高考数学直线与圆的位置关系
2025高考数学一轮复习-2.2-直线与圆的位置关系【课件】
【例 2】 (1)已知直线 l：ax＋by－3＝0 与圆 M：x2＋y2＋4x－1 ＝0 相切于点 P(－1，2)，则直线 l 的方程为________．
(2)过点 A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 的切线，求此切线方程． [思路探究] (1)利用 MP⊥l，同时点 P 在直线 l 上． (2)先确定点 A 在圆外，利用 d＝r 求切线方程．
第2章 圆与方程
2.2 直线与圆的位置关系
必备知识·情境导学探新知
知识点
“大漠孤烟直，长河落日圆”，这 是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏 日落时分塞外特有的景象．如果我们把 太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图 片．
图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直 线与圆有几种位置关系？
[解] 法一：将直线 mx－y－m－1＝0 代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴(1)当 Δ>0 时，即 m>0 或 m<－43时，直线与圆相交，即直线与 圆有两个公共点；
(2)当 Δ＝0 时，即 m＝0 或 m＝－43时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点；
与圆 C 相交．]
类型 2 直线与圆相切问题 [探究问题] 1．怎样判断直线与圆相切？ [提示] 一般采用几何法，即圆心到直线的距离等于半径． 2．当点(x0，y0)在圆外时，过该点的直线与圆相切有几条？当设 点斜式只求出一个解时怎么办？ [提示] 有两条．虽设点斜式但要分斜率存在与不存在两种情况， 当只求出一个解时，另一条一定是 x＝x0.
d＞__r
d＝__r
d＜__r
方程组 方程组 方程组有两 _无__解_ 仅__有__一__组__解__ 组不同解
2025高考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( × ) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线
与圆相切.( √ ) (4)在圆中最长的弦是直径.( √ )
则圆心(－1,3)到直线 l 的距离 d＝|－k－1＋3＋k2 1|＝1， 解得 k＝－34， 此时直线l的方程为3x＋4y－4＝0，
综上，所求直线的方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.
常用结论
1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在 直线方程为x0x＋y0y＝r2.
常用结论
2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到. (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 交 点 的 圆 系 方 程 为 x2 ＋ y2 ＋ D1x ＋ E1y ＋ F1 ＋ λ(x2 ＋ y2 ＋ D2x ＋ E2y ＋ F2) ＝ 0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解).
8x－6y＋16＝0的位置关系是
√A.外切
B.相交
C.外离
D.内切
圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1＝2， 圆C2可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9， ∴圆心C2(4,3)，半径r2＝3， ∴|C1C2|＝ 4－02＋3－02＝5＝r1＋r2，故两圆外切.
高考数学直线与圆归纳总结
高考数学直线与圆归纳总结直线与圆是高中数学中重要的几何概念。
在高考数学中，直线与圆的相关知识点常常出现，并且在解决几何问题时扮演着重要的角色。
下面将对高考数学中涉及直线与圆的知识进行归纳总结。
一、直线与圆的位置关系1. 直线和圆可能有三种位置关系：相离、相切和相交。
a. 如果直线和圆没有交点，则称直线和圆相离。
b. 如果直线与圆有且仅有一个交点，则称直线与圆相切。
c. 如果直线与圆有两个交点，则称直线与圆相交。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：a. 判断直线与圆相离：计算直线到圆心的距离是否大于圆的半径。
b. 判断直线与圆相切：计算直线到圆心的距离等于圆的半径。
c. 判断直线与圆相交：计算直线到圆心的距离小于圆的半径。
二、直线与圆的方程1. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0。
直线的一般方程表示直线上的所有点 (x, y)，满足方程左侧等式。
2. 圆的标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。
圆的标准方程表示平面上距离圆心 (a, b) 距离为半径 r 的点 (x, y)。
3. 直线与圆的方程应用：a. 直线与圆的相交问题可以通过联立直线和圆的方程求解。
b. 直线与圆的相切问题可以通过判断直线方程是否与圆方程有且仅有一个交点来确定。
三、直线与圆的性质1. 切线与半径的关系：切线与半径的夹角是直角，即切线垂直于半径。
2. 切线的性质：a. 切点：切线与圆的交点称为切点。
b. 切线长度：切点到圆心的距离等于半径的长度。
c. 外切线：若直线与圆内切于一点，则这条直线称为外切线。
d. 内切线：若直线切圆于两个相交点，则这条直线称为内切线。
3. 弦的性质：弦是圆上的两个点之间的线段。
弦的性质有：a. 弦长：弦长等于圆心到弦的距离的两倍。
b. 直径：直径是通过圆心的弦。
直径等于半径的两倍。
四、圆的位置关系1. 同心圆：具有共同圆心的多个圆称为同心圆。
2. 内切圆与外接圆：如果一个圆与另一个圆有且仅有一个切点，则这两个圆称为内切圆与外接圆。
高考数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方 程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆 外时，切线有两条.
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编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质 进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算 量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长 的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成 一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.
高考数学复习点拨 例谈直线与圆的位置关系
例谈直线与圆的位置关系一、知识清点1．点与圆的位置关系设点到圆：222()()x a y b r -+-=的圆心(,)C a b 的距离为，则d r >⇔点在圆外；d r =⇔点在圆上；d r <⇔点在圆内。
2．直线与圆的位置关系一般地，直线与圆的位置关系的判定有两种情形：（1）代数法判断直线0Ax By C ++=和圆220x y Dx Ey F ++++=的位置关系，我们可将2200Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩消去（或），得20mx nx p ++=（或20my ny p ++=）。
当0∆>时，直线与圆相交，有两个公共点；当0∆=时，直线与圆相切，有一个公共点；当0∆<时，直线与圆相离，无公共点。
（2）几何法判断直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b r -+-=的位置关系，我们也可用圆心到直线的距离d =当时，直线与圆相交，有两个公共点；当时，直线与圆相切，有一个公共点；当时，直线与圆相离，无公共点。
二、范例剖析例 1 已知圆：22(1)(2)25x y -+-=，直线：(21)(1)740m x m y m +++--=（m R ∈）。
（1）证明直线与圆相交；（2）求直线被圆截得的弦长最小时直线的方程。
证明：（1）将的方程整理为(4)(27)0x y m x y +-++-=，由40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩， ∴直线过定点(3,1)A 。
∵22(31)(12)525-+-=<，∴点在圆的内部，∴直线恒与圆有两个交点。
（2）圆心(1,2)O ，当截得的弦长最小时，l OA ⊥，由12AO k =-得的方程为12(3)y x -=-， ∴所求直线的方程为250x y --=。
评注：该例的常规解法是联立两个方程，证明方程组恒有解或圆心到直线的距离小于半径，但计算过程太复杂。
年高考第一轮复习数学：直线与圆的位置关系
直线与圆的地点关系●知识梳理 直线和圆1.直线和圆地点关系的判断方法一是方程的看法，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用鉴别式 来议论地点关系 .① ＞0，直线和圆订交 . ② =0，直线和圆相切 . ③＜0，直线和圆相离 .方法二是几何的看法，即把圆心到直线的距离 d 和半径 R 的大小加以比较 .① d ＜R ，直线和圆订交 . ② d=R ，直线和圆相切 . ③ d ＞R ，直线和圆相离 .2.直线和圆相切，这种问题主假如求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种状况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种状况.3.直线和圆订交，这种问题主假如求弦长以及弦的中点问题 .●点击双基1.（ 2005 年北京海淀区期末练习题）设m>0，则直线2 22（ x+y ） +1+m=0 与圆 x +y =m的地点关系为A. 相切B. 订交C.相切或相离D. 订交或相切解读：圆心到直线的距离为d=1m，圆半径为m .2∵ d － r =1 m－ m = 1（m － 2 m +1） = 1（ m － 1） 2≥ 0，222∴直线与圆的地点关系是相切或相离 .答案： C2.圆 x 2＋ y 2－ 4x+4y+6=0 截直线 x － y － 5=0 所得的弦长等于A. 6B. 5 22解读：圆心到直线的距离为2，半径为 2 ，弦长为 2( 2)2( 2)2= 6.22答案： A3.（ 2004 年全国卷Ⅲ， 4）圆 x 2+y 2－4x=0 在点 P （ 1， 3）处的切线方程为A. x+ 3 y － 2=0B. x+ 3 y － 4=0－3 y+4=0D. x －3 y+2=0解法一：x 2+y 2－ 4x=0y=kx － k+3x 2－ 4x+（ kx － k+3 ）2 =0.该二次方程应有两相等实根，即=0，解得 k=3.3∴ y － 3 =3（ x － 1），即 x － 3 y+2=0.3解法二：∵点（ 1，3 ）在圆 x 2 +y 2－ 4x=0 上，∴点 P 为切点，进而圆心与 P 的连线应与切线垂直 .又∵圆心为（2， 0），∴3· k=－1.2 1解得 k=3，∴切线方程为 x － 3 y+2=0.3答案： D4.（ 2004 年上海，理 8）圆心在直线 2x － y － 7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点A （0，－4）、 B （0，－ 2），则圆 C 的方程为 ____________.解读：∵圆 C 与 y 轴交于 A （ 0，－ 4）， B （ 0，－ 2），∴由垂径定理得圆心在 y=－ 3 这条直线上 .又已知圆心在直线2x － y －7=0 上，y=－3，解 得 ∴联立2x － y －7=0.∴圆心为（ 2，－ 3），半径 r =|AC |=2 2 [3 ( 4)] 2 = 5 .∴所求圆 C 的方程为（ x －2） 2+（ y+3 ）2=5. 答案：（ x － 2） 2+（ y+3） 2=55.若直线 y=x+k 与曲线 x= 1 y 2 恰有一个公共点，则 k 的取值范围是 ___________.解读：利用数形联合 .答案：－ 1＜ k ≤ 1 或 k=－2●典例解析【例 1】 已知圆 x 2+y 2+x －6y+m=0 和直线 x+2y － 3=0 交于 P 、 Q 两点，且 OP ⊥ OQ （O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解析：因为 OP ⊥ OQ ，所以 k OP · k OQ =－ 1，问题可解 .222解：将 x=3－ 2y 代入方程 x +y +x － 6y+m=0，得 5y － 20y+12+m=0.12 my 1+y 2=4， y 1y 2=.5∵ OP ⊥ OQ ，∴ x 1x 2+y 1 y 2=0.而 x1=3－ 2y1，x2 =3－ 2y2，∴x1x2=9 － 6（ y1+y2） +4y1y2.∴ m=3，此时＞0，圆心坐标为（－1，3），半径r =5. 22评论：在解答中，我们采纳了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但一定注意这样的交点能否存在，这可由鉴别式大于零帮助考虑.【例 2】求经过两圆（x+3）2+y2=13 和 x2+（ y+3）2=37 的交点，且圆心在直线x－ y－4=0 上的圆的方程.解析：依据已知，可经过解方程组（x+3）2+y2=13 ，22得圆上两点，x +（ y+3） =37由圆心在直线x－y－ 4=0 上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可依据已知，设所求圆的方程为（x+3）2 +y2－ 13+ λ［ x2+（ y+3）2－ 37］ =0，再由圆心在直线 x－ y－ 4=0 上，定出参数λ，得圆方程 .解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13 和 x2+（y+3）2=37 的交点，所以设所求圆的方程为（x+3）2+y2－ 13+ λ［ x2+（ y+3 ）2－ 37］ =0.睁开、配方、整理，得（x+3）2 +（y+3）2=4 28+ 9(12 ) .111(1) 2圆心为（－3，－3），代入方程x－ y－4=0 ，得λ=－ 7.11故所求圆的方程为（x+1）2+（ y+7）2=89. 222评论：圆 C1： x2+y2+D 1x+E1y+F1=0，圆 C2： x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆 C1、 C2订交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D 1x+E1y+F1） +λ（ x2+y2+D2x+E2y+F2） =0 （λ ∈R 且λ ≠－1）.它表示除圆C2之外的全部经过两圆C1、 C2公共点的圆 .特别提示在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－ 1，可得两圆公共弦所在的直线方程.【例 3】已知圆C：（ x－1）2＋（ y－ 2）2＝ 25，直线l：（ 2m+1） x+（ m+1） y－7m －4=0 （ m∈R） .（1）证明：无论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；（ 2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时l 的方程 .解析：直线过定点，而该定点在圆内，本题即可解得.（1）证明： l 的方程（ x+y－ 4） +m（ 2x+y－ 7） =0.2x+y－ 7=0 ， x=3，∵ m∈R，∴得x+y－4=0 ， y=1，即 l 恒过定点 A（ 3，1） .∵圆心 C（ 1，2），｜ AC｜＝ 5 ＜5（半径），∴点 A 在圆 C 内，进而直线l 恒与圆 C 订交于两点 .（2）解：弦长最小时， l⊥ AC，由 k AC＝－1，2∴l 的方程为 2x－ y－ 5=0.评论：若定点 A 在圆外，要使直线与圆订交则需要什么条件呢？思虑议论求直线过定点，你还有其他方法吗？●闯关训练夯实基础1.若圆（ x－ 3）2＋（ y+5 ）2＝ r 2上有且只有两个点到直线 4x－ 3y=2 的距离等于 1，则半径 r 的范围是A. （4， 6）B.［4， 6）C.（ 4，6］D.［ 4， 6］解读：数形联合法解.答案： A2.（ 2003 年春天北京）已知直线ax+by+c=0（ abc≠0）与圆 x2+y2=1 相切，则三条边长分别为｜ a｜、｜ b｜、｜ c｜的三角形A. 是锐角三角形B. 是直角三角形C.是钝角三角形D. 不存在解读：由题意得| a 0 b0c |=1，即 c2 =a2+b2，∴由｜ a｜、｜ b｜、｜ c｜组成的三a 2b2角形为直角三角形 .答案： B3.（ 2005 年春天北京， 11）若圆 x2+y2+mx－1=0 与直线 y=－ 1 相切，且其圆心在y 轴4的左边，则 m 的值为 ____________.解读：圆方程配方得（ x+ m）2+y2=m2 1，圆心为（－m，0） . 242由条件知－m<0，即 m>0. 2又圆与直线 y=－1 相切，则0－（－ 1） =m 2124，即 m =3，∴ m= 3 .答案：34.（ 2004年福建， 13）直线x+2y=0 被曲线 x2+y2－ 6x－ 2y－ 15=0 所截得的弦长等于____________.解读：由 x2+y2－ 6x－ 2y－15=0 ，得（ x－ 3）2+（ y－ 1）2=25.知圆心为（ 3， 1）， r=5.由点（ 3， 1）到直线 x+2y=0 的距离 d= |32 | = 5 .5可得1弦长为 2 5 ，弦长为4 5 . 2答案： 455.自点 A（－ 3，3）发出的光芒l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光芒所在的直线与圆 x2＋y2－ 4x－ 4y＋ 7＝ 0 相切，求光芒 l 所在直线的方程 .解：圆（ x － 2） 2＋（ y － 2） 2＝ 1 对于 x 轴的对称方程是（ x － 2） 2＋（ y ＋ 2） 2＝ 1.设 l 方程为 y － 3＝ k （ x ＋3），因为对称圆心（ 2，－ 2）到 l 距离为圆的半径1，进而可得 k 1＝－ 3 ， k 2＝－ 4．故所求 l 的方程是 3x ＋ 4y － 3＝ 0 或 4x ＋ 3y ＋ 3＝0.436.已知 M （ x 0， y 0）是圆 x 2+y 2=r 2（ r >0）内异于圆心的一点，则直线 x 0x+y 0y=r 2 与此圆有何种地点关系 ?解析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解：圆心 O （0， 0）到直线 x 0x+y 0y=r 2 的距离为 d=r 2 .x 02 y 02∵ P （ x 0， y 0）在圆内，∴ 22x 0 y 0 <r .则有 d>r ，故直线和圆相离 . 培育能力7.方程 ax 2+ay 2－ 4（a － 1） x+4y=0 表示圆，求 a 的取值范围，并求出此中半径最小的圆的方程 .解：（ 1）∵ a ≠0 时，方程为［ x －2(a1) ］2 +（ y+ 2 ） 2 = 4( a 2 2a 2) ，a a a 2因为 a 2－2a+2 ＞ 0 恒建立， ∴ a ≠0 且 a ∈ R 时方程表示圆 .（ 2） r 2=4 · a22a2=4［2( 1－ 1)2+1］，a 2a 2 2∴ a=2 时， r min 2=2.此时圆的方程为（ x － 1） 2+（ y － 1） 2=2.8.（文）求经过点A （－ 2，－ 4），且与直线 l ： x+3y － 26=0 相切于（ 8， 6）的圆的方程.解：设圆为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，依题意有方程组 3D － E=－ 36， 2D+4E －F=20， 8D+6E+F=－ 100. D=－ 11， ∴ E=3，F=－ 30.∴圆的方程为 x 2+y 2－ 11x+3y －30=0.（理）已知点 P 是圆 x 2+y 2=4 上一动点，定点 Q （ 4， 0） .（ 1）求线段 PQ 中点的轨迹方程；（ 2）设∠ POQ 的均分线交 PQ 于 R ，求 R 点的轨迹方程 .解：（ 1）设 PQ 中点 M （ x ， y ），则 P （ 2x － 4， 2y ），代入圆的方程得（x － 2）2+y 2=1.（ 2）设 R （ x ， y ），由| PR |= |OP|= 1 ，|RQ| |OQ | 2设 P （ m ，n ），则有3x4m=，n=3y，2代入 x 2+y 2=4 中，得 （ x － 4） 2+y 2=16（ y ≠ 0） .39研究创新9.已知点 P 到两个定点 M （－ 1， 0）、 N （ 1， 0）距离的比为 2，点 N 到直线 PM 的距离为 1，求直线 PN 的方程 .解：设点 P 的坐标为（ x ，y ），由题设有|PM |= 2，|PN |即 (x 1) 2y 2 = 2 · (x 1) 2y 2 ，整理得 x 2+y 2－6x+1=0.①因为点 N 到 PM 的距离为 1， |MN |=2，所以∠ PMN =30°，直线 PM 的斜率为±3.3直线 PM 的方程为 y=±3（ x+1） .3②将②代入①整理得x 2－ 4x+1=0.解得 x 1=2+ 3 ， x 2=2－ 3 .代入②得点 P 的坐标为（ 2+ 3 ，1+ 3 ）或（ 2－ 3，－1+ 3 ）；（ 2+ 3，－1－3 ）或（ 2－ 3，1－ 3）.直线 PN 的方程为 y=x － 1 或 y=－ x+1. ●思悟小结1.直线和圆的地点关系有且仅有三种：相离、相切、订交.判断方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数 .2.解决直线与圆的地点关系的相关问题，常常充足利用平面几何中圆的性质使问题简化.●教师下载中心 教学设计点睛1.相关直线和圆的地点关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确立.2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线组成的直角三角形；与圆订交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半组成的直角三角形.3.相关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确立点与圆、直线与圆、圆与圆的地点关系时，常常要用到距离，所以，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应娴熟掌握，灵巧运用.拓展题例【例 1 】已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，必定点为A（ 1， 2），要使过定点A （1， 2）作圆的切线有两条，求 a 的取值范围 .解：将圆的方程配方得（x+a）2+（ y+1）243a2C 的坐标为（－a，－2=4，圆心21），半径43a2r=4，条件是 4－ 3a2＞ 0，过点 A（ 1， 2）所作圆的切线有两条，则点 A 必在圆外，即(1a)2(21)2＞43a 2.242化简得 a +a+9 ＞ 0.4－3a2＞ 0，由a2 +a+9＞ 0，－2 3＜ a＜2 3，33解之得a∈R.∴－2 3＜a＜2 3. 33故 a 的取值范围是（－23，2 3）.33【例 2】已知⊙ O 方程为 x2+y2=4，定点 A（ 4， 0），求过点 A 且和⊙ O 相切的动圆圆心的轨迹 .解析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可获得动圆圆心在运动中所应知足的几何条件，而后将这个几何条件坐标化，即获得它的轨迹方程 .解法一：设动圆圆心为P（ x， y），因为动圆过定点 A，所以 |PA|即动圆半径 .当动圆 P 与⊙ O 外切时， |PO |=|PA|+2；当动圆 P 与⊙ O 内切时， |PO |=|PA|－2.综合这两种状况，得 ||PO|－ |PA||=2.将此关系式坐标化，得| x2y2－ ( x 4)2y2|=2.化简可得（ x－ 2）2－y2=1. 3解法二：由解法一可得动点P 知足几何关系||OP|－ |PA||=2，即 P 点到两定点 O、 A 的距离差的绝对值为定值2，所以P点轨迹是以O、A为焦点， 2为实轴长的双曲线，中心在OA 中点（ 2， 0），实半轴长=1，半焦距c =2，虚半轴长ab = c2a 2= 3 ，所以轨迹方程为（ x － 2） 2－ y 2=1.3。
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——直线与圆、圆与圆的位置关系
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，两圆圆心间的距离为d ，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离外切相交内切内含图形量的关系d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x M＋x N和x M·x N，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M·x N.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝3－m ，圆心为(1，2)，半径r ＝3－m (m <3).若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1，2)到直线l 的距离d ＝|3－m |2≤3－m ，解得1≤m <3. 因为{m |1≤m ≤2}{m |1≤m <3}，所以“1≤m ≤2”是“直线l ：x ＋y －m ＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l ：x －2y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，则CA →·CB →＝( ) A.165 B.－165 C.125 D.－125 答案 D解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－4y ＝0得标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，故可得圆心C (0，2)，半径r ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋6＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝185.不妨设A (－2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，185，则CA →＝(－2，0)，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85，所以CA →·CB →＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a .∵公共弦长为23， ∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.5.(易错题)若半径为r ，圆心为(0，1)的圆和定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切，则r 的值等于________. 答案2＋1或2－1解析 由题意，定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为A (1，2)，半径R ＝1，半径为r 的圆的圆心为B (0，1)， 所以|AB |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.因为两圆相切，所以|AB |＝|R －r |或|AB |＝|R ＋r |， 即|1－r |＝2或 |1＋r |＝2， 解得r ＝1±2或r ＝－1±2. 因为r >0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2.(2022·成都诊断)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定答案 A解析 法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交.法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.法三 易得直线l 过定点(1，1)， 把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<5， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.3.“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝2 2.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22， 弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2.感悟提升 弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B.πC.2πD.3π答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径r ＝2.直线的方程可化为x －1＋a (y －1)＝0，可知直线恒过点D (1，1). 因为点D (1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4， 所以点D (1，1)恒在圆C 内，且|CD |＝2，易知，当CD ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|CD |2＝2 2.此时，劣弧AB 对应的圆心角为π2，所以劣弧AB 对应的弧长为π2×2＝π. 考点三 圆的切线问题例2 (经典母题)过点P (2，4)引圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0， 即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.迁移1 在例2中，若点P 坐标变为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解 易知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，则k PC ＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，即x ＋y －2－2＝0.迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A ，B ，求切点弦AB 所在的直线方程.解 由题意得，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －4)(y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －5y ＋6＝0.①圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，② 由②－①得x ＋3y －5＝0，即为直线AB 的方程.感悟提升 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2 (1)过直线y ＝2x ＋3上的点作圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )A.19B.2 5C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P (2，3)作圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y ＝2x ＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y ＝2x ＋3的距离d ，d ＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d 2－r 2＝19.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心C (1，0)，半径为1，所以|PC |＝2，|P A |＝|PB |＝3，∠APB ＝60°， 所以P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 60°＝32. 考点四 圆与圆的位置关系例3 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为 (x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，故两圆的公共弦的长为2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案(1)B(2)D解析(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3.因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－m ，0)，B (m ，0).又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得（x ＋m ）2＋y 2＝λ（x －m ）2＋y 2， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2).当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3，2). 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3，圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |， 知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切，故1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2， 解得0≤a ≤125. 即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－22－1，22－1]解析设P(x，y)，则（x－1）2＋y2＝2·（x－3）2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝(22)2，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动. 另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(22)2有交点.所以|a＋1|≤2 2.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].1.(2022·兰州质检)“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l与圆相切，则有|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，所以“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.24.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是()A.x2＋y2＝1B.(x－4)2＋(y－5)2＝16C.x＋y＝1D.x－y＝2答案 B解析圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1的圆，此圆与圆O的圆心距为12＋12＝2<r＋r1＝2，所以两圆不相切，不符合题意.对于选项B，(x－4)2＋(y－5)2＝16表示的是圆心坐标为(4，5)，半径r2＝4的圆，此圆与圆O的圆心距为（4－1）2＋（5－1）2＝5＝r＋r2＝5，所以两圆相切.对于选项C，圆心(1，1)到直线x＋y＝1的距离为22<1，故直线x＋y＝1与圆O 相交.对于选项D，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为2>1，故直线x－y＝2与圆O 相离.5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14答案 B解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－12.6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B 两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A.3＋6或3－ 6B.3＋26或3－2 6C.9或－3D.8或－2答案 A解析由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝|0－3＋m|3＋1＝|m－3|2.因为∠ACB＝120°，所以|m－3|2×2＝6，解得m＝3±6.7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋（－2＋1）2＝ 5.8.(2021·长春模拟)已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0为圆， 所以k 2＋4－4k 2>0，解得－233<k <233.又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故1＋4＋k ＋4＋k 2>0，解得k ∈R ，综上可知－233<k <233.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，233. 9.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.答案 10 2解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5.由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.10.已知圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0，圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，且圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上.(1)求圆M 的方程；(2)证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l .(1)解 圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0的圆心为M (a ，－5a )，∵圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上，∴直线x ＋y ＋4＝0经过M ，则a －5a ＋4＝0，解得a ＝1.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0.(2)证明 ∵圆M 的圆心M (1，－5)，半径r 1＝52，圆N 的圆心N (－1，－1)，半径r 2＝10，∴|MN |＝（1＋1）2＋（－5＋1）2＝2 5.∵52－10<25<52＋10，∴圆M 和圆N 相交.由圆M ，圆N 的方程左右两边分别相减，得x －2y ＋4＝0，∴两圆公共弦的直线方程为x －2y ＋4＝0.∵M 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35， ∴公共弦长度l ＝2h 2－d 2＝2 5.11.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值，理由如下：过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7.根据圆的弦切角定理及相似三角形，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12.(2022·宝鸡模拟)过点P (x ，y )作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，切点分别为A ，B ，若|P A |＝|PB |，则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.8 答案 B解析 由(x 2＋y 2－1)－(x 2＋y 2－4x －4y ＋7)＝0得x ＋y －2＝0，则P 点在直线l ：x ＋y －2＝0上，原点到直线l 的距离d ＝2，所以(x 2＋y 2)min ＝d 2＝2.13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为________；P A →·PB →的最大值是________. 答案 12π 24＋16 3解析 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝3，∴（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝3，得x 2＋y 2－8x ＋4＝0，即(x －4)2＋y 2＝12，所以点P 的轨迹为圆，其面积为12π.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝|OP |2－4，如图，当P 位于点D 时，|OP |2最大，|OP |2的最大值为(4＋23)2＝28＋163， 故P A →·PB →的最大值是24＋16 3.14.(2021·北京海淀区模拟)已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|P A |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解 (1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m <3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|P A |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4； 令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝213，∴△MON内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。
高考数学直线与圆的位置关系
消去y得：
(1 + k2 )x2 -10k2 x + 25k2 -16 = 0（*）
消去k得： 当y=0时,k=0 此时x=0 而的圆的切线方程，首先必须判 断这点是否在圆上，若在圆上，则该点为切点.若在圆外， 一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解题较为简单. 切线应有两条，若求出的斜率只有一个，应找出过这一点 而与x轴垂直的另一条切线.
3.若方程
有解，则b的取值范围是_____
例题４
已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16 (1)自P作⊙O的切线，求切线的长及切线的方程; (2)过P任意作直线l与⊙O交于A、B两相异点， 求弦AB中点M的轨迹.
y
x
O
P(5,0)
Q
A
y
M(x ,y)
B
x
O
P(5,0)
例题1 已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16 (1)自P作⊙O的切线，求切线的长及切线的方程; (2)过P任意作直线l与⊙O交于A、B两相异点， 求弦AB中点M的轨迹.
3.在课前热身(3)中，判断两圆关系得到|O1O2|＜|r1+r2|， 未必相交，还可能内含，一定要追加|O1O2|＞|r1-r2|才行.
例1（1）过圆x2+y2=1上一点A(a ,b)的切线方程为 ___a_x_+_b_y_=_1___ (2):若点A(a ,b)在圆x2+y2=1内，则直线ax+by=1与 此圆的位置关系是__相_离____
4.在坐标平面上与点A(1, 2 )的距离为1 且与点B(3, 1 )的距离为2的直线共有 __2____条
直线与圆的位置关系 的判定方法：
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若的点A(a ,b)在圆x2+y2=1外，则直线ax+by=1与 此圆的位置关系是__相__交___
(4): (3)中直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交在什么位 置能确定吗？你研究过这个问题吗？
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6
(5)过圆Ｏ外一点Ａ（a,b）向圆x2+y2=1作切线 ＡＰ１，ＡＰ２，切点分别为Ｐ１，Ｐ２． 求Ｐ１Ｐ２所在的直线方程．
(C)相交
(D)内切
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2
3. 两 圆 (x-1)2+(y-2)2=1 和 (x-3)2+(y-1)2=4 的 位 置 关 系 是 ---------------------------------------------------（ C )
(A)相离
(B)外切
(C)相交 (D)内切
4.在坐标平面上与点A(1, 2 )的距离为1 且与点B(3, 1 )的距离为2的直线共有 __2____条
p2(x2,y2) y
A(a ,b)
x
O
P1(x1,y1)
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7
例2.从圆C：x2+y2-4x-6y+12=0外一点P向圆引切线PT，T为 切点，且|PT|=|PO|(O为原点)．
(1)求P点的轨迹方程
(2)求|PO|的最小值.
2X+ 3Y-6 =0
（2 , 3 )
A (x, y)
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8
变式：过直线２x+3y-6=0上一点
y
Ｐ（x,y）作圆（x-2)2+ （y-3）2=1的切
线PT,T为切点，求|PT|的最小值？ 2X+3Y-6=0
P o
c T
x
分析；要|PT|最小，|CT|=4,即要|PC|最小， 由此联想到把直线改为曲线．
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9
已知动点P(x, y)在双曲线 若A点坐标为（5，0），
3.若方程 9x2 xb 有解，则b的取值范围是_____
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12
例题４
已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16 (1)自P作⊙O的切线，求切线的长及切线的方程; (2)过P任意作直线l与⊙O交于A、B两相异点， 求弦AB中点M的轨迹.
y
x
O
P(5,0)
Q
A
y
M(x ,y)
B
x
O
P(5,0)
直《线数与列圆在、分圆期与付圆款的中的位应置用关》系
说课
胡星
欢迎光临,欢迎指导！湘潭县一中欢迎您
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1
课前热身
1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a,b)
与圆的位置关系是
(C)
(A)在圆上
(B) 在圆内
(C) 在圆外
(D)以上皆有可能
2.若圆x2+y2=1与直线 x y 1 (a>0,b>0)相切，
x2 16
y2 9
1上，
AM 1, PM AM 0,则 PM 4
的最小值是__________.
y
M
P
A
x
提问：同学们能以椭圆或抛物线为素材提出一个
类似的问题吗？
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10
例3：在直角坐 xo中 标 y ， 系o以 为圆心的圆 与直x线 - 3y4相切， （1）求o圆 的方程； （2）圆 o与x轴相交 A， 于 B两点，圆内P使 的P动 A, P点 O, PB
△<0
n=0
直线与圆相离
△=0
n=1
直线与圆相切
△>0
n=2 精选ppt 直线与圆相交
4
说明：直线与圆的位置关系的判定方法一般用法（1）
2.圆与圆
设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，则 两圆相离|O1O2|＞r1+r2， 外切 |O1O2|=r1+r2， 内切|O1O2|=|r1-r2|， 内含|O1O2|＜|r1-r2|， 相交|r1-r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|
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13
例题1 已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16 (1)自P作⊙O的切线，求切线的长及切线的方程; (2)过P任意作直线l与⊙O交于A、B两相异点，
求弦AB中点M的轨迹.
y 解:（1）设过P的圆O的切线切圆于点Q，
连OQ，
∵△PQO是Rt△ ，
x
O
P(5,0) ∴切线长PQ5=2 42 3
(A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)随α，β的值而定
2.过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点且圆心在直线
x-y-4=0上的圆方程是( c ).
(A)x2+y2+x-5y+2=0 (C)x2+y2-x+7y-32=0
(B)x2+y2-x-5y-2=0
(D)x2+y2+x+7y+32=0 3b3 2
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3
直线与圆的位置关系 的判定方法：
Hale Waihona Puke 直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) (1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d>r
直线与圆相离
aAbBC
d=r
直线与圆相切 d
d<r
直线与圆相交
A2 B2
(2)利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
设方 程 (A xx 组 aB )2 y(C y b0)2r2的解的n个
ab
则ab的最小值为
(C)
(A)1
(B) 2 (C)2
(D)4
3. 两 圆 (x-1)2+(y-2)2=1 和 (x-3)2+(y-1)2=4 的 位 置 关 系 是 ---------------------------------------------------（ C )
(A)相离 (B)外切
Q
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y
方法一: O
设所求切线 l方程为：yk(x5)
x
P(5,0) Q
即：kx y5k0 显然k存在
直线l与圆O相切，O到直线l的距离等于半径
即： 5k 4
k2 1
解得：k 4
成等比数列 PA， PB 的 求取值范围。
y
P (x,y)
A (-2,0) O
B
x
(2,0)
消元时应注意
留下元的范围
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练习
1.已知向量a=(2cosα，2sinα)，b=(3cosβ，3sinβ)， a与b的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα+1/2=0与圆 (x-cosβ)2+(y+sinβ)2=1/2的位置关系是( C ).
3.在课前热身(3)中，判断两圆关系得到|O1O2|＜|r1+r2|，
未必相交，还可能内含，一定要追加|O1O2|＞|r1-r2|才行.
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例1（1）过圆x2+y2=1上一点A(a ,b)的切线方程为 ___a_x_+_b_y_=_1___ (2):若点A(a ,b)在圆x2+y2=1内，则直线ax+by=1与 此圆的位置关系是__相_离____