索洛模型详细推导
索洛模型
n, g , , s
政策最有可能影响的是储蓄率
34
（三）参数变化的影响
1.储蓄率增加的影响方向分析（定性）； 2.储蓄率增加的影响程度分析（定量）； 3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平。
分三个角度来观察： 1.旧的稳态点
2.新的稳态点
其中：有效劳动AL，有效劳动人均资本k=K/AL， 有效劳动人均产量y=Y/AL，总产量Y=AL· f(k)
8
（一）模型的基本假定
进一步假设：
f k 0 f k 0
边际报酬递减
满足稻田( Inada )条件： lim f k lim f k 0
经济增长理论之
索洛模型
1
70法则
如果任意变量每年以g%的速度增长，则该变量值翻 倍时间大约是70/g年。
yt y0e gt 2 y0 y0 e
gt *
t * log 2 / g 0.7 / g g % 1%和5%时，t * 70和14年。
2
预备知识：技术进步的类型
Y=F(K,AL)（哈罗德型，资本增进型） Y=F(AK,L)（索洛型，劳动增进型）
gt At A0e
12
（一）模型的基本假定
投入品的指数增长： 假设时间t是连续的（非离散的） （1）劳动力的增长： L(t ) / L(t ) [dL(t ) / dt ] / L(t ) n
（2）知识的增长： A(t ) / A(t ) [dA(t ) / dt ] / A(t ) g 其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外 生参数，表示不变增长速度
n g k t
sf k
索洛模型推导
索洛模型描述的是资本、技术水平、储蓄、劳动与经济增长之间的关系。
要推导索洛模型，首先来看经典的经济增长理论。
生产函数：),(L K F A Y ⋅= (1) Y=实际GDP 产出A=技术水平K=资本存量L=劳动力总产出的变动可以分解成技术水平、资本、劳动三种要素的变动，故得到实际GDP 的增长率：)()(L L K K A A Y Y ∆+∆+∆=∆βα (2) 经典的增长理论假设技术水平A 已经给定，要素的边际产量递减且规模报酬为零，故(2)式可以变为：)()1()(L L K K Y Y ∆⋅−+∆⋅=∆αα (3) 现在来推导索洛模型。
索洛模型研究的是每个工人的实际GDP （L Y y =）和每个工人的资本(L K k =)之间的关系。
将y 对Y 和L 进行全微分之后可以得到以下公式：L L Y Y y y ∆−∆=∆ (4) 即：每个工人的实际GDP 增长率=实际GDP 增长率—劳动增长率同理可得：L L K K k k ∆−∆=∆ (5) 即：每个工人的实际GDP 增长率=资本增长率—劳动增长率由(3)式可得：)(L L K K L L Y Y ∆−∆=∆−∆α (6) 把(4)式、（5）代入得：)(k k y y ∆=∆α (7) 至此，我们可以得出结论：在技术水平外生给定的条件下，每个工人的实际GDP 增长率取决于平均资本增长率。
下面再来推导决定每个工人的实际GDP 增长率的两个条件——实际GDP 增长率K K ∆和劳动增长率L L ∆。
我们在国民收入核算中学过，国内生产净值(NDP)等于GDP 减去资本存量的折旧。
而国民收入等于国内生产净值，它又流向了两个方向：消费C 和实际储蓄。
写成方程即：)(K Y s C K Y δδ−⋅−=− (8) s=储蓄率δ=折旧率用支出法核算，I C Y += (9) 即：收入=消费+投资两边同时减去K δ得：K I C K Y δδ−+=− (10) 即：实际GNP=消费+净投资(8)式与(10)比较，两等式的左边相同，故右边相等：)(K Y s K I δδ−=− (11) 即：净投资=实际储蓄又因为资本存量的变化等于总投资减去折旧，我们可以得到：K I K δ−=∆ (12) 代人(11)式可得：)(K Y s K δ−=∆ (13) 两边同时除以K 得：δs K Y s K K −⋅=∆ (14) 对于L L ∆，我们假设它等于外生的人口增长率n ：n L L =∆ (15) 把(14)式、(15)式代入(5)式可以得到每个工人的平均资本增长率n s K Y s k k −−⋅=∆δ)( (16) n s k y s −−=δ)(如果我们把y 表达成k 的函数，便可得到：)(k f A y ⋅=则有：n s k k f sA k k −−=∆δ))(( (17) []n s k k f sA k k y y −−=∆=∆δαα)/)(()( (18) 以上(17)式、(18)式便是索洛模型的关键方程。
索洛增长模型
k的动态学
由于有 k K / AL 用链式法则，我们可以得到下面的推 导过程：
•
•
K (t)
K (t)
•
•
k(t) A(t)L(t) ( A(t)L(t))2 ( A(t) L(t) L(t) A(t))
•
•
•
K (t) K (t) L(t) K (t) A(t)
A(t)L(t) A(t)L(t) L(t) A(t)L(t) A(t)
•
•
•
由于K / AL k, L/ L n, A/ A g, K sY (t) K (t),则，
•
k (t )
sY
(t )
K (t)
k (t )n
k (t ) g
s
Y (t)
k(t) nk(t) gk(t)
A(t ) L(t )
A(t ) L(t )
应用Y / AL f (k),有
生产函数假定：规模报酬不变 规模报酬不变的假定使我们可以使用密集形式
的生产函数：
F ( K ,1) 1 F (K, AL) AL AL
K 是每单位有效劳动的平均资本数量， AL F (K, AL) / AL就是每单位有效劳动的平均产量 定义k K / AL，y Y / AL，则 y f (k)
储蓄率上升对产量的影响
y f (k ) k (s, n, g, )
s
s
•
k 是由k 0定义的，因此k 满足
sf (k (s, n, g, )) (n g )k (s, n, g, )
对上述方程求关于s的导数，得
sf (k ) k f (k ) (n g ) k
s
s
k s
索洛模型推导
索洛模型描述的是资本、技术水平、储蓄、劳动与经济增长之间的关系。
要推导索洛模型，首先来看经典的经济增长理论。
生产函数：),(L K F A Y ⋅= (1) Y=实际GDP 产出A=技术水平K=资本存量L=劳动力总产出的变动可以分解成技术水平、资本、劳动三种要素的变动，故得到实际GDP 的增长率：)()(L L K K A A Y Y ∆+∆+∆=∆βα (2) 经典的增长理论假设技术水平A 已经给定，要素的边际产量递减且规模报酬为零，故(2)式可以变为：)()1()(L L K K Y Y ∆⋅−+∆⋅=∆αα (3) 现在来推导索洛模型。
索洛模型研究的是每个工人的实际GDP （L Y y =）和每个工人的资本(L K k =)之间的关系。
将y 对Y 和L 进行全微分之后可以得到以下公式：L L Y Y y y ∆−∆=∆ (4) 即：每个工人的实际GDP 增长率=实际GDP 增长率—劳动增长率同理可得：L L K K k k ∆−∆=∆ (5) 即：每个工人的实际GDP 增长率=资本增长率—劳动增长率由(3)式可得：)(L L K K L L Y Y ∆−∆=∆−∆α (6) 把(4)式、（5）代入得：)(k k y y ∆=∆α (7) 至此，我们可以得出结论：在技术水平外生给定的条件下，每个工人的实际GDP 增长率取决于平均资本增长率。
下面再来推导决定每个工人的实际GDP 增长率的两个条件——实际GDP 增长率K K ∆和劳动增长率L L ∆。
我们在国民收入核算中学过，国内生产净值(NDP)等于GDP 减去资本存量的折旧。
而国民收入等于国内生产净值，它又流向了两个方向：消费C 和实际储蓄。
写成方程即：)(K Y s C K Y δδ−⋅−=− (8) s=储蓄率δ=折旧率用支出法核算，I C Y += (9) 即：收入=消费+投资两边同时减去K δ得：K I C K Y δδ−+=− (10) 即：实际GNP=消费+净投资(8)式与(10)比较，两等式的左边相同，故右边相等：)(K Y s K I δδ−=− (11) 即：净投资=实际储蓄又因为资本存量的变化等于总投资减去折旧，我们可以得到：K I K δ−=∆ (12) 代人(11)式可得：)(K Y s K δ−=∆ (13) 两边同时除以K 得：δs K Y s K K −⋅=∆ (14) 对于L L ∆，我们假设它等于外生的人口增长率n ：n L L =∆ (15) 把(14)式、(15)式代入(5)式可以得到每个工人的平均资本增长率n s K Y s k k −−⋅=∆δ)( (16) n s k y s −−=δ)(如果我们把y 表达成k 的函数，便可得到：)(k f A y ⋅=则有：n s k k f sA k k −−=∆δ))(( (17) []n s k k f sA k k y y −−=∆=∆δαα)/)(()( (18) 以上(17)式、(18)式便是索洛模型的关键方程。
索洛增长模型的基本公式
索洛增长模型的基本公式
索罗模型最基础的公式也就是Kt+1=SF (kt，L)+(1-delta）Kt。
总体生产函数：(E是内生化之后的A，E*L代表的是效率工人）。
人均生产函数的推导：在稳态，人均投资（由储蓄转化而来）等于投资的折旧、广化和深化：其中，K——资本；L——劳动；A——技术发展水平；I——毛投资；S——储蓄；k——有效劳动投入之上的资本密度；s——边际储蓄率；n——人口增长率；g——技术进步率；——资本折旧率；y——有效劳动投入之上的人均产出。
【拓展资料】
梭罗－史旺模型，又称索洛增长模型、新古典经济增长模型、外生经济增长模型，在新古典经济学框架内所提出的著名的经济增长模型。
由罗伯特·索洛与Trevor Swan在1956年各自提出独立提出的经济成长模型。
主要用于解释固定资本增加，对GDP所产生的影响。
模型假设：该模型假设储蓄全部转化为投资，即储蓄-投资转化率假设为1；
该模型假设投资的边际收益率递减，即投资的规模收益是常数；
该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假设，采用了资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产函数，从而解决了哈罗德-多马模型中经济增长率与人口增长率不能自发相等的问题。
因为在科布-道格拉斯生产函数中，劳动数量既定，随资本存量的增加，资本的边际收益递减规律确保经济增长稳定在一个特定值上。
该模型没有投资的预期，因此回避了有保证的经济增长率与实际经济增长率之间的不稳定，就此可得出结论：经济稳定增长。
模型结论：经济增长的路径是稳定的。
在长期，只有技术进步是增长的来源。
储蓄率不是常数，决定储蓄率和相应的投资取决于经济个体的决策，即家庭和厂商效用最大化的权衡。
《索洛模型详解》课件
企业可以利用索洛模型分析其战略对资本、劳动力和技术进步的影响，了解其经济增长 的源泉和潜力。这有助于企业制定更加科学和有效的战略，提高其竞争力和盈利能力。 同时，企业还可以通过索洛模型评估竞争对手的战略对经济增长的影响，从而调整自身
的竞争策略。
05
结论与展望
索洛模型的意义与价值
索洛模型是经济增长理论的重要基石，为理解经济 增长提供了重要的理论框架。
《索洛模型详解》ppt课件
目
CONTENCT
录
• 索洛模型简介 • 索洛模型的主要内容 • 索洛模型的扩展与改进 • 索洛模型的应用 • 结论与展望
01
索洛模型简介
索洛模型的背景
02
01
03
经济增长是各国政府和学术界关注的重点问题
索洛模型是研究经济增长的重要理论工具之一
索洛模型通过对经济增长的内在机制进行解释，为政 策制定提供理论支持
人口增长对资源环境的影响
人口增长会导致资源消耗增加，环境压力增大，从 而对经济增长产生负面影响。
人口增长对经济发展的影 响
在某些情况下，人口增长可以促进经济增长 ，例如通过增加劳动力供给和提高消费需求 等方式。
04
索洛模型的应用
索洛模型在经济增长预测中的应用
总结词
通过索洛模型，可以预测一个国家或地区的经济增长趋势，分析 经济增长的源泉和潜在动力。
技术进步的来源
技术进步可以来源于企业自主研发、外部技术引进、教育培训和市场竞 争等。
03
技术进步对经济增长的影响
技术进步可以促进经济增长，提高生产效率和产品质量，推动产业升级
和转型。
索洛模型与教育投资
教育投资
01
教育投资是促进人力资本积累和提升的重要途径，对经济增长
索洛模型
1 K F ,1 F K , AL AL AL
（3）
K AL 是每单位有效劳动的平均资本数量，而 F K , AL AL 就是 Y AL ，即每单位有
效劳动的平均产量。定义 k K AL ， y Y AL ， f k F k ,1 。那么我们可将（3）写
t nLt L
（8） （9）
t gAt A
t 是 其中 n 和 g 为外生参数，一个变量上加一点表示其对时间的导数（也就是说， X
dX t dt 的简写） 。 方程 （8） 和 （9） 意味着 L 和 A 是指数增长。 也就是说， 如果 L0 和 A0
由于经济可能随时间增长， 那么着重考虑每单位有效劳动的平均资本存量 k 而非未经 调整的资本存量 K 就较为方便了。由于 k K AL ，用链锁法则可得
t k
t K At Lt
At Lt
K t
2
t t Lt A At L
平衡增长路径
由于 k 向 k 收敛，很自然人们要问：当 k k 时，该模型的各变量如何变动。按假定， 劳动和知识分别以速率 n 和 g 增长。资本存量 K ALk ；由于 k 在 k 处不变，因此 K 以
K n g ） 。由于资本和有效劳动二者均以 n g 增长，规模 n g 增长（也就是说， K
t sf k t n g k t k
（13）
方程（13）是索洛模型的关键方程。它表明，每单位有效劳动的平均资本存量的变动是 两项之差。第一项 sf k 是每单位有效劳动的平均实际投资：每单位有效劳动的平均产量为
f k ， 该 产 量 中 用 于 投 资 的 比 例 为 s 。 第 二 项 n g k 是 持 平 投 资 （ break-even
索洛经济增长模型理论概述-最新年文档
索洛经济增长模型理论概述-最新年文档索洛经济增长模型理论概述一、模型的推导1.假设条件资本边际产品递减；规模报酬不变；劳动力参与率不变；忽略政府作用；封闭经济；家庭收入储蓄比例S，消费比例1-S；固定的人口增长率n；外生中性技术进步。
2.生产函数的推导1928年，美国经济学教授道格拉斯与数学家柯布提出了柯布-道格拉斯生产函数（简称CD模型），其基本形式为Y=At?KαLβ，其中α、β分别代表资本弹性和劳动弹性，At表示第t年的技术水平，这个参数在短期内是个常量。
1957年，索洛将技术进步引入生产函数，提出希克斯中性技术进步函数Y=A（t）?F（K，L），具体形式为：Y=A0eλt?Kα?Lβ，其中A0为基期的科技水平，λ为科技进步系数或技术进步率，α、β为资本弹性和劳动弹性。
对上述方程取对数再对时间t求导，得：1/Y?dY/dt=λ+α/K?dK/dt+β/L?dL/dt。
由于实际经济活动及统计数据的非连续性，所以用差分替代微分，且dt=1，得：ΔY/Y=λ+α?ΔK/K+β?ΔL/L （1）令y=ΔY/Y，k=ΔK/K，l=ΔL/L，即得索洛增长速度方程：y=λ+αk+βl （2）从上式可以看出，索洛模型中认为影响经济增长的因素有技术进步率、资本以及劳动。
通过测算出α和β的值，可以得出这三者对经济的贡献程度。
3.增长模型的推导在上文中，技术进步率可以用ΔA/A来表示，则方程（1）可以写为：ΔY/Y=ΔA/A+α?ΔK/K+β?ΔL/L （3）在模型推导过程中，暂定ΔA/A=0。
根据规模报酬不变，当ΔL/L=1，ΔK/K=1时，ΔY/Y=1，即α+β=1。
因此，公式（3）可写为：ΔY/Y=ΔA/A+α?ΔK/K+（1-α）?ΔL/L （4）定义y=Y/L，又Δy/y=ΔY/Y-ΔL/L，Δk/k=ΔK/K-ΔL/L 对公式（4）进行移项，得出ΔY/Y-ΔL/L=α?（ΔK/K-ΔL/L），最终得出：Δy/y=α?Δk/k。
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Solow 模型之详细推导
参考资料： 戴维·罗默 《高级宏观经济学》
龚六堂 《经济增长理论》
研究生一年级 《高级宏观经济学》、《动态优化》课堂笔记
Solow 模型含四个变量：产出（Y ）、资本（K ），劳动（L ）、技术进步（A ）。
生产函数的形式为：
()((),()())Y t F K t A t L t =
满足：
①二阶连续可微；
(,)F ⋅⋅②对变量非减且严格凹（即资本和劳动力的边际生产率都是递减的）
； (,)F ⋅⋅③生产函数是常数规模回报的，即对任意λ>0，有
(,)(,F K AL F K AL )λλλ=， （1）
从而可得到欧拉（Euler ）方程：
(,)(,)(,)F K L F K L F K L K L K L
∂∂=+∂∂； ④生产函数满足Inada 条件，即
00lim (,),lim (,)lim (,)0lim (,)0K L K L K L K L F K L F K L F K L F K L →→→∞→∞
=∞=∞==，。
通常所讲的Cobbel-Douglas 生产函数满足此条件：
()()()()Y t A t K t L t αβ=，0,1αβ<<。
规模报酬不变的假定使我们得以使用密集形式的生产函数。
11(,1)(,)K F F K AL Y AL AL AL
==， （2） 令 K k AL
=表示每单位有效劳动的平均资本数量， Y y AL
=表示每单位有效劳动的平均产出 那么可将（2）式写为：
(,1)()y F k f k ==
假定储蓄率为，资本折旧为s δ，人口增长率既定，为L n L
=&，技术进步率也既
定，设为A g A
=&。
那么，
K
sY K δ=−&。
即资本的变化由储蓄（）减去折旧掉的资本存量。
sY 人均资本存量的变化为
2(
()()()[()()()()]()()[()()]()()()()()()()()()()()()()K K t K t AL k t A t L t L t A t t A t L t A t L t K t K t L t K t A t A t L t A t L t L t A t L t A t ∂==−+∂=−−&&&&&&& 从而有
()()()()()()()
sY t K t k t k t n k t g A t L t δ−=−⋅−&⋅ ()()()()k
t sy t n g k t δ=−++& （4） 方程（4）是Solow 模型的关键。
均衡时人均资本存量不再变化，0k
=&，于是得到 **(())()()sf k t n g k t δ=++
作图：
k *k
k 图1
如果每单位有效劳动的平均实际投资大于所需的持平投资，则k 上升。
反之，如果每单位有效劳动的平均实际投资小于所需的持平投资，则下降。
如果两者相等，则不变。
从图中显然可以看出，不管经济初始位于何处，最终总能达到均衡（这一点与Ramsey 模型有显著区别）。
k k 根据图1可研究储蓄率s ，人口增长率n ，技术进步率g 的变化对均衡人均资本存量的影响。
具体讨论参见罗默书。
资本的黄金积累率
这是求一储蓄率，在这一储蓄率下，均衡时居民的人均消费水平达到最大化。
这时的人均资本存量称为黄金律资本存量水平。
***max ()()()()()s
c s f k sf k f k n g k *δ=−=−++， 特别要注意的是其中的每个k 均是均衡资本存量，显然也为s 的函数， **k 由一阶条件：
*
*()[()()]c s k f k n g s s
δ∂∂′=−++∂∂， 故黄金律的资本存量水平k 必须满足
****()()f k n g δ′=++。
（黄金积累率是资本存量的所有平衡增长路径当中的最佳路径。
）
k
)
**k k 图2。