15.2.2完全平方公式(2)
人教版数学-八年级上册：15.2.2完全平方公式
展现你最亮的一面，
你就是最棒的！
b
a
a
b
b
A
D
a
B
C
b a
数学表达式
(乘法的）完全平方公式
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
a2 2ab b2
结论
完全平方公式
数学表示式 (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
首平方，尾平方， 首尾倍在中央， 加减看两前方。
文字表述
特点
两项和（或差）的平方等于它们的平方和，加 （或减）的积的2 倍
1、左边 右边
两项的和（或差）的平方 二次三项式
3、字母指数：当公式中的a、b所代表的 单项式字母指数不是1时，乘方时要 记住字母指数需乘2。
=〔 a+(b+c) 〕2 1、计算 (a+b+c)2 =〔b+(a+c)〕2
=〔(a+b)+c〕2 =(a+b)2 +2·(a+b) ·c +c2
=a2+2ab+b2 +2ac+2bc +c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
例: 用完全平方公式计算
(1)(4m+n)2 (2) (y- 1 )2
2
(4m+n)2 =(4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2
完全平方(二)完整版
学一学
例2 利用完全平方公式计算： (1) 1022 ; (2) 1972
.
观察 & 思考
完全平方公式(a ±b)2=a2 ± 2ab+ b2 的左边的底数是两数的和或差.
把 1022 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ? a，b怎样确定？ 1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22
巩固 ◣ ◢
巩固练
习
1012，982；
1、用完全平方公式计算:
？ ？
2、⑴ x2−(x−3) 2 ;
⑵ (a+b+3)(a−b+3)
拓 展
练 习
如果把完全平方公式中的字母“a”换成“m+n”，公 式中的“b”换成“p”，那么 (a+b)2 变成怎样的式子? 怎样计算(m+n+p)2呢?
(a+b)2变成(m+n+p)2。 逐步计算得到：
本节课你的收获是什么？
作业
作业
1、教材p45习题1.14 知识技能
=10000+400+4
=10404
学一学
例2 利用完全平方公式计算： (1) 1022 ; (2) 1972
.
观察 & 思考
完全平方公式(a ±b)2=a2 ± 2ab+ b2 的左边的底数是两数的和或差.
把 1972 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ? 1972 =(200-3)2 =2002-2×200×3+32
学一学
例3 计算： (2) (x+5)பைடு நூலகம்–(x-2)(x-3)
八年级数学上册《15.2.2完全平方公式》教案 新人教版
《15.2.2完全平方公式》教案教学目标1．理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算。
2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．3. 利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力。
4. 进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义。
5 在灵活运用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神。
鼓励学生算法多样化，培养学生的方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神。
教学重点完全平方公式的推导过程、结构特征、几何解释及灵活运用。
教学难点理解完全平方公式的结构特征并能灵活运用公式进行计算。
教学手段：多媒体辅助教学。
教学程序：（一）创设情境，引出课题问题1：花园小区有一块边长为a 的正方形绿地，为了扩大绿地的面积，要把边长增加b 。
你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？不同的表示方法之间有什么关系呢？学生独立思考后交换各自的解法： 方法一：绿地的面积是 (a+b) 2方法二：绿地的面积是a 2+ab+ab+b 2=a 2+2ab+b 2因为(a+b)2和a 2+2ab+b 2都表示绿地的面积，所以(a+b)2= a 2+2ab+b 2。
问题2：瑞安小区为了更好的美化环境，要把边长为a 的正方形花园按照图纸分为一、二、三、四部分,分别种植四种鲜花。
你能用几种方法表示第一部分面积?不同的表示方法之间有什么关系呢？学生独立思考后交换各自的解法：方法一: 第一部分的面积是(a-b)2方法二：第一部分的面积是a 2-b(a-b)-b(a-b)-b 2=a 2-ab+b 2-ab+b 2-b2 =a 2-2ab+b 2因为(a-b)2和a 2-2ab+b 2都表示第一部分的面积，所以(a-b)2=a 2-2ab+b 2。
【设计意图】问题是知识、能力的生长点，通过富有实际意义的问题能激活学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考，自然引出本节课的主要内容。
完全平方公式
完全平方公式在数学的奇妙世界里，有一个非常重要的公式，那就是完全平方公式。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们轻松解决许多数学问题。
完全平方公式包括两个：一个是两数和的完全平方公式，即\（（a＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\）；另一个是两数差的完全平方公式，即\（（a b)＾2 ＝ a^2 2ab ＋ b^2\）。
咱们先来看看两数和的完全平方公式\（（a ＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab＋ b^2\）。
为了更好地理解它，我们可以通过一个实际的例子来感受一下。
假设小明有一个边长为\（a\）的正方形花坛，后来他在旁边又扩建了一个宽为\（b\）的长方形花坛。
那么现在整个花坛的面积是多少呢？原来正方形花坛的面积是\（a^2\），扩建的长方形花坛的面积是\（2ab\）（因为长方形的长是\（a\），宽是\（b\），面积就是\（ab\），两边都有所以是\（2ab\）），新扩建的小正方形花坛面积是\（b^2\）。
所以整个花坛的面积就是\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\），而这恰好就是\（（a ＋ b)＾2\）展开后的结果。
再来说说两数差的完全平方公式\（（a b)＾2 ＝ a^2 2ab ＋ b^2\）。
比如小红有一块边长为\（a\）的正方形布料，她从中间裁掉了一个边长为\（b\）的小正方形。
那么剩下布料的面积是多少呢？原来正方形布料的面积是\（a^2\），裁掉的小正方形面积是\（b^2\），由于裁掉的部分在原来正方形的内部，所以重叠了两次，重叠部分的面积是\（2ab\）。
那么剩下布料的面积就是\（a^2 2ab ＋b^2\），这正好就是\（（a b)＾2\）展开后的式子。
掌握完全平方公式对于解决代数问题非常有帮助。
比如在进行因式分解的时候，如果我们遇到了形如\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\）或者\（a^2 2ab ＋ b^2\）的式子，就可以直接利用完全平方公式将其转化为\（（a ＋ b)＾2\）或者\（（a b)＾2\）。
完全平方公式(完整知识点)
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
必须注意的：①漏下了一次项②混淆公式(与平方差公式)③运算结果中符号错误④变式应用难于掌握。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的 2 倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的 2 倍；2、左边两项符号相同时，右边各项全用”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“ - ”两项乘积的 2 倍同号加、异号减，符号添在异号前。
(可以背下来)变形的方法( 1 ) (-4x+3y)2 ( 2 ) (-a-b)2解答：(1)原式=16x2-24xy+9y2(2)原式=a2+2ab+b2解答：原式=9a2+12ab+6ac+4b2+4bc+c2( 1 ) (x+y)(2x+2y)( 2 ) (a+b)(-a-b)( 3 ) (a-b)(b-a)解答：( 1)原式=2(x+y)(x+y)=2(x+y) 2=2x2+4xy+2y2 ( 2 )原式 =-(a+b)(a+b)=-(a+b) 2= -(a2+2ab+b2) ( 3 )原式 =-(a-b)(a-b)=-(a-b) 2= -(a2-2ab+b2)数字变形的应用( 1 ) 9992( 2 ) 100.12解答：( 1 )原式=(1000-1)2 =998001( 2 )原式=(100+0.1)2=10020.01公式的变形：熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求知值的关键。
求下列各式的值：( 1 ) a2+b 2； ( 2 ) (a-b)2解答：( 1 )原式=(a+b)2-2ab=10-2=8( 2 )原式=a2-2ab+b2=(a+b)2-4ab=10-4=6注意事项1、左边是一个二项式的完全平方。
数学：15.2.2《完全平方公式》课件(人教新课标八年级上)
3.下列计算中正确的是（ C ）
A. (x+2)²=x²+2x+4
B. (2x-y)²=4x²-2xy+y²
C. ( ½ x-y)²= ¼ x²-xy+y²
D. (a+b)²=a²+b²
4.计算：
(1).(y-6)² (2).(-1+½y)² (3).101² (4).(x+3)(x-3)(x²-9)
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
展示交流
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2;
(2) (y-5)2;
(3) (-2x+5)2;
(4) ( x - y)2.
2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改 正?
(1) (a+ b)2 = a2 +b2;
(2) (a – b) 2 =a2 – b2.
1.下列各式中与(x+1)²相等的是( B )
A.x²+1 B.x²+2x+1 C.x²-2x+1 D.x²-1
2.下列各式中是完全平方式的（ D）
பைடு நூலகம்
A.x²+xy+y²B.y²+2y+2 C.x²+xy+y²D.m²-2m+1
一则为他们做官增加了位置 阶级斗争越来越显著与激烈 由于迁入人口数目相当多 都可以出家 使得国力富盛 率朝中重臣及诸将东行 亲掌朝政 李班 334 沉陷在纸醉金迷中而不能自拔 [4] 他们所受的剥削和压迫格外沉重
§15.2.2完全平方公式
提高练习题
总结词：综合运用
详细描述：综合思考题是更高层次的练习，要求学习者能够综合运用完全平方公式和其他数学知识来解决复杂的问题。这些问题通常涉及到多个数学概念和技巧，需要学习者具备较高的思维能力和综合素质。通过解决这类问题，可以提高学习者的数学思维能力和解决问题的能力。
综合思考题
感谢您的观看
THANKS
$ab = frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$，$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
完全平方公式的变形
利用完全平方公式可以将一元二次方程转化为更简单的形式，从而求解。
解一元二次方程
在代数运算中，完全平方公式可以简化复杂的代数表达式，提高运算效率。
代数运算
在几何图形中，完全平方公式可以用于计算图形的面积和周长等。
完全平方公式是数学中一个重要的恒等式，它在代数、几何和三角学等领域有着广泛的应用。
完全平方公式的意义
02
完全平方公式的证明
总结词
数学归纳法是一种证明完全平方公式的方法，通过归纳推理，逐步推导证明结论。
详细描述
首先，我们假设$n=k$时，公式成立，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。然后，我们考虑$n=k+1$的情况，通过展开$(a+b)^{k+1}$并利用归纳假设，我们可以推导出$(a+b)^{k+1}=[a(a+b)^k+b(a+b)^k]=(a^2+ab+ba+b^2)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=(a+b)^2$。因此，我们证明了当$n=k+1$时，公式也成立。
完全平方公式(完整知识点)
完全平方公式(完整知识点)完全平方公式完全平方公式即(a±b)²=a²±2ab+b²该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
必须注意的：①漏下了一次项②混淆公式（与平方差公式）③运算结果中符号错误④变式应用难于掌握。
学会用文字概述公式的含义:两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
这两个公式的结构特征：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2、左边两项符号相同时，右侧各项全用“+”号毗连；左边两项符号相反时，右侧平方项用“+”号毗连后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）.完全平方公式口诀前平方，后平方，二倍乘积在中心。
同号加、异号减，符号添在异号前。
（可以背下来）即(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号）公式变形（题）变形的方法（一）、变符号：例1：应用完全平方公式计较：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2阐发：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简朴的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计较。
解答：(1)原式=16x2-24xy+9y2(2)原式=a2+2ab+b2（二）、变项数：例2：计算：(3a+2b+c)2分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2，直接套用公式计算。
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X2+4y2 a2-9b2
4x2-1/4
X2+6x
a2b2+8ab
1/9x2+2xy
根据完全平方公式可得到a2+b2=？
从上面可以得出什么规律？如果次 数不是2，是其它的数还成立吗？ 为什么？
小结
当堂检测
导学案P94:互动探究2.3.5.
作业：
1、教材156-157页第3、4题 2、阅读与思考
a-b-c= a-(b+c)
教学目标
1.知道添括号法则。 2.能灵活应用添括号法则对式子进行变形， 并能综合利用乘法法则进行运算。
预习指导ห้องสมุดไป่ตู้
请同学们阅读课本P155完成下例问题： 1。完成导学案P93问题探究一 2。完成导学案P93问题探究一
2-4x x
+4=(
2 )
下面各式添上什么项才能成为一个完全平方 式
1. 完全平方公式：
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
2. 口诀：
首平方，尾平方， 积的两倍放中央
15.2乘法公式
15.2.2 完全平方公式（2）
去括号：a+(b+c)= a+b+c
a-(b+c)= a-b-c
添括号：a+b+c= a+(b+c)