二次函数的应用(最值问题)
高中数学教学备课教案二次函数的应用函数的最值问题
高中数学教学备课教案二次函数的应用函数的最值问题高中数学教学备课教案二次函数的应用——函数的最值问题一、教学目标1. 理解二次函数的最值问题，包括最大值和最小值的定义及求解方法。
2. 能够利用二次函数的最值问题解决实际生活中的应用问题。
3. 掌握相关的解题技巧和方法。
4. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重难点1. 理解最值问题的定义和求解方法。
2. 应用最值问题解决实际问题的能力。
三、教学过程导入：通过与学生的互动讨论，引出最值问题的概念。
1. 什么是最值问题？最大值和最小值有何不同？2. 举例说明最值问题在日常生活中的应用场景。
讲解一：最值问题的基本思路与方法1. 对于一元二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，求最大值或最小值的过程。
2. 最值问题的关键在于找到临界点，即导数为0的点，进而求得函数的最值。
3. 通过二次函数的图像，直观地理解最值的求解过程。
演示一：求解一元二次函数的最值1. 设一个具体的一元二次函数，如 f(x) = x^2 - 4x + 3。
2. 计算导数 f'(x) = 2x - 4，并令其等于0，解方程得到临界点 x = 2。
3. 讨论 x 的取值范围及对应的函数值，确定最大值和最小值。
讲解二：应用二次函数最值解决实际问题1. 通过具体例子，介绍如何将实际问题转化为数学问题，利用最值问题求解。
（例子1：某汽车行驶问题；例子2：抛物线的喷水问题）2. 强调建立数学模型的重要性，培养学生的数学建模能力。
演示二：解决实际问题的步骤及方法1. 选择合适的变量与函数模型。
2. 建立函数模型并确定函数的最值。
3. 根据实际问题的限制条件，确定变量的取值范围。
4. 求解最值并给出合理的解释。
讲解三：其他相关问题的讨论1. 当函数的定义域为有限区间时，如何确定最值？2. 如何处理一元二次函数的最值问题时出现的特殊情况？演示三：解决其他相关问题的方法1. 分析问题，考虑定义域的限制及函数图像的特点。
【数学中考一轮复习】 二次函数最值应用(含解析)
专项训练 二次函数最值应用结合图象，分两类情形: （1）最值在顶点位置如图所示，P 为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的顶点，则二次函数的最值（开口向上有最小值，开口向下有最大值）为顶点P 的纵坐标ab ac 442-.（2）最值不在顶点位置如图所示，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）为y 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象上的两点，则当x 1≤x ≤x 2时，二次函数的最大值为y 2，最小值为ab ac 442-.具体应结合开口方向，根据M ，N ，P 三个点的位置，通过比较y M ，y P ，y N ，确定二次函数的最值.如果在实际问题中，还要考虑取值的实际意义，综合进行分析，确定二次函数的最值. 类型一 面积中的最值应用1.把一根长为120 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝围成一个正方形.若设围成的一个正方形的边长为 x cm.（1）要使这两个正方形的面积的和等于650 cm 2，则剪出的两段铁丝长分别是多少？ （2）剪出的两段铁丝长分别是多少cm 时，这两个正方形的面积和最小？最小值是多少？2.如图所示，在足够大的空地上有一段长为100 m 的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 m 的木栏.（1）若AD ＜20 m ，所围成的矩形菜园的面积为450 m 2，求所利用的旧墙AD 的长； （2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值.3.如图所示，为美化中心城区环境，政府计划在长为30米，宽为20米的矩形场地ABCD 上修建公园其中要留出宽度相等的三条小路，且两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分建成花圃.（1）若花圃总面积为448平方米，求小路宽为多少米？（2）已知某园林公司修建小路的造价y 1（元）和修建花圃的造价y 2（元）与修建面积s （平方米）之间的函数关系分别为y 1＝40s 和y 2＝35s ＋20000.若要求小路宽度不少于2米且不超过4米，求小路宽为多少米时修建小路和花圃的总造价最低？类型二 利润中的最值应用4.超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元.在销售过程中发现，每天销售量y （瓶）与每瓶售价x （元）之间满足一次函数关系（其中10≤x ≤15，且x 为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？5.在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售调查发现，线下的月销量y （单位:件）与线下售价x （单位:元/件，12≤x ＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表:（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.试问:当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润.6.2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x 天（x为正整数）的销售价格p （元/千克）关于x 的函数关系式为p ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<+)3020(1251)200(452x x x x ,销售量y （千克）与x 之间的关系如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）类型三运动中的最值应用，7.周末，小明陪爸爸去打高尔夫球，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图所示，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线.小明测得小球的飞行高度h（单位:m）与飞行时间t（单位:s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是h＝20t-5t2. （1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15 m？8.如图所示，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m处跳起投篮，球运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足解析式y＝ax2＋x＋c，当球运行的水平距离为1.5 m时，球离地面高度为3.3 m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内.已知篮圈中心离地面距离为3.05 m.（1）当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？（2）若该运动员身高1.8 m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m处出手，问球出手时他跳离地面多高?9.如图所示，某足球运动员站在点O处练习射门将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位:m）与飞行时间t（单位:s）之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c.已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.（1）a＝_________；c＝___________.（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（3）若足球飞行的水平距离x（单位:m）与飞行时间（单位:s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为 2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？巩固训练1.某宾馆共有80间客房宾馆负责人根据经验作出预测:今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝41x-42（x ≥168）.若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ） A.252元/间 B.256元/间 C.258元/间 D.260元/间 2.如图所示，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开.已知篱笆的总长为900 m （篱笆的厚度忽略不计），当AB ＝_______m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.3.小明和小丽先后从A 地出发沿同一直道去B 地.设小丽出发第x min 时，小丽、小明离B 地的距离分别为y 1 m 、y 2 m.y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝-180x ＋2250，y2与x 之间的函数表达式是y 2＝-10x 2-100x ＋2000.（1）小丽出发时，小明离A 地的距离为_________m ；（2）小丽出发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？4.因疫情防控需要，消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y （桶）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价-进价）参考答案1.解:（1）根据题意知:一个正方形的边长分别为x cm ， 则另一个正方形的边长为41（120-4x ）＝（30-x ）cm ， 且分成的铁丝一段长度为4x cm ，另一段为（120-4x ）cm ，x 2＋（30-x ）2＝650. 整理得:x 2-30x ＋125＝0，解得:x 1＝5，x 2＝25， 故这根铁丝剪成两段后的长度分别是20 cm ，100 cm ； （2）设这两个正方形的面积之和为y cm 2，y ＝x 2＋（30-x ）2＝2x 2-60x ＋900＝2（x-15）2＋450， ∴当x ＝15时，y 取得最小值，最小值为450cm 2，即剪成两段均为60 cm 的长度时面积之和最小，最小面积和为450 cm 2. 2.解:（1）设AB ＝x m ，则BC ＝（100-2x ）m.x （100-2x ）＝450. 解得，x 1＝5，x 2＝45，当x ＝5时，100-2x ＝90＞20，不合题意，舍去. 当x ＝45时，100-2x ＝10， 答:AD 的长为10m ；（2）设AD ＝a m ，面积为S m 2， S ＝a ·1250)50(2121002+-=-x a ， ∴当a ＝50时，S 取得最大值，此时S ＝1250. 答:矩形菜园ABCD 面积的最大值是1250 m 2.3.解:（1）设小路的宽为m 米，则可列方程（30-m ）（20-2m ）＝448； 解得:m 1＝2或m 2＝38（舍去）； 答:小路的宽为2米；（2）设小路的宽为x 米，总造价为w 元，则花圃的面积为（2x 2-80x ＋600）平方米，小路面积为（-2x 2＋80x ）平方米，所以w ＝40·（-2x 2＋80x ）＋35·（2x 2-80x ＋600）＋20000， 整理得:w ＝-10（x-20）2＋45000，∴当2≤x ≤4时，w 随x 的增大而增大.∴当x ＝2时，w 取最小值. 答:小路的宽为2米时修建小路和花圃的总造价最低.4.解:（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b （k ≠0），根据题意，得1⎩⎨⎧=+=+80149012b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=1505b k ， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝-5x ＋150； （2）根据题意，得w ＝（x-10）（-5x ＋150）＝-5x 2＋200x-1500＝-5（x-20）2＋500 ∵a ＝-5＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值.∴当x ＜20时，w 随x 的增大而增大.10≤x ≤15，且x 为整数， ∴当x ＝15时，w 有最大值. 即w ＝-5×（15-20）2＋500＝375.答:当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是375元.5.解:（1）∵y 与x 满足一次函数的关系，∴设y ＝kx ＋b.将x ＝12，y ＝1200；x ＝13，y ＝1100代入得：⎩⎨⎧b ＋13k ＝1100b ＋12k ＝1200，解得:⎩⎨⎧2400＝b 100-＝k ，∴y 与x 的函数关系式为:y ＝-100x ＋2400；（2）设线上和线下月利润总和为m 元，则m ＝400（x-2-10）＋y （x-10） ＝400x-4800＋（-100x ＋2400）（x-10）＝-100（x-19）2＋7300，∴当x 为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元. 6.解:（1）当0＜x ≤20时，设y ＝k 1x ＋b 1，由图象得:⎩⎨⎧=+=402080111b k b ，解得⎩⎨⎧=-=80211b k ，∴y ＝-2x ＋80（0＜x ≤20）； 当20＜x ≤30时，设y ＝k 2x ＋b 2，由图象得:⎩⎨⎧=+=+803040202222b k b k ，解得⎩⎨⎧-==40422b k ，∴y ＝4x-40（20＜x ≤30）. 综上，y ＝⎩⎨⎧）；30≤x ＜2040-4x （），20≤x ＜080＋2x （（（2）设当月该农产品的销售额为w 元，则w ＝yp ， 当0＜x ≤20时，w ＝（-2x ＋80）（52x ＋4）＝-54x 2＋24x ＋320＝-54（x-15）2＋500 ∵-54＜0，由二次函数的性质可知:∴当x ＝15时，w 最大＝500.当20＜x ≤30时，W ＝（4x-40）（-51x ＋12）＝-54x 2＋56x-480＝-54（x-35）2＋500，∵-54＜0，20＜x ≤30，由二次函数的性质可知:当x ＝30时，W 最大＝（30-35）2＋500＝480.∵500＞480， ∴当x ＝15时，w 取得最大值，该最大值为500.答:当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元. 7.解:（1）h ＝20t-5t 2. ∵-5＜0，故h 有最大值，当t ＝）（5220-⨯＝2，此时h 的最大值为20，∴当t ＝2 s 时，最大高度是20 m ；（2）令h ≥15，则h ＝20t-5t 2≥15，解得:1≤t ≤3， ∴1≤t ≤3时，飞行高度不低于15 m.8.解:（1）依题意，抛物线y ＝ax 2＋x ＋c 经过点（1.5，3.3）和（4，3.05），∴⎩⎨⎧ 3.05＝c ＋4＋42×a 3.3＝c ＋1.5＋1.52×a ，解得⎩⎨⎧ 2.25＝c 0.2-＝a ，∴y ＝-0.2x 2＋x ＋2.25＝-0.2（x-2.5）2＋3.5.∴当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度为3.5 m ； （2）∵x ＝0时，y ＝2.25，∴2.25-0.25-1.8＝0.2 m. 即球出手时，他跳离地面0.2 m.9.解:（1）由题意得:函数y ＝at 2＋5t ＋c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴⎩⎨⎧c ＋0.8×5＋0.82a ＝3.5c ＝0.5，解得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=211625c a ，∴抛物线的解析式为:y ＝-1625t2＋5t ＋21, 故答案为:-1625，21. （2）∵y ＝-1625t2＋5t ＋21，∴y ＝29)58(16252+--t . ∴当t ＝58时，y 最大＝4.5.∴当足球飞行的时间为58s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5 m ；（3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝-1625×2.82＋5×2.8＋21＝2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门. 巩固训练 1.B 2.1503.解:（1）∵y 1＝-180x ＋2250，y 2＝-10x 2-100x ＋2000， ∴当x ＝0时，y 1＝2250，y 2＝2000，∴小丽出发时，小明离A 地的距离为2250-2000＝250（m ）， 故答案为:250；（2）设小丽出发第x min 时，两人相距s m ，则s ＝（-180x ＋2250）-（-10x 2-100x ＋2000）＝10x 2-80x ＋250＝10（x-4）2＋90， ∴当x ＝4时，s 取得最小值，此时s ＝90，答:小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m. 4.解:（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为:y ＝kx ＋b ，将点（60，100），（70，80）代入一次函数表达式得:⎩⎨⎧+=+=b k b k 708060100，解得:⎩⎨⎧=-=2202b k ，故函数的表达式为:y ＝-2x ＋220；（2）设药店每天获得的利润为w 元，由题意得: W ＝（x-50）（-2x ＋220）＝2（x-80）2＋1800， ∵-2＜0，函数有最大值，∴当x ＝80时，w 有最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元.。
二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案
第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值． 解：4)1(2-+=x y当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x解：4)1(2-+=x y∵30≤≤x ，对称轴为1-=x∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-=)60010(102---=x x 6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x 元，利润为y 元， 则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元， 则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ．⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x400502-+-=x x225)25(2+--=x当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ ⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ． ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x∵020<-=a ∴P 有最大值．当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元）（或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值）答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x 16)35(12≤-≤x ∴31≤x •≤34或36≤x≤39．作业布置： 1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_-1，_时，y 有最_小_值，这个值是23-． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为12--=x y (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)．3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”)解：29)23(22-+-=m x y ∵0)23(22≥-x ，要使0>y ，只有029>-m ∴29>m4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 4.5米 ．解：当05.3=y 时，21 3.55y x =-+05.3= 45.052⨯=x ，5.1=x 或5.1-=x （不合题意，舍去）5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m ．解：t t s 1052+-=5)1(52+--=t当1=t 时，5max =s ，所以，最高点距离地面725=+(米)．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天 在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天 行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米．7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．解：设每件价格降价x 元，利润为y 元， 则：)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x 当5=x ，625max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．8．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．解：设9)8(2+-=x a y ，将点A )1,0(代入，得81-=a12819)8(8122++-=+--=x x x y令0=y ，得09)8(812=+--=x y98)8(2⨯=-x268±=x ，)0,268(+C ，∴5.242688≈++=OC (米)9．（20XX 年青岛市）在20XX 年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式； （2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？解：（1）由图象可知，y 是x 的一次函数，设y=kx+b ，• ∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上，∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ， ∴y=-500x+14500．（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式； (2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？ 解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000. (3)设总利润为W 元则：W=Q －1000×30－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元． 答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．11．(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元? 解：)802)(20()20(+--=-=x x w x y)40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x 160012022-+-=x x当30=x ，200max =y （元）(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． (3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x28351>=x （不合题意，舍去）252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．12．(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为万元；．（2）在乙地区生产并销售时，年利润．由，解得或．经检验，不合题意，舍去，．（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万元）．，应选乙地．。
二次函数的应用最值问题
二次函数的应用最值问题二次函数是一个在数学中广泛应用的函数模型。
在实际问题和生产生活中，二次函数的最值问题也经常出现。
本文将介绍二次函数的最值问题，包括实际问题中的二次函数最值、生产生活中的二次函数最值、利用配方法求二次函数的最值、利用导数求解二次函数的最值、利用作图法求解二次函数的最值、利用公式法求解二次函数的最值和利用对称轴求解二次函数的最值等方面。
一、实际问题中的二次函数最值在实际问题中，二次函数最值通常出现在诸如最大利润、最小成本、最高产量等问题中。
例如，一个工厂生产一种产品，该产品的成本包括固定成本和可变成本。
固定成本是不随产量变化的成本，而可变成本是随产量变化的成本。
因此，总成本函数是一个开口向下的二次函数。
为了使总成本最低，需要找到自变量的取值，使得总成本函数的导数为零，并判断导数是否为零，从而确定最值是否存在。
二、生产生活中的二次函数最值在生产生活中，二次函数最值也经常出现。
例如，一个公司投资一个项目，该项目的收益随投资额变化，且收益函数是一个开口向下的二次函数。
为了使收益最大，需要找到投资额的最优解。
最优解可以通过求解收益函数的导数并令其为零得到。
三、利用配方法求二次函数的最值配方法是求二次函数最值的一种常用方法。
该方法的基本思想是将二次函数转化为一个完全平方项和一个常数项之和的形式，然后利用平方的非负性求出最值。
具体步骤如下：（1）将二次函数配方为一个完全平方项和一个常数项之和的形式；（2）根据平方的非负性，求出这个完全平方项的取值；（3）将这个完全平方项的取值代入配方后的二次函数中，求出最值。
四、利用导数求解二次函数的最值利用导数求解二次函数的最值是一种比较简单的方法。
该方法的基本思想是先求出二次函数的导数，然后令导数为零，解出此时的自变量取值，最后比较所有自变量取值对应的函数值，找出最大（或最小）的一个即可。
五、利用作图法求解二次函数的最值作图法是一种直观地求解二次函数最值的方法。
二次函数的最值与最值问题的应用
二次函数的最值与最值问题的应用二次函数是数学中常见的一类函数，具有很多重要的性质和应用。
其中最值与最值问题是二次函数的重要内容之一。
本文将详细介绍二次函数的最值性质，以及如何利用最值问题解决实际应用中的相关问题。
一、二次函数的基本性质二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负性。
在讨论二次函数的最值之前，我们先了解一些与最值相关的基本性质。
1. 首先，二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。
当a > 0时，抛物线开口向上，函数的最小值出现在顶点上；当a < 0时，抛物线开口向下，函数的最大值出现在顶点上。
2. 其次，二次函数的顶点即为函数的最值点。
顶点坐标为（h, k），其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为函数的最值（最小值或最大值）。
3. 再次，二次函数的对称轴与顶点的横坐标相同。
对称轴的方程为x = h。
二、二次函数的最值问题二次函数的最值问题是指求解函数的最小值或最大值的问题。
在实际应用中，最值问题经常出现，例如求解投掷问题中的飞行距离最大值或者盈利问题中的最大利润等。
1. 求解二次函数的最值为了求解二次函数的最值，我们可以利用二次函数图像的特点，即找出抛物线的顶点坐标。
通过完成平方项的平方，将二次函数转换为顶点形式，可以轻松地求解最值问题。
例如，对于函数y = x² - 4x + 3，我们可以完成平方项的平方，将其转换为顶点形式：y = (x - 2)² - 1从中可以看出，顶点坐标为（2, -1），函数的最小值为-1。
因此，原二次函数的最小值为-1。
2. 应用最值问题最值问题在实际应用中非常常见，下面以一个具体的应用为例进行解析。
例题：某商品的价格为p（元），销量为x（件），已知该商品的价格和销量满足二次函数关系p = 0.5x² - 2x + 8，求该商品的最佳销量以及最佳价格。
(完整版)二次函数(应用题求最值)(含答案)
二次函数应用题1、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？2.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，41-y A x B 两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.C B C A 03（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线B AB DC 相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；BD l C （3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到P A C P 什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.PAC ∆P PAC ∆3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙x(第13题)另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．（参考公式：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠），当2bx a=-时，244ac b y a-=最大(小)值)4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其502600y x =-+中两个月的销售情况如下表：月份1月5月销售量 3.9万台 4.3万台（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下%m 乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求的值（保留一位小数）．m ）5.831 5.9166.083 6.1645、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数y x ，且时，；时，．y kx b =+65x =55y =75x =45y =（1）求一次函数的表达式；y kx b =+（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定W W x 为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．x 6、某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
二次函数的应用最值问题
1、飞机着陆后滑行的距离s(m)与滑行的时间 t(s)之间的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着 陆后滑行直至 20 (s)才能完全停下来 . 2、用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为 a cm2的长方形，a的值不可能为（ D ） A．20 B．40 C．100 D．120
利用二次函数解决实际问题的步骤：
1、分析问题建立二次函数模型 2、根据数量关系列出函数关系式 3、根据实际问题需要求出自变量的取值范围 4、利用二次函数的图像和性质，求在自变量范围内 的最大（小）值 5、检验结果的合理性，获得实际问题的答案
综合练习册82页第5题、83页第2、3、4题
∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （4≤x<6）
(2) ∵墙的可用长度为8米
பைடு நூலகம்
∴ 0<24－4x ≤8
4≤x<6
D
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米 A
答：当x＝4m时所围成的花圃面 B 积 最大,最大值是32 平方米。
C
2. 某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每 人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠, 即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.但 从安全考虑一个团的人数不得超过45人，你能 帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社 可以获得最大营业额？
孙疃中心校
张翠花
1、如图，在学校靠西墙(墙长8米)的空地上用长
为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方 形花圃,设花圃垂直于墙的一边长为x米,花圃 面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值 A D 是多少？
B C
(1) 设AB=x米 解： 则花圃平行于墙的长为（24－4x）米
二次函数最值应用题
二次函数最值应用题1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P从点A出发，沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后停止移动，回答下列问题：（1）P、Q两点开始运动后第几秒时，三角形PBQ的面积等于8平方厘米？（2）设P、Q两点开始运动后第t秒时，五边形APQCD的面积为S（平方厘米），写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，S最小？求出S的最小值？2．如图，小明父亲想用长为100m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为，并直接写出x的取值范围是；（2）求当x为多少m时，面积S为1050m2；（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？3．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．（1）求每次下降的百分率．（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？（3）在（2）的条件下，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？4．某商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天获利最多，那么每千克应涨价多少元？5．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？6．某公司生产的一种产品在市场上很受欢迎，该公司每年的产量为6万件，可在国内和国外两个市场全部销售．若在国外销售，平均每件产品的利润y1（元）与国外销售量x（万件）之间的函数关系如图所示．若在国内销售，平均每件产品的利润为y2＝84元，设该公司每年在国内和国外销售的总利润为w万元．（1）求y1与x之间的函数关系式，并求x的取值范围．（2）该公司每年在国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？（3）该公司计划以国外销售的每件产品中捐出2m（1≤m≤4）元给希望工程，从国内销售的每件产品中捐出m 元给希望工程，且国内销售量不低于4万件，若这时国内外销售的总利润的最大值为520万元，求m的值．7．“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元，且不高于60元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．（1）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元；（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？？（3）当t为多少秒时，S＝S△ABC。
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二次函数的应用（最值问题）
教学目标：
知识与技能：利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质解决简单的实际问题。
能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题。
过程与方法：
1、能将实际问题转化为二次函数问题，进而建立数学模型解决，从中体会数学建模的思想和数学来源于生活又服务于生活。
2、从“数”（解析式）和“形”（图象）的角度理解二次函数与实际生活中“最值“问题之间的联系，体会”数形结合“的思想。
情感态度：通过用二次函数解决实际生活中的问题，体验函数知识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系。
重点：应用二次函数解决实际生活及几何图形中有关的最值问题。
难点：
1、正确构建数学模型。
2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用。
教学方法与手段：
由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启
发探究式“为主线开展教学活动，解决问题。
以学生动手动脑探究为主，必要时加以
小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到”不
但使学生学会，而且使学生会学“的目的。
为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。
教学过程：
一、复习导入：
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条＿＿＿,他的对称轴是﹍﹍，顶点坐标是﹍﹍。
2、当a＞0时，抛物线开口向﹍，有最﹍点，当x=﹍时，函数有最﹍值是﹍﹍；当a＜0时，抛物线开口向﹍，有最﹍点，当x=﹍时，函数有最﹍值，是﹍﹍。
二、探究问题
问题一：利润最值问题
提问：利润公式？利润=（售价-进价）×销售量
出示问题：
小丽、小强和小红到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作。
已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话。
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克。
小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克。
小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元。
（1）请根据他们的对话填写下表
（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在怎样的函数关系？并求y(千克)与x(元)的函数关系式。
（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x之间的函数关系式。
当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元?
(4)若物价部门规定，这种水果的售价不能高于11元/千克，当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？
让学生小组活动，并让学生说出每一个信息是由哪一句话得出的？如何想的？然后独立求出解析式并小组订正，最后独立求出最值，集体板演订正。
最后一问教师引导得出。
小结：对于二次函数求最值问题应设一个量为自变量x,所求问题为函数，建立二次函数模型，写出函数关系式。
要注意自变量的取值范围，在取值范围内利用顶点或端点求最值。
问题二：线段长度最值问题
如图，抛物线y=-5/4x2+17/4x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于
另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点 C（3，0）。
（1）求直线AB的函数关系式
（2）动点P在线段OC上从原点出发
以每秒一个单位的速度向C移动，过点P
作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物
线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN
的长度为s个单位，求s与t的函数关系
式，写出t的取值范围，并求s的最大值。
第一问让学生独立完成，小组订正结果。
第二问引导学生思考求MN长度应用哪个知识点？
问题三：图形面积最值问题
如图，对称轴为直线的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为A.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上一点，设△CBP的面积为S，求S的最大值;并求此时点P的坐标。
第一问学生独立完成，第二问学生讨论得出不同的思考方法，锻炼学生的发散思维及多种思路解决问题的能力。
三、课堂小结
对于二次函数求最值问题，应设一个量为自变量x，所求问题为函数，建立二次函数模型，写出函数关系式，利用顶点或端点求最值。
四、作业检测：
1、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围。
（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
（3）若墙的最大可用长度为8米，求围成
花圃的最大面积？
2、在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题：
设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时， S有最小值？并求出最小值；。