条件概率习题课

3.若 A B 为不可能事件,则说事件A与B互斥.
复习回顾 1.条件概率 设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A 发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率. 记作P(B |A).
2.条件概率计算公式:
P (B | A)
n( A B ) n( A )

P ( AB ) P ( A)
注:（1）对于古典（几何）概型的题目，可采用缩减 样本空间的办法计算条件概率 P ( B | A ) （2）直接利用定义计算： P ( B | A )
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课堂小结
方法技巧 1．条件概率公式揭示了条件概率P(B|A)与事件P(A)， P(AB)三者之间的关系，由条件概率公式可以解决下 列两类问题．
(1)已知P(A)，P(AB)，求P(B|A)；
(2)已知P(A)，P(B|A)，求P(AB)．
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课堂小结
2．P(B|A)表示事件B在“事件A已发生”这个附加条件下发生的
概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说，条
件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一 事件在此“新条件”下发生的概率．
因此利用缩小样本空间的观点计算条件概率时， 首先明 确是求“在谁发生的前提下谁的概率”，其次转换样本空 间，即把即定事件 A 所含的基本事件定义为新的样本空间， 显然待求事件 B 便缩小为事件 AB，如图所示．从而 P(B|A) nAB ＝ . nA
由 于 B A, 故 A B B，
P ( A B ) P ( B ) 0 .5 6

所求概率为
P (B A) P( AB) P ( A) P(B) P ( A) 0 .8
0.56
0.7
B
A
例题
有关几何概型的条件概率
例 3一个正方形被平均分成9个部分，向大正 方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)． 设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正 方形区域的事件记为B，求P(AB)、P(A|B)．
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6 5 1 4 2 ∴n(D)＝n(A)＋n(B)＋n(C)＝C10＋C10C10＋C10C10，
n(ED)＝n(A)＋n(B)＝C6 ＋C5 C1 ， 10 10 10 C6 ＋C5 C1 13 10 10 10 ∴P(E|D)＝ 6 . 5 1 4 2 ＝ C10＋C10C10＋C10C10 58
条件概率习题课
复习回顾 事件的概率有加法公式： 若事件A与B互斥，则. P( A B) P ( A) P ( B) 注: 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的 和事件,记为 A B (或 A B ); 2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件, 记为 A B (或 A B );
A
中样本点数
,
AB 中 样 本 点 数 中样本点数
一 般 来 说 , P (B A)比 P ( AB ) 大 .
例题
有关古典概型的条件概率
1
1 2
2
3 5
例题
有关古典概型的条件概率
1 3
例题
利用条件概率公式计算概率
例 2 某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25
岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁 的概率。 解:设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示“活到25 岁” (即≥25)则 P ( A ) 0 .7 , P ( B ) 0 .5 6
4 11
若已知取得是蓝球,问该球是玻璃球的概率.
变式 :若已知取得的是玻璃球,求取得的是蓝球的概率.
2 3
练习
3.在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题 ，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若 至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生 能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中 已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
n( A B ) n( A )
P ( AB ) P ( A)
复习回顾 3、条件概率的性质：
0 （1） P ( B | A ) 1;
（2）如果B和C是两个互斥事件，那么
P ( B C | A ) P ( B | A ) P ( C | A ).
1.从事件的前提不同理解来区分； 2.从样本空间的变化来理解； 3从概率的求法来理解
例题
【思路点拨】
【解】
有关几何概型的条件概率
利用正方形的个数，求其概率．
如图，n(Ω)＝9，
n(A)＝3，n(B)＝4，n(AB)＝1， nAB 1 1 ∴P(AB)＝ ，P(A|B)＝ ＝ . 9 nB 4
解法二：P(A | B) P ( AB ) P (B ) 1/9 4/9 1 4
解：设第i次按对密码为事件Ai ( i 1， 2) 则设A A1 ( A1 A2 )表示不超过2次就按对密码。
（1）因为事件A1与事件 A1 A2互斥，由概率的加法公式得
P ( A) P ( A1 ( A1 A2 )) P ( A1 ) P ( A1 A2 )
1 10 91 10 9 1 5
例 4.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的 概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过 2次就按对的概率。
解：设第i次按对密码为事件Ai ( i 1， 2) 则A A1 ( A1 A2 )表示不超过2次就按对密码。
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解：设事件A为“该考生6道题全答对”，
事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，
事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道答错”，
事件D为“该考生在这次考试中通过”，
事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，
则A、B、C两两互斥，且D＝A∪B∪C，
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练习
∴n(A)＝C6 ，n(B)＝C5 C1 ，n(C)＝C4 C2 ， 10 10 10 10 10
【思维总结】 本题是面积型的几何概型，利用小正 方形的个数来等价转化，将样本空间缩小为n(B)．
例题
条件概率性质的应用
例 4.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9 中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密 码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就 按对的概率。
4.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P ( AB ) 表 示 在 样 本 空 间 中, 计 算 AB发 生 的 概 率 ,而 P (B A) 表 示 在 缩 小 的 样 本 空 间
A
中,
计 算 B 发 生 的 概 率 .用 古 典 几 何 概 率 公 式 , 则 P (B A) P( AB) AB 中 样 本 点 数
（2）用B表示最后一位是偶数的事件，则
P ( A B) P (( A1 A1 A2 ) | B) P ( A1 B ) P ( A1 A2 B )

1 5

41 5 4

2 5
练习
1.一个箱子中装有2n 个白球和（2n-1） 个黑球，一次摸出个 n球. (1)求摸到的都是白球的概率；
(2)在已知它们的颜色相同的情况下， 求该颜色是白色的概率。
(1 ) P ( A ) C 2n C 4n1
n n
(2)P ( A | A B )
C 2n C 2n C 2n1
n n
n
练习
1.盒中有球如表. 任取一球 玻璃 红 蓝 总计 2 4 6 木质 3 7 10 总计 5 11 16