【优质文档】广东省中山市2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(PDF版)
中山市高二级2017—2018学年度第一学期期末统一考试
数学试卷（理科）
本试卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号写在答题卡上.
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.
3、不可以使用计算器.
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．设,,a b c 是实数，则“a b >”是“22ac bc >”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足
sin sin sin sin B A c
B C a b
-=
-+，则A =（）
A ．
6
πB ．
3
πC ．
23πD ．
3π或23
π3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（）
A ．
13
B ．13
-
C ．
19
D ．19
-
4．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人
在喷水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A 向北偏东30°方向前进100m 到达B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（）A ．50m
B ．100m
C ．120m
D ．150m
5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，440S =，210n S =，4130n S -=，则n =（）
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
6．设,x y 满足约束条件0
4312
x y x x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则231x y x +++取值范围是（）
A ．[1,5]
B ．[2,6]
C ．[3,10]
D ．[3,11]
7．直线12y x b =
+与曲线1
ln 2
y x x =-+相切，则b 的值为（）A ．2-B ．1
-C ．1
2
-
D ．1
8．已知函数2
1()cos 4
f x x x =
+，()f x '是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（）
A
．B ．
C ．D
．
9．双曲线22
1916
x y -=上一点M 到左焦点1F 的距离为7，N 是1MF 的中点，
则ON =（）A ．
132
B ．4
C ．
132
或4D ．
132或12
10．空间四点(2,3,6)A ，(4,3,2)B ，(0,0,1)C ，(2,0,2)D 的位置关系是（）
A ．共线
B ．共面
C ．不共面
D ．无法确定
11．已知点P 为双曲线)0,0(12
2>>=-b a y x 的右支上的一点，21,F F 为双曲线的左、
右焦点，使0)(22=⋅+P F OF OP (O 为坐标原点)
=，则双曲线的离
心率为（）
A ．
2
16+B ．1
6+C ．
2
13+D ．1
3+12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部
分图象如图所示，则（）
A ．当4n =时，n S 取得最大值
B ．当3n =时，n S 取得最大值
C ．当4n =时，n S 取得最小值
D ．当3n =时，n S 取得最小值
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位
置上.
13．抛物线2
8y x =的准线方程为
14．已知2
0ax bx c ++>的解集为{}|12x x <<,则不等式2
0cx bx a ++<的解集为
15．0,
2πα⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，则22sin 2sin 4cos ααα
+的最大值为16．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的实数x ，有()()f x f x '>，
且()2017f x +为奇函数，则不等式()20170x
f x e +<的解集是
三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）
已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，
且cos sin 0a C C b c --=．（I）求A ；
（Ⅱ）若AD 为BC
边上的中线，1cos ,72
B AD =
=，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项积为n T ，且22n n T a =-.（I ）求证：数列1n T ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭是等差数列；（II
）设n b =
，求数列{}n b 的前n 项和n
S
.
某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间满足关系：
1
,1,62,3
x c x
P x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨
⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.
（I ）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元）表示为日产量x （万件）的函数；（II ）当日产量为多少时，可获得最大利润？
20．（本小题满分12分）
如图所示的几何体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，22AB AD ==，
60DAB ∠=︒60︒
，四边形CDEF 为正方形，平面CDEF ⊥平面ABCD .
（I ）若点G 是棱AB 的中点，求证：EG ∥平面BDF ；（II ）求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值.
设函数()()1
ln f x x a x a R x
=-
-∈.（I ）讨论()f x 的单调性；
（II ）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点()()()()
1122,,,A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的右顶点与上顶点分别为
,A B
，椭圆的离心率为
2
，且过点(1,2
．（I ）求椭圆的标准方程；
（II ）如图，若直线l 与该椭圆交于,P Q 两点，直线,BQ AP 的斜率互为相反数．
①求证：直线l 的斜率为定值；
②若点P 在第一象限，设ABP ∆与ABQ ∆的面积分别为12,S S ，求
1
2
S S 的最大值．A
B
Q
P
x
y
O
l。
20172018学年广东省中山市高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或2．（5分）若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．C．D．﹣23．（5分）已知实数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0 B．C．D．5．（5分）若x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值是（）A．1 B．4 C．6 D．86．（5分）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步7．（5分）若二项式（3﹣x）n（n∈N*）中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为（）A．2 B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4） B．C． D．（0，1），（4，+∞）9．（5分）已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2} D．{t|2}11．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．312．（5分）已知函数f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx（ω＞0），其周期为π，f（θ）=，则f（θ+）+f（θ﹣）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知cos（α+）=，则sin2α=．14．（5分）已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．15．（5分）某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为．16．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=，且对任意正整数m，n，都有a m=a m a n，若对任意n∈N*，S n＜t恒成立，则实数t的取值范围是．+n三、解答题（本大题共7小题，共70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=a5+a6=25．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式2S n+8n+27＞（﹣1）n k（a n+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．18．（12分）如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．19．（12分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？20．（12分）某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤．（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（≤3）项的概率．项目/学号编号①②③④⑤（1）T T T（2）T T T（3）T T T T（4）T T T（5）T T T T（6）T T T（7）T T T T（8）T T T T T（9）T T T（10）T T T T T注：“T”表示合格，空白表示不合格（Ⅱ）“科二”考试中，学员需缴纳150元报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行．学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次．某学员每轮测试或补测通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为1，1，1，，，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．①求该学员能通过“科二”考试的概率．②求该学员缴纳的考试费用X的数学期望．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．22．（12分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明．23．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．2017-2018学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或【解答】解：∵集合={2}又∵B={1，m}若A⊆B则m=2故选A2．（5分）若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．C．D．﹣2【解答】解：复数==+为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=2．故选：A．3．（5分）已知实数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：log22＜log23＜log24=2⇒a∈（1，2），b=（x+）dx=（+lnx）|=ln2+，故选：D4．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0 B．C．D．【解答】解：本框图为“当型“循环结构当满足n≤2010时，执行循环体：s=s+sin根据s=0，n=1第1次循环：s=0+sin =第2次循环：s=+=第3次循环：s=+0=第4次循环：s=+（﹣）=第5次循环：s=+2（﹣）=0第6次循环：s=0+0=0第7次循环：s=…当n为6的倍数时，s的值为0n=2010时，为6的倍数，故此时s=0n=2011时，s=故选B5．（5分）若x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值是（）A．1 B．4 C．6 D．8【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）；由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大；由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=x+2y得z的最大值是2+2×2=6．故选：C．6．（5分）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．7．（5分）若二项式（3﹣x）n（n∈N*）中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：令x=1，可得a=2n，令x=﹣1，可得b=4n．∴+=≥2+=．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4） B．C． D．（0，1），（4，+∞）【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，而g′（x）=，故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，故选：D．9．（5分）已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种【解答】解：由题意知先使五个人的全排列，共有A55=120种结果．穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况，有2A22A44=96种，穿红色相邻且穿黄色也相邻情况，有A22A22A33=24种，故：穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是120﹣96+24=48，故选：A10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2} D．{t|2}【解答】解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ运动点F并加以观察，可得当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ==2；当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ==2∴A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为[2，2]故选：D11．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．3【解答】解：函数y=|2x﹣1|的图象如图：∵x1＜x2，∴=1﹣k，=1+k，又∵x3＜x4，∴=1﹣，=1+，∴，=．则==﹣3+．又k∈[，1），∴﹣3+∈[3，+∞）．∴x4+x2﹣（x3+x1）=x4﹣x3+x2﹣x1∈[log23，+∞），即x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为log23．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx（ω＞0），其周期为π，f（θ）=，则f（θ+）+f（θ﹣）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣【解答】解：f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx===，（tanα=）．由T==π，得ω=1．∴f（x）=．由f（θ）=，得sin（2θ﹣α）﹣2=，∴sin（2θ﹣α）=1；∴f（θ+）=sin[2（θ+）﹣α]﹣2=sin（2θ+π﹣α）﹣2=﹣sin（2θ﹣α）﹣2=﹣×1﹣2=﹣；f（θ﹣）=﹣2=﹣2=﹣2．∴f（θ+）+f（θ﹣）=．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知cos（α+）=，则sin2α=﹣．【解答】解：∵，∴（cosα﹣sinα）=，可得：cosα﹣sinα=，∴两边平方可得：1﹣sin2α=，∴可解得：sin2α=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．【解答】解：因为=（1，﹣2），+=（0，2），所以=（﹣1，4），所以；故答案为：15．（5分）某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为6．【解答】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的乒乓球运动员人数为•6=，篮球运动员人数为•12=，足球运动员人数为•18=，∵n应是6的倍数，36的约数，即n=6，12，18．当样本容量为（n+1）时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，∵必须是整数，∴n只能取6．即样本容量n=6．故答案为：616．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=，且对任意正整数m，n，都=a m a n，若对任意n∈N*，S n＜t恒成立，则实数t的取值范围是有a m+n．=a m•a n，【解答】解：由题意得，对任意正整数m，n，都有a m+n令m=1，得到a n=a1•a n，所以=a1=，+1则数列{a n}是首项、公比都为的等比数列，所以S n==（1﹣）＜，因为S n＜t对任意n∈N*恒成立，所以t≥，故答案为：三、解答题（本大题共7小题，共70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=a5+a6=25．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式2S n+8n+27＞（﹣1）n k（a n+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，∴a1=﹣1，d=3．∴{a n}的通项公式为a n=3n﹣4．（Ⅱ）由（I）可知，，a n+4=3n；则原不等式等价于对所有的正整数n都成立．∴当n为奇数时，恒成立；当n为偶数时，恒成立．又∵，当且仅当n=3时取等号，所以当n为奇数时，的最小值为7，当n为偶数且n=4时，的最小值为，∴不等式对所有的正整数n都成立时，实数k的取值范是{k|}．18．（12分）如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=．∵∠ADC=π，∴∠ADB=．△ABD中，由正弦定理可得，∴AD=；（2）设DC=a，则BD=2a，∵BD=2DC，△ACD的面积为，∴4=，∴a=2∴AC==4，由正弦定理可得，∴sin∠BAD=2sin∠ADB．=，∴sin∠CAD=sin∠ADC，∵sin∠ADB=sin∠ADC，∴=4．19．（12分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？【解答】解：（1）由题意，30=xθ+10θ+2（10﹣x），∴θ=（0＜x＜10）；（2）花坛的面积为﹣==（10﹣x）（5+x）；装饰总费用为xθ•9+10θ•9+2（10﹣x）•4=9xθ+90θ+8（10﹣x）=170+10x，∴花坛的面积与装饰总费用的比为y=．令17+x=t，则y=，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=，∴当x=1时，y取得最大值．20．（12分）某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤．（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（≤3）项的概率．项目/学号编号①②③④⑤（1）T T T（2）T T T（3）T T T T（4）T T T（5）T T T T（6）T T T（7）T T T T（8）T T T T T（9）T T T（10）T T T T T注：“T”表示合格，空白表示不合格（Ⅱ）“科二”考试中，学员需缴纳150元报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行．学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次．某学员每轮测试或补测通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为1，1，1，，，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．①求该学员能通过“科二”考试的概率．②求该学员缴纳的考试费用X的数学期望．【解答】解：（1）根据题意，学员（1），（2），（4），（6），（9）恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：学员编号补测编号项数（1）（2）②③⑤3（1）（4）②③④⑤4（1）（6）③④⑤3（1）（9）①③⑤3（2）（4）②④⑤3（2）（6）②③④⑤4（2）（9）①②⑤3（4）（6）②③④3（4）（9）①②④⑤4（6）（9）①③④⑤4由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3，故所求概率为=；（2）由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试（或补测）的概率为1×1×1××=．①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为=．故学员能通过“科二”考试的概率为1﹣=．②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X=150，其他情况时均有X=450，而P（X=150）=+×=，故X的分布列为：X150450P故E（X）=150×+450×=126+72=198（元）．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD，…（2分）又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF；…（4分）（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，…（6分）如图，建立空间直角坐标系G﹣xyz，设PA=PD=AD=2，则G（0，0，0），A（1，0，0），，，D（﹣1，0，0），，又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，∴，，，，…（8分）设平面AFE的法向量为，则有，∴，不妨令x=3，则平面AFE的一个法向量为，…（10分）∵BG⊥平面PAD，∴是平面PAF的一个法向量，∵，∴平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）22．（12分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2+x，f（1）=0，∴a=2，且x＞0．∴f（x）=lnx﹣x2+x，∴f′（x）=﹣2x+1=﹣，当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（2）令F（x）=f（x）﹣ax+1=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，则F′（x）=﹣ax+1﹣a=﹣=﹣a ，当a≤0时，在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F（1）=2﹣a＞0，不符合题意，当a＞0时，函数F（x）在x=时取最大值，F（）=ln+，令h（a）=ln+=﹣lna，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h（a）单调递减，又∵h（1）=＞0，h（2）=﹣ln2＜0，∴符合题意的整数a的最小值为2．（3）∵a=﹣2，∴f（x）=lnx+x2+x，∴f（x1）+f（x2）+x1x2=lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2=（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=﹣1，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（1）=﹣1，∴f（x1）+f（x2）+x1x2≤（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，又∵x1，x2是正实数，∴x1+x2≥．23．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．。
广东省中山市普通高中2017-2018学年上学期高二数学期末模拟试题09
第5题图上学期高二数学期末模拟试题09满分150分，时间120分钟．第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．命题“0x R ∃∈，20020x x ++<”的否定是A ．0x R ∃∈，20020x x ++≥ B ．x R ∀∈，220xx ++≥C ．x R ∀∈，220x x ++< D ．x R ∀∈，220x x ++> 2．下列有关命题的说法正确的是 A ．命题“若21x=，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．命题“若x y =，则22x y =”的逆否命题是假命题C ．命题“若220a b +≠，则,a b 全不为0”为真命题 D ．命题“若αβ≠”，则cos cos αβ≠”的逆命题为真命题 3．抛物线2ax y =的焦点坐标为 A ．)0,41(aB ．)0,4(aC ．)41,0(aD ．)4,0(a4．已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则,x y 的值是A ．11,22x y == B ．11,2x y == C ．1,12x y == D ．1,1x y == 5．如图，在正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为 A ．10 B ．120- C . 120D . 10 6．过点(2,2)P -，且与2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是A ．12422=-y xB ．14222=-x yC ．14222=-y x D ．12422=-x y 7．“方程21x m +23y m=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是A ．312m <<B ．12m <<C ．23m <<D ．13m <<8．已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线22:1169x y C -=的左右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A BP-的值等于A B C ．54 D ．459．已知抛物线x y 42-=上的焦点F ，点P 在抛物线上，点()1,2-A ，则要使||||PF PA +的值最小的点P 的坐标为A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,41 C ．()22,2-- D ．22,2- 10．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E F 、分别是AB 、中点，GC ⊥平面ABCD ，且2GC =，则点B 到平面EFG 离为 A ．1010 B ．11112 C ．5311．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点,,,A B C D 的四边形为菱形，若菱形ABCD 的离心率是 A B C 12．双曲线1y x=的实轴长和焦距分别为 A 2 B ．2, C ．4 D ．第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置. 13．已知向量(1,0,1)a =-，(1,2,3),b k R =∈，且()ka b -与b 垂直，则k 等于 .14．设1F ，2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且120F P PF ⋅=，则△12F PF 的面积为 .第17题图15．已知抛物线28y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上的任意点，则线段PF 中点的轨迹方程是 .16．有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽 米.17．如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面上的点C 处，已知测得从C 、D 到库底与水坝的交线的距离分别为102DA =米、10CB =米，AB 的长 为10米，CD 的长为6 面角的大小为 度.18．已知平面α经过点(1,1,1)A ，且(1,2,3)n =是它的一个法向量. 类比曲线方程的定义以及求曲线方程的基本步骤，可求得平面α的方程是 .三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分12分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ；(Ⅱ) 求二面角C DF E --的余弦值. 20．（本小题满分10分）已知抛物线2:4C y x =与直线24y x =-交于A B ,两点. (Ⅰ)求弦AB 的长度；(Ⅱ)若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标.21．(本小题满分12分)已知双曲线C 与椭圆14822=+y x 3 (Ⅰ)求双曲线C 的方程； (Ⅱ)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 有两个不同的交点A 和B ,且2OA OB ⋅>(其中O 为原点),求k 的取值范围.22．(本小题满分12分)A DFEB G C如图，在平行四边形ABCD 中，01,2,90AB BD ABD ==∠=，将它们沿对角线BD 折起，折后的点C 变为1C ，且12AC =．(Ⅰ)求证：平面ABD ⊥平面1BC D ；(Ⅱ)E 为线段1AC 上的一个动点，当线段1EC 的长为多少时,DE 与平面1BC D 所成的角为030？23．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，121,,A A B 是椭圆C 的顶点，若椭圆C 的离心率32e =，且过点2(2,)2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)作直线l ，使得21//l A B ，且与椭圆C 相交于P Q 、两点（异于椭圆C 的顶点），设直线1A P 和直线1B Q 的倾斜角分别是,αβ，求证：αβπ+=.参考答案一、选择题：1－12：BDCADB ADABCC 二、填空题：13．7 14．1 15. 244y x =- 16．26 17．135 18.2360x y z ++-=三、解答题：19．解: (Ⅰ)证法一：∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC . 又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形， ∴ //AB DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， ∴//AB 平面DEG . 证法二：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. 以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2），G （2，2，0） (0,2,2),(2,2,0),(2,0,2)ED EG AB ===-,设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z = 则00ED n EG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1y =,得(1,1,1)n =--.∴220AB n ⋅=-+=，即AB n ⊥.∵AB ⊄平面DEG , ∴//AB 平面DEG . (Ⅱ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量.设平面DCF 的法向量为0000(,,)n x y z =，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴0000FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00002020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令01z =,得0(1,2,1)n =-.则0cos ,nEB <>==， ∴二面角C DF E --的余弦值为6-20．解：(Ⅰ)设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2),由2244y x y x=-⎧⎨=⎩得x 2-5x +4=0,Δ>0.法一：又由韦达定理有x 1+x 2=5,x 1x 2=4,∴|AB12|x x-=法二：解方程得：x =1或4，∴A、B 两点的坐标为（1,-2)、（4,4） ∴|AB =(Ⅱ)设点2(,)4oo y P y ,设点P 到AB 的距离为d ,则 d =∴S △P A B =21·53=12，∴2482o o y y --=. ∴2482o o y y --=±，解得6o y =或4o y =-yzx∴P 点为（9，6）或（4，-4）.21．解：(Ⅰ)设双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ,2,3==c a ,1=∴b ,故双曲线方程为1322=-y x . (Ⅱ)将2+=kx y 代入1322=-y x 得0926)31(22=---kx x k 由⎩⎨⎧>∆≠-00312k 得,312≠k 且12<k设),(),,(2211y x B y x A ,则由2>⋅得 )2)(2(21212121+++=+kx kx x x y y x x =2)(2)1(21212++++x x k x x k2231262319)1(222>+-+--+=k k k k k ,得.3312<<k 又21k <，2113k ∴<<,即)1,33(33,1( --∈k 22． (Ⅰ)22211112AC AC AB BC AB BC =⇒=+⇒⊥又AB BD ⊥，111,,BC BD BC D BC BD B ⊂⋂=平面1AB BC D∴⊥平面AB ABD⊂平面∴平面ABD ⊥平面1BC D（Ⅱ）在平面1BC D 过点B 作直线l BD ⊥,分别直线,,l BD BA 为x ，y ，z 建立空间直角坐标系B-xyz则A(0,0,1)，C 1(1,2,0)，D(0,2,0)∴),1,2,0(),12,1(1-=-=AC )1,0,0(=设1(,)AE AC λλλ==-，则(,1),[0,1]E λλλ-∈ ∴)1,22,(λλλ--=又)1,0,0(=是平面BC 1D 的一个法向量依题意得sin 30|cos ,|oBA DE =<>，即1|2=解得21=λ，即1||1C E =时，DE 与平面1BC D 所成的角为030．23. 解：（Ⅰ）由已知得：2222222112c aab c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩∴2,1a b ==，∴椭圆C 的方程为2214x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）知：1(2,0)A -，2(2,0)A ，1(0,1)B21//l A B ∴2112l A B k k ==-故可设直线l 的方程为12y x m =-+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y由221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得222220x mx m -+-= ∴2244(22)0m m =-->，即m <<,212122,22x x m x x m +==-,P Q 异于椭圆C 的顶点，∴,22ππαβ≠≠,∴111tan 2A P y k x α==+，1221tan B Q y k x β-==∴tan tan αβ+=121212y y x x -+=+211212(2)(1)(2)x y x y x x ++-=+2112211222(2)x y x y y x x x +---+ 1112y x m =-+，2212y x m =-+∴tan tan αβ+=21122112111()()2()2222(2)x x m x x m x m x x x -++-+--+--+121212(1)()22(2)m x x x x m x x -+-+-=+2122(1)(22)22(2)m m m m x x ---+-=+0= ∴tan tan tan()01tan tan αβαβαβ++==-又,(0,)αβπ∈，∴ (0,2)αβπ+∈,故αβπ+=.。
广东省中山市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含答案
广东省中山市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题“∀x∈R，x3﹣3x＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x3﹣3x≤0 B．∀x∈R，x3﹣3x＜0 C．∃x∈R，x3﹣3x≤0 D．∃x∈R，x3﹣3x＞02．若集合M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}，N={x|∉N}，则M∩N等于（）A．{3，6} B．{4，5} C．{2，4，5} D．{2，4，5，7}3．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．24．若双曲线的实轴长为4，则此双曲线的渐近线的方程为（）A．y=±4x B．y=±2x C．D．5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（）A．7.5 B．7 C．6 D．56．若实数x，y满足，则目标函数z=﹣x+y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．27．抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7，则A、B到y轴的距离之和为（）A．8 B．7 C．6 D．58．设Sn 为数列{an}的前n项和，a3=6且Sn+1=3Sn，则a1+a5等于（）A．12 B．C．55 D．9．已知空间向量=（0，，﹣），=（x，0，﹣2），则“x=2”是“＜，＞=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．函数f（x）=的最大值为（）A．B．C．D．11．斜率为1的直线与抛物线y=ax2（a＞0）交于A、B两点，且线段AB的中点C到y轴的距离为1，则该抛物线焦点到准线的距离为（）A．B．C．1 D．212．设A（﹣3，0），B（3，0），若直线y=﹣（x﹣5）上存在一点P满足|PA|﹣|PB|=4，则点P到z轴的距离为（）A．B．C．或 D．或二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是．14．椭圆7x2+3y2=21上一点到两个焦点的距离之和为．15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为平万千米．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC．（1）求角C的大小；（2）若a=5，b=8，求边c的长．18．设命题p：∃x0∈（﹣2，+∞），6+|x|=5．命题q：∀x∈（﹣∞，0），x2+≥4．命题r：若|x|+|y|≤1，则≤．（1）写出命题r的否命题；（2）判断命题￢p，p∨r，p∧q的真假，并说明理由．19．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E、M、N分别为PD、CD、AD的中点，．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．20．设数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，点（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn =nan2，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．21．在平面直角坐标系中，点P 为曲线C 上任意一点，且P 到定点F （1，0）的距离比到y 轴的距离多1．（1）求曲线C 的方程；（2）点M 为曲线C 上一点，过点M 分别作倾斜角互补的直线MA ，MB 与曲线C 分别交于A ，B 两点，过点F 且与AB 垂直的直线l 与曲线C 交于D ，E 两点，若|DE|=8，求点M 的坐标．22．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且椭圆C 上的点到椭圆右焦点F 的最小距离为﹣1．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且不与坐标轴平行的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OA ，OM ，OB 的斜率为k OA ，k OM ，k OB ，若k OA ，﹣k OM ，k OB 成等差数列，求直线l 的方程．广东省中山市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题“∀x∈R，x3﹣3x＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x3﹣3x≤0 B．∀x∈R，x3﹣3x＜0 C．∃x∈R，x3﹣3x≤0 D．∃x∈R，x3﹣3x＞0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈R，x3﹣3x≤0，故选：C2．若集合M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}，N={x|∉N}，则M∩N等于（）A．{3，6} B．{4，5} C．{2，4，5} D．{2，4，5，7}【考点】交集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简M，再由交集运算得答案．【解答】解：∵M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}={x∈N|1＜x＜7}={2，3，4，5，6}，N={x|∉N}，∴M∩N={2，3，4，5，6}∩{x|∉N}={2，4，5}，故选：C．3．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．2【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式，列出方程组，由此能求出公差d．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，∴，解得，d=．故选：A．4．若双曲线的实轴长为4，则此双曲线的渐近线的方程为（）A．y=±4x B．y=±2x C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得m=4，求得双曲线的方程，可得渐近线方程为y=±x．【解答】解：双曲线的实轴长为4，可得2=4，可得m=4，即有双曲线的方程为﹣y2=1，可得双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：C．5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（）A．7.5 B．7 C．6 D．5【考点】正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，进而可得周长的值．【解答】解：∵bcosA+acosB=c2，a=b=2，∴由余弦定理可得：b×+a×=c2，整理可得：2c2=2c3，∴解得：c=1，则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5．故选：D．6．若实数x，y满足，则目标函数z=﹣x+y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=﹣x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即C（3，1），此时zmin=﹣3+1=﹣2．故选：B7．抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7，则A、B到y轴的距离之和为（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A、B到y轴的距离之和．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7∴x1+x2=5，∴A、B到y轴的距离之和为5，故选：D．8．设Sn 为数列{an}的前n项和，a3=6且Sn+1=3Sn，则a1+a5等于（）A．12 B．C．55 D．【考点】数列递推式．【分析】Sn+1=3Sn，可得数列{Sn}为等比数列，公比为3．可得．利用递推关系即可得出．【解答】解：∵Sn+1=3Sn，∴数列{Sn}为等比数列，公比为3．∴．∴a3=S3﹣S2==6，解得S1=1=a1．∴Sn=3n﹣1．∴a5=S5﹣S4=34﹣33=54．∴a1+a5=55．故选：C．9．已知空间向量=（0，，﹣），=（x，0，﹣2），则“x=2”是“＜，＞=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据空间向量数量积的定义结合向量夹角公式以及充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：∵ =（0，，﹣），=（x，0，﹣2），∴•=（0，，﹣）•（x，0，﹣2）=×2=，则||==，||=，若＜，＞=，则cos＜，＞=cos=，即==，平方得，得x2=4，即x=±2，即“x=2”是“＜，＞=”的充分不必要条件，故选：A10．函数f（x）=的最大值为（）A．B．C．D．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】当x≠0时，f（x）==，结合基本不等式，可得函数的最大值．【解答】解：当x=0时，f（0）=0，当x≠0时，f（x）==≤=，故函数f（x）=的最大值为，故选：B11．斜率为1的直线与抛物线y=ax2（a＞0）交于A、B两点，且线段AB的中点C到y轴的距离为1，则该抛物线焦点到准线的距离为（）A．B．C．1 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于直线斜率为1，可设方程y=x+b，与抛物线的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式可得a的值，再求出抛物线焦点到准线的距离即可．【解答】解：设直线为y=x+b，与y=ax2联立方程组，即为，消y可得ax2﹣x﹣b=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=，∵线段AB的中点C到y轴的距离为1，∴=1，解得a=，∴y=x2，∴该抛物线焦点到准线的距离a即为，故选：A12．设A（﹣3，0），B（3，0），若直线y=﹣（x﹣5）上存在一点P满足|PA|﹣|PB|=4，则点P到z轴的距离为（）A．B．C．或 D．或【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件得到P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，求出双曲线的方程，联立方程组求出P的坐标即可得到结论．【解答】解：∵A（﹣3，0），B（3，0），P满足|PA|﹣|PB|=4＜|AB|，∴P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，其中c=3，2a=4，则a=2，b2=9﹣4=5，即双曲线方程为﹣=1，若直线y=﹣（x﹣5）上存在一点P满足|PA|﹣|PB|=4，则有消去y得16x2+90x﹣325=0，即（2x﹣5）（8x+65）=0，得x=或（x=﹣＜0舍），此时y=，即点P到z轴的距离为，故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是若x2≤1，则x≤1 ．【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是命题“若x2≤1，则x≤1”，故答案为：若x2≤1，则x≤114．椭圆7x2+3y2=21上一点到两个焦点的距离之和为2．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆方程转化成标准方程，求得a，b的值，由椭圆的定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离之和2a=2．【解答】解：由题意可知：椭圆的标准方程：，焦点在y轴上，a2=7，b2=3，由c2=a2﹣b2=4，c=2，∴由椭圆的定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离之和2a=2，故答案为：2．15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面D1EC的距离．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图∴B（1，2，0），C（0，2，0）E（1，1，0），D1（0，0，1），=（0，1，0），=（﹣1，1，0），=（﹣1，﹣1，1），设平面D1EC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），∴点B到平面D1EC的距离：d==．故答案为：．16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为21 平万千米．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．【解答】解：由题意画出图象：且AB=13里=6500米，BC=14里=7000米，AC=15里=7500米，在△ABC中，由余弦定理得，cosB===，所以sinB==，则该沙田的面积：即△ABC的面积S===21000000（平方米）=21（平方千米），故答案为：21．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC．（1）求角C的大小；（2）若a=5，b=8，求边c的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出．（2）利用余弦定理即可得出．【解答】解：（1）acosB+bcosA=2ccosC，∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC∴sin（A+B）=sinC=2sinCcosC，sinC≠0，解得cosC=，C∈（0，π），∴C=．（2）由余弦定理可得：c2=52+82﹣2×5×8cos=49，解得c=7．18．设命题p：∃x0∈（﹣2，+∞），6+|x|=5．命题q：∀x∈（﹣∞，0），x2+≥4．命题r：若|x|+|y|≤1，则≤．（1）写出命题r的否命题；（2）判断命题￢p，p∨r，p∧q的真假，并说明理由．【考点】复合命题的真假．【分析】（1）根据否命题的定义求出r的否命题即可；（2）分别判断p，q，r的真假，从而判断复合命题的真假即可．【解答】解：（1）命题r：若|x|+|y|≤1，则≤．命题r的否命题是：若|x|+|y|＞1，则＞；（2）命题p：∃x0∈（﹣2，+∞），6+|x|=5，是假命题，命题q：∀x∈（﹣∞，0），x2+≥2=4，是真命题，若|x|+|y|≤1，则则==﹣1+≥﹣1+=，故命题r是假命题；故命题￢p是真命题，p∨r是假命题，p∧q是假命题．19．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E、M、N分别为PD、CD、AD的中点，．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结BD，分别交AC、MN于点O、G，连结EO、FG，推导出EO∥PB，FG∥EO，PB ∥FG，由此能证明PB∥平面FMN．（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结BD，分别交AC、MN于点O、G，连结EO、FG，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB．…又，∴F为ED中点，又CM=MD，AN=DN，∴G为OD中点，∴FG∥EO，∴PB∥FG．…∵FG⊂平面FMN，PB⊄平面FMN，∴PB∥平面FMN．…解：（2）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．…如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，2，0），B（2，0，0），E（0，1，1），则，，…∵PA⊥平面ABCD，∴平面ABC的一个法向量n=（0，0，1）．…设平面AEC的法向量为n=（x，y，z），则，即，…令x=1，则y=﹣1，z=1，∴n=（1，﹣1，1），…∴．…由图可知，二面角E﹣AC﹣B为钝角，∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．…20．设数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，点（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn =nan2，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．可得2an+1+Sn﹣2=0，利用递推关系可得：an+1=．再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）bn =nan2=．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】（1）解：（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．∴2an+1+Sn﹣2=0，∴n≥2时，2an +Sn﹣1﹣2=0，可得：2an+1﹣2an+an=0，∴an+1=．∴数列{an}是等比数列，公比为，首项为1．∴an=．（2）证明：bn =nan2=．∴数列{bn }的前n项和为Tn=1+++…+，∴=+…+（n﹣1）×+n，∴=++…+﹣n=﹣n，∴Tn=﹣＜．21．在平面直角坐标系中，点P为曲线C上任意一点，且P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．（1）求曲线C的方程；（2）点M为曲线C上一点，过点M分别作倾斜角互补的直线MA，MB与曲线C分别交于A，B 两点，过点F且与AB垂直的直线l与曲线C交于D，E两点，若|DE|=8，求点M的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义得曲线C为抛物线，即可求曲线C的轨迹方程；（2）求出直线AB的斜率，可得直线DE的方程，利用抛物线的定义建立方程，即可得出结论．【解答】解：（1）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=﹣1的距离相等∴由抛物线的定义得曲线C 为抛物线， =1 ∴轨迹方程为：y 2=4x ．（2）设M （x 0，y 0），直线MA 的斜率为k ，直线MB 的斜率为﹣k ，k ≠0，直线MA 的方程为y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），将y 2=4x 代入整理得到ky 2﹣4y+4y 0﹣4kx 0=0， 则y A =﹣y 0，又y A ﹣y 0=k （x A ﹣x 0），整理得到x A =﹣，将其中的k 换成﹣k ，得到x B =+，y B =﹣﹣y 0，那么直线AB 的斜率k=﹣，∴直线DE 的斜率为，方程为y=（x ﹣1），代入y 2=4x ，可得=0，∴x 1+x 2=2+，∵|DE|=8， ∴2++2=8，∴y 0=±2，x 0=1，∴M （1，±2）．22．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且椭圆C 上的点到椭圆右焦点F 的最小距离为﹣1．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且不与坐标轴平行的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OA ，OM ，OB 的斜率为k OA ，k OM ，k OB ，若k OA ，﹣k OM ，k OB 成等差数列，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．联立直线方程与椭圆方程，由一元二次方程的根与系数的关系结合kOA ，﹣kOM，kOB成等差数列求得直线的斜率，则直线方程可求．【解答】解：（1）由题意可知，，解得：a2=2，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）．则．∵kOA ，﹣kOM，kOB成等差数列，∴kOA +kOB+2kOM====4k==．即k=．∴直线l的方程为y=．。
数学---广东省中山市2017-2018学年高二上学期期末考试试题(理)
参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BBCABDBAACDA13. 132y =-14. 1|,12x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 15. 12 16. ()0,+∞ 17. 解：（1）∵，由正弦定理得： ，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 化简得：，∴．．．．．．．．．．．．．．．．4分 在中，，∴，得．．．．．．．．．5分 （2）在ABC ∆中，1cos 7B =，得43sin 7B = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 则()3114353sin sin 272714C A B =+=⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 由正弦定理得sin 7sin 5a A c C == ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 设7,5a x c x ==，在ABD ∆中，由余弦定理得： 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =， 即7,5a c == ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 故1sin 1032ABC S ac B ∆== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 18．解：（1）因为22n n T a =-，所以1122T T =-，即123T =，所以1132T = 又122(2)nn n T T n T -=-≥，所以1122(2)n n n n T T T T n --=-≥， 即1111(2)2n n n T T --=≥， cos 3sin 0a C a C b c +--=sin cos 3sin sin sin sin A C A C B C +=+()sin cos 3sin sin sin sinC A C A C A C +=++3sin cos 1A A -=()01sin 302A -=ABC ∆000180A <<003030A -=060A =所以数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以32为首项，以12为公差的等差数列. ．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1）知1312(1)222n n n T +=+-⨯=，所以222(32)232322n b n n n n n n ===+-+++++++所以2(43)2(54)2(32)2(33)n S n n n =-+-+++-+=+- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．解：（Ⅰ）当时，， 当时，，综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）由（I ）知，当时，每天的盈利额为0当时，当且仅当时取等号 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以当时，，此时 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当时，由知函数在上递增，，此时 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分x c >23P =1221033T x x ∴=⋅-⋅=1x c ≤≤16P x=-21192(1)2()1666x x T x x x x x -∴=-⋅⋅-⋅⋅=---T x 292,160,x x x c T xx c ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪>⎩x c >1x c ≤≤2926x x T x-=-9152[(6)]6x x =--+-15123≤-=3x =()i 36c ≤<max 3T =3x =()ii 13c ≤<222224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==--2926x x T x-=-[1,3]2max926c c T c-∴=-x c =综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润若，则当日产量为万件时，可获得最大利润．．．．12分 20．（Ⅰ）证明：由已知得EF //CD ，且=EF CD .因为ABCD 为等腰梯形，所以有BG //CD . 因为G 是棱AB 的中点，所以=BG CD ． 所以EF //BG ，且=EF BG ， 故四边形EFBG 为平行四边形,所以EG //FB . ………………2分 因为FB ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ，所以EG //平面BDF ． ………………4分（Ⅱ）解：因为四边形CDEF 为正方形，所以ED DC ⊥.因为平面CDEF ⊥平面ABCD ， 平面CDEF 平面ABCD DC =， DE ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD .在△ABD 中，因为60DAB ︒∠=，22AB AD ==，所以由余弦定理，得3BD =，所以AD BD ⊥．……………6分在等腰梯形ABCD 中，可得1DC CB ==. 如图,以D 为原点，以DA DB DE ，，所在直线分别为,,x y z 轴， 建立空间坐标系， ………………7分则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ， (0,0,1)E ，(0,3,0)B ，13(,,1)22F - ， 所以(1,0,1)AE =- ，13(,,1)22DF =- ，(0,3,0)DB = .设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，由00.DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，n n所以3013022y x y z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩，取1z =，则2,0x y ==，得(2,0,1)=n ．…10分 设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ，36c ≤<13c ≤<c yzxCBFE DAG则sin cos ,AE AE AE θ⋅=〈〉=⋅ n n n1010= …………11分 所以AE 与平面BDF 所成的角的正弦值为1010. …………12分 21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2222111a x ax f x x x x-+'=+-=， 令()21g x x ax =-+，其判别式24a ∆=- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分①当2a ≤时，()0,0f x '∆≤≥，故()f x 在()0,+∞上单调递增，②当2a <-时，()0,=0g x ∆>的两根都小于0，在()0,+∞上，()0f x '>， 故()f x 在()0,+∞上单调递增，③当2a >时，()0,0g x ∆>=的两根为221244,22a a a a x x --+-==， 当10x x <<时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<；当2x x >时，()0f x '>， 故()f x 分别在()()120,,x x +∞，上单调递增，在()12,x x 上单调递减．．．6分 （2）由（1）知，2a >．因为()()()()1212121212ln ln x x f x f x x x a x x x x --=-+--， 所以()()1212121212ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+-⋅--，又由（1）知，121x x =．于是1212ln ln 2x x k a x x -=-⋅-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分若存在a ，使得2k a =-．则1212ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-，亦即()222212ln 01x x x x --=>（*） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 再由（1）知，函数()12ln h t t t t=--在()0,+∞上单调递增，而21x >， 所以222112ln 12ln101x x x -->--=．这与（*）式矛盾，故不存在a ，使得2k a =- ．．．．．12分22．（1）由题意，离心率，所以，所以， 故椭圆的方程为，将点代入，求得， 所以椭圆的标准方程为； ……………2分 （2）①设直线的方程为，则由题意直线的方程为，由 ，得， 所以点的坐标为， ……………………4分 同理可求得点的坐标为． ……………………6分 所以直线的斜率为． ……………8分 ②设，两点到直线的距离分别为，因为点在第一象限，则点必在第三象限，所以，且点、分别在直线的上、下两侧， 所以，，从而， ， 所以，……10分令，则， 32c e a ==23c a =224a b =22244x y b +=3(1,)221b =2214x y +=BQ 1y kx =+AP (2)y k x =--22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(14)80k x kx ++=Q 222814(,)1414k k k k--++P 222824(,)1414k k k k -++l 222222221441441141488288221414k k k k k k k k k k k k ----++==---+--++P Q AB 12,d d P Q 12k >P Q :220AB x y +-=220P P x y +->220Q Q x y +-<2221828222141455P P k k x y k k d -+-+-++==2222828222141455Q Q k k x y k k d --++-++=-=22222112222222282828282(14)2114148288(28)2(14)4221414k k S d k k k k k k k k S d k k k k k k k -+--+-+-++====---+++-+++21(0)k t t -=>122222111322242(1)1322233S k t t S k k t t t t t t-====≤=-+++++++++当且仅当，即，即时，有最大值为．……12分2t t=2t =212k +=12S S 322-。
(解析版)广东省中山市2017-2018学年高二下学期期末统一考试数学(理)试题
中山市高二级2017-2018学年度第二学期期末统一考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么，，中至少有一个是偶数，用反证法证明时，下列假设正确的是（）A. 假设，，都是偶数B. 假设，，都不是偶数C. 假设，，至多有一个偶数D. 假设，，至多有两个偶数【答案】B【解析】根据反证法证明的步骤，假设是对原命题结论的否定，因为“至少有一个”的否定是“都不是”，所以假设正确的是：假设都不是偶数，故选 A.2. 的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用微积分基本定理求解即可.详解：，故选 C.点睛：本题主要考查微积分基本定理的应用，特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握情况，考查计算能力，属于简单题.3. 已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.详解：：由于复数，，在复平面的对应点坐标为，在第一象限，故选 A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4. 通过随机询问名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：男女总计爱好不爱好总计由算得参照附表，得到的正确结论（）A. 我们有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”B. 我们有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”【答案】A【解析】分析：对照临界值表，由，从而可得结果.详解：根据所给的数据，，而，有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”，故选 A.点睛：本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.5. 已知随机变量满足，，则下列说法正确的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】分析：利用期望与方差的性质与公式求解即可.详解：随机变量满足，所以，解得，故选 D.点睛：已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解.若随机变量的均值、方差、标准差，则数的均值、方差、标准差.6. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件，则，解得，故选B．考点：对立事件与独立事件的概率．7. 已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口连续遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意可知，利用条件概率公式可求得的值.详解：设第一个路口遇到红灯的事件为，第二个路口遇到红灯的事件为，则，则，故选 C.点睛：本题考查条件概率公式，属于基础题.计算条件概率时一定要注意区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系.8. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则（）A. 0.3B.C. 4D.【答案】D【解析】分析：两边取对数，可化为，结合线性回归方程，即可得出结论.详解：由两边取对数，可得，令，可得，，，故选 D.点睛：本题主要考查的知识点是线性回归方程，其中理解回归方程的求解过程与熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问题的关键.9. 已知随机变量的概率分布如下表，则（）A. B. C. D.【答案】C。
中山市高二级2017—2018学年度第二学期期末统一考试
中山市高二级2017—2018学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若复数满足，则A. B. C. D.2. 设随机变量X～B(8，p)，且D(X)＝1.28，则概率p的值是A. 0.2B. 0.8C. 0.2或0.8D. 0.163. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算的观测值为10，，则下列选项正确的是( )A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响4. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A. 假设都是偶数；B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数5. 函数的单调递减区间是A. B.C. ，D.6. 已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为A. B. 4 C. －1 D. 17. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )A. B. C. D.8. 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的部分密度曲线)的点的个数的估计值为附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.A. 1 193B. 1 359C. 2 718D. 3 4139. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是( )A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨10. 将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是A. 150B. 210C. 240D. 30011. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：，如果把这个数列排成如图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为A. 1200B. 1280C. 3528D. 361212. 已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为____________14. __________15. 已知,则的值等于________.16. 已知函数，如果存在，使得对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17. 在的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含的项．18. 设正项数列的前项和为，且，(1)求，并猜想数列的通项公式(2)用数学归纳法证明你的猜想．19. 为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型；②作为产卵数和温度的回归方程来建立两个变量之间的关系.温度20产卵数个 64001.79其中，，，，附：对于一组数据，，……，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．（1）根据表中数据，分别建立两个模型下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：）（2）若模型①、②的相关指数计算分别为，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.20. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？21. 对于命题：存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立.（1）试给出这个常数的值；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题；（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题：“存在一个常数，使得不等式对任意正数，，恒成立．”观察命题与命题的规律，请猜想与正数，，，相关的命题．22. 已知函数存在两个极值点．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）设和分别是的两个极值点且，证明：．中山市高二级2017—2018学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若复数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.2. 设随机变量X～B(8，p)，且D(X)＝1.28，则概率p的值是A. 0.2B. 0.8C. 0.2或0.8D. 0.16【答案】C【解析】∵随机变量X～B（8，p），且D（X）=1.28，∴8P（1-p）=1.28，∴p=0.2或0.8故选：C3. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算的观测值为10，，则下列选项正确的是( )A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】因为7.879＜K2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选：A．4. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A. 假设都是偶数；B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数【答案】B【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选B...............................考点：命题的否定.5. 函数的单调递减区间是A. B.C. ，D.【答案】A【解析】函数y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞）．令y′=2x﹣= ，解得，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间是．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性6. 已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为A. B. 4 C. －1 D. 1【答案】A【解析】由条件中所给的随机变量的分布列可知EX=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣）+3=．故答案为：A．7. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：(1,3)、(1,5)、(3,5)、(2,4)，∴p(A)=，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4),∴P(AB)=∴ .本题选择B选项.8. 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的部分密度曲线)的点的个数的估计值为附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.A. 1 193B. 1 359C. 2 718D. 3 413【答案】B【解析】正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]= ×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．点睛：正态曲线的性质：（1）曲线在轴的上方，与轴不相交 .（2）曲线是单峰的，它关于直线=μ对称（由得）（3）曲线在=μ处达到峰值（4）曲线与轴之间的面积为19. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是( )A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【答案】B【解析】由题意，故选：B．10. 将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是A. 150B. 210C. 240D. 300【答案】A【解析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33=60种分法，分成2、2、1时，根据分组公式90种分法，所以共有60+90=150种分法，故选A．点睛：一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
第54题+不等式的概念与性质-2018精品之高中数学(理)黄金100题系列+Word版含解析
第54题 不等式的概念与性质I ．题源探究·黄金母题【例1】已知0,0,a b c >><求证：c c a d>． 【证明】10,0,0a b ab ab>>∴>>．于是11,a b ab ab ⋅>⋅即11,b a >由0c <，得c c a d>． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修5P 74例1．【母题评析】本题考查了不等式的重要性质．作为基础题，不等式性质的应用，是历年来高考的一个常考点． 【思路方法】熟记不等式性质，应用不等式的性质解题．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考山东理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （ ） A ．()21log 2a b a a b b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b<+<+ C ．()21log 2a ba ab b +<+< D ．()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B ． 【例3】【2016高考新课标I 】若101a b c >><<，，则 （ ） A ．cca b < B ．ccab ba < C ．log log b a a c b c < D ．log log a b c c < 【答案】C【命题意图】这类题主要考查不等式的性质、指数函数、对数函数、幂函数的性质．本题能较好的考查考生分析问题、解决问题的能力等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】比较指数式或对数式的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同或幂的指数相同，通常利用指数函数或对数函数或幂函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行【解析】用特殊值法．令3a =，2b =，12c =，得112232>，选项A错误；11223223⨯>⨯，选项B 错误；2313log 2log 22<，选项C 正确；3211log log 22>，选项D 错误，故选C ． 【例4】【2017高考北京理13】能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为______________________________． 【答案】1,2,3---．【解析】()123,1233->->--+-=->-相矛盾，∴验证是假命题． 【例5】【2017高考北京文14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （1）男学生人数多于女学生人数； （2）女学生人数多于教师人数； （3）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 【答案】6，12【解析】设男生数，女生数，教师数为,,a b c ，则2,,,c a b c a b c >>>∈N第一小问：max 846a b b >>>⇒=；第二小问：min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=比较．也可以利用特殊值法．III ．理论基础·解题原理1．比较法原理：0,0,0.a b a b a b a b a b a b ->⇔>-<⇔<-=⇔= 2．a b b a >⇔<（反对称性）； 3．若,,a b b c >>则a c >（传递性）4．若a b >，则a c b c +>+；5．若,0a b c >>，则ac bc >；若,0a b c ><，则ac bc <； 6．若,a b c d >>，则a c b d +>+； 7．若0,0a b c d >>>>，则ac bd >；9．若0a b >>，则(),2n n a b n N n >∈≥；IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解． 【技能方法】解决此类问题的关键是在不等式的求解证明中，必须在不等式的常见性质体系下进行分析．（1）用作差比较法比较数式的大小关键是变形，常将两个代数式作差后变形为常数或平方和的形式或几个因式积的形式等，常有的变形技巧有因式分解、配方、通分、分母（分子）有理化等．作差比较法的一般步骤：作差——变形——与0比较大小——下结论．（2）当用作差法难以比较数式的大小时，可以试用作商比较法（前提是两个代数式同号）．作商比较法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——下结论．（3）在运用不等式的性质时，一定要掌握它们成立的条件．如两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变，若同乘以（或除以）一个负数，则不等号的方向改变．因此在分式不等式中，若不能肯定分母是正数还是负数，则不要轻易去分母．又如，同向不等式相乘、不等式两边同时乘方或（或开方）时，要求不等式两边都是正数．（4）应用不等式的性质解题的常见类型及方法：①注意观察从已知不等式到目标不等式的变化，它是如何变形的，这些变形是否符合不等式的性质及性质的条件；②若比较大小的两式是指数或对数模型，注意联想单调性；③恰当运用赋值法和淘汰法探究解答选择题、填空题． 【易错指导】（1）比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．（2）不等式性质的等价性：在不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向还是双向，也就是说每条性质是否具有可逆性．（3）由于同向不等式相加或相乘会使范围变大，所以在求有关不等式取值范围的问题时，尽量少用不等式相加或相乘，次数越少越好，最好“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，这是避免出错的一条捷径．V ．举一反三·触类旁通考向1 利用不等式的性质判定大小【例1】【2018河南焦作高三第四次模拟】已知0a b >>，则下列不等式中成立的是（ ）A ．11a b >B ．22log log a b <C ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1122a b -->【答案】C【例2】【2018河北衡水中学高三十五模】已知330c c a b<<，则下列选项中错误的是（ ） A ．b a > B ．ac bc > C ．0a b c -> D ．ln 0ab> 【答案】D【解析】330c c a b <<，当0c <时，110a b >>，即b 0a >>，∴b a >，ac bc >，0a bc->成立，此时01a b <<，∴ln 0ab<，故选D ． 【例3】【2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】若1a >，01c b <<<，则下列不等式不正确的是（ ）A ．log 2018log 2018a b >B ．log log b c a a<C ．()()aac b c c b b ->- D ．()()cba c a a c a ->- 【答案】D【解析】根据对数函数的单调性可得log 20180log 2018a b >>，log log b c a a <，故A 、B 正确．∵1a >，01c b <<<，∴0a a c b <<，0c b -<，0c b a a <<，0a c ->， ∴()()aac b c c b b ->-，()()cba c a a c a -<-，则C 正确，D 错误．故选D ．【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法． (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数； (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． 【跟踪练习】1．【2018北京丰台区高三一模】已知0a b <<，则下列不等式中恒成立的是A ．11a b> B < C ．22a b > D ．33a b > 【答案】A2．【2018北京十一学校高三3月模拟】设 4.20.60.60.6,7,log 7a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a b c << 【答案】B【解析】0< 4.20.6<1，0.67>1，0.6log 7<0，所以b>a>c ，选B ．3．【2018四川成都第七中学高三上学期模拟】设12523log 2,log 2,a b c e ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a << 【答案】B【解析】因为()12523log 20,1,log 20,1a b c e=∈==，所以b a c <<，选B ．考向2 求范围的问题【例4】【2018黑龙江双鸭山市一中高二4月月考】已知15,13a b a b ≤+≤-≤-≤，则32a b -的取值范围是 ( )A ．[]6,14-B ．[]2,14-C ．[]2,10-D ．[]6,10- 【答案】C【解析】设()()32x y a b a b a b -=++-，易得：1x 2=，5y 2=， ∴()()[]15322,1022a b a b a b -=++-∈-，故选C ． 【名师点睛】根据不等式组确定二元目标式范围的方程有二，其一：利用待定系数法表示目标，直接加减一次即可；其二：利用线性规划的方法处理．【例5】三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则ba的取值范围是________． 【答案】23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例6】【2018辽宁大连渤海高级中学高二上学期期中考试】设()2f x ax bx =+，且()112f -≤-≤，()214f ≤≤，求()2f -的取值范围．【答案】()1210f -≤-≤【解析】试题分析：由()2f x ax bx =+ 得()242f a b -=-．已知()()1,1f f - 的范围，用()()1,1f f -表示,a b ，再把()242f a b -=-化简，然后根据不等式的性质可得所求范围．试题解析：由已知得()()1{ 1f a b f a b-=-=+，∴()()()()112{112f f a f f b +-=--=，∴()()()()()11112424222f f f f f a b +----=-=⨯-⨯()()131f f =+-，∵()()112,3316f f -≤-≤∴-≤-≤，∵()214f ≤≤，∴()()113110,f f -≤+-≤∴()1210f -≤-≤．【名师点睛】利用不等式的性质可以求参数或某些代数式的取值范围，但在变换过程中要注意掌握、准确使用不等式的性质．求含有字母的代数式的取值范围时，要注意题设中的条件．如本例若忽视αβ<，则会导致取值范围变大． 【跟踪练习】1．【2018广西防城港市高中毕业班1月模拟】已知0,0,22a b a b >>+=，若24a b m +>恒成立，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】4m <2．【2018江苏邗江中学高二下学期期中考试】若不等式（﹣1）n •a ＜3对任意的正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】【解析】分析：将不等式进行参数分离，求函数的最值即可得到结论． 详解：当为奇数时，不等式可化为，即，要使得不等式对任意自然数恒成立，则，当为偶数时，不等式可化为，要使得不等式对任意自然数恒成立，则，即，综上，．【名师点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，将不等式的恒成立转化为求式子的最值问题解决恒成立问题是解答恒成立问题的基本方法，着重考查分析问题和解答问题的能力．3．【2018北京市海淀区育英学校高一下期期中考试】若实数a ，b 满足02a <<，01b <<，则a b -的取值范围是__________． 【答案】()1,2-【解析】01,10b b <<∴-<-<，02,12a a b <<∴-<-<，故答案为()1,2-．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4，2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是________． 【答案】[－12，42]【名师点睛】本题是一道易错题，如果根据1≤a 5≤4，2≤a 6≤3分别求出1,a d 的范围，再求S 6＝6a 1＋15d 的范围，实际上是错误的．这里涉及到不等式取等的问题，可以利用线性规划的知识，也可以利用解答中的整体代入的方法．考向3 不等式的性质与充要条件【例7】【2018广东省中山市高二上学期期末复习】若,a b 为实数，则22a b >是0a b >>的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不也不必要条件 【答案】B【解析】当0a b >>时，22a b >成立，当3,1a b =-=-时，满足22a b >，但0a b >>不成立，即“22a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件，故选B ．【例8】【2018广东中山市高二上学期理科数学期末考试】条件甲：24{03x y xy <+<<<；条件乙：01{23x y <<<<，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不也不必要条件 【答案】B 【解析】由01{23x y <<<<，根据不等式的性质可得24{ 03x y xy <+<<<；由01{23y x <<<<，而15,22x y ==时，24{03x y xy <+<<<成立，01{ 23y x <<<<不成立，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B ．【例9】下列四个不等式：①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a ，其中能使11a b<成立的充分条件有________． 【答案】①②④【解析】①a ＜0＜b ⇒1a ＜0，1b ＞0⇒1a ＜1b ；②b ＜a ＜0⇒1a ＜1b ；③b ＜0＜a ⇒1a ＞1b；④0＜b ＜a ⇒1a ＜1b．故答案为：①②④． 【跟踪练习】1．【2018天津蓟州区第一中学高二第一学期第二次月考】①一个命题的逆命题为真，它的否命题一定也为真： ②在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件；③是的充要条件； ④“”是“”的充分必要条件；以上说法中，判断错误的有_______________． 【答案】③④有，又由，则，故在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件，②正确；对于③，当，则满足，而不满足，则是的不必要条件，③错误；对于④，若，当时，有，则“”是“”的不必要条件，④错误，故答案为③④．2．【2018衡水金卷（四）】设p ：3402x xx-≤，q ：()22210x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]2,1-B ．[]3,1-C ．[)(]2,00,1-⋃D ．[)(]2,10,1--⋃ 【答案】D【解析】设p ：3402x xx-≤的解集为A ，所以A={x|-2≤x ＜0或0＜x≤2}，设q ：()22210x m x m m -+++≤的解集为B ，所以B={x|m≤x≤m+1}，由题知p 是q 的必要不充分条件，即得B 是A 的真子集，所以有010{01{ 2 1.122m m m m m m >+<⇒<≤⇒-≤<-+≤≥-或综合得m ∈[)(]2,10,1--⋃，故选D ．3．设,x y R ∈，则4()0x y x -<是x y <的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A。
最新广东省中山市-2018学年高二下学期期末统一考试数学(理)试卷含答案
中山市高二级2017-2018学年度第二学期期末统一考试数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用反证法证明：若整系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，用反证法证明时，下列假设正确的是（ ） A ．假设a ，b ，c 都是偶数 B ．假设a ，b ，c 都不是偶数 C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数 D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数2.()sin 2x dx ππ-+⎰的值为（ ）A ．0B ．42π-C ．4πD ．42π+ 3.已知i 为虚数单位，则复数1iz i=+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4.通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得()2210010302040 4.76250503070K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表，得到的正确结论（ ）A ．我们有95%以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．我们有95%以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关” 5.已知随机变量X 满足()15E X -=，()15D X -=，则下列说法正确的是（ ）A ．()5E X =-，()5D X =B ．()4E X =-，()4D X =- C. ()5E X =-，()5D X =- D ．()4E X =-，()5D X =6.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940，则p =（ ） A ．110 B ．215 C.16 D ．157.已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（ ）A ．0.2B ．0.6 C.0.8 D ．0.98.用模型kxy ce =拟合一组数据，为了求出回归方程，设ln z y =，其变换后得到线性回归方程0.3+4z x =，则c =（ ） A ．0.3 B ．0.3eC.4 D ．4e9.已知随机变量X 的概率分布如下表，则()10P X =（ ）A ．93B ．103 C.93 D ．10310.若函数()22ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.[)1,2 D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.若()()55234512345122x a x a x a x a x a x a x +++=++++，则2135a a a a -+-=（ ）A ．0B ．1- C.243 D ．212.e 为自然对数的底数，已知函数()1,18ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，则函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ）A ．1a <-或21a e =或98a > B ．1a <-或2118a e ≤≤ C. 1a >-或2198a e << D ．1a >-或98a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.给出下列演绎推理：“自然数是整数， ，所以2是整数”，如果这是推理是正确的，则其中横线部分应填写 ． 14.ln10=，()ln 2342ln3++=， ()ln 345672ln5++++=， ()ln 456789102ln7++++++=，……则根据以上四个等式，猜想第n 个等式是 ．()*n N ∈15.已知曲线()xe f x x=在点P 处的切线为y ax =，则点P 的坐标为 ．16.江湖传说，蜀中唐门配置的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由3种藏红花，2种南海毒蛇和1种西域毒草顺次添加炼制而成，其中藏红花添加顺序不能相邻，同时南海毒蛇的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对药效的影响，则总共要进行 此实验． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.以下是某地搜集到的新房源的销售价格y （万元）和房屋的面积()2x m 的数据：（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求y 关于x 的线性回归方程； （2）请根据（1）中的线性回归方程，预测该地当房屋面积为2150m 时的销售价格。
广东省中山市普通高中2017-2018学年高二数学上学期期末模拟试题04
上学期高二数学期末模拟试题04第I 卷（客观题）一、选择题（本大题共10个小题；每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）1.下列命题是真命题的为（ ）A. B.若x 2=1,则x=1 C.若x=y,则 D.若x<y,则x 2<y 2 2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则满足l ∥α的向量a 与n 可能为( ) (A) a =(1,3,5),n =(1,0,1) (B)a =(1,0,0),n =(-2,0,0) (C)a=(0,2,1),n =(-1,0,-1) (D) a =(1,-1,3),n =(0,3,1)3.命题“若﹁p ，则q ”是真命题，则下列命题一定是真命题的是( ) （A ）若p,则﹁q （B ）若q,则﹁p （C ）若﹁q ，则p （D ）若﹁q,则﹁p4.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线y=±21x ，则该双曲线的离心率e=( ) (A)5 (B) (C) (D) 5．“f (x 0，y 0)＝0”是“点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知两平面的法向量分别为m =（0，1，0），n =（0，1，1）,则两平面所成的二面角为( ) A.45° B.135° C.45°或135° D.90°7.下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有 ②≠,则和共线的充要条件是：b a R λλ=∈∃使,；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若 （其中x 、y 、z ∈R ）且x+y+z=1,则P 、A 、B 、C 四点共面.其中不正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.48．已知双曲线x 2－y 23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为( )A ．1B. 3C ．3D ．49.过椭圆的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心y x y x ==则若,11y x ==+++OC z OB y OA x OP ++=54率为（ ）A.B. C. D.第Ⅱ卷（主观题）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）11.若命题p:x ∈R,x 2-1>0,则命题p 的否定是 .12．命题“若25x y +≠,则12x y ≠≠或”是______________命题(填“真”,“假”)13、等边三角形ABC 的边长为a ，则)(=⋅14、已知抛物线y 2=2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A （3，2）.则|PA|+|PF|的最小值为 ，且取最小值时P 点的坐标为 ；15.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，给出下列四个结论： ①AC ⊥BD ；②AB 、CD 所成的角为60°； ③△ADC 为等边三角形；④AB 与平面BCD 所成的角为60°.其中真命题是________ (请将你认为是真命题的序号都填上). 三、解答题（本大题共5小题，共50分） 16、（8分） 已知:a =(x,4,1),b =(-2,y,-1),c =(3,-2,z),a ∥b ,b ⊥c , 求: (1)a,b,c ; (2)(a +c )与(b +c )所成角的余弦值.17、（8分）已知命题p ：方程11422=-+-t y t x所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆； 命题q ：关于实数t 的不等式t 2-(a+3)t+(a+2)<022332131∀（1） 若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2) 若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。
广东省中山市普通高中2017-2018学年高二数学上学期期末模拟试题05
上学期高二数学期末模拟试题05一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．抛物线28y x =的焦点坐标为（ ）A ．(20)，B ．(20)-，C ．(02)，D ．(02)-，2. 已知直线经过点(04)A ，和点(12)B ，，则直线AB 的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12-D ．不存在3．过点(12)P -，与直线210x y +-=垂直的直线的方程为（ ）A ．240x y -+=B ．052=+-y xC ．032=-+y xD ． 032=++y x 4．已知命题2:10q x x ∀∈+>R ，，则q ⌝为（ ）A ．210x x ∀∈+≤R ， B ．210x x ∃∈+<R ， C ．210x x ∃∈+≤R ，D ．210x x ∃∈+>R ，5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 是（ ）6．棱长为2的正方体的外接球的体积为（ ）A ．8B ．8πC．D．37．已知长方体1111D C B A ABCD -中，2AB =，11AD AA ==，则直线1BD 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ）A ．12B．3 C ．2D ．6左视图俯视图1C1D8．已知αβ，表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．过点(11)，的直线l 与圆224x y +=交于A B ，两点，若|AB ，则直线l 的方程为（ ）A ．+2=0x y -B ．2+1=0x y -C ．21=0x y --D ．1=0x y --10.设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则此双曲线的离心率为 （ ）11. 已知抛物线C ：2=4y x 的焦点为F ，直线=24y x -与C 交于A ，B 两点，则cos =AFB ∠（ ）A ．45B ．35C ．35-D ．45-12．若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同，且12a a >，则下面结论正确的是（ ）① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点 ② 22212221b b a a -=-③1122a b a b > ④ 1212a a b b -<- A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③A ．B ．C ．3D ．12A．2B．2C ．32D ．52二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上．13．命题“a b ∀∈R ，，如果a b >，则33a b >”的逆命题是___________________________．14．椭圆22192x y +=的焦点为12F F ，，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =_________；12F PF ∠的小大为__________．15．圆222210x y x y +--+=上动点Q 到直线3480x y ++=距离的最小值为_______． 16．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点．已知下列判断：①1AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关．其中正确结论的序号为_____________（写出所有正确结论的序号）.三、解答题：本大题共6个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分6分)已知直线l 与直线3470x y +-=的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程.18．(本小题满分6分)已知直线1:20l x y +=，直线2:20l x y +-=和直线3:3450l x y ++=． （Ⅰ）求直线1l 和直线2l 交点C 的坐标；（Ⅱ）求以C 点为圆心，且与直线3l 相切的圆C 的标准方程．A BCDFE 1A1B1C 1D19．(本小题满分6分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，O 是正方形ABCD 的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（Ⅰ）PA ∥平面BDE ；（Ⅱ）平面PAC ⊥平面BDE .20．(本小题满分8分)如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，1PA AB ==，PB PD ==点E 在PD 上，且:2:1PE ED =.（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面ACE .21．(本小题满分7分)A BCDOEPCDPAEB已知平面内一点P 与两个定点1(0)F 和20)F 的距离的差的绝对值为2． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）设过(02)-，的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），求直线l 的方程．22．(本小题满分7分)已知椭圆的两个焦点1F (0)，2F 0)，过1F 且与坐标轴不平行的直线m 与椭圆相交于M ，N 两点，如果2MNF ∆的周长等于8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点(10)，的直线l 与椭圆交于不同两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (0)m ，，使PE QE ⋅恒为定值？若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.（一题两空的题目第一问1分，第二问2分.第16题答对一个给1分，但有多答或答错不给分.）三、解答题：本大题共6个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分6分)解：直线3470x y +-=的斜率为34-. 因为直线l 与直线3470x y +-=的倾斜角相等，所以3=4l k -. ……………1分 设直线l 的方程为3=+4y x b -，令=0y ，则4=3x b . ……………2分因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以14=||||=2423S b b ⋅，所以=6b ±. ……………4分所以直线l 的方程为3=64y x -±，即3+4+24=0x y 或3+424=0x y -． ……………6分18．(本小题满分6分) 解：（Ⅰ）由2020x y x y +=⎧⎨+-=⎩，，得24x y =-⎧⎨=⎩，，所以直线1l 和直线2l 交点C 的坐标为()24-，． ……………2分 （Ⅱ）因为圆C 与直线3l 相切， 所以圆的半径351543516622==+++-=r ， ……………4分 所以圆C 的标准方程为()()94222=-++y x ． ……………6分19．(本小题满分6分)证明：（Ⅰ）连结OE ．因为O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，所以OE ∥AP ， ……………2分 又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以PA ∥平面BDE ． ……………3分 （Ⅱ）因为PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BD ， ……………4分 又因为AC ⊥BD ，且AC PO =O ，所以BD ⊥平面PAC ． ……………5分 而BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ． ……………6分 20．(本小题满分8分)解：（Ⅰ）正方形ABCD 边长为1，1PA =，PB PD ==所以90PAB PAD ∠=∠=，即PA AB ⊥，PA AD ⊥， 因为ABAD A =，所以PA ⊥平面ABCD . ………………2分 （Ⅱ）如图，以A 为坐标原点，直线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(110)AC =，，，21(0)33AE =，，. 由（Ⅰ）知AP 为平面ACD(001)AP =，，，设平面ACE 的法向量为()n a b c =，，由n AC ⊥，n AE ⊥，得021033a b b c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 令6c =，则3b =-，3a =，所以(336)n =-，，， ………………4分所以6cos 3n AP AP n n AP⋅<>==，， 即所求二面角的余弦值为3………………5分 （Ⅲ）设([01])PF PC λλ=∈，，则(111)()PF λλλλ=-=-，，，，， (11)BF BP PF λλλ=+=--，，，若//BF 平面ACE ，则BF n ⊥，即0BF n ⋅=，(11)(336)0λλλ--⋅-=，，，，， 解得12λ=， ………………7分 所以存在满足题意的点，当F 是棱PC 的中点时，//BF 平面ACE . ………………8分21．(本小题满分7分)解：（Ⅰ）根据双曲线的定义，可知动点P 的轨迹为双曲线， 其中1a =，3c =222b c a =-所以动点P 的轨迹方程C ：22=12y x -． ………………2分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，11()A x y ，，22()B x y ，， 由方程组22122y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，，得()222460k x kx -+-=． ………………3分 因为直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，所以22220=(4)4(2)(6)>0k kk ⎧-≠⎪⎨∆-⨯-⨯-⎪⎩，，即k k ≠ ()* ………………4分 由根与系数关系得 12242k x x k -+=-，12262x x k -⋅=-， 因为112y kx =-，222y kx =-，所以21212122()4y y k x x k x x =⋅-++． ………………5分因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=， ………………6分所以 21212(1)2()40k x x k x x +-++=，所以()22264124022kkk kk --+⋅-⋅+=--， 即21k =，解得1k =±，由()*式知1k =±符合题意．所以直线l 的方程是2y x =-或2y x =--． ………………7分 22．(本小题满分7分)解：（Ⅰ）由题意知c ，4=8a ，所以=2a ，=1b ，所以椭圆的方程为22+=14x y . ……………2分 （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为=(1)y k x -，因为点(1,0)在椭圆内，所以直线l 与椭圆有两个交点，k ∈R .由22+=14=(1)x y y k x ⎧⎪⎨⎪-⎩，，消去y 得2222(4+1)8+44=0k x k x k --， ……………3分 设P 11()x y ，，Q 22()x y ，， 则由根与系数关系得21228+=4+1k x x k ，212244=4+1k x x k -， 所以21212=(1)(1)y y k x x --， ……………4分则=PE 11()m x y --，，=QE 22()m x y --，， 所以PE QE ⋅＝1212()()+m x m x y y --＝2121212(+)++m m x x x x y y -＝22121212(+)++(1)(1)m m x x x x k x x ---＝2222222222844448++(+1)4+14+14+14+1k m k k k m k k k k k ---- ＝2222(48+1)+44+1m m k m k -- ……………5分要使上式为定值须2248+14=41m m m --，解得17=8m ， 所以PE QE ⋅为定值3364. ……………6分当直线l 的斜率不存在时P (1，Q (1-，，由E 17(0)8，可得=PE 9(8-，，=QE 9(8， 所以81333==64464PE QE ⋅-， 综上所述当E 17(0)8，时，PE QE ⋅为定值3364. ……………7分。