142.2完全平方公式2

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人教版八年级数学上册 14.2.2完全平方公式课件

推进新课知识点1 探究完全平方公式
探究计算下列多项式的积. （1）（p+1）2 =_p_2_+_1_+__2_p_；（m+2）2 =_4_m__2+__4_+_4_m__；
（2）（p-1）2 =__p_2_+_1_-_2_p_；（m-2）2 =_4_m__2_+_4_-_4_m__.
(1)(5－a)2； (3)(－3a＋b)2.
(2)(－3m－4n)2；
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
例题
例2 运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ;
(2) 992 .
解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2 × 100 × 2 + 22
首平方，尾平方，积的2倍在中央
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
验证
先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形
的面积等于这四个图形的面积之和．阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；
另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个长方形的长都是a，宽都是b，所以每个长方形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是 (a+b)2．于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2．这正好符合完全平方公式．
1.若x+y=3,xy=1,则
【解析】答案：7
(x y)2 2xy 32 2 7.

第十四章 14.2 14.2.2 完全平方公式

(2)20182.
解：原式＝(2000＋18)2＝20002＋2×2000×18＋182＝ 4000000＋72000＋324＝4072324.
5. 已知 x＋y＝4，xy＝2，试求： (1)x2＋y2 的值；
解：∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy，又 x＋y＝4，xy＝2，∴x2＋y2＝42－2×2＝16－4＝12；
9. 已知多项式 A＝(x＋2)2＋x(1－x)－9.
(1)化简多项式 A 时，小明的结果与其他同学的不同，请你检査．
小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出现错误的是出错的是①；正确的解答过程为正确的解
答过程为：A＝x2＋4x＋4＋x－x2－9＝5x－5 ．
(2)小亮说：“只要给出 x2－2x＋1 的合理的值，即可求出多项式 A 的值．”小明给出 x2－2x＋1 值为 4，请你求出此时 A 的值．
．
【解析】由题意，①9x2＋1－9x2＝12；②9x2＋1－1 ＝(3x)2；③9x2＋1±6x＝(3x±1)2；④9x2＋1＋841x4＝(92x2＋ 1)2.
7. 计算： (1)(x＋3)(x－3)(x2－9)；解：原式＝x4－18x2＋81； (2)(a＋2b－c)(a－2b－c)；
解：原式＝a2－2ac＋c2－4b2.
4. 已知 a－b＝2，b－c＝3，则 a2－2ac＋c2＝ 25 ．
5. 若x＋1x2＝9，则x－1x2的值为 5
．
6. (易错题)多项式 9x2＋1 加上一个单项式后，能成为
一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 6x 或
－6x 或841x4 或－9x2 或－1
解：(m＋n)2＝69.
1．完全平方公式的特征：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其结构是：“首平方，尾平方，积的 2 倍放中央”．

八年级数学上册14.2.2 完全平方公式(人教版)【DOC范文整理】

八年级数学上册14.2.2 完全平方公式（人教版）2.2 完全平方公式第1课时完全平方公式【教学目标】掌握完全平方公式的基本特征，理解公式的几何背景.会用完全平方公式进行计算.经历完全平方公式的探索过程，发展学生的符号感和推理能力.通过完全平方公式的应用，体会公式中字母的含义，渗透整体、数形结合、类比的数学思想.【重点难点】重点：1.完全平方公式的推导过程，结构特点，几何解释；完全平方公式的应用.难点：完全平方公式的特点及整体思想的渗透.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、设计问题，导入新问题1：教师开门见山：前面我们学习了多项式乘以多项式和平方差公式，请同学们计算：；；;.并回忆多项式乘以多项式法则和平方差公式.问题2：请同学们计算：＝＝________；＝________；＝________；＝________.学生通过多项式乘以多项式的法则进行计算，教师巡视指导，发现计算中的问题给予个别指导.完全平方公式与平方差公式一样，都是多项式乘以多项式的特殊形式，因此通过设置复习，计算问题2培养学生观察、思考、提出问题的能力，让学生经历从一般到特殊的过程，为公式的发现、证明奠定基础.二、师生互动，探究新知问题1：通过计算你有什么新的发现？请类比上节课平方差公式的学习过程，试着用语言叙述或式子表达出来.学生交流，讨论.文字叙述：两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.符号叙述：2＝a2＋2ab＋b2；2＝a2－2ab＋b2.问题2：怎么验证这一规律？学生可以通过计算来验证；如学生想不到通过面积法，教师提示上一节课平方差公式的面积验证过程，提示如何验证2＝a2＋2ab＋b2?先看图1，可以看出大正方形的边长是a＋b，还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和.阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2.另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2.另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a＋b，其面积是2.于是就可以得出：2＝a2＋2ab＋b2.学生尝试验证2＝a2－2ab＋b2，分组交流，各组展示：如图2中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DcGE与矩形BcHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是ab；正方形HcG的边长是b，其面积就是b2；正方形AFE的边长是，所以它的面积是2.从图中可以看出正方形AEF的面积等于正方形ABcD的面积减去两个矩形DcGE 和BcHF的面积再加上正方形HcG的面积，也就是2＝a2－2ab ＋b2.教师小结：这两个公式叫做完全平方公式，从刚才的推理可以看出，数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征.完全平方公式也是多项式乘法运算中一个重要的公式，由于学生在前面已经接触过平方差公式推导的思路和方法，所以在此引导他们再次自主推导即可.在完全平方公式的验证过程中，通过对类比平方差公式的面积验证，抓住机遇，进一步渗透数形结合的思想、类比的思想，渗透“特例—归纳—猜想—验证—用数学符号表示”的一般过程.三、运用新知，解决问题应用完全平方公式计算：；运用完全平方公式计算：012；982.分析：利用完全平方公式计算，步先选择公式；第二步准确代入公式，确定好公式中的a，b；第三步化简.运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，教学时可让学生自己独立解决此问题，让学生通过应用举例，达成本节课的基本学习目标.四、课堂小结，提炼观点通过本节课的学习，你有何收获和体会？还有哪些困惑？五、布置作业，巩固提升教材第112页第2，4题【板书设计】完全平方公式＝a2＋2ab＋b2＝a2－2ab＋b2【教学反思】本节课充分发挥了学生自主学习、探究的能力.从归纳猜想、随堂练习到公式验证、巩固提高，都渗透着从学生自主探索，再到学生与学生之间的合作交流学习，都突出了学生是探索性学习活动的主体这一理念.此外，还充分挖掘本课时教材中的隐含的各种数学思想，在教学中渗透如数形结合思想、换元思想、化归思想，注重培养学生发现问题、解决问题的能力.第2课时添括号法则【教学目标】利用添括号法则灵活应用乘法公式进行运算.利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力.鼓励学生算法多样化，培养学生多方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神.【重点难点】重点：利用添括号法则灵活应用乘法公式进行运算.难点：根据式子特点灵活添加括号，使其符合乘法公式特点.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新计算：；；；2.结合上题回答：具备什么特点的式子可以应用平方差公式或完全平方公式？平方差公式、完全平方公式中字母代表什么？多项式乘以多项式的法则是什么？计算：2；.师生活动：1题学生独立计算，订正答案，结合第1题回答第2题；回答第3题后，独立计算.乘法公式是特殊化的多项式乘法，而平方差公式和完全平方公式的推广可以简化运算，第4题的运算过程与结果学生会有模糊的感知，从而为后续教学奠定基础.二、师生互动，运用新知问题1：计算：[－1]2；[－4c]•[＋4c].通过计算，说说你的发现.学生计算，结合刚才第4题，对比分析，小组内交流、归纳、发言.①平方差公式、完全平方公式中字母可以代表一个数，一个字母，一个单项式，也可以是一个多项式；②对于某些多项式乘以多项式，只要符合一定要求，就可以运用乘法公式进行运算.追问：观察2、与[－1]2、[－4c][＋4c]有了什么变化？归纳：后两式子添加了括号.问题2：同学们完成下列运算并回忆去括号法则.＋；4－；a＋；a－.去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符号；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符号.也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变.问题3：你能总结出添括号法则吗？学生：添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.也是：遇“加”不变，遇“减”都变.巩固：请同学们利用添括号法则完成下列练习.在等号右边的括号内填上适当的项：a＋b－c＝a＋；a－b＋c＝a－；a－b－c＝a－；a＋b＋c＝a－.学生尝试或独立完成，然后与同伴交流解题心得.教师巡视学生完成情况，及时发现问题，并帮助个别有困难的同学.总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确.添括号的学习结合去括号进行，加强对比，学生容易认可和接受，并且互相印证，互相检验，可减少应用中的失误.三、运用新知，解决问题运用乘法公式计算：；2；－x2；2－.此处是学生理解的难点，也是教学的重点，教学时可设计大量的例子让学生做转化练习，并让其说明这样做的道理，这样设计有利于加深学生对乘法公式的理解，也会开阔学生的视野.四、课堂小结，提炼观点通过本节课的学习，你有何收获和体会？五、布置作业，巩固提升教材第114页第3，4题巩固本节所学知识，并通过作业进一步理解和消化相关内容【板书设计】添括号法则添括号法则：遇“加”不变，遇“减”都变.【教学反思】本节课是在学习了平方差公式与完全平方公式之后进行的，本课时中的内容不多，但对知识的要求较高，难点也较多，对学生的要求也较高，所以对课堂教学的组织要求就更高.因此在设计活动时，紧紧围绕着乘法公式的形式展开，并根据活动情况不断地变换问题，以问题为核心调动学生参与活动的兴趣与积极性，在每一个教学环节都对学生提出了不同的要求.。

(第2套)最新人教版八年级上册数学 14.2.2 完全平方公式精品教学课件

不对， x2 +2xy+ y2
不对， a2 - 2ab+b2
不对，4m2 - 4mn+n2
（3）
(1 a+3)2 = 1 a2 +3a+9
对
2
4
（4）
自学检测：
2.运用完全平方公式计算
（1） (x +6)2（2） ( y - 5)（2 3） (-2x+5)2
（4） ( 3 x - 2 y)2 (5)
3.已知
的值
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482
43
3. 若 (x - y)2 = x2 + xy+ y2 + N则N为（）
A. -3xy B.3xy C . -xy D. xy
4.若 x2 +2ax+1是一个完全平方式，则a 的值是
（）
A. 1
B. - x
±1 D.0
x
2
+
1的值 x2
思考：
(a +b)2与(-a - b)2 相等吗？（a - b)2与（b - a)2相等吗？（a - b)2与a2 - b2相等吗？为什么？
7分钟后比一比谁最棒
自学提问：
• 1.109页探究中有什么规律？如何用公式表示？ • 2.有文字语言如何表述？ • 3.完全平方公式的结构特征是什么？
自学检测：
1.判断下列各式的计算是否正确，若不正确，应当
怎样改正？ (x+ y)2 = x2 + y2
（1） (a - b)2 = a2 - 2ab - b2 （2） (2m - n)2 = 4m2 - 2mn+n2

人教版八年级数学上册《1422 完全平方公式2 》课件

去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项
的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项
的符号与原来的符号相反．
把四个等式的左右两边反过来，即：（1） 4+5+2=4+（5+2）（2）4-5-2=4-（5+2）（3） a+b+c =a+（b+c）（4）a-b+c=a-（b-c）
14.2.2 完全平方公式
第2课时
1.理解添括号法则. 2.能灵活应用利用添括号法则及完全平方公式
进行整式乘法运算． 3.进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义．
请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．（1）4+（5+2）（2）4-（5+2）（3）a+（b+c）（4）a-（b-c）
【解析】（1）4+（5+2）=4+5+2=11 （2）4-（5+2）=4-5-2=-3 或：4-（5+2）=4-7=-3 （3）a+（b+c）=a+b+c （4）a-（b-c）=a-b+c
（）
A．2m+3 【解析选】A.
B．2m+6
C．m+3
（m+3)2 m2 6m 9 2m 3.
3
3
D．m+6
2.（湖州·中考）化简a＋2b－b，正确的结果是（）
A．a－b
B．－2b
C．a＋b
D．a+2
【解析】选C.a＋2b－b=a＋(2b－b)=a+b.
3.（宿迁·中考）若2a-b=2,则6+8a-4b=

人教版八年级上册数学14.2.2完全平方公式课件

4.化简求值：［2x2-(x+y)(x-y)］［(-x-y)(y-x)+2y2］，
其中x=1，y=2.
解：原式=(2x2-x2+y2)(x2-y2+2y2)
=(x2+y2)2
=x4+2x2y2+y4
当x=1，y=2时，原式=1+8+16=25.
课堂小结
完
全
平
方
公
式
公式
(a b)2 a2 2ab b2
3. 运用乘法公式计算：
（1）(a＋2b－1)2；
（2）(2x＋y＋z) (2x－y－z) .
解：
(1)原式 =[(a 2b) 1]2
(a 2b)2 2(a 2b) 112
a2 2 a (2b) (2b)2 2a 4b 1
a2 4ab 4b2 2a 4b 1
=1002+2×100×2+22
=10404；
（2）992
=(100－1)2
=1002－2×100×1 +12
=9801.
【课本P110 练习第2题】
下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正？
（1）( a＋b )2＝a2＋b2 ；
（2）( a－b )2＝a2－b2 .
解：（1）错在没有准确地套用公式，漏掉了一项2ab.
(2) ( y 5)2 y2 2 y 5 52 y2 10 y 25
(3) (2 x 5)2 (2 x)2 2(2 x) 5 52
4 x2 20 x 25
【课本P110 练习第1题】
2.运用完全平方公式计算：
(1) ( x 6)2；

八年级数学上册14.2乘法公式14.2.2完全平方公式2教案新版新人教版

课题：14.2.2完全平方公式（2）——添括号法则教学目标：掌握添括号法则；并能综合运用乘法公式进行计算．重点：掌握添括号法则．难点：灵活运用乘法公式进行计算．教学流程：一、知识回顾1.说一说乘法的平方差公式？答案：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．即：22()()a b a b a b +-=-2.说一说乘法的完全平方公式？答案：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．即：222()2a b a ab b ±=±+3.你还记得“去括号”法则吗？答案：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．4.去括号：a ＋(b ＋c )=__________a －(b ＋c )=__________答案：a ＋b ＋c ；a －b －c3二、探究问题：a ＋(b ＋c )= a ＋b ＋ca －(b ＋c )= a －b －c根据上面的式子填空：a ＋b ＋c =a ＋( )a －b －c =a －( )答案：b ＋c ；b ＋c归纳：添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号.如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.试一试：把下列各项填入括号内：2x 3－x 2＋5x －7=＋( )=－( ) 答案：2x 3－x 2＋5x －7；－2x 3＋x 2－5x ＋7想一想：()()a b c a b c +++-怎样计算简便呢？解： 22222()()[()][()]()2a b c a b c a b c a b c a b ca ab bc +++-=+++-=+-=++- 练习：1．下列添括号正确的是( )A ．a －b ＋c ＝a －(b ＋c )B ．a ＋b －c ＝a －(b －c )C ．a －b －c ＝a －(b ＋c )D ．a －b ＋c －d ＝(a ＋c )－(b －d ) 答案：C2.填空： 22(1)1()x x x -+=- 22(2)3213()x x x --=+ (3)()()()x y m n x ---=-答案：1x -；21x --；y m n +-3．下列添括号错误的是( )A ．a 2－b 2－b ＋a ＝a 2－b 2＋(a －b )B ．(a ＋b ＋c )(a －b －c )＝[a ＋(b ＋c )][a －(b ＋c )]C ．a －b ＋c －d ＝(a －d )＋(c －b )D ．a －b ＝－(b ＋a )答案：D三、应用提高运用乘法公式计算：2(23)(23)(1);(2)(.)x y x y a b c +--+++解：222222(1)(23)(23)[(23)][(23)](23)(4129)4129x y x y x y x y x y x y y x y y +--+=+---=--=--+=-+-2222222222(2)()[()]()2()222222a b c a b c a b a b c c a ab b ac bc c a b c ab ac bc++=++=++++=+++++=+++++ 四、体验收获今天我们学习了哪些知识？1.说一说添括号法则的内容？2.应用添括号法则时要注意什么？五、达标测评1．将多项式3x 3－2x 2＋4x －5添括号后正确的是( )A ．3x 3－(2x 2＋4x －5)B ．(3x 3＋4x )－(2x 2－5)C ．(3x 3－5)－(2x 2－4x )D ．2x 2＋(3x 3＋4x －5) 答案：C2．已知2a －3b 2＝5，则10－2a ＋3b 2的值是____．答案：5解：∵ 2a －3b 2＝5∴10－2a ＋3b 2＝10－(2a －3b 2)＝10－5＝5.3.运用乘法公式计算：(1)(3a ＋b －2)(3a －b ＋2)；(2)(a ＋b －c )2. 解：222222(1)(32)(32)[3(2)][3(2)]9(2)9(44)944a b a b a b a b a b a b b a b b =+---=--=--+=-+-＋－－＋2222222222(2)()[()]()2()222222a b c a b c a b a b c c a ab b ac bc c a b c ab ac bc+-=+-=+-++=++--+=+++-- 4．已知(a ＋b ＋1)(a ＋b －1)＝63，求a ＋b 的值．解：∵ (a ＋b ＋1)(a ＋b －1)＝63[(a ＋b )＋1][(a ＋b )－1]＝63∴(a ＋b )2－1＝63∴(a ＋b )2＝64∴a ＋b ＝±8六、布置作业教材111页练习题第2题．。

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14.2.2 （乘法的）完全平方公式2
一、学习目标
1掌握添括号法则． 2.并熟练运用公式进行计算。

3.综合运用乘法公式进行计算。

温故知新
1.填空：
(1)平方差公式(a+b)(a-b)= ；
(2)完全平方公式(a+b)2= ，(a-b)2= .
2、若2210a a k ++是一个完全平方式，则k = ；
代数式4x 2＋3mx ＋9是完全平方式，则m ＝___________．
3.计算：(1) (x+6)2 (2) (y-5)2 (3) ()2
25;x -+
(4) (x-y)2 (5) 2)1(x x + (6) 2)1(x x -
新知学习：添括号法则
1.去括号：
①()________;a b c ++=②()________.a b c -+=
2.根据以上算式及其运算结果填空：
①________;a b c ++=②________.a b c --=
3.添括号法则：添括号时，如果括号前面是
“+”号，括到括号里的各项都符号；如果括号前面是“-”号，括到括号
里的各项都符号。

练习：
(1)a+b+c=( )+c ； (2)a-b+c=( )+c ；
(3)-a+b-c=-( )-c ； (4)-a-b+c=-( )+c ；
(5)a+b-c=a+( ) (6)a-b+c=a-( )；
(7)a-b-c=a-( )； (8)a+b+c=a-( ).
例1.运用乘法公式计算：
[][]()()(_____)(_____)a b c a b c a a +--+=+-① [][]
(2)(2)
(____)(____)(____)(____)a b c a b c ----+=+-②
(3) (a+2b-1)2 (4) (2x+y+z)(2x-y-z) 34
23
例2、已知x ＋x 1＝2，求x 2＋21x ，x 4＋41x
的值．
例3.已知: ( a ＋b )2 =16,( a －b )2 = 4. 求 ab 的值。

练习．已知：49)(,52=+=-y x y x ，求22y x +的值．
当堂作业：
1. 下列计算中, 正确的是（）
A 、( a ＋b ) 2 = a 2 ＋ b 2
B 、(x －2y) 2 = x 2－2xy ＋4y 2
C 、 (a －2b)2= a 2－4ab ＋2b 2
D 、(x ＋3y) 2= x 2＋6 xy ＋9y 2
2. 要使x 2－６x ＋a 成为形如（x －b ）2的完全平方式，则a ，b 的值（）Ａ、a ＝９，b ＝９Ｂ、a ＝９，b ＝３Ｃ、a ＝３，b ＝３Ｄ、a ＝－３，b ＝－２
3. 若(3x ＋2y)2=(3x －2y)2＋A,则代数式 A= .
A 、12xy
B 、－12xy
C 、24xy
D 、－24xy
4. 在下列( )里填上适当的项：
（1）a+b-c=a+（） (2)a-b+c-d=a-( )
(3) x+2y-3z=2y-( ) (4) -(a 3-a 2)+(a-1)=-a 3-( )
5. ( a ＋b ＋1 )( a ＋b －1 ) = ( )2－( )2 ;
6. 若 x ＋y =10, xy = 24.则 x 2＋y 2 = .
设 x 2＋y 2 =10, xy=3, 则 (x －y)2= 。

7. 已知：22115,________a a a a
+=+=则 8. 如果=-+=-k a a k a 则),2
1)(21(312 。

9、若===+-+-b a b b a a ________,,02910422则。

10、计算：①( －4a －1 )( 4a －1 ) = ;
②( a ＋b )2 ( a －b )2 = ;
③( a ＋2b －c )( a －2b －c )= ;
11.化简求值：( x + 3 )2 + 2 ( x + 3 ) ( x － 3 )－3 ( x －3 ) 2 ，其中1,2x y =-=。