1.1.6 棱柱与棱锥的表面积
第一章1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积教案学生版
1．直棱柱的侧面积公式S＝ch，其中c为底面多边形的周长，h为棱柱的高，用语言可叙述为直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积．
2．正棱锥的侧面积公式S＝nah′＝ch′，其中底面边长为a，c为底面多边形的周长，h′为棱锥的斜高，用语言可叙述为正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半.
问题2正棱台的侧面展开图是怎样的图形？
问题3下图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c′，你能根据展开图，归纳出正n棱台的侧面面积公式吗？
问题4正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其它方法吗？
问题5棱台的表面积或全面积如何求？
探究点三 圆柱、圆锥、球的表面积
问题1如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？
_______.
课堂小结：
1．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及圆柱、圆锥、圆台的侧面积都等于它们的侧面展开图的面积．
2．多面体的表面积等于它的侧面积加底面积．
3．圆柱、圆锥、圆台及球的表面积公式分别为：
S圆柱表＝2πr(r＋l)；
S圆＋R2)；
S球＝4πR2.
1.1.6
【学习要求】
1．理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图．
2．掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积．
3．掌握球的表面积公式并会求球的表面积．
【学法指导】
通过经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，理解几何体的表面积的推导过程，学会其表面积公式推导的思想方法，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心．
问题4如何求多面体的表面积？
例1已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为35°(如图)，求正四棱锥的侧面积及表面积(单位：cm2，sin 35°≈0.574，精确到0.01)．
高中数学必修二教案-1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1-人教B版
关于《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》教学设计的探析《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》是必修2§1.1.6节的内容，设计分六部分。
一、教材分析本章的第一大节是空间几何体，主要有以下内容：首先使学生认识空间的点、线、面、体、轨迹与图形。
接着由学生观察和总结多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征，复习圆柱、圆锥从而认识圆台、球及简单的组合体。
在了解几种投影的特征和关系基础上，学习直观图、三视图画法。
最后，让学生了解柱、锥、台、球侧面积、表面积、体积公式并进行相关计算练习。
本节主要内容是学习直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式，了解球的表面积公式。
直棱柱、正棱锥、正棱台表面都可展开成平面图形，所以研究面积的关键是明确它们的平面展开图的形状，为此我们可以先复习小学、初中所学到的相关知识，再结合在前面学习中动手折叠几何体的体验，理解展开是折叠的逆过程，学生自己就可以得出侧面积公式了。
二、教学目标如下：1、知识与技能目标：了解棱柱、棱锥、棱台、球的表面积计算公式，并能用公式进行简单的计算。
2、过程与方法目标：通过自主学习，合作探究培养学生的空间想象能力、动手实践能力、解决问题的能力，及转化的思想方法。
3、情感态度与价值观目标：激发学生的学习欲望和探究精神，有意识、有目的地培养学生自主学习的良好习惯。
三、教学重点：棱柱、棱锥和棱台的表面积公式的推导方法，进一步加强空间与平面问题相互转化的思想方法的应用。
教学难点：棱柱、棱锥棱台和球的表面积公式的应用。
四、教法与学法借助多媒体辅助教学，在教师引导，师生合作，生生合作下，通过设置疑问、归纳应用、知识迁移来体会知识的形成过程，从而师生共同来完成本节课的教学。
使学生真正成为学习的主体，从“被动学会”变成“主动会学”。
五、教学过程环节一：课前预习。
课前一天布置预习任务：§1.1.6节的内容，按导学案预习并试着解决活动一、三、四。
具体任务：动手折叠柱、锥、台几何模型（大一些，必做直棱柱、正棱锥、正棱台），回顾棱柱、棱锥、棱台、球定义及结构特征以及为了完成本节的知识，需要储备的知识。
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第一章 立体几何初步
1.1空间几何体
1.1.1构成空间几何体的基本元素
1锥、圆台和球
1.1.4投影与直观图
1.1.5三视图
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.7柱、锥、台和球的体积
实习作业
1.2点、线、面之间的位置关系
1.2.1平面的基本性质与推论
1.2.2空间中的平行关系
1.2.3空间中的垂直关系
本章小结
阅读与欣赏
散发着数学芳香的碑文
第二章 平面解析几何初步
2.1平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1数轴上的基本公式
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
2.2直线的方程
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率
2.2.2直线方程的几种形式
2.2.3两条直线的位置关系
2.2.4点到直线的距离
2.3圆的方程
2.3.1圆的标准方程
2.3.2圆的一般方程
2.3.3直线与圆的位置关系
2.3.4圆与圆的位置关系
2.4空间直角坐标系
2.4.1空间直角坐标系
2.4.2空间两点的距离公式
本章小结
阅读与欣赏
笛卡儿
附录
部分中英文词汇对照表
后记
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
A
C
D
B
O
四、应用举例
例4.一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和 6cm，高是1.5cm,求三棱台的侧面积。
A1 O1 B1 D1
C1
A
C O E
27 3 cm 2 2
D
B
五、课堂练习
练习 2. 已知正四棱锥底面正方形的边长 4cm, 高与 斜高的夹角是30°，求正四棱锥的侧面积.
P
答案:32(cm2)
其中c为底面周长，h为高。
三、概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱锥的侧面展开图是什么？如何计 算它的表面积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
S正棱锥侧
1 ch 2
其中c为底面周长, h 为 斜高,即侧面三角形的 高。
三、概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它 的表面积？
展开图
平面图形面积 平面问题
空间问题
几何体的侧面展开图面积＝几何体的侧面积
二、提出问题
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成 的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们 的表面积？
三、概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
直棱柱的侧面展开图
S直棱柱侧 ch
S圆柱侧 2 rh
1 S圆锥侧 cl rl 2 1 S圆台侧 (c c)l 2
l
r
O
三、概念形成
概念3.球的表面积
怎样求球的表面积？ 球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面 图形，怎样求球的表面积呢？
学案6：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积【学习目标】1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算方法.2.了解球的表面积公式．3.掌握棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式的应用.【学习重点】理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的计算方法．【基础梳理】柱体、锥体、台体的表面积公式【例题精析】考点几何体的表面积[典例](1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122π B．12πC．82π D．10π(2)(2019·河北承德模拟)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为()A．8＋42＋2 5 B．6＋42＋45C．6＋22＋2 5 D．8＋22＋25[规律方法]空间几何体表面积的求法1 以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.[跟踪训练] 1.(2019·山东潍坊模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24πC．28π D．32π2．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋ 3 B．1＋22C．2＋ 3 D．22【课堂小结】（1）理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式；（2）正确运用棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式求解相关问题. 【课堂检测】1.长方体各面面积总和为28cm 2，所有棱总长度是32cm ，则对角线长度是( ) A.27cm B.30cmC.42cmD.6cm2.侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，则这个三棱锥的全面积为( ) A.433+a 2B.43a 2C.233+a 2D.436+a 23.棱台的上下底面积为16和81，有一平行于底面的截面面积为36，则截得的两棱台的高的比为( )A.1∶1B.1∶2C.2∶3D.3∶44.已知长方体的全面积为11，十二条棱的长之和为24，则这个长方体的一条对角线的长为 ( ) A.23B.14C.5D.65.长方体的高等于h ，底面积等于Q ，垂直于底的对角面的面积等于M ，则此长方体的侧面积等于( )A.2Q h M 22+B.2Q h M 222+C.2Q h M 222+D.Q h M 222+6.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；参考答案【基础梳理】 各个面展开图πr22πrl2πrl＋2πr2πr2πrlπrl＋πrπr′2πr2π(r′＋r)lπ(r′2＋r2＋r′l＋rl)【例题精析】考点几何体的表面积[典例](1)【答案】B【解析】根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为S＝2π(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B. (2)【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥E－ABCD，如图，正方体的棱长为2，该四棱锥底面为正方形，面积为4，前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为22，2，左右两个侧面为直角三角形，面积都为5，可得这个几何体的表面积为6＋22＋25，故选C.[跟踪训练] 1.【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为3，高为4，则该几何体的表面积S＝π×32＋π×3×5＋2π×1×2＝28π.故选C.2．【答案】C【解析】由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD⊥平面BCD，△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC＝CD＝ 2.取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥CO，AO＝CO＝1.由勾股定理得AC＝2，因此△ABC与△ACD为全等的正三角形，由三角形面积公式得S△ABC＝S△ACD＝32，S△ABD＝S△BCD＝1，所以四面体的表面积为2＋ 3.故选C 【课堂检测】1、D2、A3、C4、C5、C6、，4π3。
课时作业13：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积一、选择题1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 D2．圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS D.233πS答案 A解析 底面半径是Sπ，所以正方形的边长是2πSπ＝2πS ，故圆柱的侧面积是(2πS )2＝4πS .3．正三棱锥的底面边长为a ，高为66a ，则此棱锥的侧面积等于( ) A.34a 2 B.32a 2 C.334a 2 D.332a 2答案 A 解析 侧棱长为⎝⎛⎭⎫66a 2＋⎝⎛⎭⎫33a 2＝22a ， 斜高为⎝⎛⎭⎫22a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝a 2， ∴S 侧＝12×3×a ×a 2＝34a 2.4．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两球的半径之差为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 C解析 设两球半径分别为R ，r ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π，2πR ＋2πr ＝12π，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12，R ＋r ＝6，所以R －r ＝2，故选C. 5．如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9π，则该几何体的主视图中实数a的值为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析设几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，其表面积为S＝2π×1×a＋π×1×(3)2＋12＋π×12＝2πa＋3π＝9π，∴a＝3.6．一个直角三角形的直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为()A．15πB．20πC．12πD．15π或20π答案 D解析以直角三角形的直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥，有以下两种情况：根据圆锥的侧面积计算公式S侧面积＝πr×l母线长．①以直角边3为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S＝4π×5＝20π；②以直角边4为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S＝3π×5＝15π.故选D.7.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为()A．80 B．242＋88C．242＋40 D．118答案 B解析根据题意，可得该几何体是底面是边长分别为6和8的矩形且侧棱长均相等的四棱锥，高为SO＝4，如图所示，因此，等腰三角形SAB 的高SE ＝SO 2＋OE 2＝42＋32＝5， 等腰三角形SCB 的高SF ＝SO 2＋OF 2＝42＋42＝42， ∴S △SAB ＝S △SCD ＝12×AB ×SE ＝20，S △SCB ＝S △SAD ＝12×CB ×SF ＝12 2.∵矩形ABCD 的面积为6×8＝48， ∴该几何体的表面积为S 表＝S △SAB ＋S △SCD ＋S △SCB ＋S △SAD ＋S ABCD ＝2×20＋2×122＋48＝242＋88. 故选B. 二、填空题8．棱长都是3的三棱锥的表面积S 为________． 考点 柱体、锥体、台体的表面积 题点 锥体的表面积 答案 9 3解析 因为三棱锥的四个面是全等的正三角形， 所以S ＝4×34×32＝9 3. 9．若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是________． 答案 1∶2解析 设该圆锥体的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意得2πr ＝πl ，所以l ＝2r ， 所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是 πr 2∶12πl 2＝r 2∶12(2r )2＝1∶2.10．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面与截面面积的和，即12×4π×12＋π×12＝3π.11．如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．答案 96＋6π解析 由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S ＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π. 三、解答题12．已知一个表面积为120 cm 2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积．解 如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a ，半球的半径为R ，由6a 2＝120，得a 2＝20， 在Rt △AOB 中，AB ＝a ，OB ＝22a ， 由勾股定理，得R 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫2a 22＝3a 22＝30.所以半球的表面积为S ＝2πR 2＋πR 2＝3πR 2＝3×30π＝90π(cm 2)．13.如图所示，正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积．解 ∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，∴上底面、下底面的面积分别是4,16.∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，∴侧面的高为4－⎝⎛⎭⎫4－222＝3，∴侧面的面积为12×(2＋4)×3＝33，∴四棱台的表面积为4＋16＋33×4＝20＋12 3.14．已知正三棱锥V －ABC 的主视图、俯视图如图所示，主视图中VA ＝4，俯视图中AC ＝23，则该三棱锥的表面积为________．答案 3(42＋3)解析 由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，取△ABC 的中心O ，BC 的中点D ， 连接VO ，VD ，则VO ⊥AD ，AD ⊥BC ， 由三视图所给线段长可得，VO ＝42－(3)2＝13，OD ＝13AD ＝1，所以VD ＝(13)2＋12＝14，所以S △VBC ＝12VD ·BC ＝12×14×23＝42，S △ABC ＝12×23×3＝33，所以三棱锥V －ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝342＋33＝3(42＋3)．15.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x 的内接圆柱．(1)试用x 表示圆柱的高；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？ 解 (1)轴截面如图，BO ＝1，PO ＝3，设圆柱的高为h ， 由图，得x 1＝3－h3，即h ＝3－3x .(2)∵S 圆柱侧＝2πhx ＝2π(3－3x )x ＝6π(x －x 2)， 当x ＝12时，圆柱的侧面积取得最大值为32π.∴当圆柱的底面半径为12时，它的侧面积最大为32π.。
人教B版高中数学必修二课件第一章1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
法二：延长正四棱台的侧棱交于点 P， 如图设 PB1＝x， 则x＋x 8＝48，得 x＝8. ∴PB1＝B1B＝8， ∴E1 为 PE 的中点 ∴PE1＝ 82－22＝2 15， PE＝2PE1＝4 15.
∴S ＝S －S 正棱台侧
大正棱锥侧
小正棱锥侧
＝4×12×8×PE－4×12×4×PE1
＝4×12×8×4 15－4×12×4×2 15
[通一类] 4．(2012·枣庄高一检测)已知一个表面积为120cm2的正 方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的
底面上，求半球的表面积．
解：如图，为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为 a， 半球的半径为 R， 由 6a2＝120 得 a2＝20， 在 Rt△AOB 中，AB＝a，OB＝ 22a， 由勾股定理，得 R2＝a2＋( 22a)2＝32a2＝30. 所以半球的表面积为 S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3×30π＝90π(cm2)．
＝48 15(cm2)．
∴正四棱台的侧面积为 48 15 cm2.
[研一题] [例3] 正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b)．若侧棱所在 直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求 棱台的侧面积． [自主解答] 如图， 设O1，O分别为上、下底面的中心， 过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC 于F，连接C1F， 则C1F为正四棱台的斜高． 由题意知∠C1CO＝45°，
∴球的表面积 S＝4πR2＝4π×172a2＝73πa2. [答案] B
[悟一法] 与球有关的组合体共有两种，一种是内切，一种是外接．解 题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，灵活利用球的 对称性， ①若半径为 R 的球的内接正方体的棱长为 a，则 2R＝ 3a. ②若半径为 R 的球的内接长方体的长、宽、高分别为 a， b，c，则 2R＝ a2＋b2＋c2.
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
a
如上图，以正四棱锥为例简单推导计 算公式。由于正四棱锥的侧面展开图是一 些全等的等腰三角形，底面是正多边形， 若设它的底面边长为a，底面周长为4a， 斜高为h’，容易得到正四棱锥的侧面积计 1 1 算公式为S正四棱锥侧= · 2h’= ch’， 4a· 2 对于正n棱锥，其侧面积计算公式为 1 S正棱锥侧= 2 c· h’. 2．正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积 与底面积之和.
于
18 7
。
3 3 2 （A） 4 a 3 3 2 （C） a 2
3 2 （B） 4 a
（D） 3 (
2
3 2 )a 4
4. 球内接正方体的表面积与球的表面积 的比为（ A ）
（A）2：π
（C）4：π
（B）3：π
（D）6：π
5. 已知正六棱台的上、下底面边长分别 是2 和4，高是2，则这个棱台的侧面积等
（A）6a2
（C）18a2
（B）12a2
（D）24a2
2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是 正四面体的顶点，则正方体的表面积与此
正四面体的表面积的比值为（ B ）
（A） 2
6 （C） 2
（B） 3 （D） 3
3
3. 侧面都是直角三角形的正三棱锥， 底面边长为a，该三棱锥的全面积是 （ A ）
的平面截得的，因此正棱台的侧面展开图
是一些等腰梯形， 设正棱台上、下底面周长为c’，c，斜高 为h’，可得正棱台的侧面积 1 S正棱台侧= (c+c’)·h’。 2 3．正棱台的表面积等于它的侧面积与底 面积之和。
四. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 （1）将圆柱沿一条母线剪开后，展开图 是一个矩形，这个矩形的一边为母线， 另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱 底面半径为r，母线长为l，则侧面积 S圆柱侧=2πrl.
棱柱与棱锥的计算与应用
棱柱与棱锥的计算与应用棱柱与棱锥是几何学中常见的立体图形，它们在数学、工程学、建筑学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍棱柱与棱锥的定义、计算公式以及应用案例。
一、棱柱的定义与计算棱柱是由两个平行相等的多边形底和连接底边对应顶点的棱面组成的立体图形。
常见的棱柱有三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱是由三个全等的三角形构成的，四棱柱则是由四个全等的正方形构成的。
1. 棱柱的体积计算公式对于棱柱，我们可以通过计算其底面积与高的乘积来求解其体积。
假设底面的面积为A，高为h，则棱柱的体积V可以表示为V = A * h。
2. 棱柱的表面积计算公式棱柱的表面积主要由两部分组成：底面积和侧面积。
底面积即底面的面积A，而侧面积可以通过计算所有侧面的面积之和来求解。
对于三棱柱，假设底面的周长为P，高为h，则棱柱的表面积S可以表示为S = 2A + Ph。
对于四棱柱（特指正方形棱柱），假设底面的边长为a，则棱柱的表面积S可以表示为S = 2A + 4ah，其中A为底面积。
二、棱锥的定义与计算棱锥是由一个多边形底和连接底边顶点的棱面组成的立体图形。
常见的棱锥有三棱锥、四棱锥等，其中三棱锥由一个全等的三角形和三个边相等的三角形棱面构成，四棱锥由一个全等的四边形和四个边相等的三角形棱面构成。
1. 棱锥的体积计算公式对于棱锥，我们可以通过计算其底面积与高的乘积再除以3来求解其体积。
假设底面的面积为A，高为h，则棱锥的体积V表示为V = A * h / 3。
2. 棱锥的表面积计算公式棱锥的表面积由底面积、侧面积和斜高面积三部分组成。
底面积即底面的面积A，侧面积可以通过计算所有侧面的面积之和来求解，而斜高面积则是由底面的周长P和高h决定。
对于三棱锥，假设底面的周长为P，则棱锥的表面积S可以表示为S = A + Ph / 2。
对于四棱锥（特指正四棱锥），假设底面的边长为a，则棱锥的表面积S可以表示为S = A + 2ah。
三、棱柱与棱锥的应用案例1. 基于棱柱的容器设计棱柱的形状为工程领域中容器的设计提供了一种经典选择。
数学人教B版必修2课件：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
S 正棱锥侧=12ch'.
名师点拨 一般棱柱、棱锥、棱台的侧面积的求法:因其结构特 征不一致,因此应该先分别计算各侧面的面积,然后再将各侧面面 积求和,即为相应的侧面积.
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1.1.6 棱柱、棱锥、 棱台和球的表面积
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题型一 题型二 题型三 题型四
棱柱、棱锥、棱台的面积问题 【例1】
S正四棱锥表=S正四棱锥侧+S正四棱锥底=32+4×4=48(cm2).
反思 解决此类题目先利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的 直角三角形求解相应的元素,再代入面积公式求解.空间几何体的 表面积运算,一般先转化为平面几何图形的运算,再充分利用平面 几何图形的特性通过解三角形完成基本量的运算.
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典例透析 随堂练习
题型一 题型二 题型三 题型四
解析：(方法一)该组合体的上半部分是一个底面半径为2,母线长 为8的圆柱,下半部分是一个长、宽、高分别为8,8,4的长方体.
圆柱的表面积是2π×2×8+2π×22=40π, 长方体的表面积是(4×8+4×8+8×8)×2=256. 两几何体重叠面的面积为π×22=4π. 所以该组合体的表面积为S=40π+256-2×4π=256+32π.
答案：C
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1.1.6 棱柱、棱锥、 棱台和球的表面积
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典例透析 随堂练习
【做一做2-2】 如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的 侧面积与轴截面面积的比值为( )
A.2π
B.32π
C.2
3π 3
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安丘二中
韩甜甜
复习：
1、直棱柱的结构特征：
①两个底面平行且为全等多边形 ②侧棱平行且相等，侧面为矩形
2、正棱锥的结构特征：
①底面是正多边形 ②侧面是全等的等腰三角形
③顶点与底面中心的连线垂直于底面
多面体的展开图和表面积
在初中已经学过正方体和长方体的表面积， 你知道正方体和长方体的展开图的面积与其表面 积的关系吗？
例2：已知正四棱锥P-ABCD底面正方
形的边长为4cm，高与斜高的夹角 为 30 o ，求正四棱锥的侧面积及全面积。
p
解：正四棱锥的高为PO，斜高为PE，
底面边心距OE组成Rt△POE.
因为OE=2，∠OPE= 30 o，
D 0 A
B
所以 PE=4，
C 所以 S 直棱柱侧 E
1 2
ch 32 cm
S直棱柱表 48 cm
2
2
变式3. 已知棱长为a各面均为等边三角 形的四面体S-ABC，则四面体S-ABC 的 2 表面积为 ． 3a
S
a
A
B D
1 1 3 3 2 SSBC BC SD a a a 2 2 2 4
C
归纳小结
几何体的侧面积就是它们的侧面展 开图的面积,因此要看清楚侧面展开图 的形状及侧面展开图中各线段与原几 何的关系,是掌握它们的侧面积公式及 解有关问题的关键。
如何计算直棱柱、正棱锥的表面积？ 1.正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算 它的侧面积？
c
h
正棱柱的侧面展开图
c
设直棱柱高为h,底面多边形的 周长为c，则直棱柱的侧面积 h 计算公式：
S直棱柱侧
ch
即直棱柱的侧面积等于它的底面 周长和高的乘积.
表面积就是计算它的各个侧面面 积和三棱柱底面各边的比为 13∶10∶7，侧棱长为16cm，侧面积 为1440 cm2，求底面各边之长.
变式训练1 正三棱柱的底面边长 为2，侧棱长为1，求其侧面积与 表面积.
变式训练2.长方体的体对角线长 为 2 14，长宽高之比为3:2:1，那 么它的表面积为（ ）
A．44
6 6
a,
3a 4
4.已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱 长为2a，求侧面积和表面积.
.
侧面积为 15a , 表面积为（ 15 1）a
2
2
归纳小结：
通过本节课的学习，你收获了什么？
S直棱柱侧
ch
S正棱锥侧
1 2
nah
1 2
ch
作业：
课本P28 练习A 1、2
校本P17 例2
课堂检测 1 A组 1,4
几何体的表面积=侧面积+底面面积
课堂检测：
1. 已知正方形的对角线为1，则正方 体的全面积是（ B ） B 2 D 3 2 C 2 3 A 2 2 2.正四棱柱的高为３cm,对角线长为 17cm, 则正四棱柱的侧面积为＿＿ 24 .
课堂检测：
3.正三棱锥的底面边长为a ,高为 2. 则此棱锥的侧面积等于
D1 A1
B.88
C.64
C1 B1
D.48
D
C B
A
2.正五棱锥的侧面展开图是什么？ 如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
设正n棱锥的底面边长为a, 底面周长为c，斜高为 h ,
h'
则正n棱锥的侧面积的计 算公式: 1 1 S正棱锥侧 2 nah 2 ch
即正n棱锥的侧面积等于它的底 面周长和斜高的一半. 表面积就是计算它的各个侧面面 积和底面面积之和．