离散数学N元集合关系个数计算
离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
《离散数学》第六章 集合代数
例3: 4个x ，3个y，2个z的全排列中，求不出现xxxx，yyy ，zz图象的排列。
设x不具有性质P1,P2,…,Pm ，那么x∉Ai，i＝ 1，2，…m。则它对等式左边计数的贡献为1，对 等式右边的计数的贡献也是1。
根据牛顿二项式定理不难得到上面式子的结果是0．而 由于x具有n个性质，它对等式左边的贡献也为0。
4.3 几个例子
例1:求1-1000之间(包括1和1000)不能被5,也不能被6, 还不能被8整除的整数有多少个?
总体上还是多采用命题逻辑中的等值式，但在叙述
上采用半形式化的方法。
例6.6 证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C).
证明: 对于∀x
x ∈ A-(B∪C) Ù x ∈ A ∧ x ∉(B∪C) Ù x ∈ A ∧ ⎤ (x∈B ∨ x∈C) Ù x ∈ A ∧ (⎤x∈B ∧ ⎤x∈C) Ù x ∈ A ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ C) Ù x∈A∧x∉B∧x∉C Ù (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈ A ∧ x ∉ C) Ù x ∈ A- B ∧ x ∈ A- C Ù x ∈( A- B) ∩(A- C)
全排列的个数为：9！/（4！3！2！）=1260； 所以要求的排列数为
1260－(60+105+280)+(12+20+30)－6 =871.
4.4 三个练习
练习1：求由a,b,c,d构成的n位符号串中，a,b,c,d都至 少出现一次的符号串的数目。
《离散数学》集合的基本概念和运算
（2）若AB,BC,则AC
解 错误。举反例如下：设A={a}，
B={{a},b}，C={{a},b,{c}}，显然AB， BC，但A不是C的子集。因为aA，但aC。
定义3.7 A、B是任意集合，由属于A或属于B的
所有元素组成的集合称为A与B的并集，记
3.2 作 A B 。即
集
A B u | u A或u B
推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此
1=2 全集 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个
集合的子集，则称这个集合为全集，记作E
全集具有相对性
在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE )
三、幂集（PowerSet）
定义1.2.2 给定集合A，以A的所有子集为元素
- 命题演算法 - 包含传递法
的
- 等价条件法
基
- 反证法
(A B) A B
算 对偶原理：把一个等式中的中的∪，∩，E和
的分别代以∩，∪，和E后得到另一等式
二、对称差运算的性质：
① AA= ②A =A ③ A E= A
3.2 ④A B＝B A
集 ⑤(A B) C A (B C)
合 ⑥A I (B C) (A I B) (A I C)
一、集合运算的十条定律
3.2
对于全集合E的任意子集A、B、C，有：
集 交换律 AB B A AB B A
合 的 结合律 A(B C) (A B) C
基
A(B C) (A B) C
本 分配律 A(B C) (A B) (AC)
运 算
A(B C) (A B) (AC)
概 念
(5)A ( )
离散数学关系的运算
二、关系基本运算的性质
定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF 定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)1= G1, T均为A上二元关系， 那么
1 rij 0
当且仅当aiRbj 当且仅当 ai Rb j
10
某关系R的关系图为：
1 2 3 5 4 6 a b c d
则R的关系矩阵为：
0 1 0 MR 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
注意： 对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R
7
例：
X {a, b, c} R { a, b , b, c , c, a }
R { a, c , b, a , c, b }
2
R R R { a, a , b, b , c, c } Ix
R0, R1, R2, R3,…的关系图如下图所示
14
幂的求法（续）
对于集合表示的关系R，计算 Rn 就是n个R右复合 . 矩阵表示就是n个矩阵相乘, 其中相加采用逻辑加. 例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为
3
3、限制与像
定义 F 在A上的限制 F↾A = {<x,y> | xFy xA} A 在F下的像 F[A] = ran(F↾A)
离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)
以上运算律的证明思路：欲证P=Q，即证 x P x Q。
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Байду номын сангаас
三、集合算律
证明分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 对x， x A∪(B ∩C) (x A ) (x B∩C )
(x A) (x B x C )
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合 C: 复数集合
: 空集(不含任何元素) E: 全集 （在某一问题中，含有所涉及的全部集合的集合。）
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三、集合的表示方法
列出集合的所有元素，元素之间用逗号 1、列举法： 隔开。如A = { a, b, c } ， B = { 1,2,4,6,7,9 } 用谓词概括该集合中元素的属性。 2、描述法： 如：A = { x | xZ 3 < x 6 } A = { x | P (x) }，其中P (x)表示x满足的性质。 即A是由所有使P (x)为真的全体x构成。
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§3.1 集合的基本概念
内容：集合，元素，子集，幂集等。 重点：(1) 掌握集合的概念及两种表示法， (2) 常见的集合N , Z, Q, R, C 和特殊集合 ,E， (3) 掌握子集及两集合相等的概念， (4) 掌握幂集的概念及求法。
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四、集合之间的关系
3、真子集： B A。
B A B A B A
BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A} n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
离散数学排列组合公式简介
离散数学排列组合公式简介离散数学是一门研究离散对象的数学学科，其中排列组合是其重要的一部分。
排列组合是指在给定的元素集合中，通过选择和安排元素，得到不同的结果。
在离散数学中，排列和组合是两个基本概念，并且有相应的计算公式来帮助解决问题。
一、排列公式排列是指从给定的元素集合中，按照一定的顺序，选取若干元素进行排列。
在离散数学中，排列的计算方法有两种：允许重复和不允许重复。
下面分别介绍这两种排列的计算公式。
1. 允许重复的排列当元素集合中的元素可以重复出现在排列中时，就称为允许重复的排列。
对于含有n个元素的集合，要求选择r个元素进行排列，公式如下：P(n, r) = n^r其中，P表示排列的个数，n表示元素集合中的元素个数，r表示选择的元素个数。
举个例子，假设有一个字母集合{a, b, c}，要选择两个字母进行排列，那么根据公式，可以计算出排列的个数为：P(3, 2) = 3^2 = 9因此，共有9种不同的排列方式：aa、ab、ac、ba、bb、bc、ca、cb、cc。
2. 不允许重复的排列当元素集合中的元素不允许重复出现在排列中时，就称为不允许重复的排列。
对于含有n个元素的集合，要求选择r个元素进行排列，公式如下：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，"!"表示阶乘，n!表示n的阶乘，即n × (n-1) × ... × 1。
举个例子，假设有一个字母集合{a, b, c}，要选择两个字母进行排列，那么根据公式，可以计算出排列的个数为：P(3, 2) = 3! / (3 - 2)! = 3! / 1! = 6因此，共有6种不同的排列方式：ab、ac、ba、bc、ca、cb。
二、组合公式组合是指从给定的元素集合中，不考虑顺序，选择若干元素进行组合。
在离散数学中，组合的计算方法也有两种：允许重复和不允许重复。
下面分别介绍这两种组合的计算公式。
离散数学_集合与关系_关系
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例如 例3中的 A {1,2,3,4} ，
{(1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 3,3 ), ( 4,4 )}
的关系图如下：
14
练习3-6
1. 设A
{0,1,2}，B {0,2,4} ，A到B的关系
B {1,2}
。 }
A B {
(0,1), (0,2), (1,1), (1,2) (1,1), (1,2 ), ( 2,1), ( 2, 2)
B B {
}
8
关系的表示
一、集合表示法
用表示集合的列举法或描述法来表示关系。
例1 设A { 2,3,4,8},B {1,5,7 } , 用描述 } 法定义由A到B的关系 {( a, b ) | a b，试
用列举法将
表示出来。
解
{( 2,5 ), ( 2,7 ),( 3,5 ), ( 3,7 ) ( 4,5 ), ( 4,7 )}
9
例2 有王、张、李、何是某校的老师，该校有
三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文 和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何 可以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文， 数学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系 就可以用由A到B的一个关系
3利用关系图求复合关系是有限集a上的关系则复合关系也是a上的关系由复合关系的定义对于任意的反映在关系图上这意味着当且仅当在的关系图中有某一结点存在使得有边由指向且有边由指向的关系图中有边从指向理同志关系上搞庸俗关系学热衷于迎来送往
1Байду номын сангаас
《离散数学》课件-第3章集合的基本概念
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
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Author ：ssjs
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看了离散数学中的关系整理了一点关于n 元集合中各种关系的计算，现写下这个方便大家学习交流理解。
对文章所致一切后果不负任何责任，请谨慎使用。
如有错误之处请指正。
定义：
1，对称：对于a,b R a b ∈∈∈),b (),a (,A 有如果只要
2，反对称：如果R a b R b a b b ∈∈=∈),(),(a ,A ,a 和时仅当
3，自反：如果对每个元素R ),(A a ∈∈a a 有
4，反自反：如果对于每个R ),(A a ∉∈a a 有
5，传递：如果对R ),(,R ),(R ),(,A ,,∈∈∈∈c a c b b a c b a 则且
6，非对称：如果R ),(R ),(∉∈a b b a 推出【注】其中是含（a,a)这样的有序对的。
【重要】集合A 的关系是从A 到A 的关系 （也就是说集合A 的关系是A A ⨯的子集）。
如下结论：
N 元集合上的自反关系数为：)1(2
-n n N 元集合上的对称关系数为：2/)1(2+n n
N 元集合上的反对称关系数为：2/)1(n 3
2-n n N 元集合上的非对称关系数为：2/)1(3-n n
N 元集合上的反自反关系数为：)1(n 2-n
N 元集合上的自反和对称关系数为：2/)1(n 2-n
N 元集合上的不自反也不反自反关系数为：)1(n n 222
2-⋅-n
下面是上面结论的计算
1，自反 2A A ,A n n =⨯=因为也就是说集合A 有n 平方个有序对，由自反定义可知，对R ),(A a ∈∈∀a a 有所以n 个有序对()).....3,2,1i X ,X (n i i =其中一定在所求关系中，否则的话此关系就不是自反的了，那么还有n n -2个有序对，所以由集合子集对应二进制串可得自反关系数为)1(n 222--=n n n
下图有助于理解。
（1,1) (2,2).......(n,n) | (1,2) (1,3).........(n-1,n)
N n n -2
个有序对
2，对称 2A A ,A n n =⨯=因为也就是说集合A 有n 平方个有序对，由对称定义可知，对于R a b b ∈∈∈),b (),a (,A ,a 有只要。
另外知道在n 平方个有序对中有n 个有序对()).....3,2,1i X ,X (n i i =其中，相应的就有n n -2
个有序对（X,Y)且X Y ≠，定义可知后面的n n -2个有序对只能成对出现，所以有2/)(n 2n -对。
前面的那n 对可以出现任意多对。
图片如下。
（1,1) (2,2).......(n,n) (1,2) (1,3).........(n-1,n)
n (2,1) (3,1).........(n,n-1)
(n n -2)/2个有序对对
共有n+ (n n -2)/2 个元素
即 (n n +2)/2个
所以得到对称关系数为：2/)1(2+n n
3，反自反
2A A ,A n n =⨯=因为也就是说集合A 有n 平方个有序对，由对称定义可知，如果对于每个R ),(A a ∉∈a a 有，构成该关系的元素个数为n n -2个，所以得出结论)1(n 2-n ，这个简单，不多说。
4，自反和对称
即是求自反的又对称的，由1知要是自反的就只能在n n -2个有序对中生成子集，又由对称定义可知，将n n -2个有序对分成形如(a,b)与(b,a)的(n n -2)/2个有序对对。
所以有自反和对称关系数为：2/)1(n 2-n 。
如下图
（1,1) (2,2).......(n,n) (1,2) (1,3).........(n-1,n)
n 个有序对 (2,1) (3,1).........(n,n-1)
要自反这n 个必在所求关系中
(n n -2)/2个有序对对
N 个有序对只有1种可能· 有2/)1(n 2-n 种可能 = 2/)1(n 21-⨯n
5，不自反也不反自反
不自反也不反自反 = 不自反I 不反自反
= ）不反自反不自反（Y -2n 2
= 反自反）（自反Y -2n 2
= )22(2)1()1(n 2--+-n n n n
= )1(n 2222-⋅-n n
6，非对称
由定义：如果R ),(R ),(∉∈a b b a 推出，很清楚形如(a,a)的有序对不在所求关系中。
所以所求关系只能中剩下的n n -2个有序对中来生成。
如下图。
（1,1) (2,2).......(n,n) (1,2) (1,3)...................................(n-1,n)
n (2,1) (3,1)....................................(n,n-1)
这n 个一定不在所求关系中 (n n -2 )/2个有序对对
由定义上图的同色对中只能取一个或是一个也不取，就有三种状态1）选上面的 2）选下面的 3）两个都不选
选取同色对？
0 1
不选 选上还是选下？
0 1
选上 选下
由题知，不选，选上，选下是三种互斥结果。
同集合二进制求集合个数原理，可得集合子集个为：2/)1(3-n n
7，反对称
由定义：如果R a b R b a b b ∈∈=∈),(),(a ,A ,a 和时仅当 如下图。
（1,1) (2,2)......................(n,n) (1,2) (1,3)...................................(n-1,n)
n (2,1) (3,1)...................................(n,n-1)
这n 个有序对可以出现任意多次 (n n -2 )/2个有序对对
n 2 ⨯ 2/)1(3-n n (由6可知）
所以得结果 ：n 2⨯2/)1(3-n n 即2/)1(n 32-n n
【注】其它组合或是要求可由定义同理推出。
不要怕麻烦，其实不那么难，也还有许多方法可以导出结果，如矩阵之类的。
强烈推荐看下Discrete Mathematics and Its Applications Seventh Edition 更新版的更好哈，讲得真的很不错。
参考资料：Discrete Mathematics and Its Applications SeventhEdition。