利用导数判断函数的单调性222
函数单调性怎么判断
函数单调性怎么判断函数的单调性指的是函数图像随着自变量的增大或减小而呈现出的单调递增或单调递减的特点。
在数学中，判断函数的单调性通常需要考虑函数的导数或差商等概念。
下面将详细介绍如何通过导数和差商来判断函数的单调性。
一、导数判定法1.一阶导数判定法：如果函数f(x)在区间I上连续，并在I的开区间上可导，如果在I上f'(x)>0或f'(x)<0，则函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减。
例如，考虑函数f(x)=x^2，对其求导得到f'(x)=2x。
由于f'(x)=2x>0，所以函数f(x)=x^2在整个实数轴上单调递增。
2.二阶导数判定法：如果函数f(x)在区间I上连续，并在I的开区间上二阶可导，如果在I上f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上具有凹性（f(x)呈现向上的弯曲形状）；如果在I上f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上具有凸性（f(x)呈现向下的弯曲形状）。
例如，考虑函数f(x)=x^3，对其求导得到f'(x)=3x^2，再求二阶导数得到f''(x)=6x。
由于f''(x)=6x>0，所以函数f(x)=x^3在整个实数轴上具有凹性。
二、差商判定法1.一阶差商判定法：如果函数f(x)在区间I上连续且在I的开区间上可导，如果在I上f(x+Δx)-f(x)>0或f(x+Δx)-f(x)<0，则函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减。
例如，考虑函数f(x)=x^2，对其应用一阶差商公式得到f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)^2-x^2=2xΔx+Δx^2、由于Δx>0时2xΔx+Δx^2>0，Δx<0时2xΔx+Δx^2<0，所以函数f(x)=x^2在整个实数轴上单调递增。
2.二阶差商判定法：如果函数f(x)在区间I上连续且在I的开区间上二阶可导，如果在I上f(x+2Δx)-2f(x+Δx)+f(x)>0，则函数f(x)在区间I上具有凹性（曲线向上）；如果在I上f(x+2Δx)-2f(x+Δx)+f(x)<0，则函数f(x)在区间I上具有凸性（曲线向下）。
利用导数判断函数的单调性
3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是( C )
(A)单调增函数
(B)单调减函数
(C) 在(0, 1 )上是减函数，在( 1 , 1)上
e
e
是增函数
(D) 在( 1
e
1
, 1)上是减函数，在(0, e
)上
是增函数
4．函数y=x2(x+3)的减区间是 (－2，0) ， 增区间是 (－∞，－2)和(0，+∞) .
练习：找出函数f(x)=x3－4x2+x－1的单调 区间。
解：f ＇(x)=3x2－8x+1，
令3x2－8x+1>0，解此不等式得
x 4 13 或 x 4 13
3
3
因此，区间 (,
4 13 )和( 4 13 ,
3
3
)
为f(x)的单调增区间；
令3x2－8x+1<0，解此不等式得
直向上的瞬时速度大于0，即在区间(a，t0)，
lim h h '(t) 0 t0 t
我们知道在此区间内，函数h=h(t)是增函数.
再考察沙袋在区间(t0，b)的运动情况：
在这个区间内，沙袋向下运
动，其竖直向上的瞬时速度 h
小于0，即在区间(t0，b)，
A
h lim h '(t) 0 t0 t
4 13 x 4 13
3
3
因此，区间(4 13 , 4 13 ) 为f(x)的单调
3
3
减区间。
这节课学到了什么？
(1)函数的单调性与导数的关系;
在区间(a，b)内，f '(x)>0，则f(x)在此区间是增函数， f ' (x)<0，则f(x)在此区间是减函数 (2)求解函数y=f(x)单调区间的步骤: ①确定函数y=f(x)的定义域（养成研究函数的性质从 定义域出发的习惯）; ②求导数f´(x); ③ 得 结 论 : f´(x)>0 且 在 定 义 域 内 的 为 增 区 间 ; f´(x)<0且在定义域内的为减区间．
《利用导数判断函数的单调性》
作业:
6．已知函数 f(x)＝2ax－x12. (1)若 f(x)在(0,1]上是增函数，求 a 的取值范围； (2)若 f(x)的单调增区间是(0,1)，求 a 的值．
解：(1)f′(x)＝2a＋x23，且 f(x)在(0,1]上是增函数， 故 f′(x)≥0 恒成立，所以 a≥－x13恒成立， 又 y＝－x13在(0,1]上的最大值是－1，故 a≥－1. a 的取值范围为[－1，＋∞)． (2)∵f(x)的单调递增区间是(0,1)， ∴f′(x)＝2a＋x23>0 的解集是(0,1)．即ax3x＋3 1>0 的解集是(0,1)． ∴ 3 －1a＝1，解得 a＝－1.
递减区间是:
(2k23,2k43 )k(Z).
3
3
例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值 范
围,并求其单调区间.
解: f(x)3a2x1.
若a>0, f(x)0对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾.
若a=0, f(x)1此时0,f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
G=(a,b)
y
y
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
oa
bx
G 称为单调区间
(1)函数的单调性也叫函数的增减性；
01ห้องสมุดไป่ตู้(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。
02 (3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的前提下,比较f(x1)<f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的 大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.
利用导数判断函数的单调性的方法.doc
利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判断函数的单调性，其理论依据如下：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。
如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。
要用导数判断好函数的单调性除掌握以上依据外还须把握好以下两点： 一． 导数与函数的单调性的三个关系我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。
以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(x f y =在某个区间内可导。
1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。
如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。
2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。
∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。
3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前分析，)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。
当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。
∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。
利用导数判断函数的单调性
3．函数 y＝4x2＋1x的单调递增区间是
()
A．(0，＋ ∞)
B．(－∞，1)
解C．析(：12，由＋y∞′)＝8x－x12＝D．8x(3x1－2，1＋>0∞，)得 x>12，
即函数的单调递增区间为(12，＋∞)．
答案：C
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4．求下列函数的单调区间． (1)y＝xex；(2)y＝x3－x. 解：(1)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)， 令y′>0得x>－1. 令y′<0得x<－1， 因此y＝xex的单调递增区间为(－1，＋∞)， 递减区间为(－∞，－1)．
第
三 3.3
章
3.3.1
导 利用
数 及
导数 判断 函数
其 的单
应 调性
用
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
考点一 考点二 考点三
返回
返回
3．3.1 利用导数判断函数的单调性
返回
我们知道正弦曲线是上、下起伏 的波浪线，实际上多数函数的图象都 是如此，它们的单调性交替变化．有 些函数的单调性通过我们所学的基本方法能够判断，多 数函数非常困难甚至无法解决．
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(2)函数的定义域为 R，
令 y′＝3x2－1>0，得 x<－ 33或 x> 33；
令
y′＝3x2－1<0，得－
3 3 <x<
3 3.
∴y＝x3－x 的单调递增区间为(－∞，－ 33)和( 33，
＋∞)，单调递减区间为(－
33，
3 3 ).
返回
[例 3] 已知函数 f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数 a∈R)．若函 数 f(x)在[2，＋∞)上单调递增，求 a 的取值范围．
利用导数判断函数的单调性(不含参)
做对了吗
【例3解析】[答案] D [解析] 由图可知，当b>x>a时，f′(x)>0，故在[a，b]上，f(x)为 增函数．且又由图知f′(x)在区间[a，b]上先增大后减小，即曲线 上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D. [点评] 本题的关键是正确理解导函数与函数之间的关系，
即：函数看增减，导数看正负．
变式训练
如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所 围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是( )
变式训练
[答案] D
[解析] 由题意可知，当 0≤x<π 时， f(x)＝2(12x－S△AOB)＝x－sinx； 当 π≤x≤2π 时，f(x)＝212x＋S△AOB ＝x＋sin(2π－x)＝x－sinx. 因此，当 0≤x≤2π 时，f(x)＝x－sinx.
小试牛刀
[例 1] 求下列函数的单调区间： f(x)＝x3－3x＋1
做对了吗
【例1解析】(1)函数f(x)的定义域为R 导数f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞) 令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0， 解得－1＜x＜1. ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
[答案] A
[解析] y′＝4x3－4x
令y′<0，即4x3－4x<0
解得x<－1或0<x<1，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)和
(0,1)，故应选A.
随堂演练
2．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内
利用导数判断函数的单调性的方法
利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判断函数的单调性，其理论依据如下：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。
如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。
要用导数判断好函数的单调性除掌握以上依据外还须把握好以下两点： 一． 导数与函数的单调性的三个关系我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。
以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(x f y =在某个区间内可导。
1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。
如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。
2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。
∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。
3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前分析，)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。
当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。
∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。
利用导数求函数的单调性
函数y=x2－4x＋3的图象： y
0 2
x
单增区间：（２，+∞）. 单减区间：(－∞，２).
1 例2：讨论函数 y x 的单调性。 y x
2
-1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
-2
1
x
单增区间：(-∞，-1)和 （1，+∞）. 单减区间：(-1，0）和 （0，1）.
那么如何求出下列函数的单调性呢?
(1) y x 2 x x;
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0,则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数.
例3：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x 令6x2-12x>0,解得x<0或x>2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和 （2，＋∞）. 再令6x2-12x<0,解得0<x<2, 则f(x)的单减区间(0,2). 说明:当函数的单调增区间或减区间有多 个时，单调区间之间不能用 连接，只 能分开写，或者可用“和”连接。
2018年12月22日星期六
复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性
1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如 果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 x1，x2，当x1<x2时， (1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间 上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即 . f (x ) f (x ) y
利用导数判断函数的单调性
.
7．证明：函数f(x)=ln(cosx)在区间(－ , 0)
上是增函数。
2
证明：f ’(x)= 1 (cosx)’=－tanx.
当x∈(－
2
cos x
, 0)时, －tanx>0, 即f ’(x)>0,
∴函数f(x)=ln(cosx)在区间(－ , 0)上是
增函数。
2
8．当x>1时，证明不等式：2 x 3 1
若在某个区间内恒有 f (x) 0 则 f (x) 为常数
例1．如图，设有圆C和定点O， 当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速 旋转(旋转角度不超过90°)时， 它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t的函数，它的图象大致是 下列四种情况中的哪一种？
D
解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t) 开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增 速快，
2．设f(x)=x＋ 2 (x<0)，则f(x)的单调增区 x
间是( C ) (A) (－∞，－2)
(B) (－2，0)
(C) (－∞，－ 2) (D) (－ 2，0)
3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是( C )
(A)单调增函数
(B)单调减函数
(C) 在(0, 1 )上是减函数，在( 1 , 1)上
令2x－2＞0，解得x＞1. ∴当x∈(1，+∞)时，f ’(x)＞0，
f(x)是增函数.
令2x－2＜0，解得x＜1. ∴当x∈(－∞，1)时，f ’(x)＜0，
f(x)是减函数.
例3:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.
解:f ' (x)=3x2-12x+9
令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当 x (3,) 或 x (,1)时, f(x)是增函数.
判断单调性的5种方法
判断单调性的5种方法单调性是数学中一个非常重要的概念，它描述了函数在定义域内的增减规律。
在学习数学的过程中，我们经常需要判断一个函数的单调性，因此掌握判断单调性的方法是十分必要的。
在本文中，我将介绍判断单调性的5种方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
方法一，利用导数。
判断函数的单调性最直接的方法之一就是利用导数。
对于函数f(x)，如果在定义域内f'(x)>0，那么函数f(x)在该区间上是单调递增的；如果f'(x)<0，那么函数f(x)在该区间上是单调递减的。
当f'(x)=0时，需要额外考虑临界点处的单调性。
利用导数判断单调性是一种非常常用也非常有效的方法。
方法二，利用一阶导数的符号变化。
除了直接利用导数的大小来判断单调性外，我们还可以通过观察一阶导数的符号变化来判断函数的单调性。
具体来说，我们可以找到函数f(x)的一阶导数f'(x)，然后观察f'(x)在定义域内的符号变化。
如果f'(x)在某一区间内始终大于0，则说明函数f(x)在该区间上是单调递增的；如果f'(x)在某一区间内始终小于0，则说明函数f(x)在该区间上是单调递减的。
方法三，利用二阶导数。
除了一阶导数外，我们还可以通过观察函数的二阶导数来判断单调性。
对于函数f(x)，如果f''(x)>0，那么函数f(x)在该区间上是凹的，也就是说在该区间上是单调递增的；如果f''(x)<0，那么函数f(x)在该区间上是凹的，也就是说在该区间上是单调递减的。
利用二阶导数判断单调性在一些特定的函数中会更加方便和直观。
方法四，利用函数图像。
观察函数的图像也是判断单调性的一种方法。
通过观察函数的图像，我们可以直观地了解函数在定义域内的增减规律。
当然，这种方法对于一些复杂的函数可能并不太方便，但在一些简单的情况下，利用函数图像来判断单调性是非常直接和有效的。
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小结：本节课你都学到了什么？
一次含参的讨论： （1）一次项系数； （2）零点是否在定义域内。
二次含参的讨论：
（1）二次项系数； （2）判别式的情况； （3）对应一元二次方程的根；
（4）两根是否在定义域内
北票市高级中学
马睿娟
回顾以前做过的题目抢答以下问题：
1、利用导数研究函数单调性的步骤？ 2、求解不等式 ax b 0( 0) 的步骤？
2 ax bx c 0( 0) 的步骤? 3、求解不等式
1．利用导数判断函数单调性的一般步骤： （1）求函数的定义域； （2）求导数 f ′(x)； （3）在函数 f(x)的定义域内解不等式 f ′(x)＞0 和 f ′(x)＜0；写函数 f(x)的单调区间．
（3）根据对应一元二次方程根的情况， 得到一元二次不等式的解集
小组讨论并按以下要求进行演示与点评：
例一 变式一 例二 变式二 演示 点评 演示 点评 演示 点评 演示 点评 8 1 5 6 4 7 2 3
1、函数 f ( x) ln x ax(a 0) 的单调递增区间为（ (A) ( 0,
1 a)
A
） (D) ( 0, a )
(B) ( a , )
1
(C) ( 0, )
2 、已知 f ( x) ax3 x 2 x 5 在 (,) 上单调递增，则 a 的范围是 （ A ）
1 ， (A) 3 (B)ຫໍສະໝຸດ f ( x) ( 0,
1 3)
(C) (0,)
1 ( , ) (D) 3
3、若函数
4x m,2m 1 ）上单调递增，则 m 的取值 x 2 1 在区间（
范围是（ B （A） 1,0 4、讨论函数
） （B） 1,0
f ( x)
（C）(,1) 0,
（D）(0,)
1 2 ax ln x 的单调性。 2
2．求解不等式ax+b>0(<0) 的步骤：
（1）将不等式化为ax>-b型； （2）a=0时，不等式不是一元一次 不等式，单独讨论。 （3）若a>0,则x>-b/a;若a<0,则x<-b/a;
2 ax bx c 0 (<0)的步骤： 3．求解不等式
（1)讨论二次项系数
(2)讨论判别式