席位分配模型

公平席位分配模型
摘要本文按照题目要求，首先，基于相对公平分配的原则，阐述“d’Hondt
方法”原理，并建立数学模型。

其次，对“比例加惯例法”、“Q值法”及“d’Hondt 方法”这三个模型，根据分配结果进行对比分析。

可以得到，当待分配席位数较少时，采用Q值法与d’Hondt法分配席位相对比较公平，当待分配席位数较多时，采用比例加惯例法既简单又公平。

关键词：比例加惯例模型 Q值模型 d’Hondt模型公平分配
正文
1 问题复述
为了讨论重大问题，特别是有关集体利益的问题，召开代表会议正变得越来越普遍。

当会议涉及不同集体的利益时，公平的席位分配就显得尤为重要。

常用的席位分配办法是“比例加惯例法”以及“Q值法”等。

某学校有三个宿舍共1000名学生，其中A宿舍有235人，B宿舍有333人，C宿舍有432人。

现学生们要组织一个十人委员会，已知采用d’Hondt席位分配办法分配各宿舍的委员数如下：
表1 d’Hondt法
宿舍 1 2 3 4 5 …分配结果
A 235 117.5 78.3 58.75 (2)
B 333 166.5 111 83.25 (3)
C 432 216 144 108 86.4 (5)
比例加惯例法：按比例分配取整数的名额后，剩下的若干名额依次分给小数部分较大者。

Q值法：按照相对不公平度最小原则，每增加一席位，分给Q值较大的一方。

d’Hondt法:将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，将所得商数从大到小取前10个（10为席位数）。

如表1所示，表中A，B，C行有横线的数分别为 2，3，5，即为3个宿舍分配的席位。

需要解决的问题是：
（1）试建立模型，解释d’Hondt方法的道理；
（2）若委员人数从10人增至15人，此时用比例加惯例法、Q值法和 d’Hondt 法3种方法再分配名额，试比较3种方法两次分配的结果。

2 模型假设与符号说明
2.1 模型的假设
假设各个宿舍之间没有人员的调动。

2.2 符号的说明
()
1,2,3
p i=分别表示宿舍A、B、C的人数；
i
P表示总人数；
N表示待分配席位数；
()1,2,3i n i =分别表示宿舍A 、B 、C 分配的席位数； ()1,2,3i q i =分别表示宿舍A 、B 、C 比例分配的席位数； ()1,2,3i r i =分别表示宿舍A 、B 、C 每个席位代表的人数； ()1,2,3;1,2,ij m i j == 表示i p 与j 的比值；
[]i q +表示i q 的向上取整； []i q -表示i q 的向下取整；
(),
,i j k 表示宿舍A 、B 、C 对应分配的席位数，,,i j k 均为非负整数。

3 模型分析
一般判断某一分配方案是否公平，有其衡量的指标，下面是一组公平分配的公理[1]：
公理一 [][]i i i q n q +-≤≤，即i n 必取[]i q -，[]i q +二者之一。

公理二 ()()11,,...,1,,...,i m i m n N p p n N p p ≤+，即总席位增加时i n 不应减少（m 为总的分组数）。

公理三 若'i i p p <，'j j p p =()i j ≠，则()()'''11,,...,1,,...,i
i m m n N p p n N p p ≤+，即人
数增加时i n 不应减少。

公理四 i n ，j n 之间的转移不应使i i j j n q n q -+-减少。

显然，
i i
p n 表示每方每个席位代表的人数，当且仅当
3121
2
3
p p p n n n =
=
时，席位的
分配才是公平的。

但因为人数和席位都是整数，所以通常
3121
2
3
p p p n n n ≠
≠
，此时席
位分配不公平，并且i i
p n 数值较大的一方吃亏，因此就出现了不同的分配方案。

容易验证“比例加惯例法”不满足公理二，而“Q 值法”不满足公理一。

由于
i i
p n 表示每方每个席位代表的人数，并且数值较大的一方吃亏。

因此在
d ’Hondt 方法中： （1）当1N =时，
若分给A 宿舍，则112351p r ==； 若分给B 宿舍，则223331p r ==； 若分给C 宿舍，则334321
p r =
=。

显然3r 最大，即C 宿舍最吃亏，因此应将该席位分给C 宿舍，此时席位分配结果为()0,0,1；
（2）当2N =时，在（1）分配的基础上再分配第二席： 若分给A 宿舍，则112351p r ==； 若分给B 宿舍，则223331p r ==； 若分给C 宿舍，则332162
p r =
=；
显然2r 最大，即B 宿舍最吃亏，因此应将该席位分给B 宿舍，此时席位分配结果为()0,1,1；
（3）当3N =时，在（2）分配的基础上再分配第三席： 若分给A 宿舍，则112351p r ==； 若分给B 宿舍，则22166.5
2p r ==；
若分给C 宿舍，则332162
p r =
=；
显然1r 最大，即A 宿舍最吃亏，因此应将该席位分给A 宿舍，此时席位分配结果为()1,1,1；
（4）当4N =时，在（3）分配的基础上再分配第四席： 若分给A 宿舍，则11117.52p r ==； 若分给B 宿舍，则22166.5
2p r ==；
若分给C 宿舍，则332162
p r =
=；
显然3r 最大，即C 宿舍最吃亏，因此应将该席位分给C 宿舍，此时席位分配结果为()1,1,2； 这样依次做下去。

4 模型建立与求解 4.1模型建立
当待分配席位数为k 时，()1,2,3;1,2,i ij p m i j j
=
== .
将上述数值按从大到小排列，取前k 个，构成集合记为k N 。

则
()1,2,3i k ij n N m i ==中出现的次数,.
4.2问题求解
比例加惯例法分配席位如下； 表2 比例加惯例法的分配结果 宿舍 学生人数 学生人数的比例（%）
10个席位的分配 15个席位的分配 比例分配的席位 参照惯例的结果 比例分配的
席位 参照惯例的结果 A 235 23.5 2.35 3 3.525 4 B 333 33.3 3.33 3 4.995 5 C 432 43.2 4.32 4
6.480 6
总和
1000
100.0
10.00
10
15.000
15
Q 值法分配席位如下； 表3 Q 值法的分配结果
宿舍 学生人数 初始 增加一人 增
加一
人
增加一人 增加一人 增加一人 增加一人 增加一人 增加一人 增加一人 增加一人 增加一人 增加一人 A 235 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 B 333 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 C 432 1 2 2 2 3 3 4 5 5 5 6 6 6
总
和
1000 3 4 5 6
7
8 9
10 11 12 13 14 15
d ’Hondt 法分配席位如下： 表4 d ’Hondt 法的分配结果 宿舍 1
2
3
4
5
6
7
… 10人分配结果 15人分配结果 A 235 117.5 78.3 58.75 47 39.17 33.57
… 2 3 B 333 166.5 111 83.25 66.6 55.5 47.57 … 3 5 C
432 216 144 108 86.4 72 67.71
…
5 7
由上述分配结果，分析知：
（1）当10
2,3,5，而比N=时，Q值法与d’Hondt法分配的结果相同，均为()例加惯例法分配的结果却为()
3,3,4；
（2）当15
4,5,6，而N=时，比例加惯例法与Q值法分配的结果相同，均为() d’Hondt法分配的结果却为()
3,5,7。

因此，当待分配的席位较少时，采用Q值法与d’Hondt法分配席位相对比较公平，当待分配的席位较多时，采用比例加惯例法既简单又公平。

5 模型优缺点分析及改进方向
优点：d’Hondt法相对于比例加惯例法的公平程度要高一些，比Q值法操作要简便些。

缺点：容易验证d’Hondt法不满足公理4，并且当待分配席位数较多时，d’Hondt法的计算量较大，实用性没有比例加惯例法好。

参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京:高等教育出版社，2010.26-27。