5.2.2 复数代数形式的乘除运算 课件(北师大版选修2-2)
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北师大版高中数学选修2-2 复数的乘法与除法 课件(45张)
3．证明 z 为纯虚数的方法 (1)设 z＝a＋bi，证明 a＝0 且 b≠0； (2)z2<0⇔z 为纯虚数； (3)若 z≠0，则 z＋ z ＝0⇔z 为纯虚数． 4．证明 z∈R 的方法 (1)设 z＝a＋bi(a、b∈R)，证明 b＝0； (2)z∈R⇔z＝ z ； (3)z∈R⇔z2≥0； (4)z∈R⇔|z|2＝z2．
2 2
1＋i 1－i a＋bi ＝i， ＝－i， ＝i， 1－i 1＋i b－ai in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
2．重要等式 z· z ＝|z|2＝| z |2 的应用 z· z ＝|z|2＝| z |2，即两个互为共轭复数的乘积等于这个复数 (或其共轭复数)模的平方． 此等式虽然结构很简单，但它将 z、 z 、|z|、| z |紧密地联系 在一起，并且等式左→右具有实数化功能，右→左具有分解因 式功能．
－1 合并 __________ ，并且把实部与虚部分别__________ ．
设z1＝a＋bi、z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a
(ac－bd)＋(ad＋bc)i (a 、 ＋ bi)(c ＋ di) ＝ ac ＋ bci ＋ adi ＋ bdi2 ＝ __________________
5．乘法、乘方的一些运算在实数集、复数集内的差异 (1)实数集 R 中正整指数幂的运算律，在复数集 C 中仍然 1 成立．若规定 z ＝1，z ＝zm(z∈C，z≠0，m∈N＋)，则对于复
0
－m
数的指数幂运算，可以把 m、n 推广到整数集(注意只推广到整 1 1 数集)，复数集中未定义分数指数幂，如[(1＋i) ]4≠(1＋i)4×4．
1．虚数单位i的乘方的几个注意点： 对任意n∈N＋，都有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n ＝1．
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2.2 复数的乘法与除法课件 北师大版选修2-2
20
【解析】1.因为xi-y=-1+i，所以 则(1+i)x+y=(1+i)2=2i. 答案：2i
x 1,
y
1.
21
2.z1=
(1－3i)(1＋i)＝2－i. 22
设z2=a+2i，z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.
因为z1·z2是实数，所以4-a=0，即a=4，所以z2=4+2i.
55
55
49
类型三 复数的除法运算及综合应用 角度1 复数的除法运算 【典例】1.(2018·天津高考)i是虚数单位，复数 6 7 i =________.
1 2i
50
2.(2018·北京高考)在复平面内，复数
数对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
1 的共轭复
1 i
复习课件
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2.2 复数的乘法与除法课 件 北师大版选修2-2
1
2.2 复数的乘法与除法
2
3
1.共轭复数的概念 (1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫作互为共轭复数. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数.
4
(2)表示：通常记复数z的共轭复数为__z_. (3)性质：若z=a+bi，则z· =a2+z b2=|z|2.
59
2.复数 |1＋2i|＋(1 3i)2=________.
1i
【解析】原式= 12( 2)2＋(1(－ 1i3)i2)2
＝ 3＋ 223i＝ 3＋ i－ 3＝ i. 2i
【解析】1.因为xi-y=-1+i，所以 则(1+i)x+y=(1+i)2=2i. 答案：2i
x 1,
y
1.
21
2.z1=
(1－3i)(1＋i)＝2－i. 22
设z2=a+2i，z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.
因为z1·z2是实数，所以4-a=0，即a=4，所以z2=4+2i.
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类型三 复数的除法运算及综合应用 角度1 复数的除法运算 【典例】1.(2018·天津高考)i是虚数单位，复数 6 7 i =________.
1 2i
50
2.(2018·北京高考)在复平面内，复数
数对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
1 的共轭复
1 i
复习课件
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2.2 复数的乘法与除法课 件 北师大版选修2-2
1
2.2 复数的乘法与除法
2
3
1.共轭复数的概念 (1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫作互为共轭复数. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数.
4
(2)表示：通常记复数z的共轭复数为__z_. (3)性质：若z=a+bi，则z· =a2+z b2=|z|2.
59
2.复数 |1＋2i|＋(1 3i)2=________.
1i
【解析】原式= 12( 2)2＋(1(－ 1i3)i2)2
＝ 3＋ 223i＝ 3＋ i－ 3＝ i. 2i
高中数学选修1-2北师大版 复数的加法与减法、复数的乘法与除法 课件(25张)
①|z|=|������|;②|z1z2|=|z1||z2|;③ ������1 = |������1|(z2≠0).
2 2
������
|������ |
【做一做 3】 已知复数 z 对应的点在第二象限,它的模是 3,实 部是- 5,则������=( ) A.- 5+2i B.- 5-2i C. 5+2i D. 5-2i 解析: 设 z=- 5+bi(b∈R,且 b>0), 则|z|= 5 + ������ 2 =3,且 z 对应的点在第二象限, 即 b=2,z=- 5+2i.故������=- 5-2i. 答案: B
【做一做 4】
1 2 1 C. 1 + i 2 1+2i
1+2i (1-i)
2 =(
)
A.-1- i
B.-1+ i D.1- i
=
1+2i -2i
1 2
1 2
解析:
(1-i)2
=
(1+2i)i 2
=
-2+i 1 =-1+ i. 2 2
答案: B
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”. (1)若复数z1,z2满足z1-z2>0,则z1>z2. ( ) (2)两个互为共轭复数的复数的和与积都是实数.( ) (3)若两个复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,则z1=z2=0. ( ) (4)两复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)÷(c+di)
维
脉
络
一、复数的加法、减法 设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R, 1.运算:z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 2.法则:两个复数的和或差仍然是一个复数,它的实部是原来两个 复数的实部的和(或差),它的虚部是原来两个复数的虚部的和(或差). 名师点拨1.一种规定:复数的加减法法则是一种规定,减法是加法 的逆运算; 特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致. 2.运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的 移项法则在复数中仍然成立. 3.运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数. 4.适当推广:可以推广到多个复数进行加、减运算. 5.虚数单位i:在进行复数加减运算时,可将虚数单位i看成一个字母, 然后去括号,合并同类项即可.
北师大版高中数学选修2-2课件5.2.1复数的加法与减法
实部、虚部与虚部分别相加（减），即
（a+bi） ±（c+di）=（a± c）+（b± d）i .
例题
例：计算 （5-6i）+（-2-i）-（3+4i）.
解： （5-6i）+（-2-i）-（3+4i） =（5-2-3）+（-6-1-4）i =-11i .
小结
一. 数学知识： 复数的加法与减法；
二. 数学思想： (1)转化思想； (2)类比思想.
z1 + z2 = z2 + z1， (z1 + z2 )+ z3 = z1 + (z2 + z3 ) .
ｙ
Z1 (a, b)
Ｏ
bi，c di对应，
Z 则有OZ 1 （a，b），OZ 2 （c，d），
有OZ 1 OZ 2 （a c，b d）.
高中数学课件
灿若寒星整理制作
新课
1、复数的加法与减法
复数的加法规定按照以下的法则进行：
设z1= a+bi, z2= c+di是任意两个复数，
那么它们的和是：
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+ d）i .
显然，两个复数的和仍然是一个复数. 可以验证，复数的加法满足交换率、结合率， 即对于任何z1，z2， z3 ∈C，有
作业
根据复数相等的定义，有
c+ x=a， d+ y=b，
由此
x=a-c， y=b- d，
所以
x+ yi=（a-c）+(b- d )i，
即
（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b- d）i .
（a+bi） ±（c+di）=（a± c）+（b± d）i .
例题
例：计算 （5-6i）+（-2-i）-（3+4i）.
解： （5-6i）+（-2-i）-（3+4i） =（5-2-3）+（-6-1-4）i =-11i .
小结
一. 数学知识： 复数的加法与减法；
二. 数学思想： (1)转化思想； (2)类比思想.
z1 + z2 = z2 + z1， (z1 + z2 )+ z3 = z1 + (z2 + z3 ) .
ｙ
Z1 (a, b)
Ｏ
bi，c di对应，
Z 则有OZ 1 （a，b），OZ 2 （c，d），
有OZ 1 OZ 2 （a c，b d）.
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新课
1、复数的加法与减法
复数的加法规定按照以下的法则进行：
设z1= a+bi, z2= c+di是任意两个复数，
那么它们的和是：
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+ d）i .
显然，两个复数的和仍然是一个复数. 可以验证，复数的加法满足交换率、结合率， 即对于任何z1，z2， z3 ∈C，有
作业
根据复数相等的定义，有
c+ x=a， d+ y=b，
由此
x=a-c， y=b- d，
所以
x+ yi=（a-c）+(b- d )i，
即
（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b- d）i .
高二数学北师大版选修2-2第五章 2.2 复数的乘法与除法 课件(北师大版选修2-2)
i i ห้องสมุดไป่ตู้1
2
Z 一般地，如果 n n N ，有
i i i i
4 n1
i i i i i 1
4 3
i 1, i
4n
i , i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须 在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并. 两个复数的积仍然是一个复数.
第五章 数系的扩充与复数的引入 2.2 复数的乘法与除法
复数的加法：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数， 则它们和为 z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i
复数的和仍然为一个复数，其实部为z1、z2的实部和， 虚部为z1、z2的虚部和。 复数加法满足 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
2
1 3 6 练习 1.计算( i) . 1 2 2 4 (2 2i) 练习2.计算 . 1 3i 5 (1 3i)
练习3.
1 3 1 3i i ________ 4 4 2
( 3 i)
3 i 1 3i 8 练习4.计算( ). 2 2 8 8 3i
例1.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
解:
(1 2i )(3 4i )( 2 i ) (11 2i )( 2 i ) 20 15i
(a bi)(a bi) a b (a, b R).
2 2
概念：共轭复数：实部相等，虚部互为相反数 的两个复数。
1、复数的乘法法则： 设 z1 a bi ， z 2 c di是任意两个复数，
2018学年高中数学北师大版选修2-2课件：5.2.1+2 复数的加法与减法 复数的乘法与除法 精品
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
由①可得 y＝3. ∴z＝3i. 【答案】 3i
复数的乘法与除法运算
已知复数 z1＝1＋i，z2＝3－2i.试计算： (1)z1·z2 和 z41； (2)z1÷z2 和 z22÷z1. 【精彩点拨】 按照复数的乘法和除法法则进行.
【自主解答】 (1)z1·z2＝3－2i＋3i－2i2＝5＋i. z41＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i2＝－4. (2)z1÷z2＝31－＋2ii＝（（31－＋2ii））（（33＋＋22ii））＝1＋135i＝113＋153i. z22÷z1＝（31－＋2ii）2＝5－ 1＋12i i＝（（5－ 1＋12i）i）（（11－－i）i） ＝－7－2 17i＝－72－127i.
2.复数的减法 设 a＋bi(a，b∈R)和 c＋di(c，d∈R)是任意两个复数，定义复数的减法如下： (a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i .
复数 z1＝2－12i，z2＝12－2i，则 z1＋z2 等于(
)
A.0
B.32＋52i
C.52－52i 【解析】
D.52－32i z1＋z2＝2＋12＋－12－2i＝52－52i.
5.2 复数的四则运算课件 北师大版选修2-2课件
第五章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
学习方法指导
第五章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
1．学习复数的加(减)法，只需把握复数的实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减)即可．对于加(减)法的几何意义，应 明确它们符合向量加 ( 减 ) 法的平行四边形法则．另外，还可 以按三角形法则进行，这样类比记忆就把复杂问题简单化
数系的扩充与复数的引入
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
1
知能目标解读
5
探索延拓创新
2
知能自主梳理
6
易错辨误警示
3
学习方法指导
7
课堂巩固训练
4
思路方法技巧
8
课后强化作业
第五章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
知能目标解读
第五章 §1
[ 点评] 在运算过程中注意把握每一个复数的实部和虚
部，复数的加、减运算类似于初中的合并同类项．
第五章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
复数的乘法、除法运算
2＋2i4 (1)计算： ； 1－ 3i5 5 x y (2)已知x，y∈R，且 ＋ ＝ ，求x，y的 1＋i 1＋2i 1＋3i 值．
了．
2．对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬背，乘 法可按多项式乘法类似的办法进行，除法只需记住两个复数 相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子、分 母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．
第五章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2.2 复数的乘法与除法课件1 北师大版选修2-2
z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
3.已知复数z1 1 i, z1 z2 1 i, 则复数z2 ___i___
K12课件
11
K12课件
12
复数的除法
K12课件
1
一、知识回顾
（1)复数的加（减）运算法则：
(a bi) (c di) (a c) (b d)i
说明：（1）两个复数相加(减)就是实部与 实部, 虚部与虚部分别相加(减)
（2）复数的减法是加法的逆运算
加法：（3+5i）+（2+4i）= 5+9i
减法：（3+5i) - (2+4i) = 1+i
K1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课件
2
（2）复数的乘法运算法则：
(a+bi)(c+di )= ac+adi+bci+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；
(2)复数的乘法与多项式的乘法是类 似的，只是在运算过程中把i 2换成－1， 然后实、虚部分别合并.
乘法：(3+5i)(2+4i )= -14+22i
=
=-
-5+10i
1 5
+2552
i
.
化简结果
计算（1）7 i 3 4i
(2) 2i 2i
K12课件
8
例2 计算 (1 4i)(1 i) 2 4i 3 4i
练习（1）2 i 1 i 1i 3i
(2)
1
i
2
1i
3.已知复数z1 1 i, z1 z2 1 i, 则复数z2 ___i___
K12课件
11
K12课件
12
复数的除法
K12课件
1
一、知识回顾
（1)复数的加（减）运算法则：
(a bi) (c di) (a c) (b d)i
说明：（1）两个复数相加(减)就是实部与 实部, 虚部与虚部分别相加(减)
（2）复数的减法是加法的逆运算
加法：（3+5i）+（2+4i）= 5+9i
减法：（3+5i) - (2+4i) = 1+i
K1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课件
2
（2）复数的乘法运算法则：
(a+bi)(c+di )= ac+adi+bci+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；
(2)复数的乘法与多项式的乘法是类 似的，只是在运算过程中把i 2换成－1， 然后实、虚部分别合并.
乘法：(3+5i)(2+4i )= -14+22i
=
=-
-5+10i
1 5
+2552
i
.
化简结果
计算（1）7 i 3 4i
(2) 2i 2i
K12课件
8
例2 计算 (1 4i)(1 i) 2 4i 3 4i
练习（1）2 i 1 i 1i 3i
(2)
1
i
2
1i
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5.2.2
复数代数形式的乘除运算
导.学. 固. 思
1.理解复数的代数形式的四则运算,并能用运算 律进行复数的四则运算.
2.能根据所给运算的形式选择恰当的方法进行
复数的四则运算.
导.学. 固. 思
两个多项式可以进行乘除法运算,例如 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;对于两个复数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),能像多项式一样进行乘除法 运算吗?
解得 b=-2.
设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),试求 z 的实部.【解析】(法一)∵i(z+1)=-3+2i,
∴z=
-3+2i i
-1=-(-3i-2)-1=1+3i,
故 z 的实部是 1. (法二)令 z=a+bi(a、b∈R),由 i(z+1)=-3+2i, 得 i[(a+1)+bi]=-3+2i, -b+(a+1)i=-3+2i, ∴a+1=2,∴a=1.故 z 的实部是 1.
(法二)原式= [(1 + ������)-(1-������)][(1 + ������) + (1 + ������)(1-������) + (1-������) ] [(1 + ������) + (1-������)][(1 + ������)-(1-������)] = =1.
4������ 4������ 2 2
导.学. 固. 思
A
复数代数形式的乘法运算
计算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i); (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i; 5 7 11 (3)(4-i )(6+2i )+(7+i )(4-3i) 3 (4)(1-i) .
【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i -1+i=1+i.
(1+2������)(3+4������) -5+10������ (3-4������)(3+4������) 1 2 5 5
=
25
=- + i.来自导.学. 固. 思(2)(法一)原式= = =1.
4������ 4������
1+3������(1+������)+������ 3 -[1-3������(1-������)-������ 3 ] 2������ +2������
导.学. 固. 思
问题2 什么是共轭复数?
一般地,当两个复数的 实部相等,虚部互为相反数
时,
这两个复数叫作互为共轭复数.
问题3
怎样进行复数除法运算?
复数的除法首先是写成分数的形式,再利用两个互为
共轭复数的积是一个实数,将分母化为实数,从而化成一个
具体的复数.
导.学. 固. 思
问题4 复数的四种基本运算法则
【解析】z=z1·z2=(3+i)(1-i)=4-2i.
导.学. 固. 思
3
2 已知复数 z 与(z+2) -8i 均是纯虚数,则 z= -2i
.
【解析】设 z=bi(b∈R),则(z+2) -8i=(bi+2) -8i=4b +(4b-8)i,依题意得 所以 z=-2i.
4
2
2
2
4-b2 = 0, 4b-8 ≠ 0,
导.学. 固. 思
问题1 结合多项式乘法运算的特点,说明复数乘法运算有
哪些特点?
(1)复数的乘法与多项式的乘法类似,只是在运算过程 2 中把 i 换成 -1 ,然后实部、虚部分别合并; (2)两个复数的积仍是一个复数; (3)复数的乘法与实数的乘法一样,满足交换律、结合 律及分配律; (4)在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律 仍然成立.
(3)原式=[( + i) ] + =(- + i) 2 1 2 2 3 4 1 3
2
1
3
2
2
-2-2 3 ������ 4(1+������ ) 3 1 2 4
2
2 2 1+ 3 ������
=(- - )+( - )i.
4 2
4 ������ 1 3
=- - i+ i2
1
3 4
导.学. 固. 思
导.学. 固. 思
复数代数形式的除法运算
计算:(1)(1+2i)÷(3-4i); (2)
(1+i ) -(1-i) (1+i ) -(1-i) 1 2 3
4
3 2
3 2
;
2 2
(3)( + i) +
2
(1- 3i ) (2+2i )
.
1+2������ 3-4������
【解析】(1)(1+2i)÷(3-4i)= =
+
i (c+di≠0).
导.学. 固. 思
1
i 是虚数单位,复数 z=
2+3i
-3+2i
的虚部是( B
).
A.0
【解析】∵z=
2
B.-1
2+3i 1 i (2+3i ) i
C.1
D.2
= =-i,∴虚部为-1,故选 B.
复数 z1=3+i,z2=1-i,则 z=z1·z2 在复平面内的对 应点位于( D ). A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
2
导.学. 固. 思
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i 2 =(-2+10i+i-5i )(3-4i)+2i =(-2+11i+5)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i 2 =(9-12i+33i-44i )+2i =53+21i+2i=53+23i. 5 7 11 (3)(4-i )(6+2i )+(7+i )(4-3i) =(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i) 2 2 =(24-8i-6i+2i )+(28-21i-4i+3i ) =47-39i. 3 3 2 2 3 (4)(1-i) =1 -3×1 ×i+3×1×i -i =1-3i-3-(-i)=-2-2i.
(1)加法:(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ; (2)减法:(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ; (3)乘法:(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i ; (4)除法:(a+bi)÷(c+di)=
ac +bd bc -ad c 2 +d 2 c 2 +d 2
复数四则运算的综合应用
已知|z| +(z+������ )i=2+������ (i 为虚数单位),试求满足条件的 z.
2
−
3-������
【解析】原方程化简为|z| +(z+������ )i=1-i, 设 z=x+yi(x,y∈R),代入上述方程得 2 2 x +y +2xi=1-i, ������ = - , ������ 2 + ������ 2 = 1, 2 ∴ ∴ ∴原方程的解为 3 2������ = -1, ������ = ± ,
复数代数形式的乘除运算
导.学. 固. 思
1.理解复数的代数形式的四则运算,并能用运算 律进行复数的四则运算.
2.能根据所给运算的形式选择恰当的方法进行
复数的四则运算.
导.学. 固. 思
两个多项式可以进行乘除法运算,例如 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;对于两个复数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),能像多项式一样进行乘除法 运算吗?
解得 b=-2.
设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),试求 z 的实部.【解析】(法一)∵i(z+1)=-3+2i,
∴z=
-3+2i i
-1=-(-3i-2)-1=1+3i,
故 z 的实部是 1. (法二)令 z=a+bi(a、b∈R),由 i(z+1)=-3+2i, 得 i[(a+1)+bi]=-3+2i, -b+(a+1)i=-3+2i, ∴a+1=2,∴a=1.故 z 的实部是 1.
(法二)原式= [(1 + ������)-(1-������)][(1 + ������) + (1 + ������)(1-������) + (1-������) ] [(1 + ������) + (1-������)][(1 + ������)-(1-������)] = =1.
4������ 4������ 2 2
导.学. 固. 思
A
复数代数形式的乘法运算
计算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i); (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i; 5 7 11 (3)(4-i )(6+2i )+(7+i )(4-3i) 3 (4)(1-i) .
【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i -1+i=1+i.
(1+2������)(3+4������) -5+10������ (3-4������)(3+4������) 1 2 5 5
=
25
=- + i.来自导.学. 固. 思(2)(法一)原式= = =1.
4������ 4������
1+3������(1+������)+������ 3 -[1-3������(1-������)-������ 3 ] 2������ +2������
导.学. 固. 思
问题2 什么是共轭复数?
一般地,当两个复数的 实部相等,虚部互为相反数
时,
这两个复数叫作互为共轭复数.
问题3
怎样进行复数除法运算?
复数的除法首先是写成分数的形式,再利用两个互为
共轭复数的积是一个实数,将分母化为实数,从而化成一个
具体的复数.
导.学. 固. 思
问题4 复数的四种基本运算法则
【解析】z=z1·z2=(3+i)(1-i)=4-2i.
导.学. 固. 思
3
2 已知复数 z 与(z+2) -8i 均是纯虚数,则 z= -2i
.
【解析】设 z=bi(b∈R),则(z+2) -8i=(bi+2) -8i=4b +(4b-8)i,依题意得 所以 z=-2i.
4
2
2
2
4-b2 = 0, 4b-8 ≠ 0,
导.学. 固. 思
问题1 结合多项式乘法运算的特点,说明复数乘法运算有
哪些特点?
(1)复数的乘法与多项式的乘法类似,只是在运算过程 2 中把 i 换成 -1 ,然后实部、虚部分别合并; (2)两个复数的积仍是一个复数; (3)复数的乘法与实数的乘法一样,满足交换律、结合 律及分配律; (4)在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律 仍然成立.
(3)原式=[( + i) ] + =(- + i) 2 1 2 2 3 4 1 3
2
1
3
2
2
-2-2 3 ������ 4(1+������ ) 3 1 2 4
2
2 2 1+ 3 ������
=(- - )+( - )i.
4 2
4 ������ 1 3
=- - i+ i2
1
3 4
导.学. 固. 思
导.学. 固. 思
复数代数形式的除法运算
计算:(1)(1+2i)÷(3-4i); (2)
(1+i ) -(1-i) (1+i ) -(1-i) 1 2 3
4
3 2
3 2
;
2 2
(3)( + i) +
2
(1- 3i ) (2+2i )
.
1+2������ 3-4������
【解析】(1)(1+2i)÷(3-4i)= =
+
i (c+di≠0).
导.学. 固. 思
1
i 是虚数单位,复数 z=
2+3i
-3+2i
的虚部是( B
).
A.0
【解析】∵z=
2
B.-1
2+3i 1 i (2+3i ) i
C.1
D.2
= =-i,∴虚部为-1,故选 B.
复数 z1=3+i,z2=1-i,则 z=z1·z2 在复平面内的对 应点位于( D ). A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
2
导.学. 固. 思
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i 2 =(-2+10i+i-5i )(3-4i)+2i =(-2+11i+5)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i 2 =(9-12i+33i-44i )+2i =53+21i+2i=53+23i. 5 7 11 (3)(4-i )(6+2i )+(7+i )(4-3i) =(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i) 2 2 =(24-8i-6i+2i )+(28-21i-4i+3i ) =47-39i. 3 3 2 2 3 (4)(1-i) =1 -3×1 ×i+3×1×i -i =1-3i-3-(-i)=-2-2i.
(1)加法:(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ; (2)减法:(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ; (3)乘法:(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i ; (4)除法:(a+bi)÷(c+di)=
ac +bd bc -ad c 2 +d 2 c 2 +d 2
复数四则运算的综合应用
已知|z| +(z+������ )i=2+������ (i 为虚数单位),试求满足条件的 z.
2
−
3-������
【解析】原方程化简为|z| +(z+������ )i=1-i, 设 z=x+yi(x,y∈R),代入上述方程得 2 2 x +y +2xi=1-i, ������ = - , ������ 2 + ������ 2 = 1, 2 ∴ ∴ ∴原方程的解为 3 2������ = -1, ������ = ± ,