双谱地震子波估计

图 1 某探区一口井的反射系数序列
a. 用最小相位子波合成 b. 用混合相位子波合成 图 2 理论地震记录 (理论子波长 60 ms)
a. 最小相位子波
3 理论实例
利用某探区一口井的声波测井资料 ,通过深度
b. 混合相位子波 图 3 不同相位子波估计的结果 (估计子波长 60 ms)
ab
H3 ( z) (1 + ab) 3 - a3 - b3 - a (1 + ab) 2 + (1 + ab) b2
- ab2 a2 (1 + ab) - (1 + ab) 2 b
- a2 b ab (1 + ab)
2 双谱地震子波估计
地震子波的精确估计包括两部分 :一是子波的 振幅谱 ,二是相位谱 。为了获得地震子波的功率谱估 计 ,以往都是在反射系数是白噪的假设下导出地震
j =0
j)
(20)
其中 n = 0 对应 ω = 0 ; n = N 对应ω =π。递归的
初始条件为 :
Φ^ b (0) = 0 或π,根据 Φx (0 ,0) 选择
Φ^ b (0) =
n
j
j- 1
6 6 6 Φx ( k , j - k) - Φx ( k , j - 1 - k) /
j =2 k = 0
C3 (2 ,1)
自 相
r (0)
关
r (1)
r (2)
表 1 不同相位信号的自相关与三阶累积量的比较
H1 ( z) 1 - ( a + b) 3 + a3 b3 ( a + b) 2 - ( a + b)
a2 b2 - ( a + b) + ab ( a + b) 2
ab - ( a + b) ab
H2 ( z) 1 - ( a + b) 3 + a3 b3 - ( a + b) + ab ( a + b) 2
ab ( a + b) 2 - ( a + b) a2 b
a2 b2 - ( a + b) ab
1 + a2 b2 + ( a + b) 2 - ( a + b) (1 + ab)
引 言
在地震资料处理中 , 地震子波的精确求取不仅 是常规反褶积中作好反褶积的基础 , 也是地震正演 与反演技术中的一个基本条件 。在地震记录的褶积 模型 x ( n) = b ( n) 3 r ( n) 中 ,由于地震子波 b ( n) 与反射系数 r ( n) 均是未知的 ,因此为获得精确的子 波估计 ,了解子波的相位性质或是反射系数序列的 性质是十分重要的 。在典型的反褶积方法中 , 如脉冲 反褶积或预测反褶积 , 假定子波是最小相位的 。因 为 ,只有子波确实是最小相位时 , 才能从自相关函数 中获得精确重构子波的相位 。事实上 , 不论是陆上还 是海上的地震记录 ,地震子波都是混合相位的 。针对 这种性质的子波 , 许多研究者提出了基于不同准则 和假设的非最小相位子波估计方法 。在同态子波估 计技术中 ,虽没有限制子波的相位性质 , 但子波与反 射系数 的 同 态 谱 的 分 离 程 度 决 定 了 子 波 的 估 计 精 度 ,而这种分离程度还没有一个评价标准 ; 在 Lp 模 准则下的 Lp 模反褶积以及最小熵反褶积等也不同 程度上抛弃了子波是最小相位的假设 , 尽管如此 , 这 些方法仍然是建立在信号的低阶累积量的基础上 。 随着信号处理技术的发展 , 信号高阶累积量的一些 诱人的性质 ,使得人们对信号高阶累积量的研究逐 渐重 视 起 来 , 并 在 信 号 处 理 领 域 广 泛 地 得 到 应
27
其中β为某常数 ,称为谱指数 。凡是具有这一特 征的过程统称为分形噪声 。可以看到 , 当 β = 0 时 , 是最常用的 Gauss 白噪声假设的情况 。因此白噪只 是分形噪声的一个特例 。由地震记录褶积模型 ;
Px ( f ) = Pb ( f ) Pr ( f )
(15)
其中 Px (ω) 为地震记录的功率谱 、Pb (ω) 为 地震子波的功率谱 、Pr (ω) 为反射系数功率谱 。利
(5)
其傅立叶变换
C4 (ω1 ,ω2 ,ω3) =
+∞ +∞
∑ ∑
C4
(τ1
,τ2
,τ3)
e 2i
(ω τ
11
+ω2τ2
+ω3τ3)
(6)
τ
1
=
-
∞τ
2
=
-
∞
称之为 x ( k) 的三阶谱 。
x ( k) 的 N - 1 阶谱定义为其 N 阶累积量的傅
立叶变换 ,即
CN (ω1 ,ω2 , …,ωN - 1) =
26
西南石油学院学报 2000 年
Ε x ( k) x ( k + τ1) x ( k + τ2) x ( k + τ3) =
C2 (τ1) C2 (τ3 - τ2) - C2 (τ2) C2 (τ3 - τ1) -
C2 (τ3) C2 (τ2 - τ1)
用反射系数是分形白噪的假设 ,有
Px ( f ) = Pb ( f ) f - β
(16)
这样可获得地震子波功率谱的一个估计值
Pb ( f ) = Px ( f ) f β
(17)
实践中 , Pb (ω) 的估计用多道统计平均方式完成 。
根据 文 献 [2] , 若 r ( k) 是 非 零 偏 斜 的 , 即
k =0
( j ( j - 1) ) + φ^ b ( N ) / N
(21)
φ^ b ( N ) 可设为 0 或 kπ
一旦获得子波的相位 φ^ b (ω) 与功率谱 ^Pb (ω)
的估计 ,就可以重构出子波 。
积分转换到时间域 ,然后微分获得 (如图 1) 的反射 系数序列 。选用两种不同相位性质的理论子波分别 与反射系数序列褶积合成理论地震记录 (如图 2) 。
1 信号的高阶谱及双谱的性质
信号的 高 阶 谱 是 由 信 号 的 高 阶 累 积 量 来 定 义
的 。设{ x ( k) } 是一零均值实平稳随机过程 , 则该过
程的二阶累积量 (即自相关序列) 为
C2 (τ) = Ε x ( k) x ( k + τ)
(1)
其傅立叶变换
+∞
∑ C2 (ω) =
C2 (τ) e2iωτ
(2)
τ= - ∞
就是 x ( k) 的功率谱 。
三阶累积量为
C3 (τ1 ,τ2) = Ε{ x ( k) x ( k + τ1) x ( k + τ2) } (3)
其傅立叶变换
+∞ +∞
∑ ∑ C3 (ω1 ,ω2) =
C3
(τ1
,τ2)
e 2i
(ω τ
11
+ω2τ2)
下列 BR 算法来进行相位重构 ,这是一种递归方法 :
∫ ∫ Φ^ b (ω)
=
1 ω
ω
2 0 Φ ^ b ( u) d u -
ω
Φx ( u ,ω - u) d u
0
(19)
其离散形式为
n- 1
n- 1
6 6 Φ^ b ( n)
=
1 n- 1
2 Φ^ b ( j) -
j =0
Φx ( j , n -
双谱地震子波估计 Ξ
谢桂生1 , 石玉梅2 , 魏 野3
(1. 西南石油学院 ,四川 南充 637001 ; 2. 中国矿业大学 ; 3. 川南矿区研究所)
摘要 : 子波处理是提高地震资料分辨的一个重要手段 ,该技术的关键是地震子波的估计 。根据高阶累积量中保留有 信号相位信息的性质 ,给出了一种基于地震信号双谱的子波估计方法 。方法突破了以往对地震子波是最小相位的假 设 ,适应于任意相位的子波 ,针对不同性质的地震子波 ,进行了理论计算 。结果表明 ,这一方法是可行的 。同时也显 示了信号高阶谱技术在地震资料子波处理 ,提高分辨率方面的潜力 。 关键词 : 高阶累积量 ;高阶谱 ;子波估计 ;反褶积 中图分类号 : TE12 文献标识码 : A
子波的功率谱 Pb (ω) 就等于地震记录的功率谱 Px (ω) 。这里我们利用分形的观点来处理地震子波功
率谱的估计 。地球物理学者的大量研究表明, 反射系
数的功率谱具有分形谱的特点 ,即
Pr ( f ) ∝ f - β
(14)
第 3 期 谢桂生等 : 双谱地震子波估计
C3 (ω1 ,ω2) 一般是复函 ,即
C3 (ω1 ,ω2) = | C3 (ω1 ,ω2) | e jΦ(ω1 ,ω2)
(8)
C3 (ω1 ,ω2) 是以为 2π双周期的 ,即
C3 (ω1 ,ω2) = C3 (ω1 + 2π,ω2 + 2π)
(9)
C3 (ω1 ,ω2) = C3 (ω2 ,ω1) =
E[ r3 ( k) ] = C ≠0 ,则 x ( k) 的双谱含有地震子波
b ( k) 的相位信息 。由 x ( k) 的双谱 :
Cx (ω1 ,ω2)
=|
Cx (ω1 ,ω2)
|
e iΦx
(ω
1
,ω2)
(18)
其中
| Cx (ω1 ,ω2) | = f 1 - βf 2 - β( f 1 + f 2) - β | Β(ω1) | ·
其对应的时域序列为
…,0 , ab , 2a2b ,1 ,0 , …
h2 ( n) = ↑
(12)