倒立摆分段控制方法_贾欣乐

2016年8月 控 制 工 程 Aug. 2016 第23卷第S0期

Control Engineering of China

V ol.23, No.S0

文章编号：1671-7848(2016)S0-0006-07

DOI: 10.14107/ki.kzgc.160126

倒立摆分段控制方法

贾欣乐，张显库

(大连海事大学 航海动态仿真和控制实验室，辽宁 大连 116026)

摘 要：为了解决非线性控制器设计参数求取困难的瓶颈问题，使用极点配置方法设计出

线性控制器，以此为基础设计反馈线性化非线性控制器的参数，形成了系统化的设计方法，成功解决了原非线性控制器参数靠试凑的难题。所给出的方法在倒立摆的分段控制中取得了良好的仿真结果，说明所设计的方法便捷可行。 关键词：倒立摆；非线性控制；极点配置；反馈线性化 中图分类号：TP13 文献标识码：A

Segment Control Strategy for Inverted Pendulum

JIA Xin-le, ZHANG Xian-ku

(Laboratory of Marine Simulation and Control, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China )

Abstract: This paper is devoted to tackle the difficult task of determining the design parameters in a nonlinear

controller. The problem is solved in an systematic way as follows: A linear counterpart (linear segment) of the original nonlinear control system (nonlinear segment) is formed by linearization; the pole placement method is applied to find the feedback matrix for the linear controller; this matrix is simultaneously used to formulate a nonlinear algebraic equation, which is used to find the required feedback linearization nonlinear controller. An inverted pendulum is taken as an example, and simulations show the satisfactory stability and dynamic performance.

Key words: Inverted pendulum; nonlinear control; pole placement; feedback linearization

1 引 言

倒立摆的研究对机器人行走、火箭发射以及航天器的姿态控制等工程应用，均有重要意义。倒立摆研究理论上之困难在于过程的开环不稳定性、数学模型的非线性和系统结构的欠驱动性。欠驱动性反映在其只有一个控制量-小车驱动电机的电枢电压u ，却要同时控制2个独立的状态变量-摆杆偏角 以及小车的位移x ，而全面地描述该系统则需要4个状态变量，故而控制难度很大。

非线性使倒立摆控制器的设计缺乏统一的理论支持，各种“时髦的”倒立摆非线性控制策略，包括自适应控制、人工智能(模糊逻辑、神经网络、遗传算法)、鲁棒控制、逐步后推算法(Backstepping)、CLF(Control Lyapunov Function)、反馈线性化等相继涌现，丰富了该领域研究成果的宝库[1-3]。然而在众多相关文献中，对其仿真结果的性能指标、详尽性、可复现性等方面加以综合检验，令人足够满意

者并不多见。究其原因，笔者以为这与人们对“纯非线性控制”的过高期望不无关系；其实线性控制过程中包含大量有用信息，却未被上述设计者充分利用，或者被完全忽略了。本文提出的分段控制算法出发点是将线性控制与非线性控制两种手段有机地结合起来，充分利用线性系统的研究结果以协助非线性控制器的设计，从而有效地提高倒立摆系统非线性控制的稳定性和动静态质量。

近年来，采用非线性理论结合线性技术于单级倒立摆的控制之研究，已取得一些结果，但只限于个例[5-10]，尚缺少系统性的分析与总结。本文在完善后者方面做了进一步的工作，其特点在于：

① 分段式控制方法：数学模型区分为线性段与非线性段；控制器算法从线性段的极点配置到非线性段的CLF(control Lyapunov function)、反馈线性化分别讨论；② 线性与非线性方法之间的交叉、融

第S0期 贾欣乐等：倒立摆分段控制方法 ·7·

合的深化探讨；③ 手册式的写作风格：参考者只要 输入倒立摆的基本物理参数与控制器设计指标(如所要求的闭环极点位置)，即可应用这里给出的公式求解控制器。文章给出了几种典型模型(M)⊕控制(C)结合方案的仿真研究结果，以证明所提出的设计方法的可行性和便捷性。本文只涉及倒立摆的镇定问题，至于倒立摆的“起摆”问题，留待另文讨论。

2 倒立摆的分段数学模型

简化的小车倒立摆系统，如图1所示。

图1 小车倒立摆系统图

Fig. 1 Diagram of the inverted pendulum

其中，M 为小车质量；m 为摆杆质量；l 为摆杆半长。我们采用自上而下的模型化分段策略，即模型的复杂程度递减。

2.1 计及驱动电机动态及摩擦阻力的非线性数学

模型(1n M -a 模型)

由参考文献[11]可知：

()()2cos g sin c I ml ml x m l c ϕϕ

ϕϕϕ++=- (1) ()()2cos sin xd u ml M m x ml k x k u ϕϕ

ϕϕ++=-+ (2) 式中，23c I ml =为摆杆对质心c 的转动惯量；g 为重力加速度；u 为施加于驱动电机电枢上的电压，以使小车向右行为正；c ϕ为转动摩擦系数；xd k 为电机角速度系数；u k 为驱动电机的放大系数，且

222

t g

xd a k k k R r = (3)

0.06c ϕ= (4)

t g u a k k k R r

=

(5)

式中，t k 为电机力矩系数；k g 为齿轮比；a R 为电枢电阻；r 为驱动轮半径。

取小车位移、摆杆偏离角度、小车速度、摆杆角速度为状态变量：

[][]T

T

1234,,,,,,X X X X X x x

ϕϕ== (6) 将式(1)、(2)转换成仿射型状态空间方程：

X f gu =+ (7) 式中，[]T

1234,,,f f f f f =,[]T

1234,,,g g g g g =，并且：

1324

32242

4

234242

2423[(cos )(sin )(sin )]/[()(sin )(cos )(sin )]/a xd xd f X f X f ml X mgl X c X I mlX X k X d f M m mgl X c X ml X mlX X k X d

ϕϕ===--+

-=+-+

- (8)

1234200cos a u u g g g I k g ml X k d

====- (9)

()2222cos a d I M m m l X =+- (10)

式中，2243a c I I ml ml =+=为摆杆对铰接点a 的转动惯量。式(7)给出非线性计及电机动态和摩擦阻力最全面的倒立摆数学模型，是分段模型原始出发点。 2.2 不考虑驱动电机动态及摩擦阻力的非线性模

型(1n M -b 模型)

在式(8)-(10)中，令xd k =0,c ϕ=0,u k =1；但保留非线性项，即可得到1n M b -分段模型。此时控制u 代表的是作用于小车的拖动力(F )，以使小车右行为正。文献中谈到倒立摆的非线性控制，涉及的通常就是这类模型[5-6]。

2.3 考虑驱动电机动态及摩擦阻力的线性模型

(1M -a 模型)

对式(8)-(10)线性化，取sin ϕϕ≈,cos 1ϕ≈，有：

1324

33223333444422433444f X f X f a X a X a X f a X a X a X ===++=++ (11)

123344

00

g g g b g b ==== (12) 式中，ij a ,i =1,2,3,4, j =1,2,3,4为线性模型系统矩阵A 的元素，有：

()()()()223223334424344g c xd xd a m l g dl a I ml k dl a mlc dl a M m m l dl a mlk dl a M m c dl

ϕϕ=-=-+==+==-+ (13)

且j b , j =1,2,3,4是线性模型输入矩阵B 的元素，有：

()234c u u b I ml k b mlk dl

=+=- (14)

()()222c dl I ml M m m l =++- (15)