《期望值法》课件1
《数学期望》课件
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
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连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
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目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
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引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
风险投资中的期望值法
风险投资中的期望值法国内风险投资的发展历史不长,而且由于客观环境的特殊性,使国内风险投资存在一定的先天不足.中国风险投资缺乏相关的规范化法律制度环境,同时又缺乏合格的专业风险投资人才,更缺乏风险投资的经验.这些都使中国风险投资项目的风险表现出一定的特殊性,因而就对投资项目的风险决策提出了特殊的要求,风险决策中的期望值法便是处理风险投资问题常用的方法,该方法是:当风险事故发生的概率己知或可以估计时,对各种风险事故给出处理方案,先分别计算出每种方案收益(损失)的期望值,然后择其期望值最大(最小)的方案为最优决策方案.即根据每个方案的期望收益(或损失)来对方案进行比较,从中选择期望收益最大(或期望损失最小)的方案.收益大小和损失风险是损益函数的加权平均,其中权为状态发生的概率,概率的加权平均为期望值.下面就单级风险决策和多级风险决策进行讨论:一,单级风险决策单级风险决策是指一步做出最终决断的决策.通常采用的方法是收益表法,即计算出各种方案的期望值填入一个表中,用表格化讨论,比较,选择最优方案的过程.下面通过实例来分析这种方法:例某投资者有10万元,现有两种投资方案:一是购买股票,二是存入银行获取利息.买股票的收益主要取决于经济形势,假设可分为三种状态:形势好,形势中等,形势不好(即经济衰退),若形势好可获利40000元;形势中等可获利10000元l形势不好要损失2000元.如果是存入银行,假设年利率为8%,即可得利息8000元.又设年经济形势好,中等,不好的概率分别为30%,50%和20%,试问该投资者应选择哪一种投资方案?分析购买股票的收益与经济形势有关,存入银行的收益与经济形势无关.因此,要确定选择哪一种方案,就必须首先通过计算这两种投资方案对应的收益期望值E来进行判断.一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示:从上表可以初步看出,如果购买股票在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的,但如果经济形势不好,则采取存入银行的方案比较好,下面通过计算加以分析:如果购买股票,收益的期望值E.=40000×0,3+10000×0,5+(一20000)×0,2=13000(元);如果存入银行,收益的期望值E2=8000×0,3+8000×0,5+8000×0,2=8000(元).因此,购买股票的收益比存入银行的收益大,按最大利益原则应选择购买股票.不过购买股票的方案在经济形势好和经济形势中等的收益自然是高,但若出现经济形势不好,岂不损失惨重. 购买股票状态经济形势好经济形势中等经济形势不好概率0.30.50.2收益40000.10000—20000存入银行状态经济形势好经济形势中等经济形势不好概率0.30.50.2收益800080008000集团经济研究2006?5月上旬刊第229期)1lIII}■■I镶t石因此,从风险小的角度出发,无论如何都能收益8000元, 似乎存入银行方案更优越些.从采用该方案的实际权益与采取能获得最高收益的方案时收入比较的差额考虑,分析购买股票和存入银行两种方案孰优孰劣.由此可以得到,一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的损失与概率如下表所示:购买股票经济形势好0.332000经济形势中等0.5存八}R行经济形势中等0.520000.2经济形势不好0.2如果购买股票,风险的期望值E3=0X0.3+0X0.5+28000X0.2=5600(元)f如果存入银行,风险的期望值E4=32000X0.3+2000X0.5+0X0.2=10600(元).所以按损失风险最小的标准,也还是应选择购买股票.到底应如何决策?我们认为真正选择哪种决策是与决策者的性格和心理素质有关.若偏爱风险,可选择选择购买股票(利润期望值最大,同时损失风险也较大);若偏爱保守,可选择存入银行(损失风险小,同时利润期望值也最小).实际上,若兼顾两者,利润的期望值和损失风险都介于最小和最大之间.二,多级风险决策在实际中很多决策往往是多步决策,即每走一步选择一个决策方案,下一步的决策取决于上一步的决策结果.这类决策问题常采用的方法是决策树法.利用决策树对多级风险决策问题进行分析也是依据期望值准则,具体做法是:先从树的末梢开始,计算出每个状态点的期望收益,然后将其中的最大值标在相应的决策点旁.决策时,根据期望收益最大的原则从后向前进行"剪枝",直到最开始的决策点,从而得到一个多级决策的完整的决策方案.例某开发公司拟承包一企业新产品的研制开发任务,但为得到合同必须参加投标.己知投标的准备费用为4000元,中标的可能性为40%.如果不中标,准备得不到补偿.如果中标,可采用两种方法进行研制开发,方法一成功的可能性为80%,费用为26000元;方法二成功的可能性集团经济研究2OO6?5月上旬刊(总第229期)为50%,费用为16000元.如果研制开发成功,该公司可得到60000元,如果未研制开发成功,则该公司需赔偿10000 元.问题是要决策:(1)是否参加投标;(2)若中标了,采用哪种方法研制开发.分析:如下图所示的决策树-l000060000—10000D点处的期望收益值为:0.8X60000+0.2X(-10000)=46000E点处的期望收益值为:0.5X60000+0.5X(一10000)=25000由于46000-26000>25000-16000,故在C点处的决策为选择方法一,划去方法二,并将20000注在C点上.B点处的期望收益值为:0.4x20000+0.6x0=8000又因8000-4000=4000,故在A点处的决策为选择投标,划去代表不投标的边,并将4000注在A点上.计算结果表明该公司首先应参加投标,在中标的条件下应采用方法一进行开发研制,总期望收益为4000元. 无论是单级风险决策还是多级风险决策,其依据都是期望值准则.决策者们总是希望收益最大,损失最小.期望值法在风险决策中有着广泛的应用价值.实践证明,当风险决策问题较为复杂时,决策者在保持自身判断的条件下处理大量信息的能力减弱,在这种情况下,风险决策的分析方法可为决策者提供强有力的科学工具,以帮助决策作出决策,但不能代替决策者进行决策.因为在现实生活中风险决策还会受到诸多因素的影响,如决策者的心理因素,社会上诸多因素等,人们还需综合各方面的因素作出更加合理的决断(作者单位:河北衡水学院数学与计算机科学系)好湫经态率失态率失状摄损扶摄损。
第一节数学期望ppt
0
0
xe x e x dx 1 e x 1
0
0
0
概率论
3) 正态分布 N(, 2)
概率论
X ~ f (x)
1
( x )2
e , 2 2 x
2
E( X ) x
1
( x )2
Z是一维随机变量,则
(1) 若( X ,Y )是二维连续型,
概率密度为f ( x, y), 则有:
E(Z ) E[g(X ,Y )] g(x, y) f (x, y)dxdy
(2) 若( X ,Y )是二维离散型,
概率分布为P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1, 2,
一般是比较复杂的 .
概率论
2. 定理: 设Y是随机变量X的函数: Y=g(X) (g是连续函数)
(1) 当X为离散型时,它的分布律为P(X= xk)=pk,
(k 1,2,),若 g( xk ) pk绝对收敛，则有
k 1
E( X ) xk pk
k 1
(2) 当X为连续型时,它的密度函数为 f (x), 若
pk (1 p)nk
n!
pk (1 p)nk
k1 k !(n k)!
k1 (k 1)!(n k)!
n
np
(n 1)!
pk1 (1 p)n1(k1)
k1 (k 1)!(n k )!
n1
令l k 1 np
C
l n1
p
l
(1
p)n1l
g( x) f ( x)dx绝对收敛，则有
如何有效管控客户的期望值ppt课件
1
目录
有效管控客户期望值
1、客户期望值的概念 2、影响客户期望值的因素 3、分析客户需求，
1、管理客户期望值的影响因素 2、客户期望值的测量和管理
2
一、认识客户期望值
• 概念及影响因素 • 三种需求
3
1、客户期望值的概念 (重点）
客户期望值就是客户认为物业公司 提供的管理和服务应该达到的状态 和水平，它包括期望的内容、标准 （包括定量标准和定性标准）等。
对客户的期望值进行有效地排序：帮助客户认清 哪些是最重要的
达成协议
16
2.2.1 达成协议
确定客户接受的解决方案：您看这样可以 吗？
达成协议并不意味着一定是最终方案： “我很愿意帮助你，但是我的权力有限， 我会把您的信息传达到相关的部门，然后 他们会尽快地给您一个答复，您看行吗？”
说明你不能满足客户期望值的理由。 最后从情感上表达你要对客户的期望值的
理解。
19
案例：遗留问题的处理
客户服务人员的专业化培训 ★交房统一说辞 ★交房培训；特别是对细微工程问题的处理培训，如裂缝、空鼓
的建筑规范要求和标准，用规范解释、用情感沟通。 建立与售后服务的无缝连接
★地产售后对问题的处理方案、处理过程、结果及时反馈至物业服 务项目中心
管理等。
11
2、客户期望值的测量和管理
客户期望值管理的关键是承诺管理 客户期望并非不可控，它既是可测量的，
也是可管理的 客户期望值测量的目的是为了更加准确地
了解客户期望 期望值测量是方法，是工具，而不是目的
12
2.1 有效管理客户期望方法（重点）
13
-- 合理引导客户期望值的 方法
风险投资中的期望值法
风险投资中的期望值法国内风险投资的发展历史不长,而且由于客观环境的特殊性,使国内风险投资存在一定的先天不足.中国风险投资缺乏相关的规范化法律制度环境,同时又缺乏合格的专业风险投资人才,更缺乏风险投资的经验.这些都使中国风险投资项目的风险表现出一定的特殊性,因而就对投资项目的风险决策提出了特殊的要求,风险决策中的期望值法便是处理风险投资问题常用的方法,该方法是:当风险事故发生的概率己知或可以估计时,对各种风险事故给出处理方案,先分别计算出每种方案收益(损失)的期望值,然后择其期望值最大(最小)的方案为最优决策方案.即根据每个方案的期望收益(或损失)来对方案进行比较,从中选择期望收益最大(或期望损失最小)的方案.收益大小和损失风险是损益函数的加权平均,其中权为状态发生的概率,概率的加权平均为期望值.下面就单级风险决策和多级风险决策进行讨论:一,单级风险决策单级风险决策是指一步做出最终决断的决策.通常采用的方法是收益表法,即计算出各种方案的期望值填入一个表中,用表格化讨论,比较,选择最优方案的过程.下面通过实例来分析这种方法:例某投资者有10万元,现有两种投资方案:一是购买股票,二是存入银行获取利息.买股票的收益主要取决于经济形势,假设可分为三种状态:形势好,形势中等,形势不好(即经济衰退),若形势好可获利40000元;形势中等可获利10000元l形势不好要损失2000元.如果是存入银行,假设年利率为8%,即可得利息8000元.又设年经济形势好,中等,不好的概率分别为30%,50%和20%,试问该投资者应选择哪一种投资方案?分析购买股票的收益与经济形势有关,存入银行的收益与经济形势无关.因此,要确定选择哪一种方案,就必须首先通过计算这两种投资方案对应的收益期望值E来进行判断.一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示:从上表可以初步看出,如果购买股票在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的,但如果经济形势不好,则采取存入银行的方案比较好,下面通过计算加以分析:如果购买股票,收益的期望值E.=40000×0,3+10000×0,5+(一20000)×0,2=13000(元);如果存入银行,收益的期望值E2=8000×0,3+8000×0,5+8000×0,2=8000(元).因此,购买股票的收益比存入银行的收益大,按最大利益原则应选择购买股票.不过购买股票的方案在经济形势好和经济形势中等的收益自然是高,但若出现经济形势不好,岂不损失惨重. 购买股票状态经济形势好经济形势中等经济形势不好概率0.30.50.2收益40000.10000—20000存入银行状态经济形势好经济形势中等经济形势不好概率0.30.50.2收益800080008000集团经济研究2006?5月上旬刊第229期)1lIII}■■I镶t石因此,从风险小的角度出发,无论如何都能收益8000元, 似乎存入银行方案更优越些.从采用该方案的实际权益与采取能获得最高收益的方案时收入比较的差额考虑,分析购买股票和存入银行两种方案孰优孰劣.由此可以得到,一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的损失与概率如下表所示:购买股票经济形势好0.332000经济形势中等0.5存八}R行经济形势中等0.520000.2经济形势不好0.2如果购买股票,风险的期望值E3=0X0.3+0X0.5+28000X0.2=5600(元)f如果存入银行,风险的期望值E4=32000X0.3+2000X0.5+0X0.2=10600(元).所以按损失风险最小的标准,也还是应选择购买股票.到底应如何决策?我们认为真正选择哪种决策是与决策者的性格和心理素质有关.若偏爱风险,可选择选择购买股票(利润期望值最大,同时损失风险也较大);若偏爱保守,可选择存入银行(损失风险小,同时利润期望值也最小).实际上,若兼顾两者,利润的期望值和损失风险都介于最小和最大之间.二,多级风险决策在实际中很多决策往往是多步决策,即每走一步选择一个决策方案,下一步的决策取决于上一步的决策结果.这类决策问题常采用的方法是决策树法.利用决策树对多级风险决策问题进行分析也是依据期望值准则,具体做法是:先从树的末梢开始,计算出每个状态点的期望收益,然后将其中的最大值标在相应的决策点旁.决策时,根据期望收益最大的原则从后向前进行"剪枝",直到最开始的决策点,从而得到一个多级决策的完整的决策方案.例某开发公司拟承包一企业新产品的研制开发任务,但为得到合同必须参加投标.己知投标的准备费用为4000元,中标的可能性为40%.如果不中标,准备得不到补偿.如果中标,可采用两种方法进行研制开发,方法一成功的可能性为80%,费用为26000元;方法二成功的可能性集团经济研究2OO6?5月上旬刊(总第229期)为50%,费用为16000元.如果研制开发成功,该公司可得到60000元,如果未研制开发成功,则该公司需赔偿10000 元.问题是要决策:(1)是否参加投标;(2)若中标了,采用哪种方法研制开发.分析:如下图所示的决策树-l000060000—10000D点处的期望收益值为:0.8X60000+0.2X(-10000)=46000E点处的期望收益值为:0.5X60000+0.5X(一10000)=25000由于46000-26000>25000-16000,故在C点处的决策为选择方法一,划去方法二,并将20000注在C点上.B点处的期望收益值为:0.4x20000+0.6x0=8000又因8000-4000=4000,故在A点处的决策为选择投标,划去代表不投标的边,并将4000注在A点上.计算结果表明该公司首先应参加投标,在中标的条件下应采用方法一进行开发研制,总期望收益为4000元. 无论是单级风险决策还是多级风险决策,其依据都是期望值准则.决策者们总是希望收益最大,损失最小.期望值法在风险决策中有着广泛的应用价值.实践证明,当风险决策问题较为复杂时,决策者在保持自身判断的条件下处理大量信息的能力减弱,在这种情况下,风险决策的分析方法可为决策者提供强有力的科学工具,以帮助决策作出决策,但不能代替决策者进行决策.因为在现实生活中风险决策还会受到诸多因素的影响,如决策者的心理因素,社会上诸多因素等,人们还需综合各方面的因素作出更加合理的决断(作者单位:河北衡水学院数学与计算机科学系)好湫经态率失态率失状摄损扶摄损。
高二数学 期望值
2.（1）若 E(ξ)=4.5,则 E(－ξ)= -4.5 .
（2）E(ξ－Eξ)= 0
.
3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0
分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次
的得分ξ的期望为
．
0.7 (详细解答过程见课本例1)
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题
个数分别是 和η,则 ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，
所以Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5．
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验
中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩
的期望分别是 E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，
期望在生活中的应用广泛,见课本第72页例2.例3
例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个
选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选
或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为
0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选
择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.
一般地,
一般地：
对任一射手,若已知他的所得环数 的分布列，即已
知 P( i)(i 0,1, 2,L ,10), 则可以预计他任意n次射击的
平均环数是 0 P( 0)1 P( 1)L 10 P( 10) 记为E
我们称 E 为此射手射击所得环数的期望，它刻划了所 得环数随机变量 所取的平均值。
E(5η)＝5Eη＝5×5＝25． 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的
均值为90分的含义是什么?
人教版B版高中数学选修4-9(B版)期望值法
解：先求A,B两种产品成功的概率， P(A)=40/50=0.8,P(B)=35/50=0.7 E(A)=0.8*100+0.2*（-80）=64 E(B)=0.7*80+0.3*(-50)=41
E(A)>E(B) 所以投资A产品要好，因为平均获利水平高于B
自主练习
练习 某化工厂为扩大生产能力，拟定了三 种扩建方案以供决策：①大型扩建；②中型扩建； ③小型扩建。如果大型扩建，遇产品销路好，可 获利200万元，销路差则亏损60万元；如果中型 扩建，遇产品销路好，可获利150万元，销路差 可获利20万元；如果小型扩建，产品销路好，可 获利100万元，销路差可获利60万元。根据历史 资料，未来产品销路好的概率为0.7，销路差的 概率为0.3，试做出最佳扩建方案决策。
采用期望值法进行概率分析，一般需要遵循以 下步骤： 1、选用净现值作为分析对象，并分析选定与 之有关的主要不确定性因素。 2、按照穷举互斥原则，确定各不确定性因素 可能发生的状态或变化范围。
3、分别估算各不确定性因素每种情况下发生 的概率。各不确定性因素在每种情况下的概率， 必须小于等于1、大于等于零，且所有可能发 生情况的概率之和必须等于1。 这里的概率为主观概率，是在充分把握有关资 料基础之上，由专家学者依据其自己的知识、 经验经系统分析之后，主观判定作出的。
例2、生产A,B两种新产品各需资金200万元,试 制A产品50次，成功40次，如果生产成功,当年 可获利100万元,如果失败,将亏损80万元,试制 B产品50次，成功35次,如果生产成功,当年可 获利80万元,如果失败,将亏损50万元。分别求 出投资生产A，B两种产品的期望值。并根据计 算结果说明投资哪种产品比较?
状态
方案
概率
《数学数学期望》ppt课件
1500x2 x3 15002
/
3
3000 1500
500 2000 1000 1500
例: 由5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为
1) 若将5个装置串联成整机，求整机寿命N的数学期望； 2) 若将5个装置并联成整机，求整机寿命M的数学期望；
解： 的分布函数为
例4 设X~U(a, b), 求 E(X).
解
X的概率密度为
f
(x)
b
1
a
,a
x
b
0, 其它
E(X)
xf ( x)dx
b
x
dx a b
a ba
2
例5 设X服从指数分布，其概率密度为
ex ,
f (x) 0,
求 E(X )
x0
( 0)
x0
E(X)= 1/
例4.1.4 假定乘客在公交车站等车的 时间 X ( 分钟) 服从参数 0.2 的指数分布，
N
NN
N
由于概率是频率的稳定中心，以E( X甲）表示甲的平均击
中环数, 则 E（X甲） 8 0.3 9 0.110 0.6 9.3
E（X乙） 8 0２. 9 0５. 10 0３. 9.1,
由于 E（X甲）>E（X乙）, 故认为甲射手的水平较高。
可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。
定义 设离散型随机变量X的概率分布为
P{X = xk }= pk ， k =1,2,3…
若级数 xk pk ，则称级数和 xk pk
k 1
k 1
为随机变量 X 的数学期望（或均值），记作E（X）
E( X ) xk pk k 1
《数学数学期望》课件
CATALOGUE
目 录
• 数学期望的基本概念 • 数学期望的性质与定理 • 数学期望的应用 • 特殊随机变量的数学期望 • 数学期望的扩展与展望
01
CATALOGUE
数学期望的基本概念
定义与性质
定义
数学期望是随机试验在大量重复 下出现的频率的稳定值。
性质
数学期望具有可加性、可数性、 线性性质等。
分位数与分位数函数
分位数
分位数是概率论中的一个概念，用于描述数据分布的位置特征。常见的分位数包括中位 数、四分位数等。分位数的计算和应用对于统计分析、数据挖掘等领域具有重要意义。
分位数函数
分位数函数是描述分位数与概率之间关系的函数。通过分位数函数，可以更方便地理解 和应用分位数的概念，从而更好地分析数据的分布特征。
通过计算投资组合的数学期望， 投资者可以了解投资组合的预期
收益，并据此做出投资决策。
数学期望在金融学中还用于资产 定价、风险管理、资本预算和股
票期权定价等领域。
在决策理论中的应用
在决策理论中，数学期望被用来评估 不同决策方案的预期结果。
数学期望在决策理论中还用于风险决 策、不确定性决策和多目标决策等领 域，以帮助我们做出更加科学和合理 的决策。
大数定律与中心极限定理
大数定律
当试验次数趋于无穷时，随机事件的频率趋于该事件 发生的概率。即 limn→∞P(|En−E)/n→0P(|En−E)/n→0limn→∞P(|En −E)/n→0=1。
中心极限定理
无论随机变量X1,X2,…,XnnX_1, X_2, ldots, X_{nn}Xi1,Xi2,…,Xinn的分布如何，当它们的数量趋于 无穷时，它们的平均值的分布趋于正态分布。即 limn→∞P(|En−μ)/σ≤z)=1−12z2lim_{n to infty} P(|En−μ)/σ≤z|)=1−12z2limn→∞P(|En−μ)/σ≤z|)=1 −12z2，其中En=1n∑i=1nXiEn = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} X_iEn=n1∑i=1nXi，μ是随机变量的均 值，σ是标准差，z是正态分布的分位数。
4 第 一节 数学期望精品PPT课件
它的数学期望不存在
例3
按规定,某车站每天8 : 00 ~ 9 : 00 , 9 : 00 ~
10 : 00都恰有一辆客车到站 , 但到站的时刻是随机
的, 且两者到站的时间相互 独立 ,其规律为
8 : 10
到站时刻 9 : 10
8 : 30 9 : 30
8 : 50 9 : 50
概率 1
3
2
6
6
6
(1) 一旅客8：00到车站,求他候车时间的数学期 望
在这些数字特征中，最常用的是 期望、方差和协方差
第四章 随机变量的数字特征
数学期望 方差 协方差与相关系数
数学期望的引例
例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80，
75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60
7
90 1 85 2 80 2 75 1 60 1
例5 已知 X 服从0,2 上的均匀分布，求
Y sin X 的数学期望。
解
EY
E sin
X
sin
x
f
x
dx
因为
f
x
1
2
,
0 x 2；
0,
其它。
所以 E sin X 2 1 sin xdx 0
0 2
例6 设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为
2x, (0 x 1) f1(x) 0, 其它
如何计算随机变量函数的数学期望? 一种方法是，因为g(X)也是随机变量，
故应有概率分布，它的分布可以由已知的X 的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布， 就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
使用这种方法必须先求出随机变量函数 g(X)的分布，一般是比较复杂的 .
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例2：试用期望值决策法对表7.1.1所描述的风险型决 策问题求解。
表7.1.1 每一种天气类型发生的概率及 种植各种农作物的收益
天气类型 发生概率
农作物的收益/(千 元.hm-2)
水稻 小麦 大豆 燕麦
极旱年 0.1 10 25 12 11.8
第三讲《期望值法》
数学人教B版高中选修4-9《风险与决策》
期望值决策法及其矩阵运算
• 期望值决策法
对于一个离散型的随机变量X，它的数学期望为
n
E( X ) xi Pi i 1
(7.2.1)
式中:xi(n=1，2，…，n)为随机变量x的各个取值；Pi为x=xi的
概率，即Pi = P(xi)。
望益损值为
n
E(Bi ) ij Pj (i 1,2,m) j 1
如果引入下述向量
B1
B
B2
Bm
及矩阵
E(B1)
,E
(
B)
E
(B2
)
E(Bm )
11 12 1n
A 21
22
旱年 0.2 12.6 21 17 13
平年 0.4 18 17 23 17
湿润年 0.2 20 12 17 19
极湿年 0.1 22 8 11 21
解：(1) 方案：水稻B1，小麦B2，大豆B3，燕麦B4；
状态：极旱年θ 1 、旱年θ 2 、平年θ 3 、湿润年θ 4 、 极湿年θ 5；
方案Bi在状态θ j下的收益值aij看做该随机变量的取值。
(2)计算各个行动方案的期望收益值
E(B1)=100×0.1+126×0.2+180×0.4+200×0.2+220×0.1
=169.2(千元/hm2)
E(B2)=250×0.1+210×0.2+170×0.4+120×0.2+80×0.1=
167(千元/hm2)
E(B3)=120×0.1+170×0.2+230×0.4+170×0.2+110×0.1
=183(千元/hm2)
E(B4)=118×0.1+130×0.2+170×0.4+190×0.2+210×0.1
=164.8(千元/hm2)
(3)选择最佳决策方案。
因为E(B3)＝max{E(Bi)}＝183（千元/hm2）
所以，种植大豆为最佳决策方案。
表7.2.1 风险型决策问题的期望值计算
状态
2n
m1
m2
Байду номын сангаас
mn
则矩阵运算形式为
P1
,
P
P2
Pn
E(B) AP
例2：试用期望值决策法对第7章第1节中的例1所描述的风 险型决策问题求解。
在上例中，显然
B1
B
B2
B3
B4
0.1 0.2 P 0.4 0.2 0.1
极湿年 (θ 5) 0.1
22 8 11 21
期望收益 值E (B i )
16.92 16.7 18.3 16.48
期望值决策法的矩阵运算
假设某风险型决策问题，有m个方案B1，B2， …，Bm；有n个状态θ 1，θ 2，…,θ n，各状态的概率分 别为P1,P2,…,Pn。如果在状态θ j下采取方案Bi的益损 值 为 aij（i=1，2,…,m；j=1,2,…,n）, 则 方 案 Bi 的 期
10 12.6 18 20 22
25
21
17 12
8
12 17 23 17 11
11.8 13 17 19 21
0.1 0.2
0.4
16.92
16.7
18.3
0.2 0.1
16.48
由于E(B3)=max{E(Bi)}=183(千元/hm2)，所以该农场
100 126 180 200 220
A 250 210 170 120
80
120 170 230 170 110
118 130 170 190 210
运用矩阵运算法则,经乘积运算可得
E(B1)
E(B)
E
(
B2
)
AP
E
(
B3
)
E(B4 )
应该选择种植大豆为最佳决策方案。
The End
状态概率
各方案收 益值/千 元.hm-2)
水稻(B 1) 小麦(B 2) 大豆(B 3) 燕麦(B 4)
极旱年 (θ 1) 0.1
10 25 12 11.8
旱年 (θ 2) 0.2 12.6
21 17 13
平年 (θ 3) 0.4
18 17 23 17
湿润年 (θ 4) 0.2
20 12 17 19
随机变量x的期望值代表了它在概率意义下的平均值。 期望值决策法，就是计算各方案的期望益损值，
并以它为依据，选择平均收益最大或者平均损失最小
的方案作为最佳决策方案。
• 期望值决策法的计算、分析过程
① 把每一个行动方案看成是一个随机变量，而它在不 同自然状态下的益损值就是该随机变量的取值；
② 把每一个行动方案在不同的自然状态下的益损值与 其对应的状态概率相乘，再相加，计算该行动方案在概率 意义下的平均益损值；