八年级数学上册-第十二章 整式的乘除 12.3 两数和(差)的平方课件 (新版)华东师大版
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八年级数学上册 第十二章 整式的乘除 12.3 两数和(差)的平方课件
第二页，共二十页。
获取(huòqǔ)新知 1.观察下列(xiàliè)算式及其运算结果，你有什么发现？
第三页，共二十页。
2.观察上面的计算结果，回答下列问题： （1）原式的特点： 两数和的平方. （2）结果的项数特点： 等于它们(tā men)平方的和，加上它们(tā men)乘积的两 倍. （3）三项系数的特点.（特别是符号的特点） （4）三项与原多项式中两个单项式的关系.
平方和加上（或减去）这两数积的两倍.
第七页，共二十页。
例1：计算(jì
suàn)
第八页，共二十页。
第九页，共二十页。
例2：
第十页，共二十页。
= 1 m 2 -m+1
4
法 2：（2）(1
1 2
m )2
=1 2 +2 (
1 2
m )1 + 1 m 2
4
第十一页，共二十页。
第十八页，共二十页。
课后作业(zuòyè)
1.从教材习题中选取(xuǎnqǔ)， 2.完成练习册本课时的习题.
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
No 12.3.2 两数和（差）的平方。即：(a-b)2=a2-2ab+b2。上面的两个公式称为完全平方公式.。(a-
b)2=a2-2ab+b2。(a+b)2=a2+2ab+b2。分析完全平方公式的结构特点(tèdiǎn)，并用语言来描述完全 平方公式.。x2+6xy+9y2。解：a2+b2=（a+b）2-2ab.。2.完成练习册本课时的习题.。课后作业
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12/13/2021
第二十页，共二十页。
12.3.2 两数和（差）的平方
获取(huòqǔ)新知 1.观察下列(xiàliè)算式及其运算结果，你有什么发现？
第三页，共二十页。
2.观察上面的计算结果，回答下列问题： （1）原式的特点： 两数和的平方. （2）结果的项数特点： 等于它们(tā men)平方的和，加上它们(tā men)乘积的两 倍. （3）三项系数的特点.（特别是符号的特点） （4）三项与原多项式中两个单项式的关系.
平方和加上（或减去）这两数积的两倍.
第七页，共二十页。
例1：计算(jì
suàn)
第八页，共二十页。
第九页，共二十页。
例2：
第十页，共二十页。
= 1 m 2 -m+1
4
法 2：（2）(1
1 2
m )2
=1 2 +2 (
1 2
m )1 + 1 m 2
4
第十一页，共二十页。
第十八页，共二十页。
课后作业(zuòyè)
1.从教材习题中选取(xuǎnqǔ)， 2.完成练习册本课时的习题.
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
No 12.3.2 两数和（差）的平方。即：(a-b)2=a2-2ab+b2。上面的两个公式称为完全平方公式.。(a-
b)2=a2-2ab+b2。(a+b)2=a2+2ab+b2。分析完全平方公式的结构特点(tèdiǎn)，并用语言来描述完全 平方公式.。x2+6xy+9y2。解：a2+b2=（a+b）2-2ab.。2.完成练习册本课时的习题.。课后作业
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12/13/2021
第二十页，共二十页。
12.3.2 两数和（差）的平方
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式12.3.1两数和乘以这两数的差习题课件
5. 计算：
4 2 9 2 3 2 2 3 (1)(4x＋3y)(3y－4x)＝ 9y －16x ；
2 2 4 y － 9 x (2)(－3x－2y)(3x－2y)＝ ．
6. 填写适当的式子： (1)(－6a＋ 2b )(2b＋ 6a )＝4b2－36a2； (2)(a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋( b－c )][a－( b－c )] ＝a2－( b－c )2.
4. 化简(3＋1)× (32＋1)× (34＋1)× (38＋1)得( D ) A．(38＋1)2 C．3 －1
16
B．(38－1)2 1 16 D. 2× (3 －1)
1 【解析】原式＝2× (3－1)(3＋1)× (32＋1)× (34＋1)× (38 1 2 1 4 2 4 8 ＋1)＝2(3 －1)(3 ＋1)(3 ＋1)(3 ＋1)＝2(3 －1)(34＋1)(38 1 8 1 16 8 ＋1)＝2(3 －1)(3 ＋1)＝2(3 －1)．
10. 如图所示，在边长为 a 的正方形中剪去一个边 长为 b 的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形．
(1)分别计算这两个图形阴影部分的面积； (2)这个题从几何角度验证了哪个公式？
解：(1)阴影部分的面积为 a2－b2 或(a＋b)(a－b)； (2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(2)设两个连续偶数为 2k＋2 和 2k(其中 k 取非负整 数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数吗？为 什么？
解：是 4 的倍数，理由：∵(2k＋2)2－(2k)2＝8k＋4 ＝4(2k＋1)．∵k 为非负数，∴4(2k＋1)是 4 的倍数．
7. 如果(a＋b＋1)(a＋b－1)＝63，那么 a＋b 的值 为
± 8
八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 2两数和(差)的平方作业课件
形(a>1)．剩余部分沿虚线(xūxiàn)又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则该长方
形的面积是( )
C
A．2 cm2 B．2a cm2 C．4a cm2 D．(a2－1) cm2 点拨(diǎn bo)：(a＋1)2－(a－1)2＝4a cm2.
第二十页，共二十二页。
20．已知α2＋β2＝30，且(α＋β)2＝48，求(α－β)2和(α2－2)(β2－2)的值． 解：(α－β)2＝12，(α2－2)(β 2－2)＝25.
第12章 整式 的乘除 (zhěnɡ sh)的平方(píngfāng)
第一页，共二十二页。
第二页，共二十二页。
知识点1：两数和(差)的平方公式 1．(2016·武汉)运用乘法(chéngfǎ)公式计算(x＋3)2的结果是(C ) A．x2＋9 B．x2－6x＋9 C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋9
第十五页，共二十二页。
15．若9x2＋4y2＝(3x＋2y)2＋A，则整式A为________－__．12xy 16 ． 如 果 x2 ＋ kx ＋ 81 是 两 数 和 或 差 的 平 方 ( p í n g f ā n g ) ， 那 么 k 的 值 是
___±__1_8_．
第十六页，共二十二页。
解：a2x2＋abxy＋14b2y2
第八页，共二十二页。
(3)(x－3y2)(－x＋3y2)； 解：－x2＋6xy2－9y4
(4)(7a＋b2)(－7a－b2)． 解：－49a2－7ab－b42
第九页，共二十二页。
知识点 2：两数和(差)的平方公式的运用 8．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3，则 a2＋b2 与 ab 的值分别是( C ) A．4，1 B．2，32 C．5，1 D．10，32 9．已知 x＋y＝－5，xy＝6，则 x2＋y2＝_1_3__，(x－y)2＝__1__．
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；
(2x－3y)2＝4x2－12xy＋9y2.
完全平方公式的应用
自我诊断2. 若a＋b＝3，a－b＝7，则ab＝ －10 .
易错点：公式的运用不准确．
自我诊断3. 计算：(－2x－y)2＝ 4x2＋4xy＋y2 ；
(－x＋2y)(x－2y)＝ －x2＋4xy－y2
.
1．下列运算正确的是( C ) A．(a＋3)2＝a2＋9
A．2mn C．(m－n)2
B．(m＋n)2 D．m2－n2
4．如果 a2＋b2＝12，ab＝－3，则(a＋b)2 的值是( A )
A．6
B．18
C．3
D．12
5．一个正方形的边长增加 3cm，它的面积就增加 39cm2，这个正方形的边
长是 5cm .
6．计算： (1)(2m＋3n)2； 解：原式＝4m2＋12mn＋9n2； (2)(－3a＋4b)2； 解：原式＝9a2－24ab＋16b2； (3)(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－2ab； 解：原式＝2a2； (4)(2m－5n)2－(2m＋5n)2. 解：原式＝－40mn.
7．用简便方法计算：
(1)100.22； 解：原式＝(100＋0.2)2＝1002＋2×100×0.2＋0.22＝10040.04； (2)4992. 解：原式＝(500－1)2＝5002－2×500×1＋12＝249001.
8．(泰安中考)下列运算正确的是( D )
A．a2·a2＝2a2
B．a2＋a2＝a4
16．(贵阳中考)下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问
题．
解：x(x＋2y)－(x＋1)2＋2x
＝x2＋2xy－x2＋2x＋1＋2x 第一步
＝2xy＋4x＋1
2018年八年级数学上第12章整式的乘除12.3乘法公式2两数和差的平方导学新版华东师大版精选优质PPT课件
第二日天未亮。他就从床上爬起。 张虎还 在打着 呼噜。 王林换 上灰衣 。连忙 向杂物 处走去 。来到 此地地 一刻。 太阳渐 渐从东 方出现 。黄衣 青年推 开房门 。斜着 眼睛看 了眼王 林。阴 阳怪调 道：“ 还算守 时。进 去拿水 桶吧。 顺着东 门出去 。山间 有个泉 眼。到 那里挑 水。” 说完。他不在理会王林。盘膝坐在 地上。 对着日 出缓缓 地吐纳 。一丝 丝淡淡 地白气 从他鼻 间散出 。如两 条白龙 般翻滚 。
中年人面带微笑，内心暗道：“王 林啊王 林，能 帮的我 都帮了 ，你四 叔给我 的那块 精铁， 我可就 却之不 恭了。 我倒是 很奇怪 ，一个 凡人， 居然能 弄到这 等材料 。” “黄鼠狼”王林一怔，他第一个想到 的就是 之前嘲 笑自己 的那个 黄衣青 年，觉 得他比 较符合 这个称 呼，可 心里不 知到底 对方说 的是不 是他。
王林眼露羡慕之色。走进房间看了 一圈。 终于在 一处门 后看到 了那十 个庞大 地水缸 。苦笑 一声。 他拎起 两个水 桶向东 门走去 。 走了很远地路。这才来到对方说地 泉眼。 此地风 景颇为 秀丽。 水声哗 哗作响 。犹如 天籁之 音弥人 心菲。 王林无暇看这美景。把水桶装满。 连忙拎 起向山 上走去 。
图 12－3－4 A．ab B．(a＋b)2 C．(a－b)2 D．a2－b2
12.3 乘法公式
【解析】由题意可得，正方形的边长为a＋b，故正方形的面积为(a＋ b)2，又∵原长方形的面积为4ab，∴中间空白部分的面积为(a＋b)2－
4ab＝(a－b)2.故选C.
【归纳总结】两数和(差)的平方公式的几何意义需注意图形的面 积关系，利用两图的面积关系即可得出结论．
虽然效果不如露水，但王林却极为 兴奋， 他摸了 摸胸口 放石珠 的位置 ，再次 决定决 不能让 人知道 自己有 这宝贝 ！ 把半桶水都喝光后，他肌肉不再酸 痛，精 神气爽 ，立刻 继续挑 水的工 作。
中年人面带微笑，内心暗道：“王 林啊王 林，能 帮的我 都帮了 ，你四 叔给我 的那块 精铁， 我可就 却之不 恭了。 我倒是 很奇怪 ，一个 凡人， 居然能 弄到这 等材料 。” “黄鼠狼”王林一怔，他第一个想到 的就是 之前嘲 笑自己 的那个 黄衣青 年，觉 得他比 较符合 这个称 呼，可 心里不 知到底 对方说 的是不 是他。
王林眼露羡慕之色。走进房间看了 一圈。 终于在 一处门 后看到 了那十 个庞大 地水缸 。苦笑 一声。 他拎起 两个水 桶向东 门走去 。 走了很远地路。这才来到对方说地 泉眼。 此地风 景颇为 秀丽。 水声哗 哗作响 。犹如 天籁之 音弥人 心菲。 王林无暇看这美景。把水桶装满。 连忙拎 起向山 上走去 。
图 12－3－4 A．ab B．(a＋b)2 C．(a－b)2 D．a2－b2
12.3 乘法公式
【解析】由题意可得，正方形的边长为a＋b，故正方形的面积为(a＋ b)2，又∵原长方形的面积为4ab，∴中间空白部分的面积为(a＋b)2－
4ab＝(a－b)2.故选C.
【归纳总结】两数和(差)的平方公式的几何意义需注意图形的面 积关系，利用两图的面积关系即可得出结论．
虽然效果不如露水，但王林却极为 兴奋， 他摸了 摸胸口 放石珠 的位置 ，再次 决定决 不能让 人知道 自己有 这宝贝 ！ 把半桶水都喝光后，他肌肉不再酸 痛，精 神气爽 ，立刻 继续挑 水的工 作。
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差课件(新版)华东师大版
1 2 2 1 1 xy－ 4 自我诊断 3. 计算：(－xy＋ )(－xy－ )＝ 2 2
.
.
1．(孝感中考)下列计算正确的是( B ) A．b3· b3＝2b3 B．(a＋2)(a－2)＝a2－4 C．(ab2)3＝ab8 D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b 2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A ) A．－x2＋y2 C．x2－y2 B．－x2－y2 D．x2＋y2
解：原式＝9；
(2)(4m－3n)(4m＋3n)；
解：原式＝16m2－9n2；
1 1 (3)(－2x2＋ )(－2x2－ )； 2 2 1 4 解：原式＝4x － ； 4 2 3 2 3 (4)( x－ y)(－ x－ y)． 3 4 3 4 4 9 解：原式＝－ x2＋ y2. 9 16
7．边长为 acm 的正方形(a＞1)，一组对边的边长增加 1cm，另一组对边的 边长减少 1cm，得到的长方形的面积与原正方形的面积比较，有没有发生 变化？说明你的理由．
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1…
8 x 可得到(x－1)(x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x＋1)＝ －1
7
6
5
4
3
2
； .
n＋1 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ x －1
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C ) A．x4＋16 C．x4－16 B．－x4－16 D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C ) A．4 C．16 B．8 D．32
.
.
1．(孝感中考)下列计算正确的是( B ) A．b3· b3＝2b3 B．(a＋2)(a－2)＝a2－4 C．(ab2)3＝ab8 D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b 2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A ) A．－x2＋y2 C．x2－y2 B．－x2－y2 D．x2＋y2
解：原式＝9；
(2)(4m－3n)(4m＋3n)；
解：原式＝16m2－9n2；
1 1 (3)(－2x2＋ )(－2x2－ )； 2 2 1 4 解：原式＝4x － ； 4 2 3 2 3 (4)( x－ y)(－ x－ y)． 3 4 3 4 4 9 解：原式＝－ x2＋ y2. 9 16
7．边长为 acm 的正方形(a＞1)，一组对边的边长增加 1cm，另一组对边的 边长减少 1cm，得到的长方形的面积与原正方形的面积比较，有没有发生 变化？说明你的理由．
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1…
8 x 可得到(x－1)(x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x＋1)＝ －1
7
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n＋1 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ x －1
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C ) A．x4＋16 C．x4－16 B．－x4－16 D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C ) A．4 C．16 B．8 D．32
2018年秋季八年级数学华师大版(上册)导学课件第12章 12.3 12.3. 2 两数和(差)的平方
2. 已知 m ＋n＝10， m n＝24， 则 m 2＋n2 等于( A ) A．52 C．58 B．148 D．76
3. 下列各式中，能由完全平方公式计算得到的有 ( C ) 1 1 2 2 2 ①x －x＋4；②m －m n＋n ；③16a ＋a＋9；④x2
2
1 2 1 2 2 2 2 ＋xy＋4y ；⑤x ＋4y ＋4xy；⑥4x y －xy＋1. A．2 个 C．4 个 B．3 个 D ．5 个
3. 仔细观察下图，依据图形面积间的关系，不添加 辅助线，便可得到一个熟悉的公式，这个公式是( C ) A．(x－y)2＝x2－xy＋y2 B．(x－y)2＝x2－2xy＋y2 C．(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2 D．(x＋y)2＝x2＋y2
【解析】大正方形面积为(x＋y)2，且大正方形面积 ＝2 个长方形面积＋2 个小正方形面积，即(x＋y)2＝x2＋ y2＋xy＋xy＝x2＋2xy＋y2.
【解析】能由完全平方公式计算得到的有①④⑤⑥.
知识点
两数和(差)的平方公式的综合应用
4. 已知 x2＋16x＋k 是两个数和的平方，则常数 k 等 于( A ) A．64 C．32 B．48 D．16
5. 如图，从边长为(a＋1) cm 的正方形纸片中剪去 一个边长为(a－1) cm 的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线 又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)， 则该长方形的面积 为( C )
图①是一个长为 2a，宽为 2b 的长方形，沿图中 虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼 成一个正方形．
A．2 cm 2 C．4a cm 2
B．2a cm 2 D．(a2－1) cm 2
b 6. 若非零实数 a， b 满足 4a ＋b ＝4ab， 则a＝ 2 ．
华东师大版八年级数学上册第12章第3节《两数和(差)的平方》课件
(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2; (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2; (a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.
当堂练习
1.运用完全平方公式计算：
(1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
5.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
= x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.
(2) (a+b+c)2 原式 = [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
解题小结：第(1)题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方 法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第(2)题要把 其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2； =36a2+60ab+25b2； (3) (2m-1)2 ；
当堂练习
1.运用完全平方公式计算：
(1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
5.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
= x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.
(2) (a+b+c)2 原式 = [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
解题小结：第(1)题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方 法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第(2)题要把 其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2； =36a2+60ab+25b2； (3) (2m-1)2 ；
201X年秋八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 1 两数和乘以这两数的差课件
D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b
2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A )
A．－x2＋y2
B．－x2－y2
C．x2－y2
D．x2＋y2
教育ppt
3
3．下列运算正确的是( C )
A．(a＋9)(a－9)＝a2－9
B．(3a＋4)(3a－4)＝3a2－16
C．(1＋4ab)(4ab－1)＝16a2b2－1
13．在计算①(2x－3y)(3y＋2x)；②(2x－3y)(3y－2x)；③(－2x＋3y)(－3y－
2x)；④(－3y＋2x)(－2x－3y)；⑤(－2x－3y)(2x＋3y)时，能运用平方差公式 的是 ①③④ ，其结果相同的是 ①③ .
教育ppt
9
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1… 可得到(x－1)(x7＋x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)＝ x8－1 ； 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ xn＋1－1 .
2018秋季
数学 八年级 上册•HS
第12章 整式的乘除
12.3 乘法公式 1.两数和乘以这两数的差
教育ppt
1
平方差公式
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差；用公式表示为：(a＋b)(a－ b)＝ a2－b2 . 自我诊断 1. (德阳中考)计算：(x＋3)(x－3)＝ x2－9 .
平方差的几何意义及应用
自我诊断 2. (六盘水中考)2017×1983＝ 3999711 .
易错点：对公式的认识不完整．
自我诊断 3. 计算：(－xy＋12)(－xy－教21育)p＝pt x2y2－41
八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 第2课时 两数和(差)的平方课件
第四页，共二十页。
引入
昨天,我们数学老师布置(bùzhì)了这样一 道题目:
(a+b)2 与(a+2b)2等于多少,而且要 用拼图来说明。我到现在还没有 结果呢,唉!今天上课又要挨批评 了, 怎么办呢?同学们,你们能帮帮 我吗?
第五页，共二十页。
探究
2
=
(a+b)
a2
ab
a2 +
2ab
+ b2
a2
第二十页，共二十页。
第二数的平方 这一项错了符号;
应改为: ( a−1)2＝( a)2−2•( a )•1+12;
第十七页，共二十页。
课堂 小结 (kètáng)
你
来
总
结
(zǒn gjié)
本题(běntí)课你
有什么收获或
感想？你还有
什么疑问？
第十八页，共二十页。
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
两数和（差）的平方(píngfāng)。即两数和与这两数差的积.。“首平方(píngfāng)，尾平方(píngfāng) ，首尾二倍在中央”。(1) (2x+3)2。(2) (3m−2n)2。使用完全平方(píngfāng)公式与平方(píngfāng)差公式 的使用一样,。解：(1) (2x+3)2。（1） (a+3b)2 ＝。(2) (2x+3y)2。（3） (-2x-y)2。②计算：（―a+b） 2和（―a―b）2。③与（a+b）2及（a―b）2比较，你发现了什么律。=(100+2)2。你还有什么疑问
ab
ab
b2
a
b
a+b
引入
昨天,我们数学老师布置(bùzhì)了这样一 道题目:
(a+b)2 与(a+2b)2等于多少,而且要 用拼图来说明。我到现在还没有 结果呢,唉!今天上课又要挨批评 了, 怎么办呢?同学们,你们能帮帮 我吗?
第五页，共二十页。
探究
2
=
(a+b)
a2
ab
a2 +
2ab
+ b2
a2
第二十页，共二十页。
第二数的平方 这一项错了符号;
应改为: ( a−1)2＝( a)2−2•( a )•1+12;
第十七页，共二十页。
课堂 小结 (kètáng)
你
来
总
结
(zǒn gjié)
本题(běntí)课你
有什么收获或
感想？你还有
什么疑问？
第十八页，共二十页。
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内容(nèiróng)总结
两数和（差）的平方(píngfāng)。即两数和与这两数差的积.。“首平方(píngfāng)，尾平方(píngfāng) ，首尾二倍在中央”。(1) (2x+3)2。(2) (3m−2n)2。使用完全平方(píngfāng)公式与平方(píngfāng)差公式 的使用一样,。解：(1) (2x+3)2。（1） (a+3b)2 ＝。(2) (2x+3y)2。（3） (-2x-y)2。②计算：（―a+b） 2和（―a―b）2。③与（a+b）2及（a―b）2比较，你发现了什么律。=(100+2)2。你还有什么疑问
ab
ab
b2
a
b
a+b
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1 2
m )2 +2 (
1 2
m ) 1+1 2
= 1 m 2 -m+1
4
= 1 m 2 -m+1
4
法 2：（2）(1
1 2
m )2
=1 2 +2 (
1 2
m )1 +(
1 2
m )2
=1-m+ 1 m 2
4
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1.填空题
完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
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分析完全平方公式的结构特点，并用语言来 描述完全平方公式.
结构特点：左边是二项式（两数和（差）） 的平方；右边是两数的平方和加上（减去）这 两数乘积的两倍.语言描述：两数和（或差）的 平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这 两数积的两倍.
3.计算：
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4.利用完全平方公式计算： (1)(-1-2x)2； 解：原式=(-1)2-2×(-1)×(2x)+（2x)2=1+4x+4x2 (2)(-2x+1)2 解：原式=(-2x)2+2× (-2x)×1+12=4x2-4x+1
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6.观察下列各式的规律: 12+（1×2）2+22=（1×2+1）2； 22+（2×3）2+32=（2×3+1）2； 32+（3×4）2+42=（3×4+1）2； … （1）写出第2014行的式子； （2）写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的. 解：（1）（2014）2+（2014×2015）2+（2015）2 =（2014×2015+1）2
（2）（2a＋ b ）2 2
=（2a）2+2 2a + ( b ）2
2 =4a2+2ab+ b2
4
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例2：
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法 1（2） ( 1 m 1)2 2
=(
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获取新知 1.观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？
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2.观察上面的计算结果，回答下列问题： （1）原式的特点： 两数和的平方. （2）结果的项数特点： 等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍. （3）三项系数的特点.（特别是符号的特点） （4）三项与原多项式中两个单项式的关系.
随堂演练 x2+6xy+9y2
3a - 4b 25
(- x - y)
24ab 5
2.下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算（ C ）
A.(a+b)(a+c)
B.(x+y)(-y+x)
C.(ab-3x)(-3x+ab) D.(-m+n)(m+n)
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5.（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2 解：a2+b2=（a+b）2-2ab. ∵a+b=3，ab=2，∴a2+b2=32-2×2=5. （2）若已知a+b=10，a2+b2=4，ab的值呢？ 解：∵a+b=10，∴（a+b）2=102，a2+2ab+b2=100， ∴2ab=100-（a2+b2）. 又∵a2+b2=4，∴2ab=100-4，ab=48.
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（2）n2+［n（n+1）］2+（n+1）2=［n（n+1）+1］2. 证明：∵n2+［n（n+1）］2+（n+1）2 =n2+n2（n+1）2+n2+2n+1 =n2+n2（n2+2n+1）+n2+2n+1 =n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1. 而［n（n+1）+1］2=［n（n+1）］2+2n（n+1）+1 =n2（n2+2n+1）+2n2+2n+1 =n4+2n3+n2+2n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1， 所以n2+［n（n+1）］2+（n+1）2=［n（n+1）+1］2.
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课堂小结 1.完全平方公式的使用：在做题过程中一定要注 意符号问题和正确认识a、b表示的意义，它们可以 是数，也可以是单项式，还可以是多项式，所以要 记得添括号. 2.解题技巧：在解题之前应注意观察思考，选择 不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择.
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归纳结论：两数和的平方，等于它们平方的和， 加上它们乘积的两倍.即：(a+b)2=a2+2ab+b2
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(a-b)2=？
归纳结论：两数差的平方，等于它们平方的 和，减去它们乘积的两倍. 即：(a-b)2=a2-2ab+b2 上面的两个公式称为完全平方公式.
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例例41：计计算算：
（1）（2x＋3y）2；
（2）（2a＋ b ）2 2
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解：(1)（2x＋3y）2
=（2x）2+2 2x 3y+（3y）2；
=4x2 +12xy+9y2
大家好
1
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12.3.2 两数和（差）的平方
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新课导入 你会计算下列各题吗? (x+3)2= x2+6x+9 ， (x-3)2= x2-6x+9 . 这些式子的左边和右边有什么规律? : (2m+3n)2= 4m2+12mn+9n2， (2m-3n)2= 4m2-12mn+9n2 .