浙江省宁波市2012届高三上学期期末试题数学理

宁波市2011学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至3页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式V =ShP (A +B )=P (A )+P (B )其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 如果事件A ，B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式 V =31Sh如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n (k )=k k n p C (1-p )n -k(k =0,1,2,…n )台体的体积公式)2211(31S S S S h V ++=球的表面积公式S =4πR 2，其中R 表示球的半径其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积，球的体积公式V =34πR 3 ，其中R 表示球的半径h 表示台体的高第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知i 为虚数单位，则=+31i i(A) 0 (B) i -1 (C)i 2 (D) i 2-（2）已知∈b a ,R ，则“b a =”是“ab ba =+2”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件（3）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为（A ）65辆 （B ）76辆（C ）88 辆 （D ）辆95（4）下列命题中，错误．．的是 （A ） 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 （B ）平行于同一平面的两个不同平面平行（C ）如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （D ）若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线 （5）设集合{}06|),(2=++=y a x y x A ，{++-=ay x a y x B 3)2(|),(}02=a ，若φ=B A ，则实数a 的值为(A) 3或1- (B) 0或3 (C) 0或1- (D) 0或3或1- （6）执行如图所示的程序框图，其输出的结果是(A) 1 (B)21- (C) 45- (D) 813-（7）设点G 是ABC ∆的重心，若120=∠A ，1-=⋅，则的最小值是(A)33 (B)32(C)32 (D)43（8） 已知()f x 是定义在实数集R 上的增函数，且(1)0f =，函数()g x 在(,1]-∞上为增函数，在[1,)+∞上为减函数，且(4)(0)0g g ==，则集合{|()()0}x f x g x ≥=（A ） {|014}x x x ≤≤≤或（B ）{|04}x x ≤≤（C ）{|4}x x ≤（D ）{|014}x x x ≤≤≥或（9）设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是(A)21 (B) 22 (C) 23(D)41 （10）设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若x x f x g 2)()(-= 在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则函数)(x g 在]2012,2012[-上的值域为(A)]6,2[- (B) ]4024,4030[- (C)]4034,4020[- (D) ]4016,4028[-非选择题部分 (共100分)二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．（11）4(1)x -的展开式中2x 的系数是 ▲ . （12）如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是 ▲ .（13）已知某随机变量ξ的概率分布列如右表，其中0,0x y >>，随机变量ξ的方差12D ξ=， 则x y += ▲ . （14）若)2,0(πα∈，且2co s α+ 1sin(2)22πα+=，则tan α= ▲ .（15）已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≥+-308201x y x y x ，若)25,3(是使得y ax -取得最小值的可行解，则实数a 的取值范围为 ▲ . （16）已知函数1y x=-的图象为双曲线，在此双曲线的两支上分别取点,P Q ，则线段PQ 长的最小值为 ▲ .（17）把已知正整数n 表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n 的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数30的不同等差分拆有 ▲ 个．12 3三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（18）（本题满分14分）已知(2cos ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-，满足0m n ⋅= ．（I ）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（II ）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边长，若()()2Af x f ≤对所有x R ∈恒成立，且2a =，求b c +的取值范围．（19）（本题满分14分）在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2*(,)n n S ka n n R n k N ∈-∈=+．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{21}n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ． （20）（本题满分14分）已知四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，底面ABCD 是边长为a 的菱形，120BAD ∠=︒，PA b =． （I ）求证：PBD PAC ⊥平面平面； （II ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角O PM D --的正切值为，求:a b 的值．（21）（本题满分15分）设函数21()ln 2f x c x x bx =++(),,0R c c b ∈≠，且1x =为()f x 的极值点． (Ⅰ) 若1x =为()f x 的极大值点，求()f x 的单调区间（用c 表示）； (Ⅱ)若()0f x =恰有1解，求实数c 的取值范围．（22）（本题满分15分）长为3的线段AB 的两个端点,A B 分别在,x y 轴上移动，点P 在直线AB 上且满足2BP PA = ．（I ）求点P 的轨迹的方程；（II ）记点P 轨迹为曲线C ，过点(2,1)Q 任作直线l 交曲线C 于,M N 两点，过M 作斜率为12-的直线'l 交曲线C 于另一点R ．求证：直线NR 与直线OQ 的交点为定点（O 为坐标原点），并求出该定点．2011学年第一学期高三期末试卷数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．MO DACBP二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分． （1）D （2） B （3） B （4） D （5） C （6） C （7） B （8） A （9） A （10） C二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． （11） 6 （12）36128π+ （13） 34（14） 1（15） 12a ≤- （12a <-不扣分） （16） 2 （17） 19三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（18）（本题满分14分）解：（I ）由0m n ⋅=得22cos cos 0x x x y +-=即22cos cos y x x x =+cos 2212sin(2)16x x x π=+=++所以()2sin(2)16f x x π=++，其最小正周期为π． ……………6分（II ）因为()()2Af x f ≤对所有x R ∈恒成立 所以()32A f =，且2,62k Z A k πππ+=∈+因为A 为三角形内角，所以0A π<<，所以3A π=． ……………9分由正弦定理得B sin 334b =，C sin 334c =，)6sin(4)32sin(334sin 334sin 334sin 334ππ+=-+=+=+B B B C B c b )32,0(π∈B ，]1,21()6sin(∈+∴πB ，]4,2(∈+∴c b ， 所以b c +的取值范围为(2,4] …………14分 （19）（本题满分14分）解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分 所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----= 所以数列{}n a 的通项公式为)(2*∈=N n n a n ．……………6分 （II ）当2n ≥时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-， 从而{21}n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分 若1k ≠，则10a =，221a k =-，3246(1)ka k -=- 212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=-- 由题意得，22130(5)(3)(7)a a a -=-≠-，所以0k =或32k =．……10分 当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分 当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=--- 因为121103,a -⨯-=-≠ 210n a n -≠-， {21}n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231n n a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分 （20）（本题满分14分）解：（I ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD,所以BD ⊥平面PAC从而平面PBD ⊥平面PAC ． ……………6分 （II ）过O 作OH ⊥PM 交PM 于H ，连HD因为DO ⊥平面PAC ，可以推出DH ⊥PM,所以∠OHD 为A-PM-D 的平面角又3,,44a aOD OM AM ===，且OH AP OM PM =从而·4a OH ==tan ODOHD OH ∠===所以22916a b =，即43a b =． ………………………14分法二：如图,以A 为原点,,AD AP 所在直线为y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,),(0,,0)P b D a,3(,,0)88M a a ,1(,,0)44O a a …………8分从而3(0,,),,,)8PD a b PM a b =-=-3(,,0)4OD a a =因为BD ⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为3(,,0)4OD a = ．设平面PMD 的法向量为(,,)n x y z = ,由,PD n PM n ⊥⊥得30,08PD n ay bz PM n ay bz ⋅=-=⋅=+-=取,,x y b z a ===，即,,)n b a = ……………11分 设OD 与n的夹角为θ，则二面角O PM D --大小与θ相等从而tan θ=cos 15θ=531cos 5||||ab abOD n OD n θ-+⋅===⋅从而43b a =，即:4:3a b =． ……………14分（21）（本题满分15分）解：2'()c x bx cf x x b x x++=++=因为1x =为()f x 的极值点，所以'(1)0f = 所以10b c ++=且1c ≠，(1)()'()x x c f x x--=……………3分（I ）因为1x =为()f x 的极大值点，所以1c >当01x <<时，'()0f x >；当1x c <<时，'()0f x <；当x c >时，'()0f x > 所以()f x 的递增区间为(0,1)，(,)c +∞；递减区间为(1,)c ．…………6分（II ）若0c <，则()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增()0f x =恰有1解,则(1)0f =，即102b +=,所以12c =-；…………9分若01c <<，则21()()ln 2f x f c c c c bc ==++极大，1()(1)2f x f b ==+极小因为1b c =--，则22()ln (1)ln 022c c f x c c c c c c c =++--=--<极大 1()2f x c =--极小，从而()0f x =恰有一解； ……………12分若1c >，则22()ln (1)ln 022c c f x c c c c c c c =++--=--<极小 1()2f x c =--极大，从而()0f x =恰有一解；所以所求c 的范围为10112c c c <<>=-或或． ……………15分（22）（本题满分15分）解：（I ）设(,0),(0,),(,)A m B n P x y由2BP PA = 得2(),2(0)x m x y n y =--=-即3,32m x n y ==又由||3AB =得2214x y +=即为点P 的轨迹方程．……5分 （II ）当l 的斜率不存在时，直线l 与曲线C 相切，不合题意；当l 斜率存在时，设直线l 的方程为(2)1y k x =-+，即12y kx k =+-联列方程221412x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩得222(14)8(12)4(12)40k x k k x k ++-+--=设112233(,),(,),(,)M x y N x y R x y ，则21212228(21)16(),,1414k k k k x x x x k k --+==++ ……………7分则MR 的方程为111()2y x x y =--+ 与曲线C 的方程联列得22111122(2)(2)40x x y x x y -+++-= 则13112x x x y +=+ 所以3133111112,()22x y y x x y x ==--+= ……………9分 直线NR 的方程为12221212()2x y y x x y y x -=-+- 令12y x =，则12121212121222422y y x x y y x x x y x y x +---=-- 121212222(21)()4(12)8(21)(21)4(12)14y y x x k x x k k k k k k +--=-++--=-+-+ 2228(21)4(14)(21)[4]1414k k k k k k --=--=++．………………………11分2212121212222224(41)4(12)()4(12)16()8(21)(41)4(12)4(12)1414y y x x k x x k k x x k k k k k k k k k k k -=-+-++---=-+-+-++2222224(21)[4(21)()(12)8(21)(14)]144(21)4(14)(21)131414k k k k k k k k k kk k k k k -=+-+-+-++--=--=++ 分12121212422y y x x y y x x ∴-=+--．从而11,2x y ==．即直线NR 与直线OQ 交于定点1(1,)2．………15分。