证明三角形全等总复习
2024年中考数学复习 全等三角形的六种模型全梳理(原卷+答案解析)
全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中。
1【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．2(培优)已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE，点F为BE中点．AD；(1)如图1，求证：BF=12(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CM⊥AD于M点．①探究AE和BD的关系，并说明理由；②连接FC，求证：F，C，M三点共线．1.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE．2.(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．3.(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明(往往需证2次全等)3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．(1)求证：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度数．4(培优)在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．(1)求证：∠BFC=90°+12∠A；(2)已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．1.如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α0°<α<60°，则∠BCD=(用含α的式子表示)．2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠BAD．∠EAF=12(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．3.阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决(如图2)．【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；(2)拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD 的长．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
全等三角形的判定总复习
AB=A´B´
BC=B´C´
∴Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´(HL)
B
B′
A
C
已知：如图,在△ABC和△ABD中,AC⊥BC,
BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD
(1)求证： △ABC≌△BAD.
(2)求证：BC=AD
(1)解： ∵ AC⊥BC, BD⊥AD D
C
∴ ∠C=∠D=90°
在Rt△ABC和 Rt△BAD中
例子1：如图，在△AEC和△ADB中，已 知AE=AD，AC=AB，请说明△AEC ≌ △ADB的理由。
解：在△AEC和△ADB中
C
_A_E__=__A_D_(已知)
D
∠A= ∠A( 公共角)
A
E
B
_A_C___=_A__B_(已知)
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
例2：如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中
∠A=∠D （已知 ）
AB=DE（已知 ）
∠B=∠E（已知 ）
B
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
A
D
CF E
例1： 已知如图，O是AB的中点，∠A=∠B，
求证：△AOC≌△BOD
证明：
∵ O是AB的中点(已知） C
∴ OA=OB(中点定义）
在△AOC和△BOD中 A
,有
AB=AB,
A
B
AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). (2)∵ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴ BC=AD
例2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角， 将上述条件标注在图中，求证BC=BD
完整版-全等三角形总复习教学课件
判定 到角的两边的距离相等的点在角平分线上 2
全等三角形的判定方法
三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
A
用符号语言表达为:
在△ABC和△ DEF中
B
C
AB=DE
D
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
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三角形全等判定方法2
∴ △ABC≌△DEF（AAS）
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三角形全等判定方法5
有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等(HL）。
在Rt△ABC和Rt△DEF中
A
D
AB=DE （已知 ） AC=DF（已知 ）
C ∴ △ABC≌△DEF（HL）
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B
F
E
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知识点
1.全等三角形的性质: 对应边、对应角、对应线段相等, 周长、面积也相等。
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
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例3. 已知： AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证：BC=AD.
D
C
A
B
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▪例4:下面条件中, 不能证出Rt△ABC≌Rt△A' B'C'的是[ C] (A.)AC=A'C' , BC=B'C' (B.)AB=A'B' , AC=A'C' (C.) AB=B'C' , AC=A'C' (D.)∠B=∠B' , AB=A'B'
2024年中考数学复习+全等三角形课件
3．(2020·衡阳8分)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. (1)求证：DE＝DF；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90° ∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 在△BED和△CFD中，
∠BED=∠CFD ∠B=∠C
BD=CD
强调：两角一边一定能判定三角形全等
方法指 ----全等常见的判定思路： 引
已知一角一边： 找角的邻边 找边的邻角 找边的对角
已知两边：
找第三边 找夹角 找直角
已知两角： 找夹边
找对边 找第三边
方法指 引
E
全等与图形的变换：
D
F
G 轴对称
直观发现全等
平移
旋转
通过图形的变换， 直观发现全等；发现相等的边、相等的角.
1．(2022·衡阳6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的 点，且BD＝CE.求证：AD＝AE.
证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C.
在△ABD和△ACE中，
AB=AC
∠B=∠C
全等五行
∴△BADB=DC≌E △ACE(SAS)．
∴AD＝AE.
2．(2021·衡阳6分)如图，点A，B，D，E在同一条直线上，AB＝DE， AC∥DF，BC∥EF.求证：△ABC≌△DEF.
4．(2018·衡阳6分)如图，线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE. (1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当AB＝5时，求CD的长．
（1）证明：在△ABE和△DCE中，
AE=DE
∠AEB=∠DEC
BE=CE
∴△ABE≌△DCE(SAS)．
（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴AB＝CD. ∵AB＝5，∴CD＝5.
初三复习专题--全等三角形
•
OA＝OC，EA＝EC，
•
请阐明∠ A＝∠C。
AO C
DB
E
• 分析：欲证明∠A＝ ∠C，有三条思路，一 是证明△AOD与△COB全等，而由已知条件 不可直接得到，二是连结OE，阐明△AOE与 △COE全等，这条路显而易得， ∠A＝∠C， 三是证明 △ABE与△CDE全等，这也是不能 直接证明到的，因此应采用第二条思路。
全等三角形
• 一:考纲规定与命题趋势
• 1. 理解并掌握五种识别三角形全等的办法， 会灵活的对的选择适宜的识别办法判断两 个三角形与否全等。
• 2. 对的运用全等三角形的性质计算三角形 中未知的边或角，逐步培养逻辑推理能力 和形象思维能力。
• 3. 全等三角形的应用是学习几何证明题的 基础，因此它自然是中考必考知识点，同 窗们务必学好它。
• 阐明：在解决几何问题的过程中，有时根 据条件不能较顺利的得到结论，这时添加 必要的辅助线是十分重要的捷径。
• 例3.P是线段AB上一点，△APC与△BPD都是
等边三角形，请你判断：AD与BC相等吗？
试阐明理由。
D
C
AP
B
• 分析：观察图形发现它们所在的三角形全
等，故考虑通过全等来阐明。
• 解：由△APC和△BPD都是等边三角形可知 AP＝PC，BP＝DP，∠APC＝∠BPD＝60°，
变化，结论往往仍然成立，解决大同小异，
要善于抓住规律。
A
A
B
l
3
E
12
D
C
E
①
D
1
l
2
B
C
②
• 例9.如图，等边△ABC的边长为a，在BC的 延长线上取点D，使CD＝b，在BA的延长线 上取点E，使AE＝a+b，证明EC＝ED。
全等三角形复习和例习题含答案
第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。
例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。
例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。
A B DC E B ’A ’ C ’ D ’ E ’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。
（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
全等三角形复习资料(搜集整理版)
特别鸣谢资源原创者，本人仅仅便于自己的备课整理排版了一下。
第十一章全等三角形复习一、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形有哪些性质（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”第十二章轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点4.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______.点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______.2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等四、（等腰三角形)知识点回顾1.等腰三角形的性质①.等腰三角形的两个底角相等。
完整版-全等三角形总复习
完整版-全等三角形总复习完整版全等三角形总复习全等三角形是初中数学中的重要内容，它不仅是几何证明的基础，也是解决许多实际问题的工具。
在这篇文章中，我们将对全等三角形进行一次全面的复习。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形的形状和大小完全相同，对应边相等，对应角相等。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等。
比如，若△ABC ≌△DEF，则 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等。
例如，△ABC ≌△DEF 时，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的周长相等、面积相等。
三、全等三角形的判定1、“边边边”（SSS）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
2、“边角边”（SAS）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3、“角边角”（ASA）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
4、“角角边”（AAS）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
5、“斜边、直角边”（HL）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
四、全等三角形的常见模型1、平移型两个三角形沿着某一条直线平移，对应边平行且相等，对应角相等。
2、对称型两个三角形沿着某一条直线对称，对应边相等，对应角相等。
3、旋转型两个三角形绕着某一点旋转一定的角度，对应边相等，对应角相等。
五、证明全等三角形的步骤1、分析题目仔细阅读题目，找出已知条件和需要证明的结论。
2、确定方法根据已知条件和图形特点，选择合适的全等三角形判定方法。
3、书写证明按照逻辑顺序，清晰地书写证明过程，每一步都要有依据。
六、全等三角形的应用1、测量可以利用全等三角形测量无法直接测量的距离或长度。
2、证明线段和角的相等关系通过证明两个三角形全等，得出对应线段和角相等。
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三角形专题训练【知识精读】1. 三角形的内角和定理与外角和定理；2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；3. 全等三角形的性质与判定；4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；5. 直角三角形的性质与判定。
【分类解析】1. 三角形内角和定理的应用例1. 如图1，已知∆ABC 中，∠=︒⊥BAC AD BC 90，于D ，E 是AD 上一点。
求证：∠>∠BED C2. 三角形三边关系的应用例2. 已知：如图2，在∆ABC 中，AB AC >，AM 是BC 边的中线。
求证：()AM AB AC >-123. 角平分线定理的应用例3. 如图3，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。
求证：AM平分DAB。
4. 全等三角形的应用（1）构造全等三角形解决问题例4. 已知如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。
求证： AMN的周长等于2。
（2）“全等三角形”在综合题中的应用例5. 如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。
AF上。
若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。
求AC的长。
点B在AE的延长线上，点D在例6. 如图，在∆ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD ＋CE ＝9，则线段DE 的长为（ ） A. 9B. 8C. 7D. 66、题型展示例7. 已知：如图6，∆ABC 中，AB ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE 垂直BD 的延长线于E ，AE BD =12。
求证：BD 平分∠ABC例8. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。
如图7，在正三角形ABC 花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问∠BPD 为多少度时，才能达到上述要求？【实战模拟】1. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角形底边的长为____________。
2. 在锐角∆ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝__________。
3. 如图所示，D是∆ABC的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。
试比较∠BAC与∠B的大小关系。
4. 如图所示，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，M 是AC 中点，AE ⊥BM 。
求证：∠AMB ＝∠CMD5. 设三个正数a 、b 、c 满足()()a b ca b c 22224442++>++，求证：a 、b 、c 一定是某个三角形三边的长。
【试题答案】1. 5cm2. 45°3. 分析：如图所示，∠BAC 是∆ACD 的外角，所以∠>∠BAC 1 因为∠1＝∠2，所以∠BAC ＞∠2又因为∠2是∆BCD 的外角，所以∠2＞∠B ，问题得证。
答：∠BAC ＞∠B∵∠CD 平分∠ACE ，∴∠1＝∠2 ∵∠BAC ＞∠1，∴∠BAC ＞∠2 ∵∠2＞∠B ，∴∠BAC ＞∠B4. 证明一：过点C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线于FΘ∠∠∠∠∠∠129012+=+=︒∴=BAE BAE又∠BAC ＝∠ACF ＝90° AC ＝AB∴≅∴==∆∆ABM CAFAM CF F AMB，∠∠又AM ＝MC ，∴MC ＝CF又∠3＝∠4＝45°，CD ＝CD ∴≅∆∆CDM CDF∴=∴=∠∠∠∠F CMD AMB CMD证明二：过点A 作AN 平分∠BAC 交BM 于NΘ∠∠∠∠∠∠239023+=+=︒∴=BAE BAE又AN 平分∠BAC ∴==︒∠∠145C 又AB ＝AC∴≅∴=∆∆ABN CAD AN CD又∠∠NAM C ==︒45 AM ＝CM∴≅∴=∆∆NAM DCM AMB CMD∠∠说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。
若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。
5. 证明：由已知得：a b c a b b c c a a b c 444222222444222222+++++>++即a b c a b b c c a 4442222222220++---<()()∴++--+-<+-++-<a b a b c a b c c a b abc a bca b 4422222242222222242222240240()()()[]()[]()[]()[]()()()()()()()()()()a b c ab ab c ab a b c ab a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b 2222222222222222022000+--<+-++--<+---<+++--+--<++>∴+--+--<∴+-+-+->Θ∴a b c 、、是某一三角形三边的长。
1.证明：由AD ⊥BC 于D ，可得∠CAD ＝∠ABC又∠=∠+∠ABD ABE EBD则∠∠ABD EBD >可证∠∠CAD EBD >即∠∠BED C >说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。
2.证明：延长AM 到D ，使MD ＝AM ，连接BD在∆CMA 和∆BMD 中，AM DM AMC DMB CM BM ===，∠∠，∴≅∴=∆∆CMA BMD BD AC在∆ABD 中，AB BD AD -<，而AD AM =2()∴-<∴>-AB AC AMAM AB AC 212说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得2AM AB AC >-，然后通过倍长中线的方法，相当于将∆AMC 绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC 、AB 、2AM 转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。
很自然有()()1212AB AC AM AB AC -<<+。
请同学们自己试着证明。
3.证明：过M 作MG ⊥AD 于G ，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥DC ，MG ⊥AD∴MC ＝MG （在角的平分线上的点到角的两边距离相等）∵MC ＝MB ，∴MG ＝MB而MG ⊥AD ，MB ⊥AB∴M 在∠ADC 的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） ∴DM 平分∠ADC说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG ＝MB 。
同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。
4. 分析：欲证∆AMN 的周长等于2，需证明它等于等边∆ABC 的两边的长，只需证MN BM CN =+。
采用旋转构造全等的方法来解决。
证明：以点D 为旋转中心，将∆DBM 顺时针旋转120°，点B 落在点C 的位置，点M 落在M'点的位置。
得：∠MBD ＝∠NCD ＝90°∴≅∴==︒Rt MBD Rt M CDDCM DBM ∆∆''∠∠90∴∠NCD 与∠DCM'构成平角，且BM ＝CM'，DM ＝DM'，∠NDM'＝∠NDC ＋∠CDM'＝∠NDC ＋∠BDM ＝120°－60°＝60°在∆MDN 和∆M DN '中，DM DM MDN M DN DN DN ===︒=''，∠∠，60∴≅∴==+=+∴=+∆∆MDN M DN SAS MN M N M N M C CN BM CNMN BM CN'()'''Θ ∴∆AMN 的周长=++=+++=+=AM AN MN AM AN BM CN AB AC 2 说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。
5.分析：要求AC 的长，需在直角三角形ACE 中知AE 、CE 的长，而AE 、CE 均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE 、CE 的长，使问题得以解决。
解：∵AC 平分∠FAE ，CF ⊥AF ，CE ⊥AE∴CF ＝CEΘΘCF CE F CEA AC AC ACF ACE HL AF AE CF CE CD BCF CEB CDF CBE HL ===︒=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=====︒⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∠∠∠∠9090∆∆∆∆()()∴BE ＝DF设BE DF x ==，则AE AB BE x AF AD DF x =-=-=+=+219， ΘAE AF x x x =∴-=+∴=，，2196在Rt BCE ∆中，CE BC BE =-=-=22221068 在Rt ACE ∆中，()AC AE CE =+=-+=2222216817 答：AC 的长为17。
6.分析：初看此题，看到DE ＝DF ＋FE 后，就想把DF 和FE 的长逐个求出后再相加得DE ，但由于DF 与FE 的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BD ＋CE ＝9”，就应想一想，DF ＋FE 是否与BD ＋CE 相关？是否可以整体求出？若能想到这一点，就不难整体求出DF ＋FE 也就是DE 的长了。
解：∵BF 是∠B 的平分线∴∠DBF ＝∠CBF又DE ∥BC∴∠DFB ＝∠CBF∴∠BDF ＝∠DFB∴DF ＝BD同理，FE ＝CE∴DF ＋FE ＝BD ＋CE ＝9即DE ＝9故选A7.分析：要证∠ABD ＝∠CBD ，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。
注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。
简证：延长AE 交BC 的延长线于F易证∆∆ACF BCD ≅（ASA 或AAS ） ∴==∴==AF BDAE BD AE AF EF Θ1212于是又不难证得∆∆BAE BFE SAS ≅()∴=∠∠ABD CBD∴BD 平分∠BAC说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。
8.分析：此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是：如图7，D 为正∆ABC 内一点，P 为正∆ABC 外一点，PB ＝AB ，AD ＝BD ，∠DBP ＝∠DBC ，求∠BPD ＝？在解此数学问题时，要用到全等三角形的知识。