数学建模-生物种群模型概述
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种群问题模型
2
(P2，M) M (M, ) + +
许可证的数量要小于
P t m
考虑到不可控因素数量为
P t P2 或许更好。
17
4.2.2.受年龄性别影响的种群模型
例2．人口增长的年龄结构模型
1.问题的提出 根据资料建立描述人口增长的模型，并对每 一个时间段和每一个年龄组，计算出相应的 总人口数（计算年限为19个5年的时间段）
P 0, P m, P M , P 1
mM mM , P2 , m 2 M 2 mM 3 3
m2 M 2 2mM mM , m2 M 2 mM 0 0
1 m M m M mM P 0 1 3 mM m M P M 1 1 P m 1 m mM M M m P2 1 M 1 P2 m, 1 1 m 3 m m2 mm M P2 1 m 1 P2 M 1 1 2 M M 3 M
dY F (Y ) dt T Y (t ) y1 (t ), y2 (t ), , yn (t ) 式中的向量值函数
F (Y ) f1 (Y ), f 2 (Y ),, f n (Y )
与自治微分方程类似，称使方程组 F (Y ) 0 的
* * * * T 解Y y1 , y2 ,, yn 为系统
第4章 种群问题模型
• 种群问题是指种群在数量或密度上随时间 的变化问题，有单物种种群和多物种种群 问题之分。 • Malthus模型和Logistic模型就是在历史上很 有名的研究人口增长的单种群数学模型的 案例，种群数学模型对种群生态学的发展 起到了难以估计的作用。
(P2，M) M (M, ) + +
许可证的数量要小于
P t m
考虑到不可控因素数量为
P t P2 或许更好。
17
4.2.2.受年龄性别影响的种群模型
例2．人口增长的年龄结构模型
1.问题的提出 根据资料建立描述人口增长的模型，并对每 一个时间段和每一个年龄组，计算出相应的 总人口数（计算年限为19个5年的时间段）
P 0, P m, P M , P 1
mM mM , P2 , m 2 M 2 mM 3 3
m2 M 2 2mM mM , m2 M 2 mM 0 0
1 m M m M mM P 0 1 3 mM m M P M 1 1 P m 1 m mM M M m P2 1 M 1 P2 m, 1 1 m 3 m m2 mm M P2 1 m 1 P2 M 1 1 2 M M 3 M
dY F (Y ) dt T Y (t ) y1 (t ), y2 (t ), , yn (t ) 式中的向量值函数
F (Y ) f1 (Y ), f 2 (Y ),, f n (Y )
与自治微分方程类似，称使方程组 F (Y ) 0 的
* * * * T 解Y y1 , y2 ,, yn 为系统
第4章 种群问题模型
• 种群问题是指种群在数量或密度上随时间 的变化问题，有单物种种群和多物种种群 问题之分。 • Malthus模型和Logistic模型就是在历史上很 有名的研究人口增长的单种群数学模型的 案例，种群数学模型对种群生态学的发展 起到了难以估计的作用。
数学建模生物种群模型(课件资料)
案例分析中，可以采用回归分析、时间序列分析等方法建立模型，并利用历史数据对模型进行验证和优化。
THANKS
感谢观看
06
生物种群模型的实践应用与案例分析
生物种群模型是数学建模的一个重要分支，用于描述生物种群随时间变化的规律和预测未来发展趋势。
实践应用中，生物种群模型可以帮助我们理解种群动态，预测种群数量变化，制定合理的资源利用和保护策略。
生物种群模型的应用范围广泛，包括野生动物、农作物、微生物等多种生物类型。
详细描述
Verhulst模型是在Logistic模型的基础上引入了一个额外的项，以考虑种群增长过程中的饱和效应。这个模型可以更好地描述种群数量的变化趋势，特别是在种群数量接近
总结词
Malthus模型假设种群增长是无限的，没有考虑到资源限制对种群增长的影响。该模型通过一个简单的微分方程描述种群数量的指数增长，但与实际情况相比，预测结果往往过于乐观。
详细描述
VS
描述种群数量变化趋势更为准确的模型
详细描述
Gompertz模型是一个改进的种群增长模型，它考虑了种群增长初期的缓慢和后期的加速增长趋势。该模型通过一个非线性的微分方程来描述种群数量的变化，可以更好地拟合实际数据，并给出更为准确的预测结果。
总结词
03
数学建模在生物种群模型中的应用
03
风险决策分析
根据决策者对不同方案的主观偏好和效用函数，选择最优方案。
效用决策分析
在多个目标之间进行权衡和取舍，选择最优方案。
多目标决策分析
通过时间序列分析，预测某种群在未来一段时间内的数量变化趋势。
种群数量预测
根据种群数量变化趋势，制定合理的资源分配方案，以实现种群数量的有效控制和管理。
THANKS
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06
生物种群模型的实践应用与案例分析
生物种群模型是数学建模的一个重要分支，用于描述生物种群随时间变化的规律和预测未来发展趋势。
实践应用中，生物种群模型可以帮助我们理解种群动态，预测种群数量变化，制定合理的资源利用和保护策略。
生物种群模型的应用范围广泛，包括野生动物、农作物、微生物等多种生物类型。
详细描述
Verhulst模型是在Logistic模型的基础上引入了一个额外的项，以考虑种群增长过程中的饱和效应。这个模型可以更好地描述种群数量的变化趋势，特别是在种群数量接近
总结词
Malthus模型假设种群增长是无限的，没有考虑到资源限制对种群增长的影响。该模型通过一个简单的微分方程描述种群数量的指数增长，但与实际情况相比，预测结果往往过于乐观。
详细描述
VS
描述种群数量变化趋势更为准确的模型
详细描述
Gompertz模型是一个改进的种群增长模型，它考虑了种群增长初期的缓慢和后期的加速增长趋势。该模型通过一个非线性的微分方程来描述种群数量的变化，可以更好地拟合实际数据，并给出更为准确的预测结果。
总结词
03
数学建模在生物种群模型中的应用
03
风险决策分析
根据决策者对不同方案的主观偏好和效用函数，选择最优方案。
效用决策分析
在多个目标之间进行权衡和取舍，选择最优方案。
多目标决策分析
通过时间序列分析，预测某种群在未来一段时间内的数量变化趋势。
种群数量预测
根据种群数量变化趋势，制定合理的资源分配方案，以实现种群数量的有效控制和管理。
数学建模生物种群模型
( t) c e c te x 11 12 y t t 1 1 t) c e c te ( 21 22
2019/2/27
t 1
t 1
p ( a d ), q ad bc
2 p p 4 q 1 ,2 2
f ( x0 , y0 ) 0 g( x0 , y0 ) 0
记为
P 0 (x 0, y 0)
2019/2/27
稳定与不稳定：如果存在某个邻域，使系统（1）的 解 (x 从这个邻域内的某一初值 (x (t),y (t)) ( 0 ),y ( 0 ))
出发，满足
lim x ( t ) x , lim y ( t ) y 0 0
的数学模型（Volterra模型）
（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C 。
( t ),x ( t ), x ( t ) 设 A，B，C t 时刻的密度分别为 x 1 2 3
假设：C 种群主要以A，B种群为食饵， A，B不 存在时，C 要逐渐绝灭，C 不是密度制约的； A， B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互
N 表示 t 时刻的种群数量，r 称
为内禀增长率。
r ( t t ) 0
N ( t ) N ( t ) e 0
2) 罗杰斯特(Logistic)模型
dN N r( 1 )N K表示该种群的最大容纳量。 dt K K N ( t) K N ( t) r ( t t) 1 N e ( t)
x ,y ), g ( x ,y ) ， 在平面区 假定方程组(1)的右端函数 f( 域 G 满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点 有唯一的轨线。
2019/2/27
生物数学模型第6讲 生物系统论-生物种群模型
a 记系数矩阵 A c b d
det A 0
系统（2）有唯一的平衡点（0，0）。
2018/10/10
记组(2)的系数矩阵构成的特征方程为：
a b D( ) 2 p q 0 c d (3)
其中 p (a d ), q ad bc
相互竞争、相互依存、弱肉强食。
三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的 数学模型。 这些模型用方程组表示，或用图形表示。
2018/10/10
记三个种群分别为
1
2
3
并约定 2
1）种群 1 供食于种群 2 表示为 1 2）种群 1 为密度制约可表示为 1 ）
3）种群 1 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组 成的系统）为生， 1 4）种群 1 与种群 2 相互竞争： 1
假定方程组(1)的右端函数 f ( x, y), g ( x, y) ， 在平面区 域 G 满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点 有唯一的轨线。
2018/10/10
平衡点 （Equilibrium） ：使得 f 2 ( x0 , y0 ) g 2 ( x0 , y0 ) 0 的点 ( x0 , y0 ) 为组(1)的平衡点，否则称为常点。 即 平衡点满足
C） B） A）
aij 0, i, j 1,2,3; ai 0 0, i 1,2,3
2018/10/10
说明下列微分方程组的生态意义
dx1 dt x1 (a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 (a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 (a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )
det A 0
系统（2）有唯一的平衡点（0，0）。
2018/10/10
记组(2)的系数矩阵构成的特征方程为：
a b D( ) 2 p q 0 c d (3)
其中 p (a d ), q ad bc
相互竞争、相互依存、弱肉强食。
三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的 数学模型。 这些模型用方程组表示，或用图形表示。
2018/10/10
记三个种群分别为
1
2
3
并约定 2
1）种群 1 供食于种群 2 表示为 1 2）种群 1 为密度制约可表示为 1 ）
3）种群 1 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组 成的系统）为生， 1 4）种群 1 与种群 2 相互竞争： 1
假定方程组(1)的右端函数 f ( x, y), g ( x, y) ， 在平面区 域 G 满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点 有唯一的轨线。
2018/10/10
平衡点 （Equilibrium） ：使得 f 2 ( x0 , y0 ) g 2 ( x0 , y0 ) 0 的点 ( x0 , y0 ) 为组(1)的平衡点，否则称为常点。 即 平衡点满足
C） B） A）
aij 0, i, j 1,2,3; ai 0 0, i 1,2,3
2018/10/10
说明下列微分方程组的生态意义
dx1 dt x1 (a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 (a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 (a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )
种群生态数学模型 环境生态学课件
x(2010)=306.0
种群的相互竞争
• 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相 互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝， 竞争力强的达到环境容许的最大容量。
• 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程， 分析产生这种结局的条件。
模型假设 • 有甲乙两个种群，它们独自生存
时数量变化均服从Logistic规律;
S1 : x1 0, x2 0 S2 : x1 0, x2 0 S3 : x1 0, x2 0
t x1, x2 t x1 , x2 t x1, x2
0
从任意点出发(t=0)的相轨
S1
•P1
线都趋向P1(N1,0) (t)
0
N1 / 2
N1 x1
P1(N1,0)是稳定平衡点
平衡点稳 定性的相 轨线分析
x1 (t )
r1 x1 1
x 1
N 1
1
x 2
N 2
x2 (t)
r2 x2 1 2
x1 N
1
x2 N
2
(x1,
x2 )
1
x1 N1
1
x2 N2
(x , x ) 1 x1 x2
12
N 2 1
N2
(1) 2>1, 1<1
x2 S3
N /
2
1
0
N2 S2
S1 : 0, 0
x 2
A
N 2
(2)
0
1>1,
2>1
有相轨线趋向A 有相轨线趋向B
A, B都不 (局部)稳定
N /
2
1
• P3
P1稳定的条件：直接法2>1
0
高中二年级下学期生物《种群“S”形增长的数学建模》模教学设计
种群“S”形增长的数学建模课题种群“S”形增长的数学建模教学目标 1.能阐述“S”形曲线形成的条件。
2. 能准确阐述环境容纳量的定义。
3. 能将K值和K/2值运用到生产生活当中。
教学重点 1. “S”形曲线形成的条件。
2. K值和K/2值的应用。
教学难点 1. “S”形曲线形成的条件。
教学方法利用课件通过举例分析实例构建“S”形曲线形成的原因及条件。
学法指导讲练结合、注重现象与本质的联系和推导教具（资料）多媒体课件板书设计一、“S”形曲线1.定义2.条件二、环境容纳量1.定义2.应用作业教学后记教学过程组织教学：引言：通过前面的学习，我们已经知道了在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有天敌和其他竞争物种等理想条件下，种群的数量每年将以一定的倍数增长，可是自然状态下，并不会呈现这样的理想条件。
那么在实际情况下，种群的数量又将怎么变化呢？这就是今天将要学习的内容。
新课：生态学家高斯曾经做过单独培养大草履虫的实验，在0.5ml培养液中放入5个大草履虫，每隔24h统计一次大草履虫的数量，将数据绘制成表格，同时为了更好的反映出在这段时间内种群数量增长的差异，可以将数据绘制成柱形图，而为了更好的反映出未来的一段时间内种群数量变化的趋势，将数据绘制成曲线图。
在第4天之前，种群的数量是一直增加的，在第5天左右，种群数量基本维持稳定。
像这样，种群经过一定时间的增长后，数量趋于稳定，增长曲线呈“S”形。
这种类型的种群增长称为“S”形增长。
结合前面学过的知识，种群的数量在增加，意味着出生率大于死亡率。
而随着种群数量越来越多，食物和空间的竞争趋于剧烈，导致出生率降低死亡率升高。
当死亡率升高至与出生率相等时。
种群的增长就会停止，有时会稳定在一定的水平。
其实刚刚的过程也是符合数学模型构建的过程的。
复习一下之前学过的步骤。
第一步观察研究对象，提出问题，第二步提出合理的假设，第三步根据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质进行表达，即建立数学模型，第四步通过进一步实验或观察等，对模型进行检验或修正。
第1讲生物数学建模简介.ppt
P (r, t) p(r,
t p(r,0) p0 (r)
t)
p(0, t) f (t)
p(rm , t) 0
→难!
模型求解
– 若假设 (r,t)=(r)
p(r, t )
p0 (r
r
t
)e
r
1
(
s
)
ds
,0
r
t
r
f (t r)e0 (s)ds , t r
➢ 模型分析(略)
r
p0
(r
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 • 可用于短期人口增长预测 • 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程
19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
不符合实际
符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
建模过程示意图
三、数学模型的分类
应用领域： 人口、生理、经济、生态 …
初等模型、几何模型、优化模型、微分方程
数学方法： 模型、图论模型、逻辑模型、统计模型等
表现特性： 确定和随机
离散和连续
静态和动态 线性和非线性
建模目的： 描述、优化、预报、决策 … …
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万）
1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4
r=0.2557, xm=392.1
阻滞增长模型(Logistic模型)
数学建模生物种群问题
所给参数，用数学软件编程计算. Mathematica
In [1] :=X=200.0; xs=75.0;x0=5.0;c=6.0. Alpha=0.5;beta= 1.0.gama= 1.5;
In [8] :=temp=gama*X/(X-xs)- (c*alpha+beta). Result=If[temp<0,X/alpha*Log [(c*alpha+beta)*(Xx0)/(gama*X)],X/alpha*Log [(X-x0)/(X-xs)]] Out[9] :=382.205
第九页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日
■ 假设 ：
■ 1.本模型只对某一 品种猪进行讨论 ，故设计猪 的性质的有关 参数均可视为固定的常数。
■ 2. 由于开始进行商业性饲养时已具有一定体重 ，所以可以假设猪的
体重增长的速度将不断减慢 。设反映猪体重增长速度的参数为a。
■ 3. 由于猪的体重越大 ，单位时间消耗的饲养费用就越多 ，达
第十五页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日
感谢大家观看
第十六页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日
第十三页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日
■ 由C dx/dt=dy/dt，
■ 有C e- 1 /xt0 (1-x0/X)=2 - βe- α /Xt0 (1-x0/X)
■ 解得t0=X/α ln (Cα+ β)(X-x0)/γX
■ 现考虑如下两种情况：
■ (1) t0>ts， 即 γX/（X-xs ） <Cα+ β ■ 这时猪应在t*=t0=X/α ln (Cα + β)(X-x0)/ γ X时售出 ■ (2) t0<=ts ， 即 γX/（X-xs)>=Cα+ β ■ 这时猪应在t*=ts=X/ α ln (X-x0)/(X-xs)时售出（因为
In [1] :=X=200.0; xs=75.0;x0=5.0;c=6.0. Alpha=0.5;beta= 1.0.gama= 1.5;
In [8] :=temp=gama*X/(X-xs)- (c*alpha+beta). Result=If[temp<0,X/alpha*Log [(c*alpha+beta)*(Xx0)/(gama*X)],X/alpha*Log [(X-x0)/(X-xs)]] Out[9] :=382.205
第九页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日
■ 假设 ：
■ 1.本模型只对某一 品种猪进行讨论 ，故设计猪 的性质的有关 参数均可视为固定的常数。
■ 2. 由于开始进行商业性饲养时已具有一定体重 ，所以可以假设猪的
体重增长的速度将不断减慢 。设反映猪体重增长速度的参数为a。
■ 3. 由于猪的体重越大 ，单位时间消耗的饲养费用就越多 ，达
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第十三页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日
■ 由C dx/dt=dy/dt，
■ 有C e- 1 /xt0 (1-x0/X)=2 - βe- α /Xt0 (1-x0/X)
■ 解得t0=X/α ln (Cα+ β)(X-x0)/γX
■ 现考虑如下两种情况：
■ (1) t0>ts， 即 γX/（X-xs ） <Cα+ β ■ 这时猪应在t*=t0=X/α ln (Cα + β)(X-x0)/ γ X时售出 ■ (2) t0<=ts ， 即 γX/（X-xs)>=Cα+ β ■ 这时猪应在t*=ts=X/ α ln (X-x0)/(X-xs)时售出（因为
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4）种群 1 与种群 2 相互竞争： 1 2
5）种群 1 与种群 2 互惠共存： 1 2
2021/3/24
如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系， 则三者关系有三种： 两个食饵种群，一个捕食者种群。 一个食饵种群，两个捕食者种群。 捕食链。
C
C
A
BA
B CBA
2021/3/24
下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两 种群间的影响都是线性的，建立其相互作用 的数学模型（Volterra模型）
（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C 。 设 A，B，C t 时刻的密度分别为 x1(t), x2 (t), x3 (t) 假设：C 种群主要以A，B种群为食饵， A，B不 存在时，C 要逐渐绝灭，C 不是密度制约的； A， B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互 竞争。图示如下：
2021/3/24
a11 0, a22 0 表示甲（乙）种群为密度制约； 3) a12 0, a21 0 表示甲、乙种群相互竞争； 4) a12 0, a21 0 表示甲、乙种群相互依存； 5) a12a21 0 表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。
2021/3/24
3 三种群的一般模型 三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但 建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中 每两个种群之间的关系仍可归结为：
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
2021/3/24
dx1
dt
x1 (a10
a11x1
a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2
2021/3/24
（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B ， C 。
dx1
dt
x1 (a10
a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23x3 )
A
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2
a33x3 )（
B
C）
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
生物种群模型
2021/3/24
生物种群模型
简介 种群(Population)：是指在特定时间里占据 一定空间的同一物种的有机体集合。 种群生态学： 主要研究种群的时间动态及调节机理。 种群分为单种群和多种群。
2021/3/24
1 单种群的数学模型：
1)马尔萨斯(Malthus)模型
dN rN N 表示 t 时刻的种群数量，r 称 dt
a33x3 )
A） B） C）
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
2021/3/24
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2
a23 x3 )
为内禀增长率。
N (t) N (t0 )er (tt0 )
2) 罗杰斯特(Logistic)模型
dN r(1 N )N K 表示该种群的最大容纳量。
dt
K
K
N (t)
1
K N (t0 ) N (t0 )
er (t t0 )
2021/3/24
3） 一般的种群模型
dN Nf (N ) dt
4) 开发了的单种群模型
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13 x3 )
C
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23 x3（)
A
B）
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2 )
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
相互竞争、相互依存、弱肉强食。 三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的 数学模型。
这些模型用方程组表示，或用图形表示。
2021/3/24
记三个种群分别为 1 2 3 并约定
1）种群 1 供食于种群 2 表示为 1
2
2）种群 1 为密度制约可表示为 1 ）
3）种群 1 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组 成的系统）为生， 1
C） B） A）
2021/3/24
说明下列微分方程组的生态意义
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2
a33x3 )
A） B） C）
2021/3/24
（3）捕食链：A是B的食饵， B是C的食饵。
dx1
dt
x1 (a10
a11x1
a12 x2 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23 x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a32 x2
a33 x3 )
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
r1
f1(x)
g1( y)
dy
ydt
r2
f2 (x)
g2 ( y)
线性化，得
dx dt
x(a10
a11 x
a12 y)
dy
dt
y(a20
a21 x
a22 y)
2021/3/24
dx dt
x(a10
a11 x
a12 y)
dy
dt
y(a20
a21 x a22 y)
1) a10 (a20 ) 表示甲（乙）种群的自然生长率； 2) a11 0, a22 0 表示甲（乙）种群为非密度制约，
2021/3/24
dx1
dt
x1 (0
a11x1 a12 x2
a13 x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a23 x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2 )
B
A） C
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
dN Nf (N ) h dt
具有常数收获率
dN Nf (N ) h(t) dt
具有时变收获率
2021/3/24
2 两种群的一般模型
两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种 情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。 设甲、乙两种群在 t 时刻的数量为 x(t), y(t) ，则
dx xdt