢？二、合作探究探究点一：确定公因式多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是()A．abc B．3a2b2C．3a2b2c D．3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D.方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．探究点二：用提公因式法进行因式分解(一)【类型一】用提公因式法因式分解因式分解：(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)；(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．【类型二】用因式分解简化运算计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14.解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可．解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14＝20.15×(29＋72＋13－14)＝2015.方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．三、板书设计1．公因式多项式各项都含有的相同因式叫这个多项式各项的公因式．2．提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种因式分解的方法叫做提公因式法．本节中要给学生留出自主学习的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果.第2课时变形后提公因式因式分解1．进一步理解因式分解的意义和公因式的意义；2．熟练运用提公因式法分解因式．(重点)一、情境导入下面的多项式有公因式吗？如果有，怎样因式分解呢？(1)a(2－x)＋b(2－x)－c(x－2)；(2)a(m－n)2＋b(n－m)2；(3)a(a－b)3－(b－a)3.二、合作探究探究点：用提公因式法进行因式分解(二)【类型一】利用因式分解整体代换求值已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．解析：原式提取公因式变形后，将a＋b与ab的值代入计算即可求出值．解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．【类型二】因式分解与三角形知识的综合△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．解析：对已知条件进行化简后得到a＝c，根据等腰三角形的概念即可判定．解：整理a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab－c－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，∴a－c＝0或1＋2b＝0，即a＝c或b＝－12(舍去)，∴△ABC是等腰三角形．方法总结：通过提公因式分解因式，找出三边的关系来判定三角形的形状．【类型三】运用因式分解探究规律阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.(1)上述因式分解的方法是____________，共应用了______次；(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，则需应用上述方法______次，结果是____________；(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．解析：(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案；(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案．解：(1)因式分解的方法是提公因式法，共应用了3次；(2)分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，需应用上述方法2016次，结果是(1＋x)2015；(3)1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n＝(1＋x)n＋1.方法总结：解决此类问题需要认真阅读，理解题意，根据已知得出分解因式的规律是解题关键．三、板书设计1．提公因式分解因式的一般步骤：(1)观察；(2)适当变形；(3)确定公因式；(4)提取公因式．2．提公因式法因式分解的应用本课时是在上一课时的基础上进行的拓展延伸，在教学时要给学生足够主动权和思考空间，突出学生在课堂上的主体地位，引导和鼓励学生自主探究，在培养学生创新能力的同时提高学生的逻辑思维能力.4．3公式法第1课时平方差公式1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．2．你能将a 2－b 2分解因式吗？你是如何思考的？二、合作探究探究点一：用平方差公式因式分解【类型一】判定能否利用平方差公式分解因式下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A ．a 2＋(－b )2B ．5m 2－20mnC ．－x 2－y 2D ．－x 2＋9解析：A 中a 2＋(－b )2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B 中5m 2－20mn 两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C 中－x 2－y 2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D 中－x 2＋9＝－x 2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【类型二】利用平方差公式分解因式分解因式：(1)a 4－116b 4；(2)x 3y 2－xy 4.解析：(1)a 4－116b 4可以写成(a 2)2－(14b 2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一个因式a 2－14b 2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x 3y 2－xy 4有公因式xy 2，应先提公因式再进一步分解因式．解：(1)原式＝(a 2＋14b 2)(a 2－14b 2)＝(a 2＋14b 2)(a －12b )(a ＋12b )；(2)原式＝xy 2(x 2－y 2)＝xy 2(x ＋y )(x －y )．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．【类型三】利用因式分解整体代换求值已知x 2－y 2＝－1，x ＋y ＝12，求x －y 的值．解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x ＋y 的值代入计算即可求出x －y 的值．解：∵x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝－1，x ＋y ＝12，∴x －y ＝－2.方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．探究点二：用平方差公式因式分解的应用【类型一】利用因式分解解决整除问题248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．【类型二】利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算：(1)1012－992；(2)5722×14－4282×14.解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36000.方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．【类型三】因式分解的实际应用如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm ，向里依次为99cm ，98cm ，…，1cm ，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(32－22)平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＋1＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、板书设计1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底.第2课时完全平方公式1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．分解因式：(1)x2－4y2；(2)3x2－3y2；(3)x4－1；(4)(x＋3y)2－(x－3y)2；2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab ＋b2”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点一：用完全平方公式因式分解【类型一】判定能否利用完全平方公式分解因式下列多项式能用完全平方公式分解因式的有()(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋12－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.4；(3)9aA．1个B．2个C．3个D．4个解析：(1)a 2＋ab ＋b 2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a 2－a ＋14＝(a －12)2；(3)9a 2－24ab ＋4b 2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a 2＋8a －16＝－(a 2－8a ＋16)＝－(a －4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．【类型二】运用完全平方公式分解因式因式分解：(1)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2；(2)(a 2＋4)2－16a 2.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a 2，再把另一个因式(x 2－8x ＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．解：(1)原式＝－3a 2(x 2－8x ＋16)＝－3a 2(x －4)2；(2)原式＝(a 2＋4)2－(4a )2＝(a 2＋4＋4a )(a 2＋4－4a )＝(a ＋2)2(a －2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．探究点二：用完全平方公式因式分解的应用【类型一】运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解析：利用完全平方公式转化为(a ±b )2的形式后计算即可．解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．【类型二】利用因式分解判定三角形的形状已知a ，b ，c 分别是△ABC 三边的长，且a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．解：由a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，得a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＝0，即(a －b )2＋(b －c )2＝0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．【类型三】整体代入求值已知a ＋b ＝5，ab ＝10，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．解析：将12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3分解为12ab 与(a ＋b )2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．解：12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab (a ＋b )2.当a ＋b ＝5，ab ＝10时，原式＝12×10×52＝125.方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．三、板书设计1．完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.2．完全平方公式的特点：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；(2)有两个同号的平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领.。