双曲线专题复习讲义及练习
双曲线专题复习讲义
★知识梳理★
1. 双曲线的定义
（1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;
当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义
平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线
与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(22
22≠=-λλb y a x
与双曲线122
22=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a
-=
等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .；
★重难点突破★
1.注意定义中“陷阱”
问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为
点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支
12||||610PF PF -= 92 2>=- x y x 2.注意焦点的位置 问题2：双曲线的渐近线为x y 2 3 ± =，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时， 23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，2 3 =b a ，313=e ★热点考点题型探析★ 考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义 [例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同 时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线 122 22=-b y a x 上， 依题意得a=680, c=1020， 1 3405680340568010202 2 22222222=?-?=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为 用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|, 10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1.设P 为双曲线112 2 2 =-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ） A ．36 B ．12 C ．312 D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ① 又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF ,52||,52||||2212221==+F F PF PF Θ 为21F PF ∴直角三角形， .12462 1 ||||212121=??=?= ∴?PF PF S F PF 故选B 。 2.如图2所示，F 为双曲线116 9: 2 2=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称， 则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27 [解析] =-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P ，选C 3. P 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距 为2c ，则21F PF ?的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a - （B ）b - （C ）c - （D ）c b a -+ ［解析］设21F PF ?的内切圆的圆心的横坐标为0x ， 由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=?=----=-000122|)(||| 题型2 求双曲线的标准方程 [例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162 x －4 2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程． 【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组 三、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念 例1 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则=||2PF （ ） A ．1或5 B ．6 C ．7 D ．9 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出 2||PF 的值． 解：Θ双曲线19222=-y a x 渐近线方程为y =x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>Q ，7||2=∴PF . 故选C ． 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法． （二）基本量求解 例2(2009山东理)设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线2 1y x =+只有一个公共点， 则双曲线的离心率为（ ） A ． 4 5 B ．5 C ．25 D ．5 解析：双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组21b y x a y x ? =? ??=+?，消去y ，得 210b x x a - +=有唯一解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选D ． 归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能． 例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线y =x 2 +1相 切，则该双曲线的离心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6 解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为 0'0|2x x y x ==．由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+，联立两式解得:2201,2,1()5b b x e a a =∴ ==+=． 因此选C ． 例4（2009江西）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点，若12F F ，， (0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 解析：由3tan 6 2c b π = =2222 344()c b c a ==-，则2c e a ==，故选B ． 归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出3 tan 6 2c b π = =体现数形结合思想的应用． （三）求曲线的方程 双曲线专题复习讲义 考点1双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义 题型1求离心率或离心率的范围 2 2 ［例3］已知双曲线X y 每 1,（a 0,b 0）的左，右 焦 a b 点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，且 端点，若该椭圆的长轴长为 4，则△ AF 1F 2面积的最大值 为 ___ . 4.过点（-6 , 3）且和双曲线x 2 -2y 2 =2有相同的渐近线 的双曲线方程为 _________________ 。 | PF 1 | 4|PF 2 |，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_. 【新题导练】 双曲线 x2 64 y2 36 =1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么点P 到左准线的距离是 题型2与渐近线有关的问题 在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化 解题过程.同时要熟练掌握以下三方面内容： （1）已知双曲线方 程, 求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线 的 b 、f c2 — a2 /c2. ---------- 斜率与离心率的关系，如 k =a —a2—1= . e2—1. 【新题导练】 2 1. 设P 为双曲线X 2 - 1上的一点F 1、F 2是该双曲 12 线的两个焦点，若|PF 1|： |PF 2|=3 : 2,则厶PF 1F 2的面 积为 （ ） A. 6、3 B. 12 C. 12 .3 D. 24 2 2 2. 如图2所示，F 为双曲线C : — — 1的左焦点， 9 16 双曲线C 上的点P 与P 7 i i 1,2,3关于y 轴对称， ［例4］若双曲 线 2 X ~2 a 2 莒 1（a 0,b 0）的焦点到 渐 b 2 近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 7 . 【新题导 练】 2 双曲线— 4 2 y_ 9 1的渐近线方程 是 A. 2 x B. 3 C. D.2 则 RF P 2F P 3F F 4F F ^F P 6F 的值是（） 8.焦点为（0, 6），且与双曲线 1有相同的渐近线 A . 9 B. 16 C. 18 D. 27 题型2求双曲线的标准方程 2 ［例2 ］已知双曲线C 与双曲线— 16 2 —=1有公共焦点, 4 的双曲线方程是 2 A .— 12 2 y 24 2 1B .— 12 2 x 24 ) 2 C . 乂 24 2 x 12 2 D .— 24 2 乂 1 12 双曲线专题练习 且过点（3 ...2，2）.求双曲线C 的方程. 【新题导练】 3.已知双曲线的渐近线方程是 y 2，焦点在坐标轴上 且焦距是10，则此双曲线的方程为 __________________ ; 4?以抛物线y 2 8 -. 3x 的焦点F 为右焦点，且两条渐近 线 是x J3y 0的双曲线方程为 _________________________ . 考点2双曲线的几何性质 一、填空题 2 1 .椭圆工 9 k= 。 2 1与双曲线丄 k 仝1的焦点相同，则 3 2 2.双曲线丄 9 2 鼻1的渐近线为 4 3 ?已知 戸、F 2为椭圆的两个焦点， A 为它的短轴的一个 5.过原点与双曲线 1交于两点的直线斜 率 2 2 5.已知双曲线—' m n 1的一条渐近线方程 为 的取值范围是 6、若双曲线8kx 2 ky 2 8的一个焦点是 0, 3),则 k C . 5 1 或2 D.不存在 2 双曲线专题练习 5．（2020·陕西省西安市育才中学模拟）已知双曲线C：x2 a2－y2 16＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y ＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝() A ．1 B ．13 C ．17 D ．1或13 6．（2020·辽宁省东北中山中学模拟）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线 的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2 12＝1 B.x 212－y 2 4＝1 C.x 23 －y 2 ＝1 D ．x 2－ y 2 3 ＝1 7．（2020·河北省秦皇岛市第三中学模拟）如图，双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别 为F 1，F 2，直线l 过点F 1且与双曲线C 的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M ，N 两点，若|NF 1|＝2|MF 1|，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝± 33x B ．y ＝±3x C ．y ＝±22 x D ．y ＝±2x 8.（2020·辽宁省海城市高级中学模拟）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5 4，且其右焦点为F 2(5， 0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2 3＝1 B.x 29－y 2 16＝1 C.x 216－y 2 9 ＝1 D.x 23－y 2 4 ＝1 9.（2020·吉林省四平市实验中学模拟）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的 距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A. 53 B.355 C.63 D.62 10.（2020·黑龙江省双鸭山市第一中学模拟）已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos △F 1PF 2＝( ) A.14 B.35 C.34 D.4 5 11．（2020·江西省赣州市第一中学模拟）双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3 5x ，则a ＝ . 12．（2020·福建省福州高级中学模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的 右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为 3 2 c ，则其离心率的值为 ． 13．（2020·安徽省马鞍山市第二中学模拟）双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的 边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝ . 14．（2020·江苏省太湖高级中学模拟）已知椭圆D ：x 250＋y 2 25＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9.双曲线G 与 椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程． 15．（2020·浙江省义乌第二中学 模拟）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线的方程； (2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→ ＝0. 16．（2020·黑龙江省绥化市第一中学模拟）中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点 （二）双曲线知识点及巩固复习 1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支 F 1，F 2 为两定点，P为一动点，(1)若||PF 1 |-|PF 2 ||=2a ①0<2a<|F 1F 2 |则动点P的轨迹是 ②2a=|F 1F 2 |则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F 1|-|PF 2 |=2a ①0<2a<|F 1F 2 |则动点P的轨迹是 ②2a=|F 1F 2 |则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程 3.双曲线的性质 （1）焦点在x轴上的双曲线 标准方程 x,y的范围 顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距 离心率e=范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线 的开口越 准线渐近线焦半径公式|PF 1 |= |PF 2|= (F 1 ，F 2 分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的 一点) （1）焦点在y轴上的双曲线 标准方程 x,y的范围 顶点焦点对称轴对称中心 实半轴的长虚半轴的长焦距 离心率e=范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线 的开口越 准线渐近线焦半径公式|PF 1 |= |PF 2|= (F 1 ，F 2 分别为双曲线的下上两焦点，P为椭 圆上的一点) 1.等轴双曲线：特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直 ③离心率为 2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线 的共轭双曲线 特点①有共同的渐近线②四焦点共圆 双曲线的共轭双曲线是 6.双曲线系 高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（） A．x=0 B． C．D． 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为． 3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是 4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程． 5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为． 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为． 2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为． 3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0） 和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（） A． B．C．D． 3、焦点三角形 1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为． 2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积． 3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求： （1）双曲线的渐近线方程； （2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积． 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k= ＿＿＿＿ 5、综合题型 双曲线及其标准方程 【学习目标】 1．知识与技能： 从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程． 2．过程与方法： 学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图象和标准方程． 3．情感态度与价值观： 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用． 【要点梳理】 要点一：双曲线的定义 把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线． 定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释： 1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同： 若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支； 若 常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在； 若 常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 要点二：双曲线的标准方程 1．双曲线的标准方程 2．标准方程的推导 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简． （1）建系 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． （2）设点 设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)． （3）列式 设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a． 由定义可知，双曲线就是集合：P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}． ∵2222 12 ||(),||(), MF x c y MF x c y ++=-+ ∴2222 ()()2 x c y x c y a ++-+=± (4)化简 将这个方程移项，得 当焦点在x轴上时， 22 22 1 x y a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+； 当焦点在y轴上时， 22 22 1 y x a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+ 双曲线专题 一、学习目标： 1.理解双曲线的定义； 2.熟悉双曲线的简单几何性质； 3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目. 二、知识点梳理 定 义 1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于 2 1F F ）的点的轨迹 2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e e （＞1）的点的轨迹 标准方程 -2 2a x 22 b y =1()0,0>>b a -22a y 22 b x =1()0,0>>b a 图 形 性质 范围 a x ≥或a x -≤，R y ∈ R x ∈，a y ≥或a y -≤ 对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B 焦点 ()0,1c F -，()0,2c F ()c F -,01，()c F ,02 轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2 离心率 1>= a c e ，其中22b a c += 准线 准线方程是c a x 2 ±= 准线方程是c a y 2 ±= 三、课堂练习 1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.1 2 B ．1或－2 C ．1或1 2 D ．1 2.已知F 是双曲线x 24－y 2 12＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2 ＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 2 7＝1 D.x 27－y 2 3＝1 5.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________． 6.已知双曲线x 26－y 2 3＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365 B.566 C.65 D.56 双曲线知识点总结复习 1.双曲线的定义： （1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222 c a b =+），焦点在y 轴上时2 222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为： 22 1(0)x y mn m n -=>这样设的好处是为了计算方便。 （2）等轴双曲线： （注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。） 例一：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。） 思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线？ 2.双曲线的几何性质： （1）双曲线（以）（0,01-22 22>>=b a b y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点： 两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±；⑤离心 率：c e a =，双曲线?1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通 径22b a （2）渐近线：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为： 等轴双曲线的渐近线方程为：，离心率为： （注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图） 例二：方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________ 例四：双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________ 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。 2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 五、求椭圆的离心率问题。 例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． ． 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ，求k 的值． 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。 2．已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，求△ABF 2的周长． 3．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24 ＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，求△PF 1F 2的面积． 七、直线与椭圆的位置问题 例 已知椭圆1222=+y x ，求过点?? ? ??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 第一部分 双曲线相关知识点讲解 一．双曲线的定义及双曲线的标准方程： 1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨 迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中 |1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的外部： (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 三.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ， 焦点在y 轴上）. 四．双曲线的简单几何性质 22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴围：|x |≥a ，y ∈R 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223， ，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 双曲线专题复习讲义 ★知识梳理★ 1. 双曲线的定义 （1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在; 当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义 平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线 与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(22 22≠=-λλb y a x 与双曲线122 22=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a -= 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .； ★重难点突破★ 1.注意定义中“陷阱” 问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支 12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116 92 2>=- x y x 2.注意焦点的位置 问题2：双曲线的渐近线为x y 2 3 ± =，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时， 23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，2 3 =b a ，313=e ★热点考点题型探析★ 考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义 [例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同 时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线 122 22=-b y a x 上， 依题意得a=680, c=1020， 用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|, 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1.设P 为双曲线112 2 2 =-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ） A ．36 B ．12 C ．312 D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ① 又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF 为21F PF ∴直角三角形， 双曲线 基本知识点 双曲线 标准方程（焦点在x 轴） )0,0(12 2 22>>=-b a b y a x 标准方程（焦点在y 轴） )0,0(122 22>>=-b a b x a y 定义 第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 {}a MF MF M 22 1 =-()212F F a < 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e ，当1e >时，动点的轨迹是双曲线。定点F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （1e >）叫做双曲线的离心率。 范围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈ 对称轴 x 轴 ，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b 对称中心 原点(0,0)O 焦点坐标 1(,0)F c - 2(,0)F c 1(0,)F c - 2(0,)F c 焦点在实轴上，22c a b =+；焦距：122F F c = 顶点坐标 （a -,0） (a ,0) (0, a -,) (0，a ) x y P P x y P x y P x y P P 补充知识点： 等轴双曲线的主要性质有： （1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b ，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b 这两个字母）； （2）其标准方程为x^2-y^2=C ，其中C≠0； （3）离心率e=√2； （4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直； （5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项； （6）等轴双曲线上任意一点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分； （7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a^2； （8）等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中心以逆时针方向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。 所以反比例函数y=k/x 的图像一定是等轴双曲线。 例题分析： 例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（ ） Ａ．221916x y -= Ｂ．22 1169x y -+= Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．22 1(3)169 x y y -+=-≤ 同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为34 y x =±，则离心率为（ ） Ａ．5 3 Ｂ．54 Ｃ．53或54 Ｄ．3 例2、已知双曲线22 14x y k +=的离心率为2e <，则k 的范围为（ ） Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<< Ｄ．120k -<< 同步练习二:双曲线22 221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ． 例3、设P 是双曲线22 219 x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲 线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为 ． 同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(215)，，则双曲线的标准方程为 。 例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 《圆锥曲线》---------双曲线 主要知识点 1、 双曲线的定义: (1) 定义：_____________________________________________________________ (2) 数学符号：________________________ (3) 应注意问题： 2 注意：如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，如何求出焦点坐标？ 3 注意：（1）如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？ （2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？ （3）当时b a ，双曲线有什么特点？ 4．双曲线的方程的求法 （1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系 ①已知双曲线段的标准方程是22221x y a b -=(0,0)a b >>（或22 221(0,0)x y a b b a -=>>）， 则渐近线方程为________________________________________________________________； ②已知渐近线方程为0bx ay ±=，则双曲线的方程可表示为__________________________。 （2）待定系数法求双曲线的方程 ①与双曲线22 221x y a b -=有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________； ②若双曲线的渐近线方程是b y x a =± ，则双曲线的方程可表示为_____________________； ③与双曲线22 221x y a b -=共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________； ④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________； ⑤与椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>有共同焦点的双曲线的方程可表示为 ______________________________________________________________________________。 5．双曲线离心率的有关问题 （1）c e a = ，1e >，它决定双曲线的开口大小，e 越大，开口越大。 （2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率2e = 。 （3）双曲线离心率及其范围的求法。 ①双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法求解。 ②双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑：a ．与已知范围联系，通过求 值域或解不等式来完成；b ． 通过判别式?；c ．利用点在曲线内部形成的不等式关系；d ．利用解析式的结构特点。 6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算 （1）直线与双曲线的位置关系有：____________、____________、____________ 注意:如何来判断位置关系？ （2）若斜率为k 的直线被双曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则相交弦长 =AB _____________________ 二、典型例题： 考点一：双曲线的定义 例1 已知动圆M 与圆C 1：(x +4)2 +y 2 =2外切，与圆C 2：(x -4)2 +y 2 =2内切，求动圆圆心M 的 轨迹方程. 变式训练：由双曲线4 92 2y x -=1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构 高二数学双曲线知识点及经典例题分析 1. 双曲线第一定义： 平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。 2. 双曲线的第二定义： 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。 3. 双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 222 2100-=>>()， （2）焦点在y 轴上的：y a x b a b 222 2100-=>>()， （3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。 注：c 2＝a 2＋b 2 4. 双曲线的几何性质： （）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：1100222 2x x a y b a b -=>>() <>≤-≥1范围：，或x a x a <2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。 <3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。 <>=>41离心率：e c a e () e 越大，双曲线的开口就越开阔。 <>± 5渐近线：y b a x = <>=±62 准线方程：x a c 5．若双曲线的渐近线方程为：x a b y ± = 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： )0(22 22≠=-λλb y a x 【典型例题】 例1. 选择题。 121 122 .若方程 表示双曲线，则的取值范围是（）x m y m m +-+= A m B m m ..-<<-<->-2121或 C m m D m R ..≠-≠-∈21 且 2022.ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（） A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 322.sin sin cos 设是第二象限角，方程表示的曲线是（）ααααx y -= A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在y 轴上的椭圆 C. 焦点在y 轴上的双曲线 D. 焦点在x 轴上的双曲线 416913 221212.双曲线 上有一点，、是双曲线的焦点，且，x y P F F F PF -=∠=π 则△F 1PF 2的面积为（ ） A B C D (963) 33 93 例2. () 已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945-?? ?? ?双曲线题型归纳含(答案)
双曲线专题复习讲义及练习学生
双曲线专题练习(含解析)
双曲线知识点总结例题
高中数学双曲线经典例题
【精品】高中数学 选修1-1_双曲线及其标准方程_ 知识点讲解 讲义+巩固练习(含答案)提高
双曲线专题经典练习及答案详解
双曲线知识点复习总结
椭圆、双曲线、抛物线典型例题整理
双曲线经典例题讲解
椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案
高中数学《双曲线》典型例题12例(含标准答案)
双曲线专题复习讲义及练习
(完整版)双曲线知识点归纳与例题分析
双曲线专题复习(精心整理).
高二数学双曲线知识点及经典例题分析-参考模板