(江苏版)2018年高考数学一轮复习专题4.6 正余弦定理(练)

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2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题专题4 三角函数、解三角形第28绬 Word版含解析

1．(2016·隆化期中)在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos C ＝________.2.(2016·银川月考)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点间的距离为______________m.3．(2016·安庆检测)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－c 2＝3bc ，sin B ＝23sin C ，则A ＝________.4．(2016·苏北四市一模)在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，那么边BC 的长为________．5．(2016·常州一模)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若tan A＝7tan B ，a 2－b 2c ＝3，则c ＝________.6．(2016·东营期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝________.7．(2016·南京、盐城、徐州二模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，已知∠B ＝60°，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，那么AB ＝________.8．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO→＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为________． 9．△ABC 中，A 、B 、C 是其内角，若sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的形状是________________三角形．10．(2016·惠州二调)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且∠C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos A sin B＝________. 11．(2016·佛山期中)如图，一艘船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.12．(2016·吉安期中)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC ＝43，则△ADC 的面积的最大值为________．13．(2016·如东高级中学期中)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．14．(2016·南通二模)若一个钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．答案精析1．－14 2.502 3.π6 4.7 5.46．45°解析由正弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c sin C ＝2R sin C ·sin C ，∴sin C ＝1，C ＝90°.∴S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)，解得a ＝b ，因此B ＝45°. 7.263解析在△ADC 中，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，则cos ∠ADC ＝－22，所以∠ADC ＝135°，从而在△ABD 中，∠ADB ＝45°.又因为∠B ＝60°，由正弦定理得AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，即232＝AB 22，解得AB ＝263. 8.23解析设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO→＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →. 又x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23. 9．等腰或直角解析因为sin2A ＋sin(A －C )－sin B＝sin2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C )＝2sin A cos A －2sin C cos A＝2cos A (sin A －sin C )＝0，所以cos A ＝0或sin A ＝sin C ，所以A ＝π2或A ＝C .故△ABC 为等腰或直角三角形．10．4解析由正弦定理知a sin A ＝c sin C ＝2，所以a ＝2sin A ，代入得原式＝2sin A ＋23cos A sin B＝4·sin (A ＋60°)sin B ＝4.11．30 2解析依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝30 2.12．4 3解析在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC ＝－12，整理得AD 2＋DC 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ，∴AD ·DC ≤16，当且仅当AD ＝CD 时等号成立，∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤4 3.13.533解析由题意得203＝12×8×10×sin C ⇒sin C ＝32⇒C ＝π3或C ＝2π3(舍)，由余弦定理得c 2＝82＋102－2×8×10×12＝84，由三角形中大边对大角知角B 最大，则cos B ＝82＋84－1022×8×84＝384，所以tan B ＝533. 14．(2，＋∞)解析设A 为钝角，C 为最小角，则A ＋C ＝120°，C ∈(0°，30°)，由正弦定理得m＝a c ＝sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.而0＜tan C ＜33，∴1tan C ＞3，则m ＞2.。

【高三数学试题精选】2018届高考数学正弦定理、余弦定理的应用复习题及答案

2018届高考数学正弦定理、余弦定理的应用复习题及答案
5 c 高三数学（理）一轮复习教案第五编平面向量、解三角形总第25期
§55 正弦定理、余弦定理的应用
基础自测
1在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,c点的俯角为70°，则∠BAc=
答案130°
2从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的大小关系为
答案 =
3在△ABc中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinc=2sinAcsB,则△ABc是三角形
答案等边
4已知A、B两地的距离为10 ,B、c两地的距离为 =5，
∴AB= ()∴A、B之间的距离为
例2．沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3 ，从B到c方位角是110°，距离是3 ，从c到D,方位角是140°，距离是（9+3 ）试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）解示意图如图所示，连接Ac，在△ABc中，
∠ABc=50°+(180°-110°)=1(70°+30°)=14cs
∴=S△Pc+S△PcD= ×1×2sin + （5-4cs ）=2sin( - )+
∴当 - = ，即 = 时，ax=2+
所以四边形PDc面积的最大值为2+
巩固练习
1某观测站c在A城的南偏西60°)=sin cs60°-cs sin60°。

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理余弦定理教师用书理

第四章三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理教师用书理苏教版1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径).【知识拓展】 1.三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2. 2.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B2＝cos C2；(4)cosA ＋B2＝sin C2.3.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( × ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形.( × )(5)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C.( √ )(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )1.(教材改编)在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S △ABC ＝ . 答案3＋1解析 ∵b ＝a sin B sin A ＝2×sin 105°sin 30°＝6＋2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝(6＋2)×22＝3＋1.2.(教材改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c ＝ . 答案1063解析由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即1032＝c22，∴c ＝1063.3.(教材改编)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝ . 答案 1解析方法一在△ABC 中，根据余弦定理，即BC 2＝AB 2＋AC 2－2·AB ·AC ·cos 60°，得(3)2＝AB 2＋22－2AB ×2×cos 60°，整理得AB 2－2AB ＋1＝0，解得AB ＝1. 方法二在△ABC 中，根据正弦定理，得ACsin B ＝BC sin A ，即2sin B ＝3sin 60°，解得sin B ＝1，因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝90°，所以AB ＝22－ 3 2＝1.4.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝2，b ＝233，则B ＝ .答案π6解析 ∵A ＝120°，a ＝2，b ＝233，∴由正弦定理a sin A ＝bsin B 可得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝120°，∴B ＝30°，即B ＝π6.5.(教材改编)在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为 . 答案 7解析由条件知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝92＋82－722×9×8＝23，设AC 边上的中线长为x ，由余弦定理知x 2＝(AC 2)2＋AB 2－2×AC2×AB cos A＝42＋92－2×4×9×23＝49，∴x ＝7，故所求中线长为7.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cos B ＝35，则c ＝ .答案 7解析因为cos B ＝35，所以B ∈(0，π2)，从而sin B ＝45，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×35＋22×45＝7210，又由正弦定理得asin A ＝c sin C ，即522＝c7210，解得c ＝7. (2)(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a＋cos B b＝sin Cc. ①证明：sin A sin B ＝sin C ； ②若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .①证明根据正弦定理，可设 a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C . ②解由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由①知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.思维升华应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A或其他相应变形公式求解. (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa或其他相应变形公式求解.(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.(1)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A＝2a ，则ba＝ .(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝b ，且sin(A －C )＝2cosA sin C ，则b ＝ .答案 (1) 2 (2)2 解析 (1)(边化角)由a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 及正弦定理，得 sin A sin A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.(2)(角化边)由题意，得sin A cos C －cos A sin C ＝2cos A sin C ，即sin A cos C ＝3cos A sin C ，由正弦、余弦定理，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3c ·b 2＋c 2－a 22bc，整理得2(a 2－c 2)＝b 2， ①又a 2－c 2＝b ，②联立①②得b ＝2.题型二和三角形面积有关的问题例2 (2016·南通模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝2a cos B ，b ＝2，求△ABC 的面积. 解 (1)在△ABC 中，由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即cos C ＝－12.因为0<C <π，所以C ＝2π3.(2) 方法一因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得 sin C ＝2sin A cos B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，又－π3<A －B <π3，所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2. 所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin2π3＝ 3. 方法二由c ＝2a cos B 及余弦定理，得c ＝2a ×a 2＋c 2－b 22ac，化简得a ＝b ，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin2π3＝ 3. 思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是 . 答案332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6. ①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.题型三正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 的形状为三角形.(2)设ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则△ABC 的形状为三角形. 答案 (1)钝角 (2)钝角解析 (1)由c b <cos A ，得sin Csin B<cos A ，所以sin C <sin B cos A ，即sin(A ＋B )<sin B cos A ，所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0，即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形. (2)由3sin A ＝5sin B 及正弦定理得3a ＝5b ，故a ＝53b ，c ＝73b .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即C ＝23π.从而△ABC 为钝角三角形.引申探究1.例3(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状. 解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos B sin A ， ∴sin(A －B )＝0，又A ，B 为△ABC 的内角. ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形.2.例3(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状.解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三角形. 命题点2 求解几何计算问题例4 (2016·连云港调研)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π4，tan∠ADC ＝－2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.解 (1)因为tan∠ADC ＝－2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin∠ADC ＝255，cos∠ADC ＝－55.所以sin∠ACD ＝sin(π－∠ADC －π4)＝sin(∠ADC ＋π4)＝sin∠ADC ·cos π4＋cos∠ADC ·sin π4＝1010，在△ADC 中，由正弦定理得CD ＝AD ·sin∠DAC sin∠ACD＝ 5.(2)因为AD ∥BC ，所以cos∠BCD ＝－cos∠ADC ＝55，sin∠BCD ＝sin∠ADC ＝255. 在△BDC 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos∠BCD ，得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7,所以S △BCD ＝12BC ·CD ·sin∠BCD ＝12×7×5×255＝7.思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论. (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.(1)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，已知∠B ＝60°，AD ＝2，AC ＝10，DC＝2，则AB ＝ .(2)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 .答案 (1)263(2)(6－2，6＋2)解析 (1)由题意得cos∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝4＋2－102×2×2＝－22， ∴sin∠ADC ＝22，∴sin∠ADB ＝sin(π－∠ADC )＝22. 由正弦定理可得，AD sin 60°＝ABsin∠ADB ，∴AB ＝232·22＝263. (2)如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2. 在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BEsin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.二审结论会转换典例 (14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值.(1)求cos A ―――――→根据余弦定理求三边a ，b ，c 的长或长度问题 ――――――→已有a －c ＝66b利用正弦定理将sin B ＝6sin C 化为b ＝6c (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6―→求cos 2A ，sin 2A ―→求sin A ，cos A ――――→第 1 问已求出cos A根据同角关系求sin A 规范解答解 (1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C 及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ，[2分]又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ， [4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64.[7分](2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.[9分]于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，[10分] sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[11分]所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×32＋154×12＝15－38.[14分]1.(教材改编)若△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则S △ABC ＝ .答案154解析由cos C ＝14，得sin C ＝154，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝154.2.(2016·全国乙卷改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝ .答案 3解析由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去.3.(2016·盐城模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为三角形. 答案等腰直角解析由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ，在三角形中sin A ≠0， ∴sin A ＝1，∴A ＝90°，由sin 2B ＝sin 2C ，知b ＝c ，综上可知，△ABC 为等腰直角三角形.4.在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是有解.(填0,1,2) 答案 0解析由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在.5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 的形状是三角形. 答案直角解析在△ABC 中，∵cos 2A 2＝b ＋c 2c， ∴1＋cos A 2＝b 2c ＋12，∴cos A ＝bc， ∴由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2.即a 2＋b 2＝c 2.故△ABC 是直角三角形.6.(2016·连云港模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C＝π4，则△ABC 的面积为 . 答案3＋1解析 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝csin C，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22，A ＝π－(π6＋π4)＝712π，∴sin A ＝sin(π4＋π3)＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.7.(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝ .答案2113解析在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 8.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin∠CED ＝ .答案1010解析由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt△EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5. 在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin∠CED sin∠EDC ＝DC EC ＝15＝55，所以sin∠CED ＝55·sin∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. 9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为 .答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8.*10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为 . 答案 12解析由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3(b ＋c2)2，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.11.(2016·苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是 .答案 (2，＋∞)解析由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°－α，其中0°<α<30°.由正弦定理得m ＝sin 120°－α sin α＝32·1tan α＋12>32×3＋12＝2.12.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若∠B ＝∠C 且7a 2＋b 2＋c 2＝43，则△ABC 的面积的最大值为 . 答案55解析由∠B ＝∠C ，得b ＝c ，代入7a 2＋b 2＋c 2＝43，得7a 2＋2b 2＝43，即2b 2＝43－7a 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a2b，所以sin C ＝1－cos 2C ＝4b 2－a22b＝83－15a 22b ，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12ab ×83－15a 22b ＝14a 83－15a 2＝14a 2 83－15a 2＝14×115 15a 2 83－15a 2 ≤14×115×15a 2＋83－15a 22 ＝14×115×43＝55，当且仅当15a 2＝83－15a 2时取等号，此时a 2＝4315.所以△ABC 的面积的最大值为55. 13.四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解 (1)由题设A 与C 互补及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ， ① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，BD ＝7，因为C 是三角形内角，故C ＝60°. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2si n 60° ＝2 3.14.(2015·湖南)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A . (1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .(1)证明由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得 sin A ＝sin B ·sin Acos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴1＝sin B cos A ，即sin B ＝cos A .(2)解由sin C －sin A cos B ＝34知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34.由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6.sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6. 15.(2015·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行. (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)方法一由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而由a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332.方法二由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.。

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理教学案苏教版-苏教版高三全

第六节正弦定理、余弦定理[最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦、余弦定理在△ABC 中，假设角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，那么定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R .a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A＝2R .cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．[常用结论]1．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 2．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .3．内角和公式的变形(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C . 4．角平分线定理：在△ABC 中，假设AD 是角A 的平分线，如图，那么AB AC ＝BDDC.一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，假设sin A ＞sin B ，那么A ＞B .( ) (3)在△ABC 的六个元素中，任意三个元素可求其他元素． ( )(4)当b 2＋c 2－a 2＞0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2＜0时，△ABC 为钝角三角形．( )[答案](1)× (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编1．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，那么b＝( )A ．2B ．1 C. 3D. 2D [由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A ＝sinπ4sinπ6＝22×2＝ 2.]2．在△ABC 中，假设a ＝18，b ＝24，A ＝45°，那么此三角形有( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定B [∵b sin A ＝24sin 45°＝122， ∴122＜18＜24，即b sin A ＜a ＜b . ∴此三角形有两解．]3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，那么这个三角形的形状为．等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，那么△ABC 的面积等于． 23 [因为23sin 60°＝4sin B，所以sin B ＝1，所以 B ＝90°，所以AB ＝2，所以S △ABC ＝12×2×23＝2 3.]考点1 利用正、余弦定理解三角形问题解三角形的常见题型及求解方法(1)两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝csin C，可先求出角C 及b ，再求出c .(2)两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C . (3)三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C . (4)两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝bsin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A －b sinB ＝4c sinC ，cos A ＝－14，那么bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .①求A ；②假设2a ＋b ＝2c ，求sin C . (1)A [∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－4c 2＋b 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc＝6.应选A.](2)[解] ①由得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.②由①知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24. 解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．[教师备选例题](2018·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [解](1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17，所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .b sin A ＋a cosB ＝0，那么B ＝.3π4 [∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴a sin A ＝b－cos B.由正弦定理，得－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝3π4.] 2．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝7，BC 边上中线AD ＝72，那么BC ＝.9 [设BD ＝DC ＝x ，∠ADC ＝α，∠ADB ＝π－α，在△ADC 中，72＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2x ×72cos α，①在△ABD 中，42＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2x ×72cos(π－α)，②①＋②得x ＝92，∴BC ＝9.]3．(2019·某某模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.(1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．[解](1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋a ＋22－a ＋422a a ＋2，即a 2－a －6＝0，所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3.(2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由三角形的面积公式得 12ab sin∠ACB ＝12c ×CD ，所以CD ＝ab sin∠ACBc ＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin∠ACB ＝7sin 120°，即sin A ＝3314，在Rt△ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.考点2 与三角形面积有关的问题三角形面积公式的应用原那么(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)[一题多解]设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．[解](1)由条件可得tan A ＝－3，A ∈(0，π)，所以A ＝2π3，在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，或c ＝4.(2)法一：如图，由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6，故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1，又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3. 法二：由余弦定理得cos C ＝27，在Rt△ACD 中，cos C ＝ACCD，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7，所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝ 3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3，所以S △ABD ＝12×4×3×sin∠DAB ＝ 3.(1)假设一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)假设三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)假设求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．[教师备选例题]△ABC 的面积为33，AC ＝23，BC ＝6，延长BC 至D ，使∠ADC ＝45°. (1)求AB 的长； (2)求△ACD 的面积．[解](1)因为S △ABC ＝12×6×23×sin∠ACB ＝33，所以sin∠ACB ＝12，∠ACB ＝30°或150°，又∠ACB ＞∠ADC ，且∠ADC ＝45°，所以∠ACB ＝150°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝12＋36－2×23×6cos 150°＝84，所以AB ＝84＝221.(2)在△ACD 中，因为∠ACB ＝150°，∠ADC ＝45°，所以∠CAD ＝105°，由正弦定理得CD sin∠CAD ＝ACsin∠ADC ，所以CD ＝3＋3，又∠ACD ＝180°－150°＝30°，所以S △ACD ＝12AC ·CD ·sin∠ACD ＝12×23×(3＋3)×12＝33＋12. 1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .假设b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，那么△ABC 的面积为．63 [法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.]2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)假设△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解](1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)．所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.考点3 判断三角形的形状判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，那么△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定B [由正弦定理得sin B cosC ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．][母题探究]1．(变条件)本例中，假设将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． [解]∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0. 又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．(变条件)本例中，假设将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．[解] ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0＜C ＜π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三角形．在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的X 围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b＋c －a )＝3bc ，那么△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形word- 11 - / 11 C ．等边三角形 D ．钝角三角形C [因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝a c.所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.所以△ABC 是等边三角形．]2．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，假设a sin B ＋bsin A＝2c ，那么△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 C [因为a sin B ＋b sin A ＝2c ，所以由正弦定理可得sin A sin B ＋sin B sin A ＝2sin C ，而sin A sin B＋sin B sin A ≥2sin A sin B ·sin B sin A＝2，当且仅当sin A ＝sin B 时取等号．所以2sin C ≥2，即sin C ≥1.又sin C ≤1，故可得sin C ＝1，所以C ＝90°.又因为sin A ＝sin B ，所以A ＝B .故三角形为等腰直角三角形．应选C.]。

【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：4.6 正弦定理和余弦定理(专题拔高配套PPT课件)

2R 2R 2R
; ;
cos C=
2ac 2 a +b 2 -c 2 2ab
第四章
知识梳理双击自测
4.6 正弦定理和余弦定理
考情概览知识梳理核心考点学科素养
-4-
正弦定理解三角形类型 (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角
余弦定理 (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角
由余弦定理得 5=b2+4-2×b×2× 3, 解得 b=3 或 b=-3(舍去). 3
解析
1
关闭
2
答案
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为内切圆半径).
��
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4.6 正弦定理和余弦定理
考情概览知识梳理核心考点学科素养
-7-
1.在△ABC中,已知a=5,b=2 3 ,C=30° ,则c=
.
关闭
由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=52+(2 3)2-2×5×2 3cos 30°=7, 所以 c= 7. 关闭 7
解析
�� 2 +�� 2 -�� 2 2 ��
��
��
��
<0, 所以 C 为钝角, 所以该三角形为钝角三
关闭
答案
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2018届高三高考数学复习练习：4-6正弦定理、余弦定理

4-61．(2018·石家庄二检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin A >sinB ”是“a >b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】设△ABC 外接圆的半径为R ，若sin A >sin B ，则2R sin A >2R sin B ，即a >b ；若a >b ，则a 2R >b2R ，即sin A >sin B ，所以在△ABC 中，“sin A >sin B ”是“a >b ”的充要条件，故选C.【答案】 C2．(2016·全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b 等于( )A. 2B. 3 C ．2D ．3【解析】由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D.【答案】 D3．(2018·西安模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【解析】由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ，在三角形中sin A ≠0， ∴sin A ＝1，∴A ＝90°，由sin 2B ＝sin 2C ，知b ＝c ，综上可知△ABC 为等腰直角三角形．【答案】 D4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C 等于( )A.2π3 B.π3 C.3π4D.5π6【解析】因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3.【答案】 A5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B 等于( )A.π6 B.π4 C.π3D.3π4【解析】根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ac ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.【答案】 C6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1【解析】 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝csin C，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22，A ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝712π，∴sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 B7．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cosC ＝513，a ＝1，则b ＝________．【解析】在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.【答案】 21138．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．【解析】由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 【答案】 π3或2π39．(2018·昆明检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于________．【解析】依题可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.【答案】 16 210．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________．【解析】由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A. 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12. 【答案】 1211. (2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.12．(2018·云南二检)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 对的边，b ＝ 3. (1)若C ＝5π6，△ABC 的面积为32，求c ；(2)若B ＝π3，求2a －c 的取值范围．【解析】 (1)∵C ＝5π6，△ABC 的面积为32，b ＝3，∴12ab sin C ＝12×a ×3×12＝32. ∴a ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋3－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝13. ∴c ＝13.(2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，∴a ＝b sin A sin B ＝2sin A ，c ＝b sin Csin B＝2sin C . ∴2a －c ＝4sin A －2sin C ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C －2sin C＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3cos C －cos 2π3sin C －2sin C＝23cos C . ∵B ＝π3，∴0<C <2π3，∴－12<cos C <1，∴－3<23cos C <23，∴2a －c 的取值范围为(－3，23).。

2018版高考数学(理)一轮复习题库：第四章第6讲正弦定理和余弦定理含解析

第6讲正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝错误!，BC＝错误!，那么A等于( )．A．135° B．105° C．45° D．75°解析由正弦定理知错误!＝错误!，即错误!＝错误!，所以sin A＝错误!,又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案C2．已知a，b,c是△ABC三边之长,若满足等式（a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab,则角C的大小为（)．A．60° B．90° C．120° D．150°解析由(a＋b－c)（a＋b＋c）＝ab，得(a＋b）2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab cos C，∴cos C＝－错误!，∴C＝120°。

答案C3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B,C依次成等差数列，且a＝1，b＝错误!，则S△ABC＝( ）．A.错误!B.错误!C。

错误!D．2解析∵A，B,C成等差数列，∴A＋C＝2B,∴B＝60°。

又a＝1，b＝错误!，∴错误!＝错误!，∴sin A＝错误!＝错误!×错误!＝错误!，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝错误!×1×错误!＝错误!。

答案C4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于（)．A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析设AB＝c，BC边上的高为h.由余弦定理,得AC2＝c2＋BC2－2BC·c cos 60°,即7＝c2＋4－4c cos 60°，即c2－2c－3＝0,∴c＝3(负值舍去)．又h＝c·sin 60°＝3×错误!＝错误!，故选B.答案B5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a＝λ，b＝错误!λ（λ〉0），A＝45°，则满足此条件的三角形个数是（）A．0 B．1C．2 D．无数个解析直接根据正弦定理可得错误!＝错误!,可得sin B＝错误!＝错误!＝错误!〉1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0。

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专题4.6 正余弦定理
【基础巩固】
一、填空题
1．(2017·哈尔滨模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为3
2
，则C
＝________. 【答案】60°
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝23
3，则B ＝________.
【答案】π
6
【解析】∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝23
3，
∴由正弦定理a sin A ＝b
sin B 可得， sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝1
2.
∵A ＝2π3，∴B ＝π
6
.
3．(2017·海门中学月考)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观
察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为________ km.
【答案】3a
【解析】由题图可知，∠ACB ＝120°，由余弦定理，
得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝a 2＋a 2－2·a ·a ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝3a 2
，解得AB ＝3a (km)．
4．(2017·盐城诊断)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c
(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________．【答案】直角三角形
5．(2016·山东卷改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2
＝2b 2
(1－sin A )，则A ＝________. 【答案】π
4
【解析】在△ABC 中，由b ＝c ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－a 22b
2
，又a 2＝2b 2
(1－sin A )，所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1，又知A ∈(0，π)，所以A ＝π
4
.
6．(2017·南京、盐城模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＋2c ＝2b ，sin B ＝2sin C ，则cos A ＝________. 【答案】
24
【解析】由sin B ＝2sin C 结合正弦定理可得b ＝2c ，又a ＋2c ＝2b ，则a ＝2c ，由余弦定理可得cos
A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 2＋c 2－2c 222c
2
＝24.
7．(2015·重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－1
4，3sin A ＝2sin B ，
则c ＝________. 【答案】4
【解析】由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，又a ＝2，所以b ＝3，故c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ＝4＋9
－2×2×3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14＝16，所以c ＝4. 8．(2016·北京卷)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则b
c ＝________.
【答案】
1
二、解答题
9．(2016·江苏卷)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π
4.
(1)求AB 的长；
(2)cos ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6的值．
解 (1)由cos B ＝4
5，B ∈(0，π)，
则sin B ＝1－cos 2
B ＝35
，
又∵C ＝π4，AC ＝6，由正弦定理，得AC sin B ＝AB
sin
π
4
，
即635＝AB
22
⇒AB ＝5 2. (2)由(1)得：sin B ＝35，cos B ＝45，sin C ＝cos C ＝2
2，
则sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝72
10，
cos A ＝－cos(B ＋C )＝－(cos B cos C －sin B sin C )＝－210，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝
72－6
20
. 10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；
(2)
若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．
【能力提升】
11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos A
c
＝
2cos C ，则c ＝________. 【答案】2 3 【解析】∵
a cos B ＋
b cos A
c
＝2cos C ，由正弦定理，
得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0＜C ＜π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π
3
，
∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝3
4ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝4
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝4，
b ＝2，
c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4
＋16－8＝12，∴c ＝2 3.
12．(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．【答案】8
【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，由已知，sin A ＝2sin B sin C ，
13．(2017·呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km 2
.
【答案】6－3
4
【解析】如图，连接AC ，由余弦定理可知AC ＝AB 2＋BC 2
－2AB ·BC ·cos B ＝3，故∠ACB ＝90°，∠CAB
＝30°，∠DAC ＝∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，AC sin ∠ADC ＝AD sin ∠DCA ，即AD ＝AC sin ∠DCA
sin ∠ADC
＝
3·
6－2
4
12
＝
32－6
2
，故S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×1×3＋12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫32－622×
12＝6－34(km 2
)．
14．(2017·苏北四市调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(B －C )＝1－cos A ，且b ，a ，c 成等比数列． (1)求sin B ·sin C 的值； (2)求A ；
(3)求tan B ＋tan C 的值．。

(江苏版)2018年高考数学一轮复习 专题4.6 正余弦定理(练)

2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题专题4 三角函数、解三角形 第28绬 Word版含解析