用向量讨论垂直

则有 D(0，0，0)，A1(2，0，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1， 2，0)． → → → ∴A1P＝(－2，1，－2)，DM＝(0，2，1)，DN＝(1，2，0)， → → → → ∴A1P·DM＝0，A1P·DN＝0. ∴A1P⊥DM，A1P⊥DN， 又 DM∩DN＝D， ∴A1P⊥平面 DMN.
如图, 直三棱柱ABC A1B1C1中, ACB 900 , AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的 求证CD 平面BDM 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . Z
A
A1
D
C
B X
A1B, DM 为平面BDM内的两条相交直线, CD 平面BDM .
正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长为 2a，在侧棱 a BB1 上取 BD＝ ，在侧棱 CC1 上取 CE＝a，求证：平面 ADE⊥ 2 平面 ACC1A1.
解 设 O 为 AB 的中点，F 为 A1B1 的中点， 以 OC、OB、OF 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴，建立如图空间直角坐标系，则有：
• 用向量讨论垂直
．空间中垂直关系的向量表示 (1)线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b ＝(b1，b2，b3) ，则 l⊥m⇔ ⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ．
a⊥b
⇔
a· b＝0
(2)线面垂直 设直线 l 的方向向量是 u＝(a1，b1，c1)，平面α 的法向量是 v ＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔ u∥v ⇔ u＝λv a1 b1 c1 ⇔a ＝ b ＝c (a2b2c2≠0)． 2 2 2 (3)面面垂直 若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2， v＝0 ⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 ． b， c )， 则 α⊥β ⇔ u⊥v ⇔ u·
B1
则CD A1 B 0, CD DM 0. CD A1B, CD DM .
C1
M Y
已知 M、N、P 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 中的棱 CC1、 BC、CD 的中点，求证：A1P⊥平面 DMN. 证明 法一 如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，
求空间平面的法向量 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别为棱 A1D1、A1B1 的中点，求平面 EFBD 的一个法向量．
解 建系如图： 则 D(0，0，0)、B(2，2，0)、E(1，0，2)， → → ∴DB＝(2，2，0)，DE＝(1，0，2)． 设平面 EFBD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， → n· DB＝0 ∴ ⇔ → DE＝0 n·
2x＋2y＝0， x＋2z＝0，
y＝－x， ∴ 1 z＝－ x. 2 令 x＝2，则可解得：y＝－2，z＝－1， ∴n＝(2，－2，－1)即为所求平面 EFBD 的一个法向量． 规律方法 本题是考查了法向量的基本的求解方法和步骤，平
面的法向量不是唯一的，它有无数多个，但所有的法向量都是 平行的．
2 2
l
a b
m
l m a b ab 0
l
a

u
l a // u a u
u

v

u v uv 0
问题:如何求平面的法向量? ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z )
x－2y－4z＝0， 令 2x－4y－3z＝0，
y＝1，则 x＝2，z＝0.
∴平面 α 的一个法向量是 n＝(2，1，0)．
如图, 直三棱柱ABC A1B1C1中, ACB 900 , AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的 求证CD 平面BDM 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M .Z
设面 ADE 的一个法向量为 n1＝(x，y，z)， a → ay＋ z＝0， n· AD＝0 2 由 ⇔ → 3 a n· AE＝0 2 ax＋2y＋az＝0. 令 y＝1 可得：x＝ 3，z＝－2，∴n1＝( 3，1，－2) ．同理可 以求出平面 ACC1A1 的一个法向量为 n2＝(－1， 3，0)． ∵n1·n2＝( 3，1，－2)· (－1， 3，0)＝－ 3＋ 3＝0，(10 分) ∴n1⊥n2.∴平面 ADE⊥平面 ACC1A1.
a a A0，－ ，0、B0， ，0、C 2 2 a a D0， ， 、E 2 2 3 a，0，a， 2 3 a，0，0、 2
→ a → 3 a → 3 a ∴AD＝0，a， ，AC＝ a， ，0，AE＝ a， ，a. 2 2 2 2 2
【训练 1】 已知平面 α 经过三点 A(1，2，3)、B(2，0，－1)、 C(3，－2，0)，试求平面 α 的一个法向量． 解 ∵A(1，2，3)、B(2，0，－1)、C(3，－2，0)， → → ∴AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)． 设平面 α 的法向量是 n＝(x，y，z)， → → 依题意，得 n· AB＝0 且 n· AC＝0，即
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 n a 0 组 n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
A D
A1
解: 如图,以C为原点建立空间直角坐标系. B( 2 ,0,0), B1 ( 2,1,0), A1 (0,1,1),
Байду номын сангаас
C
C1
M
Y
B1
2 1 1 2 B D( , , ), M ( ,1,0), 2 2 2 2 X 2 1 1 1 1 CD ( , , ), A1 B ( 2, 1, 1)， DM (0, , ), 2 2 2 2 2
法二
如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，则有
D(0，0，0)，A1(2，0，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1，2， 0)， → → → ∴A1P＝(－2，1，－2)，DM＝(0，2，1)，DN＝(1，2，0)， 设 n＝(x，y，z)是平面 DNM 的一个法向量，
→ n· DM＝0， （0，2，1）＝0， （x，y，z）· 则 即 → （1，2，0）＝0， （x，y，z）· DN＝0， n· 令 y＝1 得 x＝－2，z＝－2，∴n＝(－2，1，2)， → → ∴A1P＝n，∴A1P∥n， ∴A1P⊥平面 DMN.