2006年高考.福建卷.理科数学试题及详细解答
【高考数学】2006年高考试题分类解析--第九章直线、平面、简单几何体
2006年高考试题分类解析--第九章直线、平面、简单几何体1．（2006年福建卷）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ D ）（A） （B（C）3 （D2．（2006年福建卷）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 （C ） （A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n3．（2006年安徽卷）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A．3B ．13πC ．23π D．3 解：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8=1a =，A 。
4．（2006年安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________。
（写出所有正确结论的编号．．） 解：如图，B 、D 、A 1到平面α的距离分别为1、2、4，则D 、A 1的中点到平面α的距离为3，所以D 1到平面α的距离为6；B 、A 1的中点到平面α的距离为52，所以B 1到平面α的距离为5；则D 、B 的中点到平面α的距离为32，所以C 到平面α的距离为3；C 、A 1的中点到平面α的距离为72，所以C 1到平面α的距离为7；而P 为C 、C 1、B 1、D 1中的一点，所以选①③④⑤。
5．（2006年广东卷）给出以下四个命题①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是A.4B.3C.2D.15、①②④正确，故选B.ABCDA 1B 1C 1D 1第16题图α6．（2006年广东卷）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为6、ππ274233332==⇒=⇒=R S R d 7．（2006年陕西卷）已知平面α外不共线的三点,,A B B 到α的距离都相等，则正确的结论是 （D ）（A ）平面ABC 必不垂直于α （B ）平面ABC 必平行于α （C ）平面ABC 必与α相交（D ）存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内 8．（2006年陕西卷）水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）。
2006年高考数学各章知识详解(1)
第一章 集合与简易逻辑1．（2006年福建卷）已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于(C) （A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-【答案】 C【分析】：()()(),13,,2,4,A B =-∞-+∞=则[]()(]()1,32,42,3U C A B =-=【高考考点】绝对值不等式、集合的交集与补集运算 【易错点】：有关集合运算中的区间端点的取舍，常常出现失误【备考提示】 在这类运算中采用集合的区间表示或数轴表示，易于避免失误2．（2006年安徽卷）设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于（ ）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ 【答案】 B【分析】：A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |－4≤y ≤0}，则A ∩B ＝{0}，故ðU (A ∩B )＝{x ｜x ∈R ，x ≠0}，而选(B)．【高考考点】集合的运算：交集、补集 【备考提示】： 对集合的交集、并集、补集等运算要熟练．3．（2006年陕西卷）已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤集合{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q 等于（B ）（A ）{}1,2,3 （B ）{}2,3 （C ）{}1,2 （D ）{}2【答案】：B 【分析】： Q={ x ∈R|-3≤x ≤2}，所以P ∩Q 等于{1,2} 【高考考点】：一元二次不等式的解法，集合的运算性质 【易错点】：忽视集合P 的取值范围 【备考提示】正确和熟练掌握集合的运算性质以及不等式的解法，在复习中注意和三角函数，一元二次不等式等知识的结合使用4．( 2006年重庆卷)已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}, A ={2,4,5,7},B ={3,4,5},则(u A )∪(u B )=( D)(A){1,6} (B){4,5}(C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7} 【答案】：D 【分析】：用文恩图或直接计算：{1,3,6}A =U ð，{1,2,6,7}B =U ð，所以()(){1,2,3,6,7}A B =U U 痧，故选D ； 【高考考点】：集合的交、并、补运算。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)含详细答案
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R2．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）3．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．4．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．5．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．7．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π8．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．39．（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=010．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．7511．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm212．（5分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B 中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．14．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．15．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．16．（4分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．18．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=e x 的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b=0【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i是实数，∴1+m3=0，m=﹣1，选B．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x 的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向，且|i|=2|i|，∴1+2+3=0，故选D．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．【解答】解：解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：240016．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值【解答】解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B 有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：ξ0123P∴数学期望Eξ=3×=．19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH 为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M 的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=﹣设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=﹣，得切线AB的方程为：y=﹣（x﹣x0）+y0．设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：+=1（x＞1，y＞2）（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9．且当x2﹣1=，即x=＞1时，上式取等号．故||的最小值为3．21．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对f（x）求导数得f'（x）=e﹣ax．（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e﹣2x，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅱ）当0＜a＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅲ）当a＞2时，0＜＜1，令f'（x）=0，解得x1=，x2=．当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：x（1，+∞）f′（x）+﹣++f（x）↑↓↑↑f（x）在（﹣∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f（x）在（，）为减函数．（Ⅱ）（ⅰ）当0＜a≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）=1．（ⅱ）当a＞2时，取x0=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f（x0）＜f（0）=1（ⅲ）当a≤0时，对任意x∈（0，1），恒有＞1且e﹣ax≥1，得f（x）=e ﹣ax≥＞1．综上当且仅当a∈（﹣∞，2]时，对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1．22．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设数列{a n}的前n项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．【分析】对于（Ⅰ）首先由数列{a n}的前n项的和求首项a1与通项a n，可先求，然后有a n=S n﹣S n﹣1，公比为4的等比数列，从而求解；出S n﹣1对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将a n=4n﹣2n代入S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）然后再利用求和公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1﹣×4+所以a1=2．=a n﹣1﹣×2n+，n=2，3，4，再由①有S n﹣1将①和②相减得：a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣×（2n+1﹣2n），n=2，3，整理得：a n+2n=4（a n﹣1+2n﹣1），n=2，3，因而数列{a n+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：a n+2n=4×4n﹣1=4n，n=1，2，3，因而a n=4n﹣2n，n=1，2，3，（Ⅱ）将a n=4n﹣2n代入①得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）=×（2n+1﹣1）（2n﹣1）T n==×=×（﹣）所以，=﹣）=×（﹣）＜（1﹣）参与本试卷答题和审题的老师有：wdlxh；liuerq；zlzhan；rxl；zhwsd；danbo7801；qiss；涨停；wodeqing；minqi5；yhx01248；吕静；wdnah；sllwyn；zhiyuan（排名不分先后）菁优网2017年2月5日。
2006年福建省高考理科数学试卷真题+参考答案+详细解析
2006年福建省高考数学试卷（理科数学）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设a ，b ，c R ∈，则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是( ) A ．0ad bc -=B ．0ac bd -=C ．0ac bd +=D ．0ad bc +=2．（5分）在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，则456a a a ++等于( ) A ．40B ．42C ．43D ．453．（5分）已知(,)2παπ∈，3sin 5α=，则tan()4πα+等于( )A ．17B ．7C ．17-D ．7-4．（5分）已知全集U R =，且{||1|2}A x x =->，2{|680}B x x x =-+<，则()U A B 等于( )A ．(2,3)B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3]-5．（5分）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．BCD 6．（5分）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( ) A ．27B ．38C ．37D ．9287．（5分）对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( ) A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若m α⊂，//n α，则//m n D ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n 8．（5分）函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是( ) A ．2(0)21xx y x =>-B ．2(0)21xx y x =<-C ．21(0)2x x y x -=>D ．21(0)2x x y x -=<9．（5分）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于( )A ．23B ．32C ．2D ．310．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞11．（5分）||1OA =，||3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(OC mOA nOB m =+、)n R ∈，则mn等于( ) A ．13B ．3C ．33D ．312．（5分）对于直角坐标平面内的任意两点11(),A x y ，22(),B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 2121||||||||AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则||||||||||||AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222||||||||||||AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，||||||||||||AC CB AB +>． 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是 ．14．（4分）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a = ．15．（4分）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2．将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 ．16．（4分）如图，连接ABC ∆的各边中点得到一个新的△111A B C ，又连接△111A B C 的各边中点得到△222A B C ，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC ∆，111A B C ∆，222A B C ∆，⋯，这一系列三角形趋向于一个点M ．已知(0,0)A ，(3,0)B ，(2,2)C ，则点M 的坐标是 ．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知函数22=++，x Rf x x x x x()sin cos2cos∈．（Ⅰ）求函数()f x的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数()=∈的图象经过怎样的变换得到？y x x Rf x的图象可以由函数sin2()18．（12分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==． （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离．19．（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20．（12分）已知椭圆2212xy+=的左焦点为F，O为坐标原点．（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．21．（12分）已知函数2()8f x x x =-+，()6g x lnx m =+． （Ⅰ）求()f x 在区间[,1]t t +上的最大值()h t ；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．22．（14分）已知数列{}n a 满足11a =，*121()n n a a n N +=+∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---⋯=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311()232n n a a a n nn N a a a +-<++⋯+<∈．2006年福建省高考数学试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设a ，b ，c R ∈，则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是( ) A ．0ad bc -=B ．0ac bd -=C ．0ac bd +=D ．0ad bc +=【解析】a ，b ，c R ∈，复数()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++为实数，0ad bc ∴+=，故选D ． 【点评】本题是对基本概念的考查．2．（5分）在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，则456a a a ++等于( ) A ．40B ．42C ．43D ．45【解析】在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，得3d =，514a =，4565342a a a a ∴++==．故选：B ．【点评】本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．3．（5分）已知(,)2παπ∈，3sin 5α=，则tan()4πα+等于( )A ．17B ．7C ．17-D ．7-【解析】已知3(,),sin 25παπα∈=，则3tan 4α=-，∴1tan 1tan()41tan 7πααα++==-，故选：A ．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．4．（5分）已知全集U R =，且{||1|2}A x x =->，2{|680}B x x x =-+<，则()U A B 等于( )A ．(2,3)B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3]-【解析】{|3A x x =>或1}x <-，{|13}U C A x x =-，{|24}B x x =<<，()(2,3]U C A B ∴=，故选：C ． 【点评】本题主要考查了集合的运算，属于以不等式为依托，求集合的交集、补集的基础题，也是高考常会考的题型．5．（5分）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．BC ．3D【解析】正方体外接球的体积是323π，则外接球的半径2R =，正方体的对角线的长为4， 故选：D ．【点评】本题考查球的内接正方体问题，是基础题．6．（5分）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( ) A ．27B ．38C ．37D ．928【解析】由题意知本题是一个古典概型，在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．试验的总事件是从8个球中取3个球有38C 种取法，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球包括摸到2个黑球，或摸到3个黑球有213353C C C +种不同的取法，∴至少摸到2个黑球的概率等于2133533827C C C P C +==，故选：A ． 【点评】本题也可以从对立事件角度来考虑，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的对立事件是从中摸出3个球，摸到的都是白球或摸到的有一个黑球，试验的总事件是从8个球中取3个球有38C 种取法，摸到的都是白球有3510C =种方法，摸到的有一个黑球有1235C C 种方法，代入公式得到结果． 7．（5分）对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( ) A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若m α⊂，//n α，则//m n D ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n【解析】对于平面α和共面的直线m 、n ，真命题是“若m α⊂，//n α，则//m n ”．故选：C ． 【点评】本题考查空间直线与平面之间的位置关系，是基础题． 8．（5分）函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是( ) A ．2(0)21xx y x =>-B ．2(0)21xx y x =<-C ．21(0)2x x y x -=>D ．21(0)2x x y x -=<【解析】对于1x >，函数221log log (1)011x y x x ==+>--，由函数2log (1)1xy x x =>-解得1211yx =--，1212121y yy x =+=--，∴原函数的反函数是2(0)21x x y x =>-，故选：A ． 【点评】本题的解决体现了整体换元的思想，这样可以使复杂的解析式变得易懂，本题的难点在通过原函数的值域确定反函数的值域，求函数式时注意准确应用指数式与对数式的互化． 9．（5分）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于( )A ．23B ．32C ．2D ．3【解析】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则x ω的取值范围是[,]34ωπωπ-，∴32ωππ--或342ωππ，ω∴的最小值等于32，故选：B ． 【点评】本题主要考查正弦函数的最值和三角函数的单调性．属基础题．10．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞【解析】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a ，∴3ba，离心率2222224c a b e a a+==， 2e ∴，故选：C ．【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．11．（5分）||1OA =，||3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(OC mOA nOB m =+、)n R ∈，则mn等于( ) A ．13B ．3CD【解析】法一：如图所示：OC OM ON=+，设||ON x =，则||3OM x =．3333||||OA OB OC x x xOA xOB OA OB =⋅+⋅=+，∴3mn =．法二：如图所示，建立直角坐标系．则(1,0)OA =，(0,OB =，∴OC mOA nOB =+()m =，tan30∴︒==，∴3mn=．故选：B ． 【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．12．（5分）对于直角坐标平面内的任意两点11(),A x y ，22(),B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 2121||||||||AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则||||||||||||AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222||||||||||||AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，||||||||||||AC CB AB +>． 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】对于直角坐标平面内的任意两点11(),A x y ，22(),B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 2121||||||||AB x x y y =-+-．对于①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为00(,)x y ，0x 在1x 、2x 之间，0y 在1y 、2y 之间， 则010*********||||||||||||||||||||||||AC CB x x y y x x y y x x y y AB +=-+-+-+-=-+-=．成立故正确． 对于②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222||||||||||||AC CB AB +=；是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，对于③在ABC ∆中，01012020||||||||||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-012001202121|()()||()()|||||||||x x x x y y y y x x y y AB -+-+-+-=-+-=．③不正确．∴命题①成立，故选：B ．【点评】此题主要考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求．属于中档题目．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是 10 ．【解析】根据所给的二项式写出展开式的通项，251031551()()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，要求4x 的项的系数，1034r ∴-=，2r ∴=，4x ∴的项的系数是225(1)10C -=，故答案为：10．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（4分）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a =14．【解析】设切点00(),P x y ，2y ax =，2y ax ∴'=，则有：0010x y --=（切点在切线上）①；200y ax =（切点在曲线上）②021ax =（切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；由①②③解得：14a =． 【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识的能力．15．（4分）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2．将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是49． 【解析】一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2． 将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为0ξ=，1，2，4，11111133333311663(0)4C C C C C C P C C ξ++===，112211661(1)9C C P C C ξ===，1111211211661(2)9C C C C P C C ξ+===， 111111661(4)36C C P C C ξ===，∴124499369E ξ=++=．故答案为：49． 【点评】数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的可以借助于排列数和组合数来表示．16．（4分）如图，连接ABC ∆的各边中点得到一个新的△111A B C ，又连接△111A B C 的各边中点得到△222A B C ，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC ∆，111A B C ∆，222A B C ∆，⋯，这一系列三角形趋向于一个点M ．已知(0,0)A ，(3,0)B ，(2,2)C ，则点M 的坐标是 52(,)33．【解析】如图，连接ABC ∆的各边中点得到一个新的△111A B C ，又连接△111A B C 的各边中点得到△222A B C ，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC ∆，△111A B C ，△222A B C ，因为这一系列三角形重心相同，趋向于一个点M ，则点M 是ABC ∆的重心， 已知(0,0)A ，(3,0)B ，(2,2)C ，52(,)33M ∴=．【点评】点M 是ABC ∆的重心，应用中点坐标公式及三角形重心坐标公式． 三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知函数22()sin 3cos 2cos f x x x x x =++，x R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？ 【解析】（Ⅰ）1cos233133()2(1cos2)2cos2sin(2)22262x f x x x x x x π-=++=++=++． ()f x ∴的最小正周期22T ππ==．由题意得222,262k x k k Z πππππ-++∈，即,36k x k k Z ππππ-+∈．()f x ∴的单调增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈． （Ⅱ）先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62y x π=++的图象． 【点评】本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力．18．（12分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2CA CB CD BD ====，2AB AD == （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离．【解析】()I 证明：连接OC ，BO DO =，AB AD =，AO BD ∴⊥．BO DO =，BC CD =，CO BD ∴⊥． 在AOC ∆中，由已知可得1,3AO CO ==．而2AC =，222AO CO AC ∴+=，90AOC ∴∠=︒，即AO OC ⊥． BD OC O =，AO ∴⊥平面BCD ．()II 解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(0,3,0)C ，(0,0,1)A ，13(,,0)22E ，(1,0,1)BA =-，(1,3,0)CD =--．∴.2cos ,4||||BA CD BA CD BA CD <>==， ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为2arccos4． ()III 解：设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则.(,,)(1,0,1)0.(,,)(03,1)0n AD x y z n AC x y z ⎧=⋅--=⎪⎨=⋅-=⎪⎩，∴030.x z y z +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 令1y =，得(3,1,3)n =-是平面ACD 的一个法向量．又13(,,0)22EC =-，∴点E 到平面ACD 的距离|.|321||77EC n h n ===．【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．19．（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解析】()I 当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时， 要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）． 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升． ()II 当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为()h x 升， 依题意得3213100180015()(8)(0120)1280008012804h x x x x x x x =-+⋅=+-<，332280080()(0120)640640x x h x x x x -'=-=<．令()0h x '=，得80x =．当(0,80)x ∈时，()0h x '<，()h x 是减函数； 当(80,120)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数．∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25h =．因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．【点评】本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．20．（12分）已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点．（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．【解析】2()2I a =，21b =，1c ∴=，(1,0)F -，:2l x =-．圆过点O 、F ，∴圆心M 在直线12x =-上．设1(,)2M t -，则圆半径13|()(2)|22r =---=． 由||OM r =2213()22t -+=，解得2t =±∴所求圆的方程为2219()(2)24x y ++±=．()II 设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，代入2212x y +=，整理得2222(12)4220k x k x k +++-=．直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根．记11(),A x y ，22(),B x y ，AB 中点00(),N x y ，则2122421k x x k +=-+，202221k x k =-+，002(1)21ky k x k =+=+，AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001()y y x x k-=--．令0y =，得222002222211212121242G k k k x x ky k k k k =+=-+=-=-+++++． 0k ≠，∴102G x -<<，∴点G 横坐标的取值范围为1(,0)2-．【点评】本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力，直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常是先联立组成方程组，消去x （或)y ，得到y （或)x 的方程．我们在研究圆锥曲线时，经常涉及到直线与圆锥曲线的位置关系的研究．主要涉及到：交点问题、弦长问题、弦中点（中点弦）等问题，常用的方法：联立方程组，借助于判别式，数形结合法等． 21．（12分）已知函数2()8f x x x =-+，()6g x lnx m =+． （Ⅰ）求()f x 在区间[,1]t t +上的最大值()h t ；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】22()()8(4)16I f x x x x =-+=--+． 当14t +<，即3t <时，()f x 在[,1]t t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67h t f t t t t t =+=-+++=-++； 当41t t +，即34t 时，()(4)16h t f ==；当4t >时，()f x 在[,1]t t +上单调递减，2()()8h t f t t t ==-+．综上，2267,3()16,348,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=⎨⎪-+>⎩．()II 函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数()()()m x g x f x =-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．2()86m x x x lnx m =-++，∴262862(1)(3)()28(0)x x x x m x x x x x x-+--'=-+==>，当(0,1)x ∈时，()0m x '>，()m x 是增函数； 当(1,3)x ∈时，()0m x '<，()m x 是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 是增函数； 当1x =，或3x =时，()0m x '=．()m x m ∴=极大值（1）7m =-，()m x m =极小值（3）6315m ln =+-． 当x 充分接近0时，()0m x <，当x 充分大时，()0m x >．∴要使()m x 的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70()63150m x m m x m ln =->⎧⎨=+-<⎩极大值极小值，即71563m ln <<-．∴存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,1563)ln -．【点评】本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力． 22．（14分）已知数列{}n a 满足11a =，*121()n n a a n N +=+∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---⋯=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311()232n n a a a n nn N a a a +-<++⋯+<∈． 【解析】（Ⅰ）*121()n n a a n N +=+∈，112(1)n n a a +∴+=+，{1}n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．12n n a ∴+=．即*21()n n a n N =-∈．（Ⅱ）证明：12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---⋯=+∈，∴12()42n n b b b n nb ++⋯+-=．122[()]n n b b b n nb ∴++⋯+-=，①12112[()(1)](1)n n n b b b b n n b ++++⋯++-+=+．②②-①，得112(1)(1)n n n b n b nb ++-=+-， 即1(1)20n n n b nb +--+=，③ 21(1)20n n nb n b ++-++=．④④-③，得2120n n n nb nb nb ++-+=，即2120n n n b b b ++-+=，*211()n n n n b b b b n N +++∴-=-∈，{}n b ∴是等差数列． （Ⅲ）证明：112121112122(2)2k k k k k k a a ++--==<--，1k =，2，...，n ，∴122312n n a a a na a a +++⋯+<．111211111111.2122(21)23222232k k k k kk kk a a +++-==-=----⋅+-，1k =，2，⋯，n ， ∴1222311111111()(1)2322223223n n n n a a a n n n a a a +++⋯+-++⋯+=-->-， ∴*122311()232n n a a a n nn N a a a +-<++⋯+<∈． 【点评】本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力．。
2006年全国各地高考数学试题12--第十二章概率与统计
第十二章概率与统计1.(2006年福建卷)一个均匀小正方体的6个面中,三个面上标以数0,两个面上标以数1,一个面上标以数2。
将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积的数学期望是＿＿49＿＿。
2..(.2006年重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg).,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是..(.C) (A)20..............................(B)30 (C)40.............................(D)503.(2006年全国卷II)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10.000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10.000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在［2500,3000)(元)4.(2006年四川卷)()()1,2,3,4,1,2,3,4P k ak b k ξ==+=,又ξ的数学期望3E ξ=,则a b +=__10_____; 5.(2006年江苏卷)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ,y ,10,11, 9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则｜x －y ｜的值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解：.由平均数公式为10,得()11011910,5x y ++++⨯=则20x y +=；又由于方差为2,则()()()()()22222110101010111091025x y ⎡⎤-+-+-+-+-⨯=⎣⎦得22208 2=192x y xy +=,所以有4x y -===,故选(D)点评：本题主要考查平均数与方差的定义等统计方面的基础知识 6.(2006年江西卷)某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是：从装有9个白球,1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元,现有甲,乙两位顾客,规定：甲摸一次,乙摸两次,令ξ表示甲,乙摸球后获得的奖金总额。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)及答案(分析解答)
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．3．（5分）=（）A．B．C．i D．﹣i4．（5分）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．805．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．126．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x11．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．12．（5分）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在的展开式中常数项为（用数字作答）．14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A 1﹣AD﹣C1的大小．24．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．25．（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．27．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【分析】解出集合N，结合数轴求交集．【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选D．2．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．【分析】将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．【解答】解：所以最小正周期为，故选D3．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）=（）A．B．C．i D．﹣i【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：故选A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．80【分析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．【解答】解：连接OA、OB、OP，∵∠P=40°，∴∠AOB=140°，∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE，∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°．故选C．5．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．12【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将y=lnx+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可．【解答】解：由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）故选B7．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选A．8．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）【分析】先设函数f（x）上的点为（x，y），根据（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）且函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，得到x与y的关系式，即得答案．【解答】解：设（x，y）在函数f（x）的图象上∵（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），所以（﹣x，﹣y）在函数g（x）上∴﹣y=log2（﹣x）⇒f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）故选D．9．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选A．10．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，根据已知中f（sinx）=2﹣cos2x，结合倍角公式对解析式进行凑配，不难得到函数f（x）的解析式，然后将cosx 代入，并化简即可得到答案．【解答】解：∵f（sinx）=2﹣（1﹣2sin2x）=1+2sin2x，∴f（x）=1+2x2，（﹣1≤x≤1）∴f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x．故选D11．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．【分析】根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化简求值即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得且d≠0，∴，故选A．12．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45【分析】利用绝对值的几何意义求解或者绝对值不等式的性质求解．【解答】解法一：f（x）==|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣19|表示数轴上一点到1，2，3，…，19的距离之和，可知x在1﹣19最中间时f（x）取最小值．即x=10时f（x）有最小值90，故选C．解法二：|x﹣1|+|x﹣19|≥18，当1≤x≤19时取等号；|x﹣2|+|x﹣18|≥16，当2≤x≤18时取等号；|x﹣3|+|x﹣17|≥14，当3≤x≤17时取等号；…|x﹣9|+|x﹣11|≥2，当9≤x≤11时取等号；|x﹣10|≥0，当x=10时取等号；将上述所有不等式累加得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|≥18+16+14+…+2+0=90（当且仅当x=10时取得最小值）故选C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）在的展开式中常数项为45（用数字作答）．【分析】利用二项式的通项公式（让次数为0，求出r）就可求出答案．【解答】解：要求常数项，即40﹣5r=0，可得r=8代入通项公式可得T r=C108=C102=45+1故答案为：45．14．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．【分析】先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为π可求得B的值，进而利用AD为边BC上的中线求得BD，最后在△ABD中利用余弦定理求得AD．【解答】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2，由余弦定理定理可得故答案为：15．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．【解答】解：如图示，由图形可知：点A在圆（x﹣2）2+y2=4的内部，圆心为O（2，0）要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥OA，所以．16．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：25三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用三角函数的商数关系求出正切，求出角．（2）利用向量模的平方等于向量的平方，利用三角函数的平方关系及公式，化简，利用三角函数的有界性求出范围．【解答】解：（1）因为，所以得又，所以θ=（2）因为=所以当θ=时，的最大值为5+4=9故的最大值为319．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．【分析】（1）由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量ξ的取值，结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率，写出分布列和期望．（2）由上一问做出的分布列可以知道，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解（1）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0，1，2，3==，∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E（ξ）=（2）∵P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的∴P（ξ≥2）=20．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A 1﹣AD﹣C1的大小．【分析】（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1，而ED⊥BB1，即可证得；（Ⅱ）连接A1E，作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO C1C，又C1C B1B，所以EO DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．（6分）（Ⅱ）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角．不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF==，tan∠A1FE=，∴∠A1FE=60°．所以二面角A1﹣AD﹣C1为60°．（12分）24．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x ≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．【分析】令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax对g（x），求导得g'（x）=ln（x+1）+1﹣a，令g'（x）=0⇒x=e a﹣1﹣1，当a≤1时，对所有的x＞0都有g'（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上为单调增函数，又g（0）=0，所以对x≥0时有g（x）≥g（0），即当a≤1时都有f（x）≥ax，所以a≤1成立，当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1时，g'（x）＜0，所以g （x）在（0，e a﹣1﹣1）上是减函数，又g（0）=0，所以对于0＜x＜e a﹣1﹣1有g （x）＜g（0），即f（x）＜ax，所以当a＞1时f（x）≥ax不一定成立综上所述即可得出a的取值范围．【解答】解法一：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e a﹣1﹣1）是减函数，又g（0）=0，所以对0＜x＜e a﹣1﹣1，都有g（x）＜g（0），即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．解法二：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立．对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，当x＞e a﹣1﹣1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当﹣1＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为e a﹣1﹣1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．25．（14分）（2006•全国卷Ⅱ）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM．（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，显然AB斜率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，判别式△=16（k2+1）＞0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，x o==2k，y o==﹣1，即M（，﹣1）从而，=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）•=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证．这就说明AB⊥FM．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而4y1=x12，4y2=x22，则x22=，x12=4λ，|FM|====．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=（）2．于是S=|AB||FM|=（）3，由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．27．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．【分析】（1）验证当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为a1根据根的定义，可求得a1，同理，当n=2时，也可求得a2；（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．（2）由题设（S n﹣1）2﹣a n（S n﹣1）﹣a n=0，S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，S n﹣2S n+1=0．①代入上式得S n﹣1由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．由此猜想S n=，n=1，2，3，．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即S k=，当n=k+1时，由①得S k+1=，即S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知S n=对所有正整数n都成立．。
一道引领高三学生回归课本的好题——评析2006年高考福建卷理第22题
3借助在平行四边行A BCD 中如图(6)有22222()A B BC A C BD +=+,∴22221()()()222A C BD AB BC =+,即三角形中第三边为定长时,两边的平方和22()A B BC +与第三边上的中线同时取最大(小)值,因此,容易看出符合条件的位置为D 点(达到最小值),E 点(达到最大值),4,6OD OE ==,可得所求最大、最小值分别为80、40.从以上题例可以看出,线性规划是我们解题过程中进行数形结合的一种好的有效的方法.它直观.明了,容易让学生接受,而应用此方法解题,往往能起到事半功倍的效果,并能很好地开拓学生的思维视野,培养学生的发散思维能力和创造性思维能力.一道引领高三学生回归课本的好题——评析2006年高考福建卷(理)第22题福建福清第三中学李云杰1问题提出人教版高一上课本复习参考题三P136的第14题为:已知数列{}n a 是等差数列.1a =1,设211222n c =++++",求证:121144a a "14(1)nna a c =+.通过改编成为,2006年高考福建卷(理)第22题.已知数列{}n a 满足*111,21()n n a a a n N +==+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足12111444nbb b ="(1)nb n a +,证明{}n b 是等差数列;(3)证明:*122311()232n n a a a n nn N a a a +<++<∈".本试题主要考查数列、不等式基本知识,考查化归的数学思想方法,考查代数推理等综合解题能力.下面我们从试题的命制、背景、思想方法、知识延伸和反思启示来剖析这一道题.2考题探源2006年福建省高考数学考试说明指出:命题应认真研究教材,挖掘教材中相关知识的教育价值与功能.本题题干条件,数列{}n a 满足111,2n n a a a +==*1()n N +∈,有深厚的数学文化背景.2.1河内塔(梵塔)问题河内塔问题是印度的一个古老的传说.开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了三根金刚石的棒,第一根上面套着64个圆的金片,最大的一个在底下,其余一个比一个小,依次叠上去,庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上,规定可利用中间的一根棒作为帮助,但每次只能搬一个,而且大的不能放在小的上面.显然,众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动.(1)河内塔问题的情境性设有n 个银片,大小不同,从大到小排列在三根金棒中的一根.这些银片要搬到另一根金棒上,每次搬一个.第三根金棒作为银片暂时摆放用.在搬动过程中,仍要保持大片在下,小片在上,问要搬动多少次,才能将所有银片从一根棒搬到另一根,且搬完后银片相对位置不变？评注:改编成一道解答题,体现结论的一般化与推广的过程,培养学生数学的归纳能力和阅读能力,并在解题中体会数学的化归思想.(2)河内塔问题的求解主要有两个思路,一是采用“归纳——猜想——证明”的方法;二是寻找n a 与前面各项之间的关系,由题设条件列出等式.显然,“归纳——猜想——证明”法较常见,但递推方法更实用.解法一令用n a 表所求的搬动次数,显然121,3a a ==,由操作易知347,15a a ==,于是可猜想21n n a =,再用数学归纳法证明.解法二令用表所求的搬动次数,把第4n a35一棒n 个银片的1n 个搬到第三棒,再将最大一个银片搬到第二棒,然后又将第三棒上的1n 个片搬到第二棒上,如此继续,可完成这次搬动任务.因为搬1n 个银片从一棒到另一棒需1n a 次,故可得递推式121n n a a =+,11a =.对递推式121n n a a =+,11a =的求解.最后,可得21n n a =,就是2006年高考试题第一小题,数列{}n a 的通项公式.3化归思想数列这一章,教材重点是介绍了等差数列和等比数列,其它递推数列一般均可以化归为这两个基本数列.河内塔问题渗透的是一种化归的思想,递推式121n n a a =+,11a =的求解方法较多.比如,迭代法、转化为等比数列、直接使用待定系数法、转化为二阶常系数齐次递推数列等.下面,我们将问题一般化为:1n n a pa +=+q (,p q 为常数,0,1pq p ≠≠).要探究这个递推数列通项问题,我们先给出两个常用数列模型的结论:(1)1()n n a a f n +=+,通项公式为1111()n n k a a f k +==+∑.(2)1(),(()0)n n a f n a f n +=≠,通项公式为1111()n n k a a f k +==∏.则我们可以将递推问题1n n a pa q +=+化归为以上两个数列模型.3.1方法点拨将递推问题1n n a pa q +=+(1)p ≠去掉p 可转化为类型(1),去掉q 可转化为(2),有如下思路.思路1两边同除以1n p +得11n nn na a p p ++=+1n q p +.数列{}nna p 即为类型(1);思路211()n n n n a a pa q pa q +=++1()nn p a a =.数列1{}n n a a +即为类型(2);思路3引入待定参数λ,使λ+=()()n n p a p a λλ=,数列{}n a λ即为类型(2).要定出λ,只需把所构造递推式与原递推式比较得(1),1qp q pλλ==.应用(1)或(2)通项公式,不难得到此类型通项公式为:111(1)1n n n q p a a p p =+.3.2回归课本,知识变式延伸为了体现高考命题的公平性,通常都会依据课本,所以不少高考数学试题都能在课本上找到“影子”,不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合.因而高三复习,应该引导学生回归课本,对着课本目录回忆和梳理知识,把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上,选择一些针对性极强的题目进行强化训练,复习才有实效.下面对*111,21()n n a a a n N +==+∈继续进行研究.变式1数列{}n a 中,121/2,1,n a a a ===241(2)na n +>,求{}n a 的通项公式;变式1告诉我们,数列的奇数项、偶数项都加1/3后,各自成等比数列.即利用隔项数列解题,这与2004年全国卷1的22题,(已知数列{}n a 中11a =,且221(1)k k k a a =+,21k a +=2k a 3k +,其中k 1,2,3,=",求{}n a 的通项公式)解题思路完全一致.拓展变式2把1n n a pa q +=+进行加工,可以得到如下问题,求它们的通项公式.变式2.111(0)n n n n a a pa pa p +=+≠;变式2.211(,0)n n n a pa qa p q +=+≠,此类型称为二阶线性递归关系;变式2.311(0)n n n a pa qa A pqA +=++≠,此类型称为二阶线性非齐次递归关系;变式2.4110(n n n n pa a qa ra pr ++++=≠0,n a 0)≠;变式2.5110n n n n A a a Ba ca d +++++=(0)A d ≠.这五个变式都有一定的研究价值,是高三数学开展研究性学习的好素材.分析历年高考试题,细心的一线教师会意识到这五个变式在理科数列试题当中的作用.高三复习1n a36中,对课本题目进行小题大做,变式深化,最终与高考试题衔接.这样既能使学生发挥潜能,探索创新,亲历课本题目演变成高考试题的过程,有利于减少学生对高考试题的害怕心理;又能充分发挥课本的基础作用,丰富课本的内涵,创造性的使用课本.当然,回归课本,不是强记题型、死背结论,而是要抓纲悟本,体会方法与思想.课本中的题目具有紧扣教材,简明扼要、难度适中,方法典型,符合“通性通法”的特点,是知识和能力的重要载体.4反思与启示扎实的基础知识、基本技能的掌握和熟练的基本数学思想和方法的运用,是灵活运用知识分析问题和解决问题的前提和保障.因此,复习时一定要狠抓基础知识的复习、基本技能的训练和基本方法的熟练运用.这就需要我们回归课本,夯实基础,才能提高数学复习的整体效益.那如何运用课本呢？不是简单的重复,可以指导学生做到以下4点:(1)在复习每一课题时,必须联系课本中的相应部分,不仅要弄懂课本提供的知识和方法,还要弄清定理、公式的推导过程和例题的求解过程,揭示例、习题之间的联系及其变换.如重温《等差数列的前n 项和》时,要深入对公式进行多种推导,在推导中让学生体会丰富多彩的数学方法,叠加法、迭代法等.(2)在解高考训练题时如果遇到障碍,应有查阅课本的习惯,通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷,尽可能把问题回归为课本中的例题和习题.(3)在复习的训练过程中,我们会积累很多解题经验和方法,其中不乏一些规律性的东西,要注意从课本中探寻这些经验、方法和规律的依据.注重对知识过程的分析,让知识上升为方法,进而方法上升为思想.(4)注意通过课本题目的知识背景、来源等方面加以思考,改变设问方式、增加或减少变动因素和必要的引申、推广来扩大题目的训练功能.近几年来,特别是实行分省命题以来,许多试题设计独具匠心,令人回味无穷,但有一个共同点,各省命题都很注重对课本的开发、利用.这种导向作用,要求我们无论复习哪部分内容,我们都应该认真地对照课本,应有查阅课本的习惯.通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷,尽可能把问题回归为课本中的例题和习题.要让学生学会灵活运用课本知识,自主探究深化课本内容的思想方法,以此来培养学生的创新意识和探究能力,提高学生的数学素养,摆脱题海的束缚,为高考成功打下坚实的基础.在学生学习及其有限的时间内,让学生做大量练习,势必剥夺学生思考的时间、空间.学生只会学到僵化的题型,数学能力低下,失去了做题的真正价值,更何况做大量的习题也未必能够押到宝.我们应该发挥课本的基础和示范作用,注重基础,用好课本,因为课本是知识和方法的重要载体,是高考试题的主要来源.省内部分重点校的高三数学备课组,要求各成员采取按专题,对课本各章节习题进行改编,我想这也是回归课本的一个途径.在探究课本知识中见能力,在研讨课本例题方法中见思想,应成为我们高三课堂解题教学的基础.编辑：《福建中学数学》编辑部（福建师大数学系350007fjzxsx@ ）（月刊）印刷：福建师范大学印刷厂2006年第11期发行：福州市邮政局（总第179期）订购：全国各地邮局（所）邮发代号3－二O O 六年十一月二十日出版国内统一刊号：N35－O 定价元福建中学数学49C 1084/1:2.00。
2006年福建高考数学试题(理科)及答案
2006年福建高考数学试题（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=（2）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（A ）17 （B ）7 （C ）17- （D ）7-（4）已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-（5）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于（A ）22 （B ）233 （C ）423 （D ）433（6）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。
从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（A ）27 （B ）38 （C ）37 （D ）928（7）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n（8）函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是（A ）2(0)21x xy x =>- （B ）2(0)21xx y x =<-（C ）21(0)2x x y x -=> （D ）21(0)2x x y x -=< （9）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于（A ）23 （B ）32（C ）2 （D ）3 （10）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞（11）已知1,3,.0,OA OB OAOB===点C 在AOC ∠30o=。
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B.ac－bd=0
C. ac+bd=0
D.ad+bc=0
(2)在等差数列｛a n ｝中，已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13，则 a 4 +a 5 +a 6 等于
A.40
B.42
C.43
(3)已知
∈(
,
)，sin
=
3
,则
tan(
)等于
2
5
4
1
A.
B.7
C.－ 1
7
7
D.45 D.－7
(4)已知全集 U=R,且 A=｛x︱︱x－1︱>2｝,B=｛x︱x 2 －6x+8<0｝，则 (CU A) B 等于
A. 1,4
B. (2,3)
C.是 32 ，那么正方体的棱长等于 3
A.2 2
23
B.
3
42
C.
3
43
D.
3
(6)在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出 3 个
球，至少摸到 2 个黑球的概率等于
2
3
3
9
A.
B.
③在△ABC 中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置.
(13)(x 2 － 1 ) 2 展开式中 x 2 的系数是 x
(用数字作答)
(14)已知直线 x－y－1=0 与抛物线 y=ax 2 相切，则 a=
1 (a>0,b<0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2)
B. (1,2)
C.[2,+∞]
D.(2,+∞)
(11)已知︱ OA ︱=1，︱ OB ︱= 3 , OA OB =0,点 C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设 OC =m OA +n OB (m、n∈R)，则 m 等于
（21）（本小题满分 12 分）
第 3页 （共 13页）
已知函数 f(x)=－x 2 +8x,g(x)=6lnx+m
（Ⅰ）求 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值 h(t); （Ⅱ）是否存在实数 m，使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？ 若存在，求出 m 的取值范围；，若不存在，说明理由。
（20）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 x 2 y 2 1 的左焦点为 F，O 为坐标原点。 2
（Ⅰ）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点 F 且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴 交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围.
n
1
A.
B.3
3
C.
D. 3
3
3
(12)对于直角坐标平面内的任意两点 A(x 1 , y 1 )、B(x 2 ，y 2 )，定义它们之间的一种“距
离”：‖AB‖=︱x 1 －x 2 ︱+︱y 1 －y 2 ︱.
给出下列三个命题： ①若点 C 在线段 AB 上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC 中，若∠C=90°，则‖AC‖ 2 +‖CB‖ 2 =‖AB‖ 2 ；
2x B.y= 2 x 1 (x<0)
2x 1 C.y= 2 x (x>0)
2x 1 D. .y= 2 x (x<0)
(9)已知函数
f(x)=2sin
x(
>0)在区间[
,
]上的最小值是－2，则
的最小值等于
34
2
3
A.
B.
C.2
D.3
3
2
第 1页 （共 13页）
x2 (10)已知双曲线 a 2
y2 b2
（I）求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
（18）（本小题满分 12 分） 如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别 BD、BC 的中点,CA=CB=CD=BD=2 （Ⅰ）求证：AO⊥平面 BCD； （Ⅱ）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 E 到平面的距离.
（19）（本小题满分 12 分） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y（升）关于行驶速度 x（千米
/小时）的函数解析式可以表示为：y= 1 x3 3 x 8 (0<x≤120).已知甲、乙两 128000 80
地相距 100 千米。 （Ⅰ）当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
C.
D.
7
8
7
28
(7)对于平面 和共面的直线 m、n，下列命题中真命题是
A.若 m⊥ ，m⊥n，则 n∥
B.若 m∥ ，n∥ ，则 m∥n
C.若 m ，n∥ ，则 m∥n
D.若 m、n 与 所成的角相等，则 n∥m
x (8)函数 y=㏒ 2 x 1 (x﹥1)的反函数是
2x A.y= 2 x 1 (x>0)
（22）（本小题满分 14 分） 已知数列｛a n ｝满足 a 1 =1,a n1 =2a n +1(n∈N )
（Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足 4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈ *),证明:{bn}是等差数列;
(15)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数 0，两个面上标以数 1,一个面上标
以数 2，将这个小正方体抛掷 2 次，则向上的数之积的数学期望是
（16）如图，连结△ABC 的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连结的△A1B1C1 各边中
点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，
2006 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
（理工农医类） 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
(1)设 a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是
A.ad－bc=0
这一系列三角形趋向于一个点 M，已知 A(0,0) ,B(3,0),C(2,2)，则点 M 的坐标是
.
二、 解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第 2页 （共 13页）
（17）（本小题满分 12 分）
已知函数 f(x)=sin2x+ 3 xcosx+2cos2x,x R.