复数的向量表示PPT课件
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复数的概念及复数的几何意义ppt课件
几何意义
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数 。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平 面上表现为向量的合成与 分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数 。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平 面上表现为向量的合成与 分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。
复数的向量表示
例2.复数z
sin
3
i cos
6
,则 z
6
__2___
例3.复数z=4+ti的模小于5,则实数t的取值范围是_________. -3 < t < 3
例4.已知实数m满足不等式│log2m+4i│≤5,
则m的取值范围是_________. 1 m 8 8
Copyright © Sino-i Technology Limited All rights reserved
(1)|z|=4;
(2)2<|z|<4.
y
y
o
x
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o
x
Sino-i Technology Ltd.
1.IT复SM平/ IT面IL 问题
例1.当实数m为何值时,复数
(m2-
8m+15)+(m2+3m-28)i 在复平面中的对应点: (1)位于第四象限;
5.2 复数的向量表示 ITSM / ITIL
任何一个复数z = a + bi ,都可以由一个有序实数对( a , b) 唯一确 定;有序实数对( a , b) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的.
复数z = a + bi 可用点Z(a,b)表示,这个建
y
立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复
平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴.
(1)若z1 z2 ,求的值;
6
(2)若z1 z2 ,求的值. Copyright © Sino-i Technology Limited All rights reserved
2024届新高考一轮复习人教A版 第5章 第5讲 复数 课件(53张)
的点位于( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(4)(2022·浙 江 卷 ) 已 知 a ， b ∈ R ， a ＋ 3i ＝ (b ＋ i)i(i 为 虚 数 单 位 ) ， 则
( B) A．a＝1，b＝－3
B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3
D．a＝1，b＝3
(5)(2022·全国甲卷)若 z＝1＋i，则|iz＋3 z |＝( D )
＝ －42＋－32＝5，故选 B.
解法二：依题意可得 i2·z＝(3－4i)i，所以 z＝－4－3i，则|z|＝
－42＋－32＝5，故选 B.
6．(2022·全国新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝( D )
A．－2＋4i
B．－2－4i
C．6＋2i
D．6－2i
[解析] (2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D.
－ 7．(2019·全国卷Ⅱ，2,5 分)设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点
位于( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 由题意，得－z ＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－
2)，位于第三象限，故选 C.
考点突破 · 互动探究
考点一
复数的基本概念——ห้องสมุดไป่ตู้主练透
题组二 走进教材
2．(必修2P73T2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a 的值为( B )
A．1
B．2
C．1或2
D．－1
[解析] 依题意，有aa2－－13≠a＋0，2＝0， 解得 a＝2.故选 B.
7.1复数的概念PPT课件(人教版)
若a, b, c, d R,
a bi c di
典型例题
例2 已知(2 x 1) i y (3 y)i ，其中x, y R
求 x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
讲 课
2x 1 y 1 (3 y)
解得 x 5 , y 4
2
人
：
邢
启 强
8
巩固练习
⑴已知 x y x 2y i 2x 5 3x y i ,
2.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”C
的( )
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所
对应的点位于第二、四象限，求实数m的取值范
围.
讲
m 3 m 2或1 m 2
y 5
5
O
x
–5
16
巩固练习 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i
求证:对一切实数m，此复数所对应的点不可 能位于第四象限.
解题思考：
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
讲
课
人
：
邢
启 强
17
课堂小结
知识点：
1.虚数单位i的引入； 复数的代数情势:
7.1 复数的概念
复数的几何意义
新课引入 数系的扩充与复数的概念
自然数 用图形表示数集包含关系：
数
23?
系
正有理数
的 扩
a bi c di
典型例题
例2 已知(2 x 1) i y (3 y)i ，其中x, y R
求 x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
讲 课
2x 1 y 1 (3 y)
解得 x 5 , y 4
2
人
：
邢
启 强
8
巩固练习
⑴已知 x y x 2y i 2x 5 3x y i ,
2.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”C
的( )
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所
对应的点位于第二、四象限，求实数m的取值范
围.
讲
m 3 m 2或1 m 2
y 5
5
O
x
–5
16
巩固练习 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i
求证:对一切实数m，此复数所对应的点不可 能位于第四象限.
解题思考：
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
讲
课
人
：
邢
启 强
17
课堂小结
知识点：
1.虚数单位i的引入； 复数的代数情势:
7.1 复数的概念
复数的几何意义
新课引入 数系的扩充与复数的概念
自然数 用图形表示数集包含关系：
数
23?
系
正有理数
的 扩
复数的概念_课件
复数的几何意义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个 复数叫做互为共轭复数(conjugate complex number).虛部不 等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用z表 示，即如果z=a+bi.那么z=a-bi.
若z1，z2是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎 样的关系?
数组成呢？
a＋bi（a，b∈R
2.把形如a＋）bi（a，b∈R）的数叫做复数，全体复数所成
的集合叫做复数集，记作C，那么复数集如何用描述法表示？
C＝{a＋bi|a，b∈R}
复数的概念
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形 式叫做复数的代数形式，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚 部。
思考：在复平面内，原点(0，0)，点(2，0)，点(0，－1)，点(-2 ，3)所表示的复数分别是什么？0，2，－i，－2＋
3i.
复数的几何意义
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示， 面有序实数对与复数是一一对应的。你能用平酉向量来表示复数嘿?
1.设复数z1=4+3i, z2=4-3i, (1)在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量; (2)求复数z1，z2的模，并比它们的模的大小.
关于x轴对称
1.说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小方格的边长为 1).
B
D
D
总结 复数的概念
数系的扩充与复数的引入
复数的基本概念和组成部 分
复数和有序数对的对应关 系
数系每次扩充的基本原则： 第一，增加新元素； 第二，原有的运算性质仍然成立； 第三，新数系能解决旧数系中的矛盾 。
我们设想引入一个新数，用字母i表示，使这个数是－1的平方根 ，即 i2＝－1，那么方程 ＋1＝0的根是什么？
2024届新高考一轮复习北师大版 第5章 第4节 复数 课件(50张)
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第五章 平面向量、复数 第四节 复 数
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2. 了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用 点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表 示.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加，相减的几 何意义．
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内容
意义
复数 a＋bi(a，b∈R) 复数的
分类
复数相 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b， 等 c，d∈R)
备注
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内容
意义
若两个复数的实部_相__等_，而虚部互
共轭复 为相__反__数__，则称这两个复数互为共
数 轭复数．复数 z 的共轭复数用 z 表
示．
备注
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2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；11＋ －ii ＝i；11－ ＋ii ＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi).
－ (3)z·z
＝|z|2＝|－z
|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，zz12
＝||zz12||
任意两个复数 a＋bi 和 c＋di(a，b，c，d∈R)，(a＋bi)(c＋di)＝ _______(a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i_________．
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5．复数的除法 对任意的复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数 z2＝c＋di(c，d∈R)，则zz12 ＝ac＋＋dbii ＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝acc2＋＋db2d ＋bcc2＋－da2d i.
第五章 平面向量、复数 第四节 复 数
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2. 了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用 点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表 示.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加，相减的几 何意义．
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内容
意义
复数 a＋bi(a，b∈R) 复数的
分类
复数相 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b， 等 c，d∈R)
备注
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内容
意义
若两个复数的实部_相__等_，而虚部互
共轭复 为相__反__数__，则称这两个复数互为共
数 轭复数．复数 z 的共轭复数用 z 表
示．
备注
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2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；11＋ －ii ＝i；11－ ＋ii ＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi).
－ (3)z·z
＝|z|2＝|－z
|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，zz12
＝||zz12||
任意两个复数 a＋bi 和 c＋di(a，b，c，d∈R)，(a＋bi)(c＋di)＝ _______(a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i_________．
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5．复数的除法 对任意的复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数 z2＝c＋di(c，d∈R)，则zz12 ＝ac＋＋dbii ＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝acc2＋＋db2d ＋bcc2＋－da2d i.
复数PPT课件
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数 Z m 2 m 2 ( m 2 1 ) i是
（1）实数;（2）虚数 ;（3）纯虚数.
(1)m1; (2)m1; (3)m2.
4、复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就
说这两个复数相等．即如果 a,b,c,dR ，那么
a b i c d i a c ,b d
特别地，a+bi=0 a0,b0. 注： 两个复数（除实数外）只能说相等或不相 等，而不能比较大小.
5、共轭复数
实部相等,虚部互为相反数的两个复数 互为共轭复数.
第
①解决实际问题的需要 由于计数的需要产生了自然数；为了表示具
有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的 需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如 正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生 了无理数（既无限不循环小数）。
②解方程的需要。
为了使方程 x+5=3 有解，就引进了负数； 为了使方程 3x=5 有解，就要引进分数；为了 使方程 x2=2 有解，就要引进无理数。
二、实数集的进一步扩展
——— 数集的第四次扩展（R→?） 问题2 : 解方程 x²= - 2
x 2i,x2i
问题3 解方程 (x +1)²=-2
x 12 i,x 12 i
二、复数
1、复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位. 全体复数所成的集合叫做复数集,C表示
复数的几何意义 课件(2)-人教A版高中数学必修第二册(共25张PPT)
[跟踪训练 2]
1、在复平面内,A,B,三点对应的复数分别为1,2＋i,－1＋2i. （1）求向量 ―A→B ，―A→C ，―B→C 对应的复数； （2）若ABCD为平行四边形,求D对应的复数．
解析（1）设 O 为坐标原点，由复数的几何意义知： ―O→A ＝(1,0)，―O→B ＝(2,1)，―O→C ＝(－1,2)， 所以―A→B ＝―O→B －―O→A ＝(1,1)， ―A→C ＝―O→C －―O→A ＝(－2,2)，―B→C ＝―O→C －―O→B ＝(－3,1)， 所以―A→B ，―A→C ，―B→C 对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－
[跟踪训练 1]
1、实数 x 取什么值时，复平面内表示复数 z＝x2＋x－6 ＋(x2－2x－15)i 的点 Z： (1)位于第三象限； (2)位于直线 x－y－3＝0 上．
解析 因为 x 是实数，所以 x2＋x－6，x2－2x－15 也是实数．
x2＋x－6<0，
(1)当实数 x 满足
即－3<x<2 时，点 Z 位于第
自主预习,回答问题
阅读课本70-72页,思考并完成以下问题
1、复平面是如何定义的,复数的模如何求出？ 2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实 数还是虚数？
要求：学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问 题。
知识清单
1．复平面
2．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 2复数 z＝a＋bia，b∈R
x2－2x－15<0，
三象限．
(2)当实数 x 满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即 3x＋6＝0，
x＝－2 时，点 Z 位于直线 x－y－3＝0 上．
《复数基础知识》课件
02
计算方法：利用三角函数的加Байду номын сангаас公式 和减法公式可以计算出复数的乘积和 商。
03
应用：复数的乘除运算是复数运算的 基本法则之一，它们在解决实际问题 中具有广泛的应用。
03
复数的应用
在电路分析中的应用
总结词
利用复数表示交流电的各种参数，如电压、电流、阻抗等，简化计算过程。
详细描述
在电路分析中，许多参数如电压、电流、阻抗等都是时间的函数，具有频率和相 位。利用复数表示这些参数，可以将实数和虚数部分合并，方便进行计算和比较 。通过复数运算，可以快速得到电路的响应，简化计算过程。
在信号处理中的应用
总结词
利用复数进行信号的频谱分析和滤波器设计。
详细描述
在信号处理中，频谱分析和滤波器设计是常见的任务。复数可以用于表示信号的频谱，使得频谱分析变得简单直 观。同时，利用复数进行滤波器设计，可以方便地实现低通、高通、带通等不同类型的滤波器。通过复数运算， 可以快速得到滤波器的响应，提高信号处理的效率。
利用复数的模和辐角，可以将任意复 数转换为三角形式。
复数的模与辐角
定义
复数的模定义为 $sqrt{a^2 + b^2}$， 辐角定义为 $arctan(frac{b}{a})$， 当$a > 0$时，辐角在 第一象限；当$a < 0$ 时，辐角在第三象限。
计算方法
利用勾股定理和反正切 函数可以计算出任意复 数的模和辐角。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和 稳定性分析通常需要用到复数，以 描述系统的动态特性。
05
复数与实数的关系
复数与实数的转化关系
实数轴上每一个点都 可以对应一个复数， 反之亦然。
【课件】复数的几何意义+课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
此类问题可根据复数的实部与虚部 应满足的条件列出方程(组)，通过 解方程(组)或不等式(组)求解.
跟踪训练1 求实数m分别取何值时，复数z＝(m2－m－2)＋ (m2－3m＋2)i(m∈R)对应的点Z满足下列条件： (1)在复平面内的x轴上方；
解 ∵点Z在x轴上方， ∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2.
例2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对
应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
解 记O为复平面的原点， 由题意得O→A＝(2,3)，O→B＝(3,2)，O→C＝(－2，－3). 设O→D＝(x，y)，则A→D＝(x－2，y－3)，B→C＝(－5，－5). 由题意知，A→D＝B→C，所以xy－－23＝＝－－55，， 即xy＝＝－－32，， 故点D对应的复数为－3－2i.
D.4
解析 ∵z＝(x＋1)＋(x－3)i，x∈R， ∴|z|＝ x＋12＋x－32＝ 2x2－4x＋10 ＝ 2x－12＋8≥ 8＝2 2(当且仅当 x＝1 时取等号). ∴|z|的最小值为 2 2.
(2)已知复数 z1＝x2＋ x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，对于任意 x∈R 均有|z1|>|z2| 成立，则实数 a 的取值范围是___－__1_，__12_ __.
知识梳理
1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴， y轴叫做 虚轴 ，实轴上的点都表示 实数 ；除了 原点 外，虚轴上的 点都表示 纯虚数 . 2.复数集C中的数和复平面内所有的点组成的集合是 一一对应 的， 即复数z＝a＋bi ←一――一――对――应→ 复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种 几何意义.
2.方法归纳：待定系数法、数形结合. 3.常见误区：虚数不能比较大小，虚 数的模可以比较大小.
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当复数 z 0 时，以实轴的正半轴为始边，
o
向量 OZ 为终边的角 叫做复数z a bi 的辐角．
ax
非零复数z a bi 的辐角都有无穷多个，其中区间[0,2 ) 内的辐角叫做
辐角主值，记作 arg z．
11
动脑思考 探索新知
当复数 z a bi 0 时，辐角可以由对应点Z(a,b) 的位置确定，分为 如下两种情况：
意知
z2 12 (1)2 2．
又 所以
tan 1 1,
1
arg
z2
π． 4
14
巩固知识 典型例题
例5 求下列各复数的模与辐角主值． (1)z1 1 3i；(2)z2 1i；(3)z3 2 i；(4)z4 5i．
（3）由 a 2,b 1 知点Z3( 2, 1)在第三象限，故辐角为第三象限的角．
向量 OZ 的模叫做复数 z a bi 的模，记做 z 或 a bi ，即 z a bi OZ a2 b2．
一般地，复平面内表示一对共轭复数 z a bi和z a bi 的点 Z(a，b) 和Z (a， b) 关 于实轴对称.
y
z1(3,4)
4
3
2
1
-3
o -2 -1
-1
-2
-3
z3 (0 , 2) z4 (3, 0)
1 23 x
z2 (3, 4)
-4
7
动脑思考 探索新知
如图所示，设复平面内的点Z（a，b）表示复数 z a bi，以原点
O为始点，点Z为终点作位置向量 OZ ，那么向量 OZ 由点Z唯一确定；
反之，点Z（a，b）（即复数 z a bi ）
y
也可以由向量 OZ 唯一确定. 于是复数
b
Z(a,b)
z a bi 量对应），因此， 复数 z a bi 可用向量 OZ 表示．
b
Z(a,b)
Ｏ
a
x
5
巩固知识 典型例题
例1 用复平面内的点表示复数：
y
z1(3,4)
4
z1 3 4i，z2 3 4i，z3 2i，z4 3．
3
2
解 如图所示，表示复数 z1 的点是 Z1(3，4)，
1
表示复数 z2的点是 Z2 (3， 4)，
-3
o -2 -1
o
ax
8
巩固知识 典型例题
例2 用向量表示下列复数：
z1 1 2i，z2 3 i，z3 1.5i，z4 2．
解 如图所示，向量OZ1、OZ2、OZ3、OZ4
分别表示复数 z1、z2、z3、z4．
-3 -2
y
2
z1
1
-1
o1
z4
2x
z2
-1
z -1.5 3
-2
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运用知识 强化练习
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第7章 复数
§7.3 复数的向量表示
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2
创设情境 兴趣导入
任何一个实数a都可以用数轴上的一个点表示． 例如，实数1.5可以用数轴上的点A表示
3
动脑思考 探索新知
一.复数的向量表示 由复数相等的定义知，任何一个复数 z a bi(a，b R) 都对应唯一的有序
指出图中各点所表示的复数．
10
动脑思考 探索新知
二.复数的模和辐角
向量 OZ 的模叫做复数 z a bi 的模（如图），记做 z 或 a bi ，
即 z a bi OZ a2 b2
y
特别地，当b=0时，z=a，于是 z a ，此
b
Z(a,b)
时z的模等于实数a的绝对值.
o
Z(a,b)
ax 12
巩固知识 典型例题
例3 求下列各复数的模与辐角主值．
(1)z1 1 3i；(2)z2 1i；(3)z3 2 i；(4)z4 5i．
解 （1）由a 1，b 3 知点 Z1(1，3) 在第一象限，故辐角为第一象限 的角．由题意知
z1 12 ( 3)2 2．
又
tan 3 3，
1
所以
arg
z1
π． 3
13
巩固知识 典型例题
例4 求下列各复数的模与辐角主值． (1)z1 1 3i；(2)z2 1i；(3)z3 2 i；(4)z4 5i．
（2）由a 1,b 1知点 Z2(1，1) 在第四象限，故辐角为第四象限的角．由题
（4）由 a 0,b 5 0 知，
z4
02
52
5，arg z4
π． 2
16
运用知识 强化练习
求下列复数的模和辐角主值．
(1)z1 4 4i；(2)z2 25i．
(1)z1 3 i；(2)z2 4．
17
自我反思 目标检测
什么叫做复数的模？如何求复数的模？
-1
表示复数z3的点是 Z3(0，2)， 表示复数 z4 的点是 Z4 (3，0)．
-2 -3
z2 (3, 4)
-4
z3 (0 , 2) z4 (3, 0)
1 23 x
6
巩固知识 典型例题
在例1中，z1 3 4i 与 z2 3 4i 是 共轭复数，它们所对应的点 Z1与 Z2 关于 实轴对称．
（1）当点 Z(a,b)在某个象限内时，其辐角可以由 tan b 和点Z(a,b)
a
所在的象限确定；
（2）当点Z(a,b) 分别在正半实轴、负半实轴、正半虚轴或负半虚轴上
时，其辐角分别为0、π、π 、 π ．
22
y
当复数 z a bi 0时，对应的向量是零向量，辐角可以取任意值. b
实数对(a，b)，而有序实数对(a，b)又对应直角坐标平面内的唯一的一个点Z ， 其坐标为(a，b)。
于是，复数 z a bi(a，b R) 可以用直角坐标系中的点Z(a，b)表示．
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（如图）. b
Z(a,b)
Ｏ
a
x
4
动脑思考 探索新知
在复平面内，x轴上的点都表示实数，y轴 上除去原点以外的点都表示纯虚数，因此，一 般将x轴称为实轴，y轴称为虚轴.
由题意知 又 所以
z3 ( 2)2 (1)2 3,
tan 1 2 ,
2 2 arg z3 35.3 180 144.7.
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巩固知识 典型例题
例6 求下列各复数的模与辐角主值． (1)z1 1 3i；(2)z2 1i；(3)z3 2 i；(4)z4 5i．