初中一元二次方程习题精选

第三讲 一元二次方程及其应用
【例题精讲】
例1 求证：当m 取任何实数时，一元二次方程0422=-++m mx x 有两个不相等的实数根．
例2 解方程:（1)
7
1
618151++
+=+++x x x x ； （2）52515+=+x x .
例3 判断下列方程有无实数解：
（1）1522--=+x x ；（2)213=-+-x x ；（3）0231=---x x ．
例4如图，在矩形ABCD 中，已知3AB=2BC,并且AB 、BC 的长是方程02)2(2=+--k x k x 的两个根，求k 的值．
例5关于x 的方程012)2(2=-+-+k kx x k 的两个实数根为α、β,且22βα=,求k 的值.
【试题精选】
一、填空题
1．若二次三项式x 2＋4x ＋k 在实数范围内可以分解为两个一次式的积，则k 的取值范围是______．
2．如果关于x 的二次三项式x 2＋kx ＋k ＋3是一个完全平方式，那么k 的值为__________。

3．如果抛物线y =－x 2－3x ＋ｃ的顶点在x 轴的上方，那么c 的取值范围是___________. 4．如果关于x 的方程kx 2－2（k －1）x ＋k －1= 0有实数根，那么k 的取值范围_________． 5．方程组⎩⎨⎧==+6
5
xy y x (x ＜y )的解是__________．
6．将方程
x x -=--32
19
32化为整式方程是___________________.
7．方程x x =+2的解是________。

C
D
8．将方程06522=--y xy x 化为两个二元一次方程是_____________________. 9．若方程42=-+x m 无实数根，则m 的取值范围是_________.
10．若2x 2-5x ＋
1
5282
+-x x -5＝0,则2x 2-5x -1的值为_________．
11．已知⎩⎨⎧==13
y x 是方程组⎩
⎨⎧=-=+0522
2y m x y x 的解，那么m 的值是________。

12．如果关于x 的一元二次方程2x 2
＋3x ＋5m ＝0的两个实数根都小于1，那么实数m 的取值
范围是______． 二、选择题
13．下列方程中，有实数解的方程是（ ）
(A)0132=+-x ; (B)21-=-x x ； （C ）22
2-=
-x x x ； （D ）2
22-=-x x x ． 14．若一元二次方程2x 2-6x ＋3＝0的两根为α 、β ,则（α -β ）2的值为( ） （A ）24 (B)18 （C ）6 （D ）3 15．下列判断中正确的是( ）
（A ）方程03=+-x xy 有无数个解； （B ）方程1222
=+x x 是无理方程; (C ）方程组⎩⎨
⎧=+=--50
,0)2)((2
2
y x y x y x 的解是方程组⎩⎨
⎧=+=-50
,02
2
y x y x 的解；
(D ）
21
1=-+-y
x z y 是分式方程． 16．已知：关于x 的一元二次方程x 2—(R ＋r ）x ＋4
1d 2＝0无实数根，其中R 、r 分别是 ⊙O 1、⊙O 2的半径,d 为此两圆的圆心距,则⊙O 1，⊙O 2的位置关系为（ ） (A ）外离 (B ）相切 （C ）相交 （D ）内含 三、解答题
17．若关于x 的方程04)3(22=-++x t x 的一个根为α，且62
=-α
α，求t 的值.
18．已知方程062)1(2=+++-k x k x 的两个实根的平方和为13，求k 的值．
19．若方程0122=+-+m x x 没有实数根，求证方程1122=++m mx x 一定有两个不相等的实数根．
20．已知方程2x 2＋3x －4 = 0，求作一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的
平方．
21．关于x 的方程0)1(2=+--m x m m x 的两根分别为a 、b ，如果点C （a ，b )在直线
2+-=x y 上。

求m 的值.
22．关于x 的一元二次方程（2m —1)x 2—4mx ＋m ＋3＝0的两个实数根绝对值相等，求m 的值．
22．已知:关于x 的方程02
2=++m x k x 的两个实数根为α、β，关于y 的方程
04252=++-m ky y 的两个实数根为3+α、3+β．求k 、m 的值．
23．关于x 的方程 (a+c ）x 2＋bx －（a+2c ）=0的两根之和为1，两根的平方和为2．求a :b ：
c ．
24．已知方程x 2＋ax ＋ｂ= 0的两个根的比是3：4，方程根的判别式的值等于2，求这个方程的两个根．
25．如果α、β是一元二次方程012
=--x x 的两个根,且二次函数c bx ax y ++=2
的图
象经过点（α，β）、(β，α）、（1，1），求a 、b 、c 的值．
26．已知关于x 的方程0)3(22
=++-mn x n m x ,且0>>n m .证明:这个方程有两个不相
等的实数根;证明:这个方程的两根中，有一个比n 大,另一个比n 小．
27．如图所示，某小区居民筹集资金1600元，计划在一块上下底分别为10米,20米的梯形空地上种植花木．
（1）他们在ΔAMD 和ΔBMC 地带上种植太阳花，单价为8元2
/m ，当ΔAMD 地带种满花后，共花160元，请计算ΔBMC 地带种花所需费用；
(2）若其余地带有玫瑰和茉莉两种花可供选择,单价分别为12元2
/m 和10元2
/m ，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？
（第32题）
28．A 、B 两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发,相向而行,2小时相遇;相遇后，各以原来速度继续行驶，甲车到达B 地立即原路返回，返回时的速度是原来的2倍，结果甲乙两车同时到达A 地，求甲车的原速度和乙车的速度．
29．某农户在山上种了脐橙果树44株，现进入第三年收获，收获时，先随意采摘了5株果树上的脐橙称的每株果树上的脐橙重量如下：（单位：千克） 35，35，34，39，37． （1)根据样本平均数估计这年脐橙的总产量约是多少?
(2）各市场上脐橙售价为每千克5元，则这年该农户脐橙收入是多少元？
（3）已知该农户第一年卖脐橙收入为5500元，估计第二年、第三年卖脐橙收入的平均增长率是多少？
30．某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元．设矩形一边为x 米，面积为S 平方米．
(1）求出S 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围;
（2）为使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形,请你按要求设计，并计算出可获得的设计费约是多少元？(精确到元） （参考资料:若矩形的长为a ，宽为b ，且满足a 2＝b (a ＋b )，则称这样的矩形为黄金矩形；
5≈2。

2）)
参考答案： 1．解：（1)设矩形的另一边长为y ，则由2x ＋2y ＝12，得y ＝6—x ， ∴ S ＝xy ＝x （6—x ）＝—x 2＋6x ，（0＜x ＜6)． (3)设计此矩形的长为x 米,宽为y 米，则有⎪⎩⎪⎨
⎧+==+)
(6
2
y x y x y x 解得⎪⎩⎪⎨
⎧-=-=5
39353y x
(x ＝-35—3不合题意，舍去)
∴ 当矩形的长为x ＝35-3时，此矩形为黄金矩形． 此时S ＝xy ＝(35—3)（9-35）＝36（5—2）， ∴ 可获得设计费为：36（5-2)1000＝7200（元）． 2．设甲车的原速度为x 千米/时，乙车的原速度为y 千米/时,则
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+.221502,
150)(2y x x x y y x 解得⎩⎨
⎧==.30,
45y x 3．解:∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ Δ＞0，
Δ＝4—4(2-m ）＝4m —4＞0，∴ m ＞1．
例如：取m ＝2,则有x 2＋2x ＝0，配方，得（x ＋1）2＝1，解得x 1＝—2，x 2＝0 4．(1）1584千克 （2)7920元 (3)20% 5．由a ＝2m -1≠0，∴ m ≠
2
1
① Δ＝16m 2—4(2m -1)（m ＋3）＝8m 2-20m ＋12≥0， ∴ 1≥m 或m ≥2
3
②
∵ ｜x 1｜＝|x 2｜，分两种情况：
（1）若两根同号，则x 1＝x 2，
∴ Δ＝0，得m 1＝1,m 2＝2
3
③
(2)若两根异号，则x 1＋x 2＝0，x 1·x 2＜0，
即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+=-01
2301
24m m m m
∴ m ＝0 ④
由①②③④得：m ＝0，1,2
3。