第4章 多自由度系统的振动题解
多自由度系统振动
= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：
第4章 振动系统的运动微分方程
(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：
第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)
第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
4-第4章 多自由度体系的振动分析
T ( , , , ) 可求得其位移幅值向量为 i 1i 2i 3i ni
n个自由度体系——可得到n个线性无关的位移幅值向量：
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
k1n k2n 0 k nn 2 m n
将频率方程展开，可得到关于2 的 n 次代数方程。
从频率方程可解得n 个正实根
ω2 i 开方得到各阶频率：
2 ω ； i
ω (1 2 n )T
CY KY F (t ) MY E
m1 0 质量矩阵 0 m 2 M 0 0 0 0 mn
CY ] Y P [ MY
k11 k12 刚度矩阵 k 21 k 22 K k n1 k n 2 11 12 柔度矩阵 21 22 n1 n 2
第 i 个振型方程：
k11 2 k12 i m1 2 k k 2 21 22 i m2 ( K i M ) i kn2 k n1
1i k1n 2i k2n 0 2 k nn i mn ni
(K 2 M) 0
振型方程：
(K 2M) 0
（ 4-8）
如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：
K 2 M 0
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
称为频率方程或特征方程。
（ 4-9）
2
（ 4-13）
求解一元二次方程得：
机械振动基础 第四章 多自由度系统
{x} {u} coswt
其中，{u}和w是待求的振型和固有频率。
将
{x} {u} coswt
} [ K ]{x} 0 [M ]{ x
2
代入方程
2 ( w [M ]{u} [ K ]{u}) coswt 0 得到
(w [M ] [ K ]){u} 0
kij w 2 mij 0
1 T } [ M ]{x } ET {x 2 1 T } [C ]{x } D {x 2 1 T U {x} [ K ]{x} 2
2D 2 ET cij mij i x j x i x j x
2U kij xi x j
2) 求偏导
2 ET 2 ET mij m ji xi x j x j xi 2D 2D cij c ji xi x j x j xi 2U 2U kij k ji xi x j x j xi
设有可逆线性变换[u]，使得
{x} [u ]{y}
因而有
} [u]{y }, { } [u]{ } {x x y
称{x}为旧坐标系，{y}为新坐标系。
系统的动能、势能和能量耗散函数与坐标系选择无关， 也就是说，它们是坐标变换下的不变量, 因此有：
1 T 1 })T [ M ]([u ]{y }) ET {x} [ M ]{x} ([u ]{y 2 2 1 1 }T [u ]T [ M ][u ]{y } { y }T [ M 1 ]{y } {y 2 2
} [C ]{x } [ K ]{x} {F (t )} [M ]{ x
本章内容：
1) 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有 频率和振型的理论；
振动力学［PDF］
第四章多自由度系统的振动4.1多自由度系统运动方程的建立4.2 耦合与坐标变换4.3 固有频率和主振型4.4振型矩阵、主坐标和正则坐标4.5 固有频率相等的情况4.6 固有频率为零的情况4.7 无阻尼系统对初始条件的响应4.8 无阻尼系统对任意激励的响应4.9 多自由度系统的阻尼4.10 有阻尼系统的响应4.11 一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应i nj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i Q q k q c q m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}Q q k q c q m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211••••••n 11•••n 11n 11n 11inj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i P x k x c x m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••n 2121•i ••i1m 12m 23m 3ii •i i Q q Dq T =∂∂+∂∂•1m 12m 23m 32222)2221k +2222•2221⎟⎠⎞+•x c jjj j q W δδ11x δ11P 111x P δ1x δ22P 33P 2⎟⎠⎞21221212212111••••122121221211123323212332321222•••••2332321233232122233323332333••••33323332333•••••••••321333322221321321321333322221321321000000003213213333222213213213333222210•1•1θv ••2θv •1•=1θ•2•=2θ22θ−+mg l 22θl +k Oθ222yk+=•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••••••••n n i j j i i 1111•••nn i j j i i 1111in n i j j i i 1111i j刚度影响系数k i j 若系统各自由度的广义速度和广义加速度为零，除j i i j i 。
第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)
第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
第4章：多自由度系统的振动
频率方程:
4 2 a b c 0
第4章 多自由度系统的振动
( 4 . 1 . 10 )
2 2 a m m m , c k k k k m k m 2 k m , 1122 12 b 11 22 12 11 22 22 11 12 12
特征根—固有频率:
( b b 4 ac 4 . 1 . 11 )
2 1 a 1 , 2 2 2
1—第一阶固有频率： 代入齐次方程组 (4.1.9)，得
2 2 A k m k m 21 11 111 21 1 21 1 2 2 A k m k m 11 12 112 22 1 22
k1x1
c 1 x 1
m 1 x1
k2 (x2 x1)
F1(t)
2 x 1) c 2(x
k
1
x1 (t )
k
c
x 2 (t)
k
c
m
3
1
m
c1
1
m
2
2
3
x2 k2 (x2 x1) m 2
2 x 1) c 2(x
k3 x2
F 2 (t)
(a)
m
2
图4.1.1 两个自由度系统的受迫振动
x ( t ) φ q ( t )
( 4 . 1 . 16 )
—模态矩阵或振型矩阵， q(t)—广义位移矢量 。
第4章 多自由度系统的振动
四个待定常数： 四个初始条件：
A1 1 A12
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习 题4-1 在题3-10中，设m 1=m 2=m ，l 1=l 2=l ，k 1=k 2=0，求系统的固有频率和主振型。
解：由题3-10的结果22121111)(l g m l g m m k k +++=，2221l gm k -=，2212l g m k -=，22222l gm k k += 代入m m m ==21，021==k k ，l l l ==21 可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m m M 00；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=l mg lmg l mg l mg K 3 由频率方程02=-M p K ，得0322=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=mp l mgl mg lmgmp lmg B 0242222242=+-∴l g m p l g m p m l g p )22(1-=∴ ，lgp )22(2+= 为求系统主振型，先求出adjB 的第一列⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=l mg mpl mg adjB 2分别将频率值21p p 和代入，得系统的主振型矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=112)1(A⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=112)2(A题4-1图4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1，求系统的频率方程。
解：设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。
利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。
设0,1==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2111,k k ，由平衡条件得到，222111a k b k k +=， a k k 221-=设1,0==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,k k ，由平衡条件得到， 12k a k 2-=， a k k 222= 得作用力方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000312222221221x a k a k a k a k b k x m a m θθ由频率方程02=-M K p ，得031222222212221=----+p m a k ak a k p a m a k b k4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m 1=m 2=m 和k 1=k 2=k 时系统的固有频率。
解：如图取21,θθ为广义坐标，分别画受力图。
由动量矩定理得到，l l k l l k I 43434343211111θθθ+-=224343434322211122l l k l l k l l k I θθθθ--= 整理得到，016916922112111=-+θθθl k l k I 题4-3图题4-2图0)4169(1692222112122=++-θθθl k l k l k I则刚度矩阵和柔度矩阵分别得，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=221212121241169169169169k l k l k l k l k l K ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+===-2222222122144491641l k l k l k l k l k adj K K K ∆ 系统的质量矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22212148703100l m l m I I M 由频率方程02=-M K p ，并代入已知条件得，048716131691693116922222222=----p ml kl kl kl p ml k l 整理得到03248131122224=+-mk m k p p ,求得m k p 6505.01=，m k p 6145.22=。
用刚度影响系数法求解刚度矩阵。
令0,121==θθ，分别由两杆的受力图，列平衡方程为21211116943l k l k k =⎪⎭⎫⎝⎛=；2121169l k k -=同理，令0,121==θθ得到212221222216941692l k l k l k l k k +=+⎪⎭⎫⎝⎛=212112169l k k k -==∴ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=222121212141169169169169l k l k l k l k l k k4-4 题4-4图所示，滑轮半径为R ，绕中心的转动惯量为2mR 2，不计轴承处摩擦，并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量，求系统的固有频率及相应的主振型。
解：如图选x 1，x 2，x 3为广义坐标。
利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。
设0,1321===x x x ，画出受力图，并施加物体312111,,k k k ，由平衡条件得到，k k =11， 021=k ，kR k -=31设0,1312===x x x ，画出受力图，并施加物体322212,,k k k ，由平衡条件得到，12k = 0， k k =22，kR k =32设0,1213===x x x ，画出受力图，并施加物体332313,,k k k ，由平衡条件得到，kR k -=13，kR k =23，2332kR k =则刚度矩阵和质量矩阵分别得，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2200kR kR kR kR k kR k K ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22000000mR m m M 由频率方程02=-M K p ，得0220022222=-----p mR kR kRkRkR mp k kR mp k展开为0)2()(22222=--R k mp p mp k m ，解出频率为01=p ，mkp =2，mk p 23= 由特征矩阵M K B 2p -=的伴随矩阵的第一列，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=)()22)(()22)((2222222222222)1(mp k kR p mR kR mp k R k R k p mR kR mp k adj B 并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为题4-4图⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=R R 101111111A4-5 三个单摆用两个弹簧联结，如题4-5图所示。
令m 1=m 2=m 3=m 及k 1=k 2=k 。
试用微小的角1θ、2θ和3θ为坐标，以作用力方程方法求系统的固有频率及主振型。
解：如图选321,,θθθ为广义坐标。
利用刚度影响系数法求刚度矩阵K 。
设0,1321===θθθ，画出受力图，并施加物体于312111,,k k k ，由平衡条件得到，mgl kh k +=211， 221kh k -=，031=k设0,1312===θθθ，画出受力图，并施加物体322212,,k k k ，由平衡条件得到，212kh k -=， mgl kh k +=2222，232kh k -=设0,1213===θθθ，画出受力图，并施加物体332313,,k k k ，由平衡条件得到，013=k ，223kh k -=，mglkh k +=233题4-5图则刚度矩阵和质量矩阵分别得，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--+=mgl kh kh kh mgl kh kh kh mgl kh 2222222020K ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=222000000ml ml ml M 特征矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+---+=2222222222222 0 2 0l mp mgl kh kh kh l mp mgl kh kh kh l mp mgl kh B由频率方程02=-M K p ，得=B 0，00202222222222222=-+---+---+p ml mgl kh kh kh p ml mgl kh kh kh p ml mgl kh展开为，()()()()[]()()()()()()[]()()()03 2 222222222222222222222222222222222222=-+--+=--+-+-+=-+-----+-+-+l mp mgl kh l mp mgl l mp mgl kh kh l mp mgl kh l mp mgl kh l mp mgl kh l mp mgl kh kh kh l mp mgl kh l mp mgl kh l mp mgl kh 0]4)(4))[((4222222222=+-+--h k p ml mgl kh p ml mgl p ml mgl解出频率为lgp =1，222ml kh l g p +=，2233ml kh l g p +=。
由特征矩阵M K B 2p -=的伴随矩阵的第一列，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-+=42222242222222)1()())(2(h k p ml mgl kh kh h k p ml mgl kh p ml mgl kh adj B 并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111201111A4-6 题4-6图所示的简支梁的抗弯刚度为EJ ，本身质量不计，以微小的平动x 1、x 2和x 3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率及主振型。
假设m 1=m 2=m 3=m 。
解：如图取广义坐标，用柔度影响系数法求柔度矩阵。
首先，仅在质量1m 处施加竖直单位力F=1，其余各质量块处不受力，则1m 产生的静挠度是11δ；2m 处产生的静挠度是21δ；3m 处产生的静挠度是31δ。
则由材料力学知识，得到EJ l 7689311=δ，EJ l 76811321=δ，EJl 7687331=δ同理可得到其它柔度矩阵的各列，最后得到柔度矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=911711161171197683EJ l ∆ 得到系统的位移方程为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧32133********91171116117119768x x xm m mEJ l x x x 由系统的特征矩阵I M L 21p-=∆，得频率方程0=L ，即 091171116117119=---λααααλααααλα题4-6图其中231,768pEJ ml ==λα，展开频率方程为0)1432)(2(22=+--ααλλαλ解出αλαλαλ444.0,2,556.31321===。
由特征矩阵的伴随矩阵的第一列⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=)16(7121)9(1177121)9)(16(222λαααλααααλαλαL adj ，分别代入特征值，得到主振型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000.1000.1000.1414.1000.0414.1000.1000.1000.1A 。
4-7 如题4-7图所示，用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动，假设m 1=m 2=m 3=m 4=m 和k 1=k 2=k 3=k ，试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型。