专题10 三角函数与数列大题-冲刺高考最后一个月之2018

（一）命题特点和预测：
在全国Ⅰ卷中每年只考一个，不考的那一个一般用两道或三道小题代替．三角函数大题侧重于考解三角形，重点考查正、余弦定理，小题中侧重于考查三角函数的图象和性质．数列一般考求通项、求和．数列应用题已经多年不考了，总体来说数列的地位已经降低，题目难度小．
（二）历年试题比较：
(1)若PB＝1
2
，求PA；
【解析与点睛】
（2017年）【解析】
所以
2π
3
B C
+=，故
π
3
A=.
由题设得2
1sin 23sin a bc A A
=，即8bc =.
由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=
故ABC △的周长为3【考点】三角函数及其变换
【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
（2016年）【答案】（Ⅰ）π
C 3
=
；（Ⅱ）5
可得1cos 2C =
，所以πC 3
=．
（Ⅱ）由已知，
1sin 2ab C =
． 又π
C 3
=
，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，2
2
2cos 7a b ab C +-=． 故2
2
13a b +=，从而()2
25a b +=．
所以ΑΒC △的周长为5
【考点】正弦定理、余弦定理及三角形面积公式
【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-
()tan tan A B C +=-,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考
虑对其实施“边化角”或“角化边”. （2015年）【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）
11
646
n -+
【考点定位】数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 （2014年）【答案】（I ）详见解析；（II ）存在，4λ=.
【解析】试题解析：（I ）由题设，11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-．两式相减得，121()n n n n a a a a λ+++-=． 由于10n a +≠，所以2n n a a λ+-=．
（II ）由题设，11a =，1211a a S λ=-，可得21a λ=-，由（I ）知，31a λ=+．令2132a a a =+，解得
4λ=．
故24n n a a +-=，由此可得，{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，211(n 1)443n a n -=+-⋅=-；
＝0．
因为B ＝π－A －C ，
A sin C －cos A sin C －sin C ＝0． 由于sin C ≠0，所以π1
sin()62
A -=． 又0＜A ＜π，故π3
A =．
(2)△ABC 的面积1
sin 2
S bc A ==，故bc ＝4．而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8． 解得b ＝c ＝2．
（2011年）【解析】：(1)设数列{a n }的公比为q .由2
3269a a a =得22349a a =，所以2
1
9
q =
.由条件可知q ＞0，故13
q =
. 由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以113
a =
.
（三）命题专家押题
中，内角，，的对边分别为，，，且
）求；
，，为，求
中，角所对的边分别是,
.
(1)求角的大小；
设向量，当求
中，角。

）求角的大小；
，求
．
（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；
的三边所对的角分别为，，，求
.
）求数列的通项公式；
，求数列的前项和
的前项和为，，且）求数列的通项公式；
）求数列的前项和.
为数列的前项和，已知，
）证明：为等比数列；的通项公式，并判断，
．若数列
的前项和满足
（
，
）为等比数列，并求；，（，求数列的前项和【详细解析】 1.【答案】（1）
；（2）.
∴， 又，∴
.
则
为等边三角形，且边长为，
∴.
在中，，，，
由余弦定理可得.
点睛：本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角恒等变换能力和计算能力，属于基础题.
所以
（2）因为
所以当时，取最大值，此时，
由正弦定理得，
点睛：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查向量数量积的运算，以及二次函数的最值，属于中档题．3.【答案】（1）；（2）
即可得函数最大值和周期；（2）结合（1）可得，再利用余弦定理即可得到的值.
试题解析：（1），
所以的最大值为，．
（2）因为，
由余弦定理可得：，
因为，所以．
5.【答案】（1）()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭；（2）713-.
理解解析式中,,A ωφ的意义是正确解题的关键，属于中档题． A 为振幅，有其控制最大、最小值， ω控制周期，即2T π
ω=，通常通过图象我们可得2T 和4
T , φ称为初象，通常解出A ， ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.
6.【答案】（1），；（2）
. 【解析】分析: （1）利用项和公式求数列
的通项公式,再求出，再写出等差数列 的通项公式. （2）利用错位相减求数列的前项和. 详解：（1）当时，， 解得，所以，
当时，，
点睛：本题主要考查数列通项的求法和错位相减法求和，属于基础题.
7.【答案】（1）212n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）221
n n -- 【解析】分析：（1）由66S a +是44S a +， 55S a +的等差中项，推出644a a =，再根据数列{}n a 是等比数列，即可求得公比，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）可得数列{}n b 的通项公式，进而可得数列12n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的通项公式，再根据裂项相消法求和，即可求得n T .！
点睛：本题主要考查求等比数列的通项公式以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，
常见的裂项技巧：(1)
()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =；（3）()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
8.【答案】（1），（2）
【解析】试题分析：（1）由已知，根据数列前项和和与通项的关系，求出，从而求出数列
的通项公式；
点睛：此题主要考查数列的通项公式和前项和公式，以及它们之间关系的应用，还有分组求各和法在求数列前项和中的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考题.分组求和法就是将数列的项分成两项或三项等，而这两项或三项往往就是常数或是等差（比）数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，然后再合并，从而得到该数列的和.
9.【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据条件构造等比数列：，再根据等比数列定义给予证明，（2）先根据等比数列通项公式求得，即得的通项公式，再根据分组求和法得，最后判断
是否成立.
试题解析：证明：∵，，∴，
∴，∴，，
∴是首项为公比为的等比数列.
（2）解：由（1）知，，∴，
∴，
∴，∴，
即，，成等差数列.
10.【答案】(1)见解析;(2)见解析.
为奇数时，
，
综上，
【点睛】当数列的递推关系是关于形式时，我们常采用公式，统一成或统一成做。

对于奇偶分类数列求和时，我们常先求项数为偶数时数列的和，因为这个时候奇数项与偶数的项数各是，再求项数为奇数的数列求和，因为这时n-1是偶数，所以，可以就用前面所求
的结论。