多元复合函数的偏导数(一)
经济学专业数学复合函数和隐函数的偏导数配套课件
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内
Fy 0
Fx dy dx Fy
2017年4月14日星期五
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y 例 5 设方程 ln x y arctan 确定 y 是 x dy x 的函数,求 . dx
2 2
解
1 2y 1 1 yx Fy 2 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y 2 x 所以,
1 2x 1 y x y Fx 2 ( 2 ) 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y2 x
y 令 F ( x, y ) ln x y arctan ,则 x
2 2
Fx dy x y x y . dx Fy yx x y
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定理4
② ③ 则方程
若函数
F ( x, y, z ) 满足:
的某邻域内具有连续偏导数 ,
① 在点
F ( x0 , y0 , z0 ) 0 Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
在点 某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 并有连续偏导数
全微分的形式不变性
设函数
则复合函数 的全微分为 都可微,
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达
形式都一样,
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这性质叫做全微分形式不变性.
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利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全 微分的四则运算公式：
u vdu u d(u v) du dv, d(uv) udv vdu, d v2 v u vdu udv udv vdu , d (v 0). 2 v v
多元复合函数求导公式
多元复合函数求导公式多元复合函数求导是微积分中的重要概念，它描述了函数之间的复合关系，并通过求导来研究函数的变化规律。
在实际问题中，我们经常遇到多个函数相互关联的情况，而多元复合函数求导公式能够帮助我们求解这些问题。
在介绍多元复合函数求导公式之前，我们先来了解一下什么是多元复合函数。
多元复合函数是指由两个或多个函数通过复合运算构成的新函数。
例如，设有函数f(x)和g(x)，则复合函数h(x)可以表示为h(x) = f(g(x))。
对于多元复合函数求导公式，我们需要考虑两种情况：一是一元函数的复合，即函数中只有一个自变量；二是多元函数的复合，即函数中有多个自变量。
我们来看一元函数的复合情况。
设有函数y = f(u)，u = g(x)，则复合函数y = f(g(x))的导数可以通过链式法则来求解。
链式法则是指，如果一个函数是由两个函数复合而成的，那么它的导数等于内层函数对自变量的导数乘以外层函数对内层函数的导数。
具体来说，设y = f(u)，u = g(x)，则有：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数f(u)对u的导数，du/dx表示函数g(x)对x的导数。
通过这个公式，我们可以计算复合函数的导数。
接下来，我们来看多元函数的复合情况。
设有函数z = f(u, v)，u = g(x, y)，v = h(x, y)，则复合函数z = f(g(x, y), h(x, y))的偏导数可以通过偏导数的链式法则来求解。
偏导数的链式法则是指，如果一个函数是由两个函数复合而成的，那么它的偏导数等于内层函数对自变量的偏导数乘以外层函数对内层函数的偏导数，再对所有自变量求和。
具体来说，设z = f(u, v)，u = g(x, y)，v = h(x, y)，则有：∂z/∂x = (∂z/∂u * ∂u/∂x) + (∂z/∂v * ∂v/∂x)∂z/∂y = (∂z/∂u * ∂u/∂y) + (∂z/∂v * ∂v/∂y)其中，∂z/∂u和∂z/∂v分别表示函数f(u, v)对u和v的偏导数，∂u/∂x、∂u/∂y、∂v/∂x和∂v/∂y分别表示函数g(x, y)和h(x, y)对自变量的偏导数。
第六节多元复合函数求偏导
f3
xe y
f1
f
3
2z
x y
e y f1
fzf12
( f 11 xe y f 13 1)
ux y
( f 21 xe y f 23 1)
x yx y
xe2 y f 11 e y f 13 xe y f 21 f 23.
21
例8 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
的偏导数为
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z
z
u
z
v
z
w
.
y u y v y w y
u
x
zv
y
w
8
例3. 设 z eu sin v , u x y , v x y , 求 z , z .
x y
z 解: x
z v v x
u、v回代
eu sin v eu cos v 1
开始对答案
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练习1. z y , x et , y 1 t,求 dz .
x
dt
解 ：dz z dx z dy dt x dt y dt
y x2
et
1 x
(1)
t
2 et
.
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2. z u2 ln v, u x , v 3x 2 y， 求 z , z .
y
x y
解：z z u z v
六、设z f ( x, x ),(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y
2z 2z 2z x 2 , xy , y 2 .
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七、设z
多元复合函数的求导法
多元复合函数的求导法在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。
下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。
我们先以二元函数为例：多元复合函数的求导公式链导公式：设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：例题：求函数的一阶偏导数解答：令由于而由链导公式可得：其中上述公式可以推广到多元，在此不详述。
一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。
在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。
全导数由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数复合起来的函数是x的一元函数.这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数.此时的链导公式为:例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求解答：由全导数的链导公式得：将u=cosx，v=sinx代入上式，得：关于全导数的问题全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。
多元函数的极值在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。
多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。
二元函数极值的定义如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：f(x,y)≤f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值f(x0,y0)；如果恒有等式：f(x,y)≥f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值f(x0,y0).极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.二元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是：.注意：此条件只是取得极值的必要条件。
凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。
多元复合函数的求导法则
上式两端同时除以△t ，得到
.
3
z f u f v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t 令 t 0, 则有u 0, v 0,
z
u du , v dv
uv
t dt t dt
o ( ) o( ) (u)2 ( v)2 0 t t
t
t
u xyz xt
u f f f
z
dt u dt v dt t
v e t u sin t cos t
uvt
e t (cost sin t) cos t
tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
在对应点（u, v）可微, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
dz f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量
z
uv
有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以
tt
z f u f v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
d t 2 u dt v dt
.
5
定理2. 设 z f (u,v) 在对应点可微
u(x,y)， v(x,y)偏导数都存在，
则
z z u z v
x u x v x
z
uv x yx y
z z u z v y u y v y 推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
注意防止记号的混淆.
.
复合函数与隐函数的偏导数-PPT
z x
0,
Fy
Fz
z y
0.
因为 Fz 连续,且Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，所以存在
点( x0 , y0 ,
于就是得
z0 ) 得一个邻域,在这个邻域内 z Fx , z Fy .
Fz
0,
x Fz y Fz
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
(2) F (0,0) 0; (3) Fy (0,0) 1 0, 隐函数存在定理1 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、 当x 0时y 0得隐函数 y f ( x),且
dy dx
Fx Fy
y x
e e
x y
.
隐函数的求导公式
例 已知ln x2 y2 arctan y ,求 dy . x dx
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点( x, y)
u
v
w
得两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z x
z u
u x
z v
v x
z w
w x
ux
z y
z u u y
z v
v y
z w
w y
zv wy
多元复合函数的求导法则
例 设z
u2
1 v2
w2
,u
x2
y2,v
x2
x
x
z y z x x y
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
y
z
z
z(
x,
y),
试求
2z x 2
多元复合函数的导数
一、链式法则
定理1 设 u = u(x), v = v(x) 在点 x 处可导. 而 z = f (u, v)在 x 对应的点(u, v)可微.
则复合函数 z = f ( u(x), v(x))在点 x 处 可导.
且
dzzduzdv dx udx vdx
(公式也称为 链式法则)
u
x
zcovsuuvu1, v
u 1. x
故 z vuln vco vusyuu v 1co vus x y(xy)xylnx(y)coxs(y)xy xy(xy)xy1coxs(y)xy
z x(xy)xylnx(y)coxs(y)xy y
xy(xy)xy1coxs(y)xy
例3.
设 z f(x 2 y 2 ,x)其 y , f C 中 1 ,求 z, z. x y
uf1 (u,v,w )vf2 (u,v,w )w f3 (u,v,w ) k(fu,v,w )
即 x f 1 ( x , y , z ) y f 2 ( x , y , z ) z f 3 ( x , y , z ) k ( x , y , z ) f
例7. 设 z =f (u, v), f C1, 而 u = xcosy, v = x siny.
2 xse 2(x c 2 ln x)1se 2(x c 2 ln x) x
若u, v是 x, y 的二元函数, u = u(x, y), v = v(x, y ), 此时z = f (u, v) = f (u(x, y), v(x, y))是x, y的二元函数. 如何求 z 对x, y 的偏导数?
x
x
左边 z表 的 示在y看 表作 达 ,而 常 式 x求 对 数 中 偏 . x
复合函数的偏导数
一、复合函数的求导法则 二、全微分形式的不变性
预备知识
1 一元函数复合函数求导法则(链式法则)：
dy dy du y f (u), u ( x), y f ( x); dx du dx
2 一元函数导数与多元函数偏导数表示上的差别：
dz z f ( x) dx
( x, y) 如果u ( x , y ) 及v ( x , y ) 都在点
具有对x 和y 的偏导数，且函数 z f ( u, v ) 在对应 点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )]在对应点( x , y ) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z z u z v ， . x u x v x y u y v y
链式法则如图示
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
z
dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt
u v w
t
上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z f [ ( x , y ), ( x , y )].
z z du dv. v u
全微分形式不变性的实质：
无论 z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v 的函数，它的全微分形式是一样的.
z z 例 4 设 z e sin v ，而 u xy ，v x y ， 求 和 . x y z z u u 解 dz du dv e sin vdu e cos vdv u v
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多元复合函数求导
（一）
证一元函数求导法则：
一元函数的链式法则
链式法则
()()(())=()y f u u x y f x y x ϕϕ==−−−→=复合
，()()dy dy du f u x dx du dx
ϕ''==dy
du du dx
y u x −−→−−→
多元函数的复合情况要复杂一些（一）多元与多元的复合
（二）多元与一元的复合
（三）一元与多元的复合
证链式法则（多元套多元）
如果),(y x u φ=及),(y x v ψ=都在点
),(y x 具有对x 和y 的偏导数，且函数)
,(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数
)],(),,([y x y x f z ψφ=在对应点),(y x 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
x
v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂， y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂.
u
v x
z y
链式法则如图示
=∂∂x z ⋅∂∂u z x u ∂∂⋅∂∂+v z ,x
v ∂∂=∂∂y z ⋅∂∂u z y u ∂∂⋅∂∂+v z .y
v ∂∂
类似地再推广，设),(y x u φ=、),(y x v ψ=、),(y x w w =都在点 ),(y x 具有对x 和y 的偏导数，复合函数)],(),,(),,([y x w y x y x f z ψφ= 在对应点),(y x 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x
w w z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂, y w w z y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. z w v u y
x
特殊地),,(y x u f z =),(y x u φ=即],,),,([y x y x f z φ=,x f x u u f x z ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.y f y u u f y z ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂令,x v =,
y w =其中,1=∂∂x v ,0=∂∂x w ,0=∂∂y v .1=∂∂y
w 把复合函数],),,([y x y x f z φ=中的y 看作不变而对x 的偏导数把),,(y x u f z =中的u 及y 看作不变而对x 的偏导数
两者的区别区别类似
例 设v e z u
sin =，而xy u =，y x v +=， 求 x z ∂∂和y
z ∂∂. 解=∂∂x z ⋅∂∂u z x u ∂∂⋅∂∂+v z x
v ∂∂1cos sin ⋅+⋅=v e y v e u u ),cos sin (v v y e u
+==∂∂y z ⋅∂∂u z y u ∂∂⋅∂∂+v z y
v ∂∂1cos sin ⋅+⋅=v e x v e u u ).cos sin (v v x e u +=
三、小结
链式法则（多元套多元）。