公开课复数的乘除法运算[人教版选修22]精品PPT课件
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人教A版高中数学选修1-2课件3.2.2《复数的乘除运算》.ppt
第三章 数系的扩充与复数的引入
人
教
高中数学课件
A 版 数
学
（鼎尚图文*****整理制作）
第四节 复数代数形式的 乘除运算
掌握复数代数形式的乘法和除法运算．理解复数乘法 的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．理解共轭复数 的概念．本节重点：复数的乘除运算及共轭复数的概 念．本节难点：共轭复数的求解及特殊复数的运算．
有关复数的方程问题一般有两种情况： ①方程的根为复数，系数为实数，已知方程的一个复 数根，求实系数． ②方程的根为实数，系数为复数，求实根．
3．对于实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，当 Δ<0 时，
方程的根为 x＝－b±2a－Δi；当 Δ≥0 时，方程的根为 x＝
－b± 2a
Δ，无论
Δ≥0
(1)P，Q 分别表示什么曲线？ (2)设 z1∈P，z2∈Q，求|z1－z2|的最大值与最小值．
→
代则[ 入分 abz＝ ＝·析 z2－＋x023]yi0(z－，将z(1)＋ )xy005设＝ ＝＝z12－0＝b12xa→＋yi代化，入简(x， 整x20y＋理∈(得yR0P－)，的3即)轨2＝P迹(4x方，程y)
)
A．－2－3i
B．－2＋3i
C．2－3i
D．2＋3i
[答案] C [解析] 本题考查了复数的除法运算． 51－ ＋ii＝((51－ ＋ii))((11－ －ii))＝4－2 6i＝2－3i.
2．在复平面内，复数 z＝2＋1 i对应的点位于(
)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
→ 代得入(法a＋求6Q)2的＋轨b2＝迹1方6.程
故(2)Q根表据示复以数(的－几6,0何)为意圆义心→，|z41－为z半2|的径几的何圆意．义 → 结论
人
教
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A 版 数
学
（鼎尚图文*****整理制作）
第四节 复数代数形式的 乘除运算
掌握复数代数形式的乘法和除法运算．理解复数乘法 的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．理解共轭复数 的概念．本节重点：复数的乘除运算及共轭复数的概 念．本节难点：共轭复数的求解及特殊复数的运算．
有关复数的方程问题一般有两种情况： ①方程的根为复数，系数为实数，已知方程的一个复 数根，求实系数． ②方程的根为实数，系数为复数，求实根．
3．对于实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，当 Δ<0 时，
方程的根为 x＝－b±2a－Δi；当 Δ≥0 时，方程的根为 x＝
－b± 2a
Δ，无论
Δ≥0
(1)P，Q 分别表示什么曲线？ (2)设 z1∈P，z2∈Q，求|z1－z2|的最大值与最小值．
→
代则[ 入分 abz＝ ＝·析 z2－＋x023]yi0(z－，将z(1)＋ )xy005设＝ ＝＝z12－0＝b12xa→＋yi代化，入简(x， 整x20y＋理∈(得yR0P－)，的3即)轨2＝P迹(4x方，程y)
)
A．－2－3i
B．－2＋3i
C．2－3i
D．2＋3i
[答案] C [解析] 本题考查了复数的除法运算． 51－ ＋ii＝((51－ ＋ii))((11－ －ii))＝4－2 6i＝2－3i.
2．在复平面内，复数 z＝2＋1 i对应的点位于(
)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
→ 代得入(法a＋求6Q)2的＋轨b2＝迹1方6.程
故(2)Q根表据示复以数(的－几6,0何)为意圆义心→，|z41－为z半2|的径几的何圆意．义 → 结论
0da10df0cd84b9d528ea81c758f5f61fb6362824
解析 z1＋z2＝(2＋12)－(12＋2)i＝52－52i.
1 2345
解析答案
2.若z＋3－2i＝4＋i，则z等于( B )
A.1＋i
B.1＋3i
C.－1－i
D.－1－3i
解析 z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
1 2345
解析答案
1 2345
3.在复平面内，O 是原点，O→A，O→C，A→B表示的复数分别为－2＋i，3＋ 2i,1＋5i，则B→C表示的复数为( C )
∴|z|＋z＝( x2＋y2＋x)＋yi＝1＋3i，
∴ x2＋y2＋x＝1， y＝3，
解得xy＝ ＝3－，4， ∴z＝－4＋3i.
解析答案
类型二 复数加、减法的几何意义
例2 (1)已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平 面内对应的点Z位于复平面内的第___一_____象限. 解析 z＝z1－z2＝(3＋2i)－(1－3i)＝2＋5i，z对应的点为(2,5)，位于第 一象限.
答案
知识点二 复数加减法的几何意义
思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出
发讨论复数加法的几何意义吗？ 答 如图，设O→Z1，O→Z2分别与复数 a＋bi，c＋di 对应， 则有O→Z1＝(a，b)，O→Z2＝(c，d)， 由向量加法的几何意义O→Z1＋O→Z2＝(a＋c，b＋d)， 所以O→Z1＋O→Z2与复数(a＋c)＋(b＋d)i 对应，复数的加法可 以按照向量的加法来进行.
复数加法的 几何意义
复数z1＋z2是以 O→Z1，O→Z2 为邻边的
平行四边形的对角线O→Z 所对应的
复数
复数减法的 几何意义
复数z1－z2是从向量O→Z2 的终点指 向向量 O→Z1的终点的向量 Z→2Z1 所对
人教版高中数学 选修2-2 第三章 2复数代数形式的乘除运算 上课(共39张PPT)教育课件
+
di)
=
ac c2
+ +
bd d2
+
bc -ad c2 + d2
i
其中(c + di 0).
9.在实际中我们进行复数相除的方法是： 先把两个复数相除写成分数形式，然 后把分子与分母都乘以分母的共轭复 数，使分母“实数化”，最后在化简.
随堂练习
填空 1.若Z∈C且(3+ Z)i =1,则Z = ( -3-i ). 2.(1+ 2i)2 = ( -3+4. i ).
进入我们 今天学习 的内容.
3.2.2
教学目标
知识与能力
•理解并掌握复数代数形式的乘、除 的运算法则、运算律. •深刻理解复数除法是其乘法的逆运 算.
过程与方法
•理解并掌握复数的除法运算实质是 分母实数化的问题 . •通过丰富的例题，让学生理解并掌 握复数代数形式的乘除运算.
情感态度与价值观
= 21+ 4 + 3i - 28i = 25 - 25i = 1- i.
25
25
–
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看到 不 同 的 结 果 。 若 能 把 一 些事 看 淡 了 ， 就 会 有 个 好 心 境， 若 把 很 多 事 看开 了 ， 就 会 有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹如 月 缺 月 圆 那 样 寻 常 ，
:
设Z1 = a1 + b1i，Z2 = a2 + b2i，Z3 = a3 + b3i. 因为
Z（1 Z2 + Z3）
= (a1 + b1i)[(a2 + b2i) + (a3 + b3i)] = (a1 + b1i)[(a2 + a3 ) + (b2 + b3 )i] = [a1(a2 + a3 ) - b1(b2 + b3 )] + [b1(a2 + a3 ) + a1(b2 + b3 )]i
高中数学 322 复数代数形式的乘除运算课件 新人教版选修22
第二十九页，共33页。
(3)(12＋32i)(4i－6) ＝12·4i＋12·(－6)＋32i·4i＋32i·(－6) ＝2i－3－6－9i ＝－9－7i.
第三十页，共33页。
(4)41＋＋32ii＋1i ＝41＋ ＋32ii11－ －22ii＋ii·i ＝10－5 5i－i ＝2－2i.
第三十一页，共33页。
【例1】 计算： (1)(1＋i)2＋(1＋i)(1－i)； (2)(－2－i)(3－2i)(－1＋3i)； (3)32－－4ii＋－1＋2 23＋3ii； (4)21＋－2ii2＋(1＋2i)2010.
第十四页，共33页。
【分析】 利用复数的运算法则进行． 【解】 (1)原式＝1＋2i＋i2＋1－i2 ＝2＋2i. (2)原式＝(－8＋i)(－1＋3i) ＝5－25i.
的形式，即(a＋bi)÷(c＋di)＝
a＋bi c＋di
；然后分子、分母同乘以分
母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是
把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．注意
最后结果要实部、虚部分开．
第十页，共33页。
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔ z ＝z. (2)z·z ＝| z |2＝|z|2. (3)两个共轭复数的对应点关于x轴对称．
第二十二页，共33页。
【解析】 i＋2i2＋3i3＋…＋8i8 ＝i－2－3i＋4＋5i－6－7i＋8 ＝4－4i. 【答案】 4－4i
第二十三页，共33页。
规律技巧 高考对复数的考查，主要集中在复数的运算， 尤其是乘除法运算中，属于低档题，只要掌握法则，认真求解 即可.
第二十四页，共33页。
随堂训练
第三章 数系的扩充与复数的引入
(3)(12＋32i)(4i－6) ＝12·4i＋12·(－6)＋32i·4i＋32i·(－6) ＝2i－3－6－9i ＝－9－7i.
第三十页，共33页。
(4)41＋＋32ii＋1i ＝41＋ ＋32ii11－ －22ii＋ii·i ＝10－5 5i－i ＝2－2i.
第三十一页，共33页。
【例1】 计算： (1)(1＋i)2＋(1＋i)(1－i)； (2)(－2－i)(3－2i)(－1＋3i)； (3)32－－4ii＋－1＋2 23＋3ii； (4)21＋－2ii2＋(1＋2i)2010.
第十四页，共33页。
【分析】 利用复数的运算法则进行． 【解】 (1)原式＝1＋2i＋i2＋1－i2 ＝2＋2i. (2)原式＝(－8＋i)(－1＋3i) ＝5－25i.
的形式，即(a＋bi)÷(c＋di)＝
a＋bi c＋di
；然后分子、分母同乘以分
母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是
把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．注意
最后结果要实部、虚部分开．
第十页，共33页。
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔ z ＝z. (2)z·z ＝| z |2＝|z|2. (3)两个共轭复数的对应点关于x轴对称．
第二十二页，共33页。
【解析】 i＋2i2＋3i3＋…＋8i8 ＝i－2－3i＋4＋5i－6－7i＋8 ＝4－4i. 【答案】 4－4i
第二十三页，共33页。
规律技巧 高考对复数的考查，主要集中在复数的运算， 尤其是乘除法运算中，属于低档题，只要掌握法则，认真求解 即可.
第二十四页，共33页。
随堂训练
第三章 数系的扩充与复数的引入
《复数的乘除法》课件
《复数的乘除法》PPT课 件
通过本节课的学习，你将深入了解复数的乘法和除法，掌握其原理和规则， 并通过例题演练来巩固你的知识。让我们一起开始吧！
复数的加减法简介
复数的加减法是基本的复数运算之一，通过对复数的实部和虚部进行相加或相减，我们可以得到两个复数的和 或差。
加法原理
将两个复数的实部和虚部分别相加即可得到结果。
减法原理
将两个复数的实部和虚部分别相减即可得到结果。
复数的乘法原理
复数的乘法是通过将两个复数的实部和虚部相乘并进行合并，得到新的复数。
乘法基本原理
将两个复数的实部相乘，并将两个复数的虚部相乘，然后合并结果，即可得到新的复数。
公式推导
根据复数的定义和乘法基本原理，可以推导出复数乘法的公式。
乘法规则
复数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
复数的除法原理
复数的除法是通过将两个复数的实部和虚部相除并进行合并，得到新的复数。
1 除法基本原理
将除数和被除数转化为分数的形式，然后进行除法运算并进行合并。
2 除法规则
复数的除法满足除不尽时商的唯一性、分配律和除法的可逆性。
例题演练
通过一些例题演练，我们可以加深对复数乘除法的理解，熟练运用复数的乘法和除法规则来解决问题。
1
题目一
计算复数 (3+4i)(2+5i) 的乘积。
2
题目二
计算复数 (6-2i) ÷ (1+2i) 的)(4-5i) ÷ (1+i) 的结果。
结论和要点
通过学习本节课的内容，我们可以得出以下结论和要点： • 复数的加减法是通过对实部和虚部进行相加或相减。 • 复数的乘法是通过对实部和虚部进行相乘并进行合并。 • 复数的除法是通过对实部和虚部进行相除并进行合并。 • 复数的乘除法具有一定的规律和规则，需要熟练掌握。
3.2.2复数的乘除法 人教课标版精品课件
特务游戏。 到了七十年代初，老李家里就买了国产第一批黑白电视机，一到晚上，他们那个院子里几乎所有的人下了班，吃完饭，就到老李家里看电视去了。当时只可以收看两个频道，一个是陕西电视台，一个是中央电视台。一般演的除了新闻就是纪录片，再就是运动会的直播，或者是实况录像。当时一般人根本没有见过电视剧，就是那一台十六英寸的电视机，一直见证了整个的七十年代。
2019/9/5
= | z1 | ∙ | z2 |
例4：已知z (4 3i)(1 7i) ，求 z 2 i
解：z (4 3i)(1 7i) 2 i
| 4 3i || 1 7i | | 2 i|
2019/9/5
5 8 10 6 .
3
3
i的乘方规律
i1 i,i2 1,i3 i2 i i,i4 1 从而对任意 n N ，
2019/9/5
2. 设 1 3 i, 1 3 i
22
22
计算： 2 , ( )2 , 3
2 ( 1 3 i)2
22
1 3 i ( 3 i)2
42
2
2019/9/5
1 3 i, 22
( )2 ( 1 3 i)2
2019/9/5
a+bi (a+bi)(c-di)
c+di
= (c+di)(c-di)
(ac+bd)+(bc-ad)i =
c2+d2
=
ac+bd c2+d2
+
bc-ad c2+d2
i
(c+di ≠0)
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，
2019/9/5
= | z1 | ∙ | z2 |
例4：已知z (4 3i)(1 7i) ，求 z 2 i
解：z (4 3i)(1 7i) 2 i
| 4 3i || 1 7i | | 2 i|
2019/9/5
5 8 10 6 .
3
3
i的乘方规律
i1 i,i2 1,i3 i2 i i,i4 1 从而对任意 n N ，
2019/9/5
2. 设 1 3 i, 1 3 i
22
22
计算： 2 , ( )2 , 3
2 ( 1 3 i)2
22
1 3 i ( 3 i)2
42
2
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1 3 i, 22
( )2 ( 1 3 i)2
2019/9/5
a+bi (a+bi)(c-di)
c+di
= (c+di)(c-di)
(ac+bd)+(bc-ad)i =
c2+d2
=
ac+bd c2+d2
+
bc-ad c2+d2
i
(c+di ≠0)
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，
人教A版高中数学选修2-2课件3.2.2复数代数形式的乘除运算
i.
跟踪训练
3．计算：1＋2i＋3i2＋…＋2 014i2 013的值．
解：设 S＝1＋2i＋3i2＋…＋2 014i2 013，
则 iS＝i＋2i2＋…＋2 013i2 013＋2 014i2 014，
∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2 013－2 014i2 014
＝1－1－i2
014
－ i
想一想 2.(1)z·z 与|z|2 和| z |2 有什么关系？ (2)①若 z∈C， z ＝z，则 z 一定是实数吗？ ②若 z∈C， z ＝－z，则 z 一定是纯虚数吗？ 提示：(1)z z ＝|z|2＝| z |2. (2)①一定是实数，②不一定是纯虚数，还可能是零．
做一做
2.(2012·高考课标全国卷)复数 z＝－2＋3＋i i的共轭复数是(
方法感悟
1．复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘 法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律． (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分 式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后 可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想． 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是 设复数z＝a＋bi(a，b∈R),利用复数相等的充要条件转化．
做一做
1.若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝( )
A．1＋3i
B．3＋3i
C．3－i
D．3
解析：选A.∵z＝1＋i，∴(1＋z)·z＝(2＋i)(1＋i)＝
1＋3i.
2．共轭复数与复数 相除的除法法则 (1)共轭 复数 如果 两个复数 满足实部 相等，虚 部互为相 反数时，称 这两个复 数为共轭复数．z 的共轭复数用 z 表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则 z ＝__a_－__b_i___. (2)复数 的除法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 则zz12＝ac＋＋dbii＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(c＋di≠0)．
《复数的乘法与除法》第2课时示范公开课教学课件【高中数学】
3．实系数一元二次方程的解的性质？
问题5 1．共轭复数的性质有哪些？
3．实系数一元二次方程的解
当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有没有实数根．
1
目标检测
解析：因为i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，……
故选：C．
C
若复数z满足（1＋i）z＝2i2019（i是虚数单位），则z的共轭复数 ＝（ ）
初步应用
例1 （1）复数z满足：（z－2）·i＝z（i为虚数单位）， 为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
（1）由（z﹣2）·i＝z，得zi﹣2i＝z，
A．z2＝2i B．z· ＝2 C．|z|＝2 D．z＋ ＝0
（2）已知复数z满足z－ ＝0，且z· ＝9，则z＝（ ）
复数的乘法与除法
第2课时
问题导入
问题1 复数的乘法法则、除法法则、乘法的运算律是什么？
（1）复数的乘法法则：
z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i
（2）复数的除法法则：
问题导入
问题1 复数的乘法法则、除法法则、乘法的运算律是什么？
（3）复数乘法的运算律：
交换律：z1·z2＝z2·z1
新知探究
问题2 设实数a，b满足（a＋bi）（1＋2i）＝1，利用方程组求a，b的值，并思考是否有其他方法可以求出 ？
新知探究
追问：共轭复数的性质有哪些？
新知探究
问题3 复数的正整数指数幂如何运算？实数的正整数指数幂有以下运算性质，它们是否在复数集中仍然成立？
（1）am·an＝am＋n （2）（am）n＝amn （3）（a1·a2）n＝a1n·a2n（其中m、n为正整数）
n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作zn，
问题5 1．共轭复数的性质有哪些？
3．实系数一元二次方程的解
当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有没有实数根．
1
目标检测
解析：因为i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，……
故选：C．
C
若复数z满足（1＋i）z＝2i2019（i是虚数单位），则z的共轭复数 ＝（ ）
初步应用
例1 （1）复数z满足：（z－2）·i＝z（i为虚数单位）， 为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
（1）由（z﹣2）·i＝z，得zi﹣2i＝z，
A．z2＝2i B．z· ＝2 C．|z|＝2 D．z＋ ＝0
（2）已知复数z满足z－ ＝0，且z· ＝9，则z＝（ ）
复数的乘法与除法
第2课时
问题导入
问题1 复数的乘法法则、除法法则、乘法的运算律是什么？
（1）复数的乘法法则：
z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i
（2）复数的除法法则：
问题导入
问题1 复数的乘法法则、除法法则、乘法的运算律是什么？
（3）复数乘法的运算律：
交换律：z1·z2＝z2·z1
新知探究
问题2 设实数a，b满足（a＋bi）（1＋2i）＝1，利用方程组求a，b的值，并思考是否有其他方法可以求出 ？
新知探究
追问：共轭复数的性质有哪些？
新知探究
问题3 复数的正整数指数幂如何运算？实数的正整数指数幂有以下运算性质，它们是否在复数集中仍然成立？
（1）am·an＝am＋n （2）（am）n＝amn （3）（a1·a2）n＝a1n·a2n（其中m、n为正整数）
n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作zn，
7.2.2复数的乘、除运算PPT课件(人教版)
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] (1)由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝2i12－i＝1＋i.
(2) ∵
z
＝
3－i 1＋2i
＝
3－i1－2i 1＋2i1－2i
＝
1－7i 5
，
所
以
|z|
＝
152＋－75＝2 2. (3)由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以zz21＝
答案：D
2．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2
B．i2(1－i)
C．(1＋i)2
D．i(1＋i)
解析：A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数； B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数； C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数； D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.
答案：－2＋i
2．计算：11＋－ii7＋11－＋ii7－3－44i＋23＋i 2i3.
解：原式＝[(1＋i)2]3·11＋－ii
＋[(1－i)2]3·11－＋ii
－
83－4i1＋i3 3－4ii
＝
(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2ii1＋i＝8＋8－16－16i＝－16i.
复数范围内方程根的问题
－2i－i＝－1＋2i，对应的点在第二象限． [答案] (1)D (2)C (3)B
1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复 数的代数形式． 2．常用公式 (1)1i ＝－i；(2)11＋ －ii＝i；(3)11＋－ii＝－i.
公开课复数的乘除法运算课件市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
公开课复数乘除法运算课件
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五、【课堂小结】
复数乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac －bd)+(bc+ad)i. 复数代数式相乘，
可按多项式类似方法进行，无须去记
公式.
复数除法法则是：
i(c+di≠0).
两个复数相除较简捷方法是把它们商 写成份式形式，然后把分子与分母都 乘以分母共轭复数，再把结果化简
（１）在复平面内，它们所对应点有怎样位 置关系？
（２） z1 、z2是一个怎样数？
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两个互为共轭复数乘积等于这个复数（或 其共轭复数）模平方
结论： •
2
2
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练习：
求(1 i)2 (1 i)2
(a bi)2 a2 2abi b2i2
(ac
bd ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
(bc d2
ad )i
分母实数化
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例4.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
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四、【巩固新知】
求
已知 z1 3 2i
z1 z2 , z1 z2
,
,
z2
z1
•
1
z2
4i
, z1 z2
碰到 时i，2 要把 换i成2 ，
并-把1 最终止果写成
a bi(a,b R) 形式。
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设 z1 a bi , z2 c di
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解（ 1）2 （1 3） 2
22
1 3i( 3i)2 42 2
1 3i 22
（ 2）（ ） 2（1 3） 2
22
解
1 3i( 3i)2 42 2
1 3i 22
（ 3 ） 32
解 （ 1 3） （ 2 1 3）
22
22
（ 13）1 （ 3） 1
22
22
小结： 2 （ ，） 2
31 ， ） （ 31
(a+bi)(c-di) =
(c+di)(c-di)
(ac+bd)+(bc-ad)i =
c2+d2
=
ac+bd c2+d2
+
bc-ad c2+d2
i
(c+di ≠0)
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，
所以商
a+bi c+di
是唯一确定的复数.
学习并没有结束，希望继续努力
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0i1 i2 i 1
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足
(c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
a+bi 记作
c+di
a+bi (a+bi)(c-di)
c+di
= (c+di)(c-di)
(ac+bd)+(bc-ad)i =
1 2 （ a b ） (c i d)i
（ a b c） d (a d b) ic
于是
12
12
实数集R中正整数指数的运算律,
在复数集C中仍然成立.即对
z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n.
【探究】 i 的指数变化规律
3.2.2复数的乘法和除法
1.复数的乘法 两个复数的乘法可以按照多 项式的乘法运算来进行，只
是在遇到 i 2 时，要把 i 2 换
成-1，并把最后的结果写成
ab(a i,b R ) 的形式。
设 z1 a b,iz2 c d i
(a ， b ， c ， d R )
则 z 1• z2 （ a b ） (c i d )i
i1 i,i2 1,i3 i,i4 1
i5 _ i ,_ i6 -_ 1 ,_ i7 _ - i ,_ i8 _ 1 _
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i4n 1 , i4n1 i ,
i4n2 1 , i4n3 i
【练习1】求值：ii2i3 i2006
解：原式（i i2 i3 i4） （i5 i6 i7 i8）... （i2001i2002i2003i200） 4 i2005i2006
a c a d b ic b2 id
(a c b) d(a d b)ic
显然，两个复数的乘积仍为复数
易知，复数运算满足交换律、结合律、 分配律。
••
12
21
（ • ） • • （ • ） 12 3 1 23
• （ ） • • 1 2 3 12 13
例1
已 知2i,34i
（ 4）
－1
2
－ 1－
2
3i 2
3i 2
（－1 3i）（－ 1 3i）
22
22
（－1－ 3i）（－ 1 3i）
22
22
（1 3i） 21 3i 22 22
2011浙江（理）
_
例3.把复数 z的共轭复数记 z,i作 为虚数单位
_
若z1i则（1z）•z A
A.3i B.3i C.13i D.3
=
-5+10i 25
=-
1 5
+
2 5
i
.
例4 计算(1i)8. 1i
解
(1i)8 1i
（ （ 1-1i） (1i） 2 i)8
（ 2 i ）8 2
i8 1
练习2 设 － 13 i， ＝ 1 － － 3 i
22
22
2 计1 算 ） 2 （ ， （ 2 ） （ ， 3 ） 3 ， (4 ) 。
c2+d2
=
ac+bd c2+d2
+
bc-ad c2+d2
i
(c+di ≠0)
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，
所以商
a+bi c+di
是唯一确定的复数.
例3 计算:（1+2i)(3-4i)
解：（1+2i)(3-4i)=
1+2i 3-4i
= (1+2i)(3+4i) (3-4i)(3+4i)
(2)求证 2： （Z） 2
证明：设 ab,则 i
2 （ab） i2
a2b22abi
()2 (ab)i2
a2b22abi
于是
2 （Z）2
(2 )求 证 ：
12
12
证明：设 a b , i c d ,则 i
1
2
（ a b c ） d ( a b d ) ic 12 （ a b c） d (a d i,z1•z2 1i, 则复z数 2 ______ (200)7
解： z2 1z1i
1i 1i
(1 i)2 (1 i)(1
i)
2i i 2
小结：
1 • 2 ( a b ) c ( d i) ( a i b ) c ( a d b ) d ic
1 2
a+bi c+di
1
2
计 算 1•2。
解 • （ 2 i） (3 4 i) 12
6 8 i 3 i 4 i2
1 05i
例2
求证 (1)•： 22
证明：设 ab,则 i ab,于 i 是
• (a b)a i( b)i
a 2 a b i a b 2 i 2i
a2b2
2
2
表明：两个互为共轭的两个复数的乘积等 于这个复数（或其共轭复数）模的平方
_ 解 ： z1i, 原式 (11i)•(1i)(2i)•(1i)
22iii2 2i1 3i
2009浙江（理）
例4.设z1i(i是虚数单位 2） z2， 则
z A.1i B.1i C.1i D.1i
解：原式2 (1i)2 2 2i
1i
1i
2(1i) 2i 2(1i)2i
(1i)(1i)
2
1i