单级倒立摆控制的极点配置方法
任务1-一级倒立摆系统的状态反馈极点配置设计
西安建筑科技大学课程设计（论文）任务书专业班级：学生姓名：指导教师（签名）：一、课程设计（论文）题目一级倒立摆系统的状态反馈极点配置设计二、本次课程设计（论文）应达到的目的（1）复习、巩固和加深所学专业基础课和专业课的理论知识，综合运用经典控制理论与现代控制理论的知识，弄清楚其相互关系，使理论知识系统化、实用化。
（2）增强学生的工程意识，联系实际问题设计，使理论与实践相结合。
（3）掌握基于状态空间分析法进行控制系统分析与综合的方法。
（4）训练利用计算机进行控制系统辅助分析与仿真的能力。
（5）掌握参数变化对系统性能影响的规律，培养灵活运用所学理论解决控制系统中各种实际问题的能力。
（6）培养分析问题、解决问题的独立工作能力，学习实验数据的分析与处理方法，学习撰写设计说明书。
三、本次课程设计（论文）任务的主要内容和要求（包括原始数据、技术参数、设计要求等）系统参数：本课程设计的被控对象采用固高公司生产的GIP-100-L型一阶倒立摆系统，系统内部各相关参数为：小车质量0.5 Kg ；摆杆质量0.2 Kg ；小车摩擦系数0.1 N/m/sec ；摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；摆杆惯量0.006 kg*m*m ；采样时间0.005秒。
设计要求：设计状态反馈控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度设计主要内容：（1）参照相关资料，推导出系统的传递函数和状态空间方程。
（2）定量、定性分析系统的性能。
（3）设计状态反馈控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应满足性能指标要求。
（4）对设计的系统进行仿真研究、校验与分析。
（5）设计状态观测器，讨论带有状态观测器的状态反馈系统的性能。
成果要求：书写课程设计说明书一份（6000－10000字）。
内容应包括数学模型建立，控制器设计，系统仿真过程、结果分析及结论。
利用极点配置法设计调节器型系统-倒立摆
1
2
3
4
因此
a1* = 24,
a
* 2
= 196,
a3* = 720,
a
* 4
= 1600
现采用式（5.13）来确定状态反馈增益矩阵 K，即
K
= [ a4∗ − a4 M
a3∗ − a3 M
a
∗ 2
−
a2
M
a1∗
−
a1
]
P −1
式中 P 即
P = QW
这里 Q 和 W 分别为
⎡0 −1 0 −20.601⎤ Q = [ B M AB M A2B M A3B ] = ⎢⎢− 1 0 − 20.601 0⎥⎥
⎥ ⎥
⎢− 9.81 0 0.5 0 ⎥
⎢⎣0 − 9.81 0 0.5⎥⎦
因此
⎢⎡− ⎢
0.5 9.81
P −1
=
⎢ ⎢
0
⎢ ⎢
−1
0
⎢⎣ 0
故状态反馈增益矩阵 K 为
0
− 0.5 9.81 0
−1
−1 9.81 0
0
⎤ ⎥
−
1
⎥ ⎥
9.81⎥
0
⎥ ⎥
00
⎥⎦
K
=
[
a* 4
−
a 4
M
a* 3
−
a 3
么，其数学模型为
(M + m)&x& + mlθ = u
(2)
ml 2θ&& + ml&x& = mglθ
(3)
式（2）和(3)定义了如图 2 所示的倒立摆系统的数学模型（只要 θ 不大，线性化
倒立摆状态空间极点配置控制实验实验报告
倒立摆状态空间极点配置控制实验实验报告《现代控制理论》实验报告状态空间极点配置控制实验一、实验原理经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型，现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。
极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足瞬态和稳态性能指标。
１．状态空间分析对于控制系统X = AX + Bu选择控制信号为：u = ?KX式中：X 为状态向量（ n 维）u 控制向量（纯量）A n × n维常数矩阵B n ×1维常数矩阵求解上式，得到 x(t) = (A ? BK)x(t)方程的解为： x(t) = e( A?BK )t x(0)状态反馈闭环控制原理图如下所示：从图中可以看出，如果系统状态完全可控，K 选择适当，对于任意的初始状态，当t趋于无穷时，都可以使x(t)趋于0。
２．极点配置的设计步骤1) 检验系统的可控性条件。
2) 从矩阵 A 的特征多项式来确定a1, a2,……,an的值。
3) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵 T：T = MW其中 M 为可控性矩阵，4) 利用所期望的特征值，写出期望的多项式5) 需要的状态反馈增益矩阵 K 由以下方程确定：二、实验内容针对直线型一级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器，进行极点配置并用Matlab进行仿真实验。
三、实验步骤及结果1.根据直线一级倒立摆的状态空间模型，以小车加速度作为输入的系统状态方程为：可以取1l 。
则得到系统的状态方程为：于是有：直线一级倒立摆的极点配置转化为：对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时间（约 3 秒）和合适的阻尼（阻尼比? = 0.5）。
2.采用四种不同的方法计算反馈矩阵 K。
方法一：按极点配置步骤进行计算。
1) 检验系统可控性，由系统可控性分析可以得到，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态维数(4)，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y 的维数(2)，所以系统可控。
直线一级倒立摆控制器设计_课程设计说明书[管理资料]
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H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y课程设计说明书（论文）课程名称：控制系统设计课程设计设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院系：班级：设计者：学号：指导教师：设计时间：哈尔滨工业大学教务处哈尔滨工业大学课程设计任务书*注：此任务书由课程设计指导教师填写。
一、直线一级倒立摆的数学模型实验设备简介一级倒立摆系统的结构示意图如图1-1所示。
图1-1 一阶倒立摆结构示意图系统组成框图如图1-2所示。
图1-2 一级倒立摆系统组成框图系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成的闭环系统。
光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈给运动控制卡。
计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车运动方向、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，通过皮带，带动小车运动，保持摆杆平衡。
直线一级倒立摆数学模型的推导系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统. 如图1-3所示。
一级倒立摆LQR控制器的设计
目录0. 前言 (2)0.1倒立摆 (2)0.2LQR (7)0.3.最优控制（optimal control） (7)0.3.1数学角度 (8)0.3.2研究方法 (8)1. 线性二次最优控制LQR基本理论 (8)1.1一级倒立摆建模 (8)1.2微分方程模型 (12)1.3传递函数模型 (12)1.4状态空间数学模型 (13)1.5LQR控制器的二次最优控制原理 (14)2. 方案设计 (15)3. 软件编程 (16)3.1求K值程序 (16)3.2系统的开环阶跃响应程序 (17)3.3小车的状态程序 (17)4. 系统调试和结果分析 (18)4.1得出K值 (18)4.2系统的开环阶跃响应结果 (19)4.3实际连接 (19)一级倒立摆LQR控制器的设计摘要：倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题。
从理论和实践上对线性一级倒立摆作了深入的研究。
首先,用拉格朗日方法建立了倒立摆的数学模型。
在此基础上采用线性二次型最优控制方法设计了倒立摆的控制器。
最后通过MATLAB仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。
通过试验验证了设计结果并给出了控制器的性能评价。
建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。
关键词：倒立摆；建模，LQR控制器0.前言0.1倒立摆倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。
许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。
倒立摆最初研究开始于20世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，而后人们又参照双足机器人控制问题研制二级倒立摆控制设备，从而提高了检验控制理论或方法的能力，也拓宽了控制理论或方法的检验范围。
基于极点配置的单级倒立摆t-s模糊控制
基于极点配置的单级倒立摆t-s模糊控制
基于极点配置的单级倒立摆T-S模糊控制是一种控制方法，旨在实现单级倒立摆的控制。
T-S模糊控制又称为模糊控制器，是一种具有适应性的控制方法，可以应对非线性系统。
单级倒立摆是指一个质量集中在底部的刚性杆，这个杆可以绕着水平轴旋转，并在其顶端悬挂一个质量。
单级倒立摆是一种经典的非线性控制问题。
极点配置是一种控制系统设计方法，它是基于控制系统的极点位置来调整控制器参数，以达到预期的控制性能。
在基于极点配置的单级倒立摆T-S模糊控制中，控制器的设计包括两个部分。
第一部分是基于极点配置的控制器设计，这个部分主要是确定控制器的极点位置，以实现所需的控制性能。
第二部分是基于T-S模糊控制的控制器设计，这个部分主要是设计模糊规则和隶属函数，以实现在不同状态下的控制。
总体来说，基于极点配置的单级倒立摆T-S模糊控制是一种创新性的控制方法，它可以应对非线性系统的控制问题，并具有良好的控制性能。
一级倒立摆MATLAB仿真能控能观性分析数学模型极点配置
题目一：考虑以下图的倒立摆系统。
图中，倒立摆安装在一个小车上。
这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。
倒立摆系统的参数包含：摆杆的质量（摆杆的质量在摆杆中心）、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。
图倒立摆系统设计一个控制系统，使适当给定随意初始条件( 由扰乱惹起 ) 时，最大超调量%≤10%，调理时间 ts≤ 4s，使摆返回至垂直地点，并使小车返回至参照地点(x=0) 。
要求： 1、成立倒立摆系统的数学模型2、剖析系统的性能指标——能控性、能观性、稳固性3、设计状态反应阵，使闭环极点能够达到希望的极点，这里所说的希望的极点确立是把系统设计成拥有两个主导极点，两个非主导极点，这样就能够用二阶系统的剖析方法进行参数确实定4、用MATLAB进行程序设计，获得设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图。
解：1成立一级倒立摆系统的数学模型系统的物理模型如图 1 所示，在惯性参照系下，设小车的质量为M ，摆杆的质量为m ，摆杆长度为l ，在某一瞬时时辰摆角( 即摆杆与竖直线的夹角) 为θ，作用在小车上的水平控制力为u。
这样，整个倒立摆系统就遇到重力, 水平控制力和摩擦力的 3 外力的共同作用。
图 1一级倒立摆物理模型成立系统状态空间表达式为简单起见，本文第一假定:(1)摆杆为刚体；(2)忽视摆杆与支点之间的摩擦；( 3)忽视小车与导轨之间的摩擦。
在如图一所示的坐标下，小车的水平地点是y, 摆杆的偏离地点的角度是θ，摆球的水平地点为 y+lsin θ。
这样，作为整个倒立摆系统来说，在说平方方向上，依据牛顿第二定律，获得M d 2 y m d 2( y l sin ) u（ 1）dt 2dt 2关于摆球来说，在垂直于摆杆方向，由牛顿第二运动定律，获得m d2l sin ) mgsin2 (y（ 2）dt方程 (1) ，(2) 是非线性方程，因为控制的目的是保持倒立摆直立，在施加适合的外力条件下，假定θ很小，靠近于零是合理的。
直线型一级倒立摆系统的控制器设计
直线型一级倒立摆系统的控制器设计引言1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统（2）掌握极点配置算法（3）掌握MATLAB/simulink动态仿真技术2. 设计要求基于极点配置算法完成对于直线型一级倒立摆系统的控制器设计3. 系统说明倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。
4. 设计任务（1）建立直线型一级倒立摆系统的状态空间表达式。
（2）对该系统的稳定性、能观性、能控性进行分析。
（3）应用极点配置法对该直线型一级倒立摆系统进行控制器设计。
（4）使用MATLAB/simulink软件验证设计结果目录设计目的........................................................................................... 2-4设计要求：. (4)系统说明：....................................................................................... 4-5设计任务........................................................................................... 5-8运行结果......................................................................................... 8-11收获与体会.. (10)参考文献 (12)1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
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一级倒立摆控制的极点配置方法摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。
因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。
本文通过极点配置, 实现了用现代控制理论对一级倒立摆的控制。
利用牛顿第二定律及相关的动力学原理等建立数学模型，对小车和摆分别进行受力分析，并采用等效小车的概念，列举状态方程，进行线性化处理想, 最后通过极点配置，得到变量系数阵。
利用Simulink建立倒立摆系统模型，特别是利用Mask封装功能, 使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。
实现了倒立摆控制系统的仿真。
仿真结果证明控制器不仅可以稳定倒立摆系统，还可以使小车定位在特定位置。
关键词:倒立摆，数学建模，极点配置THE POLE PLACEMENT CONTROL TO A SINGLEINVERTED PENDULUMAbstractInverted pendulum system is multivariable, nonlinear, strong-coupling and instability naturally. The research of inverted pendulum has many important realistic meaning in the research such as, the walking of biped robot, the lunching process of rocket and flying control of helicopter, and many correlative productions has applications in the field of technology of space flight and subject of robot.Through the pole placement method, the control of the inverted pendulum is realized. We get the mathematic model according to the second law of Newton and the foundation of the dynamics, analysis the force of the cart and pendulum, and adopt the concept of "the equivalent cart”. During writing the equitation of the system, the equitation has been processed by linear. At last，we get coefficient of the variability. The simulation of inverted pendulum system is done by the SIMULINK Tool box. Specially Mask function is applied, it makes simulation model more agility, the simulation work become more convenient. The result shows that it not only has quite goods ability, but also is able to make the cart of the pendulum moving to the place where it is appointed by us in advance along the orbit.Key words: inverted pendulum, mathematic model, pole placement目录摘要 (I)Abstract ............................................................ I I 1绪论 (1)1.1倒立摆系统简介 (1)1.2倒立摆的控制规律 (2)1.3对倒立摆系统研究的意义 (3)1.4倒立摆的发展状况 (4)1.5论文的主要工作 (5)2直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模 (7)2.1微分方程的推导 (7)3状态空间极点配置 (10)3.1状态反馈及输出反馈的两种基本形式 (10)3.1.1状态反馈 (10)3.1.2输出反馈 (11)3.2关于两种反馈的讨论 (12)3.3状态反馈的优越性 (14)3.4极点配置的提出 (14)3.4.1期望极点的选择 (14)3.4.2极点配置需要注意的问题 (15)3.5理论分析 (15)3.6极点配置的方法问题 (16)3.7根据极点配置法确定反馈系数 (18)4一级倒立摆系统模块仿真 (21)结论 (23)致谢 (24)参考文献 (25)附录A (外文文献) (26)附录B (中文翻译) (33)1绪论1.1倒立摆系统简介倒立摆系统是一种很常见的又和人们的生活密切相关的系统，它深刻揭示了自然界一种基本规律，即自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。
倒立摆系统是一个非线性，强耦合，多变量和自然不稳定的系统。
它是由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆杆组成的。
在导轨一端装有用来测量小车位移的电位计，摆体与小车之间由轴承连接，并在连接处安置电位器用来测量摆的角度。
小车可沿一笔直的有界轨道向左或向右运动，同时摆可在垂直平面内自由运动。
直流电机通过传送带拖动小车的运动，从而使倒立摆稳定竖立在垂直位置。
图1.1一级倒立摆装置简图由图1.1中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆体组成。
导轨的一端固定有位置传感器，通过与之共轴的轮盘转动可以测量出沿导轨由图中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆运动的小车位移；小车通过轴承连接摆体，并在小车与摆体的连接处固定有共轴角度传感器，用以测量摆体的角度信号；并通过微分电路得到相应的速度和角速度信号；导轨的另一端固定有直流永磁力矩电机，直流电机通过传送带驱动小车沿导轨运动，在小车沿导轨左右运动的过程中将力传送到摆杆以实现整个系统的平衡。
倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行式倒立摆、和球平衡式倒立摆；倒立摆的级数可以是一级，二级，乃至更多级。
控制方法也是多种，可以通过模糊控制，智能控制，PID控制，LQR控制等来实现倒立摆的动态平衡，本文介绍的是状态反馈极点配置方法来实现一级倒立摆的控制。
1.2倒立摆的控制规律当前，倒立摆的控制规律可总结如下:1、Pm控制，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出其非线性模型，再在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，于是设计出PID控制器实现其控制。
2、状态反馈H控制[1]，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈和Kalnian滤波相结合的方法，实现对倒立摆的控制。
3、利用云模型[2-3]实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。
这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。
4、神经网络控制，已经得到证明，神经网缴（NeuralN etwork NN)能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性;也可将Q学习算法[4]和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。
5、遗传算法(Genetic Algorithms, GA)，高晓智[a]在Michine的倒立摆控制Boxes方案的基础上，利用GA对每个BOX中的控制作用进行了寻优，结果表明GA可以有效地解决倒立摆的平衡问题。
6、自适应控制，主要是为倒立摆设计出自适应控制器。
7、模糊控制，主要是确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制。
8、使用几种智能控制算法相结合实现倒立摆控制，比如模糊自适应控制，分散鲁棒自适应控制等等。
9、采用遗传算法与神经网络相结合的方法，首先建立倒立摆系统的数学模型，然后为其设计出神经网络控制器，再利用改进的遗传算法训练神经网络的权值，从而实现对倒立摆的控制，采用GA学习的NN控制器兼有NN的广泛映射能力和GA快速收敛以及增强式学习等性能。
1.3对倒立摆系统研究的意义倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中的典型物理模型。
通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论和技术实现问题，还能将控制理论涉及的主要基础学科:力学，数学和计算机科学进行有机的终合应用。
倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。
在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，由于倒立摆系统与火箭飞行和双足步行机器人的行走有很大的相似性，因此倒立摆的研究对于火箭飞行和机器人的控制等现代高新技术的研究具有重要的实践意义。
目前，对倒立摆的研究己经引起国内外学者的广泛关注，是控领域研究的热门课题之一。
在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及在实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证这一理论，倒立摆就是这样一个被控对象。
倒立摆本身是一个自然不稳定体，在控制过程中能够有效地反映控制中的许多关键问题，如镇定问题，非线性问题，鲁棒性问题，随动问题以及跟踪问题等。
倒立摆的典型性在于作为一个装置，成本低廉，结构简单，形象直观，便于实现模拟和数字两者不同的方式的控制;作为一个被控对象，又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强祸合的快速性系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。
因此，倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。
对倒立摆系统进行控制，其稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量，控制好坏一目了然。
理论是工程的先导，对倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。