第一章方向导数及梯度

2u 2u
2u 2u
[( )e ( )e ( )e ]
yz zy x zx xz y xy yx z
0
梯度的运算
由梯度的定义及标量场方向导数的概念可推知
在直角坐标系下： u u eˆ u eˆ u eˆ
x x y y z z
在柱面坐标系中：
(e e 1
r r r
ez
u u
u
u
解： cos cos cos
l x
y
z
u 2x , u 2 y , u (x2 y2 )
x
z y
z z
cos
z2 1
1
l 方向的方向余弦为
12 22 22 3
cos
2
2
12 22 22 3
cos
2
2
12 22 22 3
数量场在l方向的方向导数为
u u cos u cos u cos
V 0 V
V 0 V dV
则在一定体积V内的总的通量为： V Ar dV sAr dS
得证！
矢量函数的面积分与体积分的互换。
该公式表明了区域V 中场 A 与边界S上的 场 A 之间的关系。
例题：
已知： R eˆ (x x' ) eˆ ( y ，y') eˆ (z z')
(1)
(R) R eˆ RR
( 2 ) ( 1 ) R eˆR
R
R3
R2
(பைடு நூலகம்3 ) f (R) ' f (R)
说明：
e e e x x y y z z
' e e e
x ' x y ' y z ' z
R R
1.4 矢量场的通量 散度
1.矢量线(vector line)
解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1， 则该点 的数量场值为φ=(x0+y0)2-z0=0。
其等值面方程为 (x y)2 z 0
或
z (x y)2
2. 方向导数(directional derivative)
方向导数 u lim u P u P0
l P0
l 0
l
如果上式的极限存在，则称它为 函数在点P0处沿l方向的方向导数
l x
y
z
1 2x 2 2y 2 x2 y2 3 z 3 z 3 z2
在点M处沿l方向u的方向导1数1 2 1 2 2 2 3 3 34 3
l M
3. 梯度（gradient）
梯度就是变化率最大方向上的方向导数 。
grad u
G
eˆx
u x
eˆ y
u y
eˆz
u z
eˆx
x
eˆ
y
y
a.直角坐标系中
divA Ax Ay Az x y z
§1.4 矢量的通量和散度
• 引入哈密顿算符 （矢性微分算符）
直角坐标内，
e e e x x y y z z
则有: div
A
A
§1.4 矢量的通量和散度
b.圆柱坐标
A
1
(A
)
1
( A
)
A z
z
c.球坐标
A
1 r2
r
解： 根据散度定理知
r而 的散度为
所以
Sr • dS V ( •
r )dV
r x y z 3 x y z
r • dS ( • r )dV 3dV 3 4r 3 4r 3
S
V
V
3
1.5 矢量场的环流与旋度
1 . 矢量场的环流与旋涡源
不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量 源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何 闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分 不为零。
点(sink point)---表示
矢量场在该点处有吸
V2
divF (r ) 0负源)
收通量之负源；
当div A =0，表示矢量
场在该点处无源 。
V3
( divF (r ) 0无源）
散度的计算
z
S6
S3
S2
S4 ∆z
O
S5 S1
∆x
y
∆y x
§1.4 矢量的通量和散度
• 散度与所取体积元 的形状无关，与所取 坐标无关
讨论：
面元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面。
en
dS
dS ：面元面积，为微分量其值可认为无限小
en ：面元法线方向，垂直于面元平面。
称矢量 dS eˆndS 为面元矢量
面元法向 en 的确定方法： 对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定； 对闭合曲面：闭合面外法线方向
F dS
1 (xeˆ rx
yeˆ
y
zeˆ )
z
r r
ˆ er
例题 求r在M(1，0，1)处沿 l eˆx 2eˆy 2eˆz 方向的方向导数。
解： r在M点沿l方向的方向导数为
r l
M
r • eˆl
r的梯度为
grad r r 1 (xeˆ yeˆ zeˆ )
rx
y
z
点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, r x2 y2 z2 2
s
F e
s
n
dS
s
F
cosr dS
通过闭合面S的通量的物理意义：
若 0，穿出多于穿入，闭合面内有发出矢量线的正源 若 0，穿出少于穿入，闭合面内有汇集矢量线的负源 若 0，穿出等于穿入，闭合面内无源，或正源负源代数和为0
> 0 (有正源)
< 0 (有负源)
= 0 (无源)
3.矢量场的散度 Divergence of a vector field:
标量场在不同方向上的变化率 一般说来是不同的
方向导数物理意义：
u
0 l M0
，标量场 u 在 M 0 处沿 l 方向增加率；
u
0 l M0
，标量场 u在 M 0处沿 l 方向减小率；
u 0 l M0
，标量场 u在 M 0 处沿 l 方向为等值面方向（无改变）
z
方向导数的计算
l
方向角
直角坐标系下，标量函数的方向导数为：
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。
静态标量场和矢量场可分别表示为：u(x, y, z)、 F(x, y, z)
时变标量场和矢量场可分别表示为：u(x, y,z,t)、 F(x, y, z,t)
1 . 标量场的等值面
等值面: 标量场为同一数值的点在空间形成 的曲面。
u u dx u dy u dz
o
y
l x dl y dl z dl
x
dx cos, dy cos , dz cos
dl
dl
dl
在直角坐标系中
u u cos u cos u cos
l x
y
z
例题 求数量场 u x2 y2 在点M(1, 1, 2)处 z
沿 l eˆx 2eˆy 2eˆz 方向的方向导数。
所谓矢量线，乃是这样一些曲线，在曲线上的每一 点处， 场的矢量都位于该点处的切线上。
如：静电场的电力线、磁场的磁 力线、流速场中的流线等
矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表 该处矢量场的方向
矢量线的方程为 A dr 0在直角坐标系中，其表达式为
A eˆx Ax eˆy Ay eˆz Az
dr eˆxdx eˆydy eˆzdz
dr
r r dr
A 与 dr共线
A// dr
力线方程
例
求矢量场 A =xy2eˆx +x2yeˆy +zy2eˆz 的矢量线方程。
解： 矢量线应满足的微分方程为
dx dy dz xy 2 x2 y y2 z
xdyx2 xd2yy
从而有
dx xy 2
eˆ
z
z
grad u u
grad
u=
eˆx
x
eˆy
y
eˆz
z
u
u
z
梯度的性质
geˆrad u G u eˆ u eˆ u 方 x x y y z z 向
l
方向导数等于梯度在该方向上
角o
y
的投影即
u l
u eˆl
x
u u cos u cos u cos
l x
y
z
标量场中每一点处的梯度，垂直于过该点 的等值面，且指向函数增大的方向。也就 是说，梯度就是该等值面的法向矢量。
证：
gradr
r
r x
eˆx
r y
eˆy
r z
eˆz
r x2 y2 z2
x
x
x x
x2 y2 z2 r
r x2 y2 z2
y
y
y y
x2 y2 z2 r
所以
r x2 y2 z2
z
z
z x
x2 y2 z2 r
gradr
r
x eˆ rx
y r
eˆ
y
z eˆ rz
eˆ y
z r3
eˆ z
Dx
qx
4 r3
,
Dy
qy
4 r3
,
Dz
qz
4 r3
D x x
q
4
r2 3x2 r5
Dy q r 2 3y2
y 4 r5