必备数学第一部分第五章第2节
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北师大版七年级数学上册第5章第2节求解一元一次方程课件
学习新课
问题1: ①什么是去括号法则 ? ②什么是乘法分配律 ?
问题1: ①什么是去括号法则 ? 1)括号前面是“+”号，把括号和它前面的 “+”号去掉，括号里各项都不变符号. 2)括号前面是“-”号，把括号和它前面的 “-”号去掉，括号里各项都改变符号． ②什么是乘法分配律 ? 两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数 分别同这个数相乘,再把两个积加起来,结果 不变。
议一议：视察上述两种解方 程的方法，说出它们的区分， 与同伴进行交流．
解方程
(1) 2(x-1)+3=3（x-1）
(2) 4( y 1) y 2( y 1) 2
归纳总结
问题5:解一元一次方程的一般步骤?
解一元一次方程,一般要通过 ①去分母, ②去括号, ③移项, ④合并同类项, ⑤未知数的系数化为1等 步骤； 1)去分母时注意不要漏乘，再者分母去掉了，分 数线变成了括号； 2)去括号要注意不要漏乘,再者注意符号变化问题; 3)移项注意变号； 4)合并同类项注意每一项都包括它前面的符号; 5)未知数的系数化为1注意未知数的系数做分母， 而不是做分子.
你来试试
5. 如果方程3x+2a=12和方程3x-4=2的解相
同，那么a=_3__.
6. 若m+2与2m-2不相等，则m不能为__4__.
7. 若x=0是方程2006x-a=2007x+3的解，那
么代数式-a+2的值是__5_.
8.如果方程6x+3a=21与方程3x+5=11的解
相同，那么a= （B ）
a (b+c) =ab+ac
去、添括号法则(口诀) 去括号、添括号，关键看符号； 括号前面是正号，去、添括号不 变号；
2024年秋新北师大版七年级上册数学教学课件 第五章 第2节第3课时 利用去括号解一元一次方程
方程两边都除以 5 ，得
移项、化简，得
5(x + 8)= 0 + 5 5(x + 8) = 5 x+8=1 x=–7
（6）2(3 – x)= 9；
（7） – 3(x + 3)= 24；
解：
去括号，得
移项，得
化简，得
方程两边都除以 -3 ，得
-3x -9 = 24 -3x = 24 + 9 -3x = 33 x =-11
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针对训练
小明爸爸现在的年龄是小明年龄的3倍，8年后，小明爸爸的年 龄比小明年龄的2倍还多4岁，那么小明现在的年龄是多少岁？
解：设小明现在的年龄是x岁，则小明爸爸现在的年龄是3x岁. 根据题意，得3x+8＝2(x+8)+4 解这个方程，得x＝12 答：小明现在的年龄是12岁.
随堂训练，课堂总结 1.解方程：【选自教材P145 习题5.2 第3题】
x + 4(x+0.5) = 20-3
问题2 (1)你还能列出不同的方程吗？ 如果设1瓶矿泉水y元 列出方程：（y-0.5）+4y=20-3
1袋牛奶价格+4瓶矿泉水价格=总价
1瓶矿泉水的价格-0.5 + 4瓶矿泉水的价格 = 给付的钱-找回的钱
（y-0.5）+ 4y = 20-3
(2)怎样解所列的方程？ 去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.
1. 教材P145习题5.2第3、4、11题 2. 《创优作业》主体本部分相应课时训练.
同学们，通过这节课的学习， 你有什么收获呢？
谢谢 大家
【选自教材P146 习题5.2 第11题】
解：设原来的两位数个位数字为x，十位数字为2x 根据题意，得10×2x+x-(10x+2x)=36 解这个方程，得x＝4 答：原来的两位数为84
人教版数学九年级上册必备数学第一部分第五章第2节-课件
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
（1）直线l和⊙O相离 d＞r. （2）直线l和⊙O相切 d=r. （3）直线l和⊙O相交 d＜r.
3. 切线 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线. （2）切线的主要性质： ①性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. ②切线和圆只有一个公共点. ③切线和圆心的距离等于圆的半径. ④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. ⑤经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
= =4. ∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°， ∴四边形OFED是矩形. ∴DE=OF=4.
考点演练 5. 如图1-5-2-7，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并 延长交⊙O于点C，连接AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是
( A)
A. 5 3
B.5 2
C.5
D. 5
2
6. 如图1-5-2-8，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B两 点)，AD⊥CD. (1)若BC=3，AB=5，求AC的值； (2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.
( C)
C. 相交
D. 无法确定
6. 一个点到圆的最小距离为3 cm，最大距离为8 cm，则该圆
的半径是 A. 5 cm或11 cm
B. 2.5 cm
( D)
C. 5.5 cm
D. 2.5 cm或5.5 cm
7. 若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A
与⊙O的位置关系是 A. 点A在圆外
∵AC是直径，∴∠APC=90°. ∴∠PQE=90°.∴PC⊥EF. 又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC. ∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC. ∴CE=CF. ∴PC为EF的中垂线.∴∠EPQ=∠QPF. ∵∠PEC=∠APC=90°,∴∠EPC=∠EAP. ∴∠CPF=∠EAP.∴∠CPF=∠OPA. ∵∠OPA+∠OPC=90°，∴∠CPF+∠OPC=90°. ∴OP⊥PF.∴PF是⊙O的切线.
（1）直线l和⊙O相离 d＞r. （2）直线l和⊙O相切 d=r. （3）直线l和⊙O相交 d＜r.
3. 切线 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线. （2）切线的主要性质： ①性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. ②切线和圆只有一个公共点. ③切线和圆心的距离等于圆的半径. ④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. ⑤经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
= =4. ∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°， ∴四边形OFED是矩形. ∴DE=OF=4.
考点演练 5. 如图1-5-2-7，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并 延长交⊙O于点C，连接AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是
( A)
A. 5 3
B.5 2
C.5
D. 5
2
6. 如图1-5-2-8，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B两 点)，AD⊥CD. (1)若BC=3，AB=5，求AC的值； (2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.
( C)
C. 相交
D. 无法确定
6. 一个点到圆的最小距离为3 cm，最大距离为8 cm，则该圆
的半径是 A. 5 cm或11 cm
B. 2.5 cm
( D)
C. 5.5 cm
D. 2.5 cm或5.5 cm
7. 若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A
与⊙O的位置关系是 A. 点A在圆外
∵AC是直径，∴∠APC=90°. ∴∠PQE=90°.∴PC⊥EF. 又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC. ∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC. ∴CE=CF. ∴PC为EF的中垂线.∴∠EPQ=∠QPF. ∵∠PEC=∠APC=90°,∴∠EPC=∠EAP. ∴∠CPF=∠EAP.∴∠CPF=∠OPA. ∵∠OPA+∠OPC=90°，∴∠CPF+∠OPC=90°. ∴OP⊥PF.∴PF是⊙O的切线.
八年级数学北师大版上册第五章二元一次方程组第2节求解二元一次方程组优秀教学案例
4.学生通过教师引导、自主探究的方式，发现方程组的解与方程系数之间的关系，培养学生的归纳总结能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够在学习过程中，体验到数学的趣味性和实用性，培养对数学的兴趣和爱好。
2.学生通过克服困难、解决问题，感受到成功的喜悦，培养自信心和克服困难的勇气。
3.学生在团队合作中，学会尊重他人、倾听他人意见，培养合作精神和团队意识。
2.教师可以使用多媒体教学资源，如数学软件、动画等，展示二元一次方程组的解法过程，让学生更直观地理解和解法步骤。
3.教师可以组织学生进行实际操作，如用纸牌、道具等展示方程组的关系，让学生通过动手操作来加深对知识的理解。
（二）讲授新知
1.教师可以通过讲解和示例，向学生介绍二元一次方程组的概念和解法。例如，可以讲解二元一次方程组的定义，解释方程组的解的意义，并通过示例来说明如何运用加减消元法、代入消元法等方法求解二元一次方程组。
在学习本节内容之前，学生已经掌握了二元一次方程的基本概念，能够理解二元一次方程组的意义，同时，学生已经学习过一元一次方程的解法，这些都为本节课的学习打下了坚实的基础。然而，二元一次方程组的解法相对于一元一次方程的解法更为复杂，需要学生能够灵活运用所学的知识，因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解方程组之间的关系，培养学生的思维能力。
（三）小组合作
1.教师可以根据学生的学习水平和特点，将学生分成若干小组，鼓励学生在小组内进行合作和交流。例如，可以让学生分组讨论和解决一个方程组问题，通过小组合作来共同找到解法。
2.教师可以设计一些小组活动，让学生在合作中解决问题，培养学生的团队合作精神。例如，可以让学生分组进行方程组解法的比赛，看哪个小组能够更快地找到解法。
2.学生能够通过实例，理解二元一次方程组解的意义，能够运用加减消元法、代入消元法等方法求解二元一次方程组。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够在学习过程中，体验到数学的趣味性和实用性，培养对数学的兴趣和爱好。
2.学生通过克服困难、解决问题，感受到成功的喜悦，培养自信心和克服困难的勇气。
3.学生在团队合作中，学会尊重他人、倾听他人意见，培养合作精神和团队意识。
2.教师可以使用多媒体教学资源，如数学软件、动画等，展示二元一次方程组的解法过程，让学生更直观地理解和解法步骤。
3.教师可以组织学生进行实际操作，如用纸牌、道具等展示方程组的关系，让学生通过动手操作来加深对知识的理解。
（二）讲授新知
1.教师可以通过讲解和示例，向学生介绍二元一次方程组的概念和解法。例如，可以讲解二元一次方程组的定义，解释方程组的解的意义，并通过示例来说明如何运用加减消元法、代入消元法等方法求解二元一次方程组。
在学习本节内容之前，学生已经掌握了二元一次方程的基本概念，能够理解二元一次方程组的意义，同时，学生已经学习过一元一次方程的解法，这些都为本节课的学习打下了坚实的基础。然而，二元一次方程组的解法相对于一元一次方程的解法更为复杂，需要学生能够灵活运用所学的知识，因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解方程组之间的关系，培养学生的思维能力。
（三）小组合作
1.教师可以根据学生的学习水平和特点，将学生分成若干小组，鼓励学生在小组内进行合作和交流。例如，可以让学生分组讨论和解决一个方程组问题，通过小组合作来共同找到解法。
2.教师可以设计一些小组活动，让学生在合作中解决问题，培养学生的团队合作精神。例如，可以让学生分组进行方程组解法的比赛，看哪个小组能够更快地找到解法。
2.学生能够通过实例，理解二元一次方程组解的意义，能够运用加减消元法、代入消元法等方法求解二元一次方程组。
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数、解三角形-第二节 同角三角函数基本关系及诱导公式
故选C.
≠ .
（2）已知方程sin2 + 2sin cos − 2sin − 4cos = 0,则cos 2 − sin cos =
() B
4 3
3 4
A.− B. C.− D.
5 5
5 5
[解析]因为方程 + − − = ,
角
2π + ∈
π+
−
关于原点对称
______________
π
−
2
关于轴对称
_____________
π
+
2
图示
与角终边的关系
相同
______
角
π −
续表
角
2π + ∈
π+
图示
与角终边的关系
关于轴对称
关于直线 = 对称
−
三、诱导公式
组数
一
二
三
= ,即 = ,即 = .
因为 ∈ , ,所以 = , =
.故 − = −
C
=−
.故选C.
1
5
2或
（2）已知sin − cos = ,则tan =_____.
sin2 +cos2
=
2tan2 + 3tan − 1
=
2
tan + 1
=
sin +cos
［对点训练2］（1）已知
sin −cos
2024新人编版七年级数学上册《第五章5.3.2销售问题》教学课件
问题：一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服， 其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的 是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
你估计盈亏情况是怎样的？
A. 盈利 B. 亏损 C. 不盈不亏
探究新知
销售的盈亏取决于什么？
总售价 ？ 总成本(两件衣服的成本之和)
120 ＞ 总成本 120 ＜ 总成本 120 ＝ 总成本
探究新知
解：（1）∵200×90%>134，故购134元的商品未优惠，
又500×0.9=450<466，故购466元的商品有两次优惠， 设其售价为x元，依题意得： 500×0.9+（x-500）×0.8=466，解得：x=520. ∴商品如果不打折分别值134元和520元，共654元; （2）节省654-600=54（元）； （3）654元的商品优惠价为： 500×0.9+（654-500）×0.8=573.2（元）. 故节省600-573.2=26.8（元）. 所以若买相同的商品，合起来购买更节省，节省26.8元.
当堂训练
4．在商品市场经常可以听到小贩的叫卖声和顾客的讨价还价声： “10元一个的玩具车打八折，快来买啊！”“能不能再便宜2元？”如 果小贩真的再让利2元卖了，他还能获利20%，则一个玩具车的进价是 多少元？
解：设一个玩具车的进价是x元，由题意，得 (1＋20%)x＝10×0.8－2， 解得x＝5.
巩固练习
4．文具店的老板均以60元的价格卖了两个计算器，其中一
个赚了20%，另一个亏了20%，则该老板( D )
A．赚了5元
B．亏了25元
C．赚了25元 D．亏了5元
巩固练习
5．儿童节期间，文具店搞促销活动，同时购买一个书包和一 个文具盒可以打八折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价 比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒标价各是多少元？
高中数学第一册第五章第二节向量的加法
（2）两向量不共线
b
.
A
D
a
b+a
a+b
a
B
C’C
b
b+a
a b
向量加法的三角形法则
a （2）两向量不共线
b
D
a
b
b+a
C 向量加法的三角形法则
b a+b
.
A
a
B
向量加法的平行四边形法 则
a+ b = b + a
D C
b
a+b
.
A
a
B
以同一起点A 为起点作两个量 ,a b, 以 a ,b 为邻边作 ABCD，则以A为起 点的对角线AC 就是a ,b 的和,称这种作
两个向量和的方法为平行四边形法则。
说明：向量加法的三角形法则 对两个向量共线和不共线两种情 况都适用，但平行四边形法则体 现了向量加法的交换律，且在不 共线时，三角形法则和平行四边 形法则是一致的。
2.向量加法的运算律
交换律
a+ b = b + a
结合律
（ +a ）+b = +(c + ) a b
面 向
表示方法
几何表示法 代数表示法 a AB
量
加法
运算
基本知识讲解
向量的加法
1. 定义:
已知向量 , .a
b
在平面内任取一
点A，作 = A,B = a ,则向量BC
叫做 与 的和，记作 + ，
即+= + =
AC
a
b
a b AB
BC AC
b ab
高等数学(上)第5章.第2节 牛顿-莱布尼兹公式
解
原式
d dx
x
x
cos tdt
a
x a
t
cos
t
dt
x
a cos t dt x cos x x cos x
x
a cos t dt
例 4 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1,
证明:
2
x
x
0
f (t)dt 1在[0,1]上只有一个解.
(x) lim lim f () lim f () f (x)
x x0
x0
x
若 x a ，取 x 0 ，则同理可证 (a) f (a) ； 若 x b ，取 x 0 ，则同理可证 (b) f (b) ;
即
d (x) dx
定理5.4（原函数存在定理）
如果 f ( x) 在[a, b]上连续，则积分上限的函
有一质点在一直线上运动，在这直线上取定原点、正向及长度单位，
使它成一数轴.设时间 t 时物体在位置函数为 s(t) ,速度为 v(t) ，
在时间间隔[T1,T2 ] 上的位移为 s
T2 v(t)dt .
T1
另一方面，该位移又可以通过位移函数 s(t) 在区间[T1, T2] 上的增量 s(T2 ) s(T1) 来表达.
例1
已知
y
x2
sin tdt
，求
0
解
dy sin( x2 )( x2 ) 2 x sin ( x 2 ) dx
例2 已知 y cos x cos( t 2 )dt ， 求 dy
sin x
dx
解 dy cos( cos 2 x)(cos x) cos( sin 2 x)(sin x)
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延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线.
(2)求DE的长. (1)证 明：如答图1-5-2-2，连接OD. ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAB. ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠DAO. ∴∠ODA=∠DAE. ∴OD∥AE. ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE. ∴DE是⊙O切线.
(2)如答图1-5-2-2，过点O作 OF⊥AC于点F， ∴AF=CF=3. ∴OF=
中考考点精讲精练
考点1 点、直线和圆的位置关系(5年未考)
典型例题
1. ⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA=3 cm，则点A与圆
O的位置关系为
(B )
A. 点A在圆上
B. 点A在圆内
C. 点A在圆外
D. 无法确定
2. (2016湘西州)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3 cm，AC=4 cm，
方法规律
与切线有关问题常作的辅助线和解题思路 （1）连接圆心和直线与圆的公共点——证明该半径与已知直 线垂直，则该直线为切线. （2）过圆心作这条直线的垂线段——证明这条垂线段和半径 相等，则该直线为切线. （3）当题中已有切线时，常连接圆心和切点得到半径或90° 角，由此可展开其他问题的计算或证明.
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
（1）直线l和⊙O相离 d＞r. （2）直线l和⊙O相切 d=r. （3）直线l和⊙O相交 d＜r.
3. 切线 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线. （2）切线的主要性质： ①性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. ②切线和圆只有一个公共点. ③切线和圆心的距离等于圆的半径. ④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. ⑤经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
第一部分 教材梳理
第五章 图形的认识（二） 第2节 与圆有关的位置关系
知识梳理
概念定理
1. 点和圆的位置关系（三种） （1）点在圆外. （2） 点在圆上. （3）点在圆内.
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： （1）点P在圆外 d＞r. （2）点P在圆上 d=r. （3）点P在圆内 d＜r.
注意：已知点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系， 反过来，已知点到圆心距离与半径的关系也可以确定该点与圆 的位置关系. 2. 直线和圆的位置关系（三种） （1）相离：一条直线和圆没有公共点. （2）相切：一条直线和圆只有一个公共点，此时叫做这条直 线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫切点. （3）相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线 和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
4. (2015贵港)如图1-5-2-2，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上
的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，
OP=4，则线段OM的最小值是
(B)
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
考点演练
5. 已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和
圆的位置关系为
( C)
A. 相离
A. 点A在圆外
B. 点A在圆上
C. 点A在圆内
D. 不能确定
8. 在平面直角坐标系中，M(2，0)，圆M的半径为4，那么点
P(-2，3)与圆M的位置关系是
( C)
A. 点P在圆内
B. 点P在圆上
ห้องสมุดไป่ตู้
C. 点P在圆外
D. 不能确定
考点点拨： 本考点的题型一般为选择题或者填空题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握点的位置，可以确定该 点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与 半径的关系可以确定该点与圆的位置关系. 注意以下要点： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. ①直线l和⊙O相交 d＜r; ②直线l和⊙O相切 d=r; ③直线l和⊙O相离 d＞r.
以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关
系是
(A )
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不能确定
3. 如图1-5-2-1，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为
圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是
( C)
A. 相离 C. 相切
B. 相交 D. 以上三种情况均有可能
2. (2017宿迁)如图1-5-2-4，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的
弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.
(1)求证：AP=AB；
(2)若OB=4，AB=3，求线段BP的长.
(1)证 明：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC. ∵AB是⊙O的切线, ∴OB⊥AB. ∴∠OBA=90°. ∴∠ABP+∠OBC=90°. ∵OC⊥AO， ∴∠AOC=90°. ∴∠OCB+∠CPO=90°. ∵∠APB=∠CPO， ∴∠APB=∠ABP. ∴AP=AB.
3. (2017宁波)如图1-5-2-5，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=
，以BC的中点O为圆心作圆，分别与AB，AC相切于D，E两点，
则 的长为
( )B
A.
B.
C.
D.
4. 如图1-5-2-6，已知⊙O的直径
AB=10，弦AC=6，∠BAC的分线交
⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的
考点2 切线的判定和性质［5年4考：2013年(解答题)、 2014年(解答题)、2016年(解答题)、2017年(解答题)］
典型例题
1. (2017自贡)如图1-5-2-3，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A， PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于 ( B )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
B. 相切
C. 相交
D. 无法确定
6. 一个点到圆的最小距离为3 cm，最大距离为8 cm，则该圆
的半径是
( D)
A. 5 cm或11 cm
B. 2.5 cm
C. 5.5 cm
D. 2.5 cm或5.5 cm
7. 若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A
与⊙O的位置关系是
( C)
4. 三角形的内心和外心 （1）三角形的内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做 三角形的内心.它到三角形各边的距离相等. （2）三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外 接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 叫做三角形的外心.它到三角形各顶点的距离相等.
(1)求证：DE是⊙O的切线.
(2)求DE的长. (1)证 明：如答图1-5-2-2，连接OD. ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAB. ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠DAO. ∴∠ODA=∠DAE. ∴OD∥AE. ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE. ∴DE是⊙O切线.
(2)如答图1-5-2-2，过点O作 OF⊥AC于点F， ∴AF=CF=3. ∴OF=
中考考点精讲精练
考点1 点、直线和圆的位置关系(5年未考)
典型例题
1. ⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA=3 cm，则点A与圆
O的位置关系为
(B )
A. 点A在圆上
B. 点A在圆内
C. 点A在圆外
D. 无法确定
2. (2016湘西州)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3 cm，AC=4 cm，
方法规律
与切线有关问题常作的辅助线和解题思路 （1）连接圆心和直线与圆的公共点——证明该半径与已知直 线垂直，则该直线为切线. （2）过圆心作这条直线的垂线段——证明这条垂线段和半径 相等，则该直线为切线. （3）当题中已有切线时，常连接圆心和切点得到半径或90° 角，由此可展开其他问题的计算或证明.
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
（1）直线l和⊙O相离 d＞r. （2）直线l和⊙O相切 d=r. （3）直线l和⊙O相交 d＜r.
3. 切线 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线. （2）切线的主要性质： ①性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. ②切线和圆只有一个公共点. ③切线和圆心的距离等于圆的半径. ④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. ⑤经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
第一部分 教材梳理
第五章 图形的认识（二） 第2节 与圆有关的位置关系
知识梳理
概念定理
1. 点和圆的位置关系（三种） （1）点在圆外. （2） 点在圆上. （3）点在圆内.
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： （1）点P在圆外 d＞r. （2）点P在圆上 d=r. （3）点P在圆内 d＜r.
注意：已知点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系， 反过来，已知点到圆心距离与半径的关系也可以确定该点与圆 的位置关系. 2. 直线和圆的位置关系（三种） （1）相离：一条直线和圆没有公共点. （2）相切：一条直线和圆只有一个公共点，此时叫做这条直 线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫切点. （3）相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线 和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
4. (2015贵港)如图1-5-2-2，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上
的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，
OP=4，则线段OM的最小值是
(B)
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
考点演练
5. 已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和
圆的位置关系为
( C)
A. 相离
A. 点A在圆外
B. 点A在圆上
C. 点A在圆内
D. 不能确定
8. 在平面直角坐标系中，M(2，0)，圆M的半径为4，那么点
P(-2，3)与圆M的位置关系是
( C)
A. 点P在圆内
B. 点P在圆上
ห้องสมุดไป่ตู้
C. 点P在圆外
D. 不能确定
考点点拨： 本考点的题型一般为选择题或者填空题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握点的位置，可以确定该 点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与 半径的关系可以确定该点与圆的位置关系. 注意以下要点： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. ①直线l和⊙O相交 d＜r; ②直线l和⊙O相切 d=r; ③直线l和⊙O相离 d＞r.
以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关
系是
(A )
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不能确定
3. 如图1-5-2-1，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为
圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是
( C)
A. 相离 C. 相切
B. 相交 D. 以上三种情况均有可能
2. (2017宿迁)如图1-5-2-4，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的
弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.
(1)求证：AP=AB；
(2)若OB=4，AB=3，求线段BP的长.
(1)证 明：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC. ∵AB是⊙O的切线, ∴OB⊥AB. ∴∠OBA=90°. ∴∠ABP+∠OBC=90°. ∵OC⊥AO， ∴∠AOC=90°. ∴∠OCB+∠CPO=90°. ∵∠APB=∠CPO， ∴∠APB=∠ABP. ∴AP=AB.
3. (2017宁波)如图1-5-2-5，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=
，以BC的中点O为圆心作圆，分别与AB，AC相切于D，E两点，
则 的长为
( )B
A.
B.
C.
D.
4. 如图1-5-2-6，已知⊙O的直径
AB=10，弦AC=6，∠BAC的分线交
⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的
考点2 切线的判定和性质［5年4考：2013年(解答题)、 2014年(解答题)、2016年(解答题)、2017年(解答题)］
典型例题
1. (2017自贡)如图1-5-2-3，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A， PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于 ( B )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
B. 相切
C. 相交
D. 无法确定
6. 一个点到圆的最小距离为3 cm，最大距离为8 cm，则该圆
的半径是
( D)
A. 5 cm或11 cm
B. 2.5 cm
C. 5.5 cm
D. 2.5 cm或5.5 cm
7. 若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A
与⊙O的位置关系是
( C)
4. 三角形的内心和外心 （1）三角形的内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做 三角形的内心.它到三角形各边的距离相等. （2）三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外 接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 叫做三角形的外心.它到三角形各顶点的距离相等.