（教案2）28.2解直角三角形
2022年初中数学《解直角三角形2》精品教案
28.2.1 解直角三角形第2课时教学目标【知识与技能】本节主要探索的是运用解直角三角形的知识去解决某些简单的根本问题. 【过程与方法】1.用解三角形的有关知识去解决简单的根本问题的过程.2.选择适宜的边角关系式，使运算简便.努力培养学生数形结合，把根本问题转化为数学问题并用数学方法去分析、解决问题的能力. 【情感态度】通过解决问题，激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与，并体验成功的喜悦.教学重难点【教学重点】引导学生根据题意找出正确的直角三角形，并找到恰当的求解关系式，把根本问题转化为解直角三角形的问题来解决. 【教学难点】使学生学会将有关简单的问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系.课前准备 无 教学过程一、知识回忆1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由元素求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形2.直角三角形中诸元素之间的关系：〔1〕三边之间的关系：a 2+62=c 2(勾股定理〕 〔2〕锐角之间的关系：∠A+∠B=90°； 〔3〕边角之间的关系：ba A cb Ac a A ===tan cos sin ，，. 把∠A 换成∠B 同样适用.二、思考探究，获取新知我们已经掌握了运用直角三角形的边角关系 解直角三角形，那么请思考：对于简单的根本问题，我们能否用解直角三角形的方法去解决呢？如图，河宽AB(假设河的两岸平行〕，在C 点测得∠ACB = 30°，D 点测得∠ADB=60°，又CD=60m ，那么河宽AB 为多少米？〔结果保存根号〕【分析】先根据三角形外角的性质求出∠CAD 的度数，判断出△ACD 的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB 的值.【教学说明】此题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值. 三、典例精析，掌握新知例1 如图，为了测量河两岸A 、两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC =m ， ∠ACB = α那么AB 等于〔 〕A. m sin αB. n cos αC. m tan αD. m /tan α【分析】此题易因记错∠α的正切或运算关系掌握不好而选错. 答案 C例2 如图，小明在公园里放风筝，拿风筝线的手B 离地面高度AB 为1.5米，风筝飞到C 处时的线长BC 为30米，这时测得∠CBD=60°，求此时风筝离地面的高度.〔结果精确到0.1米，73.13 )【分析】 在Rt △BCD 中，由BC =30米，∠CBD=60°，利用正弦可求得CD ，又DE=AB ，从而风筝离地面的高度CE=CD+DE.【教学说明】解答此题的关键是利用解直角三角形来求CD 的长，利用矩形的性质求DE 的长. 四、运用新知、深化理解1.课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成 30°角时，测得旗杆AB 在地面上影长BC 长为24米，那么旗杆AB 的 高约是多少 ？2.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径A 河底线，弦处有8m 已测得1312DOE sin =∠.〔1〕求半径OD;〔2〕根据需要，睡眠要以每小时0.5m 的速度下降，那么经过多长时间才能将水排干？【教学说明】可让学生自主探究，也可小组内讨论.教师巡视，发现问题给予指导.【答案】1.解：∵太阳光线与地面成30°角，旗杆AB 在地面上的影长BC 为24米，∴旗杆AB 的高度约是：）（m 3830tan 24=︒=AB .2..分析：解决此题的关键是求出OE 的值.由垂径定理易求出DE 的长，Rt △OED 中，根据DE的长以及∠EOD 的正弦值，可求出半径OD 的长， 再由勾股定理即可求出OE 的值.OE 的长除以水面下降的速度，即可求出将水排干所需要的时间.五、师生互动、课堂小结1.解直角三角形的关键是找到与和未知相关联的直角三角形，当 图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形.〔作 某边上的高是常用的辅助线〕2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形 成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种问题 时合理运用.课后作业1.布置作业：从教材P77〜79习题28.2中选取.2.完成练习册中本课时的练习.教学反思本课时以自主探究和小组讨论为主，以教师归纳讲解为辅，激发学生自主学习的兴趣和能力，使学生进一步稳固和深化锐角三角函数和直角三角形知识的理解，培养学生数形结合的思想.第1课时教学目标【知识与技能】进一步运用反比例函数的知识解决实际问题. 【过程与方法】经历“实际问题一建立模型一问题解决〞的过程，开展学生分析问题，解决问题的能力. 【情感态度】运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中，感受数学的应用价值，提高学习兴趣. 教学重难点【教学重点】运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.【教学难点】用反比例函数的思想方法分析、解决实际应用问题.课前准备无教学过程一、情境导入，初步认识问题我们知道，确定一个一次函数y = kx+b的表达式需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数表达式，那么只需一个独立条件即可，如点A(2，3)是一个反比例函数图象上的点，那么此反比例函数的表达式是，当x=4时，y的值为，而当y=13时，相应的x的值为，用反比例函数可以反映很多实际问题中两个变量之间的关系，你能举出一个反比例函数的实例吗？二、典例精析，掌握新知例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位：m2 )与其深度 d(单位:m)有怎样的函数关系？(2 )公司决定把储存室的底面积定为 500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？2)？【分析】圆柱体体积公式V=S • d,通过变形可得S=Vd，当V—定时，圆柱体的底面积S是圆柱体的高〔深〕d的反比例函数，而当S= 500m2时，就可得到d的值，从而解决问题〔2)，同样地，当d= 15m —定时，代入S = Vd可求得S，这样问题〔3)获解.例2 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度V(单位：吨/天〕与卸货时间t单位：天〕之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多货？【分析】由装货速度×装货时间=装货总量，可知轮船装载的货物总量为240吨；再根据卸货速度=卸货总量÷卸货时间，可得V与t的函数关系式为V=240t，获得问题〔1)的解；在(2)中，假设把t=5代入关系式，可得V=48，即每天至少要卸载48吨，那么可保证在5天内卸货完毕.此处，假设由V =240t得到t=240V，由t≤5，得240V≤5，从而V≥48，即每天至少要卸货48吨，才能在不超过5天内卸货完毕.【教学说明】例2仍可由学生自主探究，得到结论.鼓励学生多角度出发，对问题〔2)发表自己的见解，在学生交流过程中，教师可参与他们的讨论，帮助学生寻求解决问题的方法，对有困难的学生及时给予点拨，使不同层次的学生在学习中都有所收获.例3如下图是某一蓄水池每1h的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数图象.(1) 请你根据图象提供的信息求出此蓄水的蓄水量.(2) 写出此函数的函数关系式.(3) 假设要6h排完水池的水，那么每1h的排水量应该是多少？(4) 如果每1h排水量是5m3，那么水池中的水将用多长时间排完？【分析】解此题关键是从图象中获取有关信息，会根据图象答复.解：(1)由图象知：当每1h排水4m3时，需12h排完水池中的水，∴蓄水量为4×12 = 48〔m3 )(2)由图象V与t成反比例，设V=kt(k≠0).把V=4,t=12代入得k=48，∴V =48t(t＞0).(3)当t=6时，486V== 8，即每1h排水量是8m3⑷当V=5时,5 = 48t,485t∴== 9.6(h)，即水池中的水需要用9.6h排完.【教学说明】例3相比前面两例，难度增加，教师在讲解此题时，要辅导学生从图象中获取信息，会根据图象答复下列问题.三、运用新知，深化理解1.某玻璃器皿公司要挑选一种容积为1升 (1升=1立方分米〕的圆锥形漏斗.(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系？(2)如果漏斗口的面积为100厘米2，那么漏斗的深为多少？2.市政府方案建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务.(1)运输公司平均每天的工作量V(单位：m3/天〕与完成运送任务所需的时间t〔单位：天〕之间具有怎样的函数关系？(2)这个运输公司共有100辆卡车，每天一共可运送土石方104m3.那么公司完成全部运输任务需要多长时间？【教学说明】以上两题让学生相互交流，共同探讨，获得结果，使学生通过对上述问题的思考，稳固所学知识，增强运用反比例函数解决问题的能力.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学〞局部.【答案】1.解：〔1)13Sd=1，S =3d(d＞0)(2)100cm2 = 1dm2，当S = 1dm2时，3d=1,d=3dm.2.解:(1)661010,(Vt V tt==＞0) .(2)t=662410101010V== .即完成任务需要100天.四、师生互动，课堂小结谈谈这节课的收获和体会，与同伴交流.课后作业1.布置作业：从教材“习题26. 2〞中选取.“课时作业〞局部.教学反思本节课是用函数的观点处理实际问题，其中蕴含着体积、面积这样的实际问题.而解决这些问题的关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，从而逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.学生已经有了反比例函数的概念及其图象与性质这些知识作为根底，另外在小学也学过反比例，并且上学期已经学习了正比例函数、一次函数，学生已经有了一定的知识准备.因此，本节课教师可从身边事物入手，使学生真正体会到数学知识来源于生活，有一种亲切感.在学习中要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的时间来进行交流活动，不断引导学生利用数学知识来解决实际问题.。
28.2解直角三角形教案及教后反思
“程导航”课时教学计划定义：在直角三角形方式：学生讲解.D b a =⋅【教学反思】本节课是新人教版九年级下册《锐角三角函数》这章中的内容是，是运用三角函数知识解决实际问题的基础。
书本上是以比萨斜塔 实际问题引入，我个人认为不是很恰当，所以我将教材进行的重组，设计了符合学生学情的学程设计（预习作业），通过教后，个人认为这堂课是比较成功的。
具体体现在：一、教学目标明确，确定符合《新标准》理念，教学目标达成度高，课堂测试90%同学全对。
二、教学内容安排科学合理，内容呈现方式多样化，充分挖掘书本例题，以不同的问题形式是学生的预习有目的，有实效。
对于书本P86例1：如图在Rt △ABC 中∠C= 90°,AC=2,BC= 6，解这个直角三角形。
我采取了这样的方式：⑴阅读书本例题的解答过程，在每一步后面写上解题依据； ⑵你还有其它的方法吗？请写下来。
第一问设计意图是考查学生对于书本解答过程的理解情况；第二问的设计意图是让学生从不同的角度思考问题，旨在让学生通过对这一例题深刻的理解，由会做一道题演变为会做一类题。
再如对于例题2在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解这个直角三角形.(结果保留到小数点后一位) 我采取了这样的方式：⑴阅读书本例题的解答过程，在每一步后面写上解题依据；⑵对于最后一步我另外给出了一种解法然后请学生比较求c 的两种解法，并谈谈体会。
求c 的另一种方法： 第一问设计意图仍然是考查学生对于书本解答过程的理解情况；第二问的设计意图是让学生在不同的解法中择优选择，学会用最好的方法解题。
显然第二种方法没有第一种好，因为这里用的a 是上面求出来的，如果上面求错了，下面也跟着错了，所以要尽量选择原始数据，避免累计错误这样的学法指导对于学生很有帮助。
三、教学方式符合《新标准》要求。
本节课注重了学生自主学习和合作交流的教学模式，让学生真正成为课堂学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
人教初中数学九年级下册28-2 解直角三角形及其应用(教学设计)
师：尝试写出∠A 的三角函数。
生：∠A 的正弦值：sin A=∠A 所对的边斜边= ac∠A 的余弦值：cos A= ∠A 所邻的边斜边= bc∠A 的正切值：tan A=∠A 所对的边邻边= ab师：将 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：生：变式1-1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a = 30， b = 20，根据条件解直角三角形.变式1-2 在△ABC 中，∠C =90∘, AB =6, cosA =13，则AC 等于（ ）A ．18B ．2C ．12D ．118变式1-3在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．msin35° B ．mcos35° C ．m sin35°D ．mcos35°变式1-4 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35° ，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． 变式1-5 如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB ＝2米， 要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC ，使光线不 能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（ ） A ．2tan70°米 B ．2sin70°米 C ．2.2tan70°米 D ．2.2cos70°米平线下方的叫做俯角。
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 师：尝试说出A,B关于坐标原点O的位置？生：点A位于点O北偏东30°位置，点B位于点O南偏西45°位置[多媒体展示]热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）。
28.2解直角三角形(教案)
-难点3：针对含有两个未知数的直角三角形问题，如已知斜边和一个锐角，求另外两个未知数。通过讲解和举例，让学生掌握解题步骤，如先求出另一个锐角，再利用三角函数求解未知边长。
其次，在新课讲授环节，我发现部分学生对三角函数的定义和应用掌握不够扎实。在讲解过程中，我可能过于注重理论推导，而忽略了与实际例子的结合。针对这一问题，我打算在接下来的课程中，增加。
此外，在实践活动环节，虽然学生分组讨论和实验操作进行得如火如荼，但我发现部分小组在讨论过程中偏离了主题，讨论了一些与课程内容关联性不强的问题。在今后的教学中，我需要加强对学生讨论方向的引导，确保实践活动紧扣课程内容。
今天我们在课堂上学习了解直角三角形这一章节，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，关于导入新课环节，我通过提问方式引导学生思考日常生活中的直角三角形实例，但感觉学生的反应并不如预期。可能是我提出的问题不够具体，或者是学生的生活经验有限，导致他们难以快速进入学习状态。在今后的教学中，我需要更贴近学生生活实际，提出更具启发性的问题，激发他们的兴趣。
在学生小组讨论环节，我注意到有些学生发言不够积极，可能是他们对讨论主题不感兴趣或者缺乏自信。为了提高学生的参与度，我计划在下一节课中，鼓励学生提出自己的观点，并适时给予表扬和鼓励，让他们在讨论中找到成就感和自信心。
最后，关于课堂总结环节，我觉得自己总结得还不够到位，没有完全覆盖本节课的重点和难点。在今后的教学中，我需要更加注重课堂总结，明确指出重点和难点，帮助学生巩固所学知识。
（3）将实际问题抽象成直角三角形模型，运用三角函数解决生活问题。
人教版九年级下册数学教案：28.2.1解直角三角形教案
一、教学内容
人教版九年级下册数学教案：28.2.1解直角三角形教案
本节课我们将学习以下内容：
1.了解直角三角形的定义及性质；
2.掌握运用勾股定理求解直角三角形的边长；
3.学习运用三角函数（正弦、余弦、正切）求解直角三角形中的角度；
4.通过实际例题，掌握解直角三角形的应用。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标如下：
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够理解和运用勾股定理，解决实际问题；
2.提升学生的空间观念，通过直角三角形的性质和图形分析，增强对几何图形的理解；
3.培养学生的数据运算能力，熟练掌握三角函数的计算和应用；
4.增强学生的应用意识，将解直角三角形的知识应、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了解直角三角形的相关知识。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。
首先，关于导入新课的部分，我通过提出一个与生活密切相关的问题，激发了学生的兴趣。但在实际操作中，我发现有些学生对这个问题还是感到困惑，可能我需要提供更多的生活实例，帮助他们更好地理解解直角三角形的应用。
-难点三：实际问题的解决。学生可能不知道如何从实际问题中抽象出直角三角形的模型，以及如何选择合适的三角函数进行求解。举例：在测量旗杆高度的问题中，如何运用直角三角形和三角函数的知识。
-难点四：计算过程中的精度问题。在进行三角函数计算时，学生可能会因为计算错误而导致最终结果不准确。举例：在计算过程中，如何正确处理小数和分数，以及如何估算结果的有效性。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解直角三角形的基本概念及其性质。直角三角形是一种有一个角是直角（90°）的三角形。它在数学和实际生活中有着广泛的应用，如测量、建筑等领域。
人教版九年级下册《28.2解直角三角形》教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与解直角三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用三角函数解直角三角形的基本原理。
以实际生活中的实例引入，激发学生学习兴趣，通过讲解、例题、练习等形式，使学生掌握解直角三角形的方法，并能够应用于解决实际问题。
二、核心素养目标
1.掌握锐角三角函数的定义和性质，培养数学抽象、逻辑推理的素养；
2.学会运用正弦、余弦、正切函数解直角三角形，提高数学建模、数学运算的能力；
3.能够将解直角三角形的方法应用于解决实际问题，培养数据分析、实际问题解决的能力；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了解直角三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对解直角三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.教学难点
a.锐角三角函数性质的理解与记忆；
b.在实际问题中，正确识别和应用解直角三角形的方法；
c.解决涉及直角三角形问题时，能够灵活运用各种三角函数。
举例解释：
-针对锐角三角函数性质的理解与记忆，教师可通过图表、口诀等方式，帮助学生记忆和掌握；
-在实际问题中，教师应引导学生分析问题，识别出关键信息，从而正确选择解直角三角形的方法；
人教版九年级下册数学教案：28.2解直角三角形坡度与坡角
“自学互帮导学法”课堂教学设计课题九年级下册第二十八章28.2 解直角三角形应用（3）坡度、坡角课时第2课课型新课修改意见教学目标1.认识坡度、坡角2.运用坡度、坡角和解直角三角形知识解决实际问题3.培养学生微积分的基本思想教学重点构建直角三角形解决实际问题教学难点构建直角三角形解决实际问题学情分析学生掌握了坡度、坡角解直角三角形知识。
运用它解决实际问题对于多数学生来说应没有问题。
学法指导讨论与交流教 学 过 程教学内容教师活动学生活动效果预测及补救措施 修改意见一、举实例导课修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 坡度与坡角坡面的铅垂高度(h )与水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)记作 i ，即 i ＝________；而坡面与水平面的夹角叫做________记作α，即 i ＝________显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡.教师列实例认识坡度坡角 并画图学生动手画1、 2、 ……二、练习：1、一段坡面的坡角为60°，则坡度i=_____;2、已知一段坡面上，铅直高度为1，坡面长为 2 ，则坡度i＝_______,坡角α＝______3、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5cm，则坡面AB的长是( )A.10mB.C.15Md.D M4、梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确抽学生回答学生先思考31035的是( )A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关三、实例讲解例1：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i’= 1∶2.5，求:斜坡AB的坡角α;坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．抽学生回答学生交流讨论四、综合运用利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内教师讲解坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、以直代曲的解决问题的策略解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=l sin a，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为培养学生以直代曲的能力和极限思想零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sin a1.在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,h n,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,h n 相加，于是得到山高h.以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．六、总结知识1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念坡度、坡角等2.实际问题向数学模型的转化(解直角三角形)六、作业。
解直角三角形教案
28.2解直角三角形第1课时1.了解什么叫解直角三角形.2.掌握解直角三角形的根据.3.能由已知条件解直角三角形.阅读教材P85-86，自学“探究”与“例1”，弄清楚直角三角形的元素，掌握解直角三角形的方法.自学反馈 学生独立完成后集体订正①在直角三角形中，由______求_______的过程叫做解直角三角形.②直角三角形中的边角关系：三边之间的关系_________________；两锐角之间的关系____________________；边与角之间的关系：sinA=____，cosA=____，tanA=____，sinB=____，cosB=____，tanB=____.③在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知∠A 与斜边c ，用关系式____，求出∠B ，用关系式____求出a.教师点拨：弄清楚直角三角形五元素之间的数量关系是解直角三角形的关键.活动1 小组讨论例1 Rt △ABC 中，∠C=90°，c=0.8328，b=0.2954，解这个直角三角形.解：∵sinB=c b =0.83280.2954≈0.3547，∴∠B≈20°46′，∠A=90°-∠B=90°-20°46′=69°14′，∵tanA=ba ，∴a=b·tanA=0.2954×tan69°14′≈0.779. 教师点拨：直角三角形除直角外的其它五个元素中，已知其中任何两个元素（必有一边），即可求出其它三个元素.活动2 跟踪训练（独立完成后小组内交流并展示）1.P87练习题.2.如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AB=10，∠A=30°，则BC 的长为__________.第2题图 第3题图 3.如图，在△ABC 中，∠B=45°，cosC=53，AC=5a ，则△ABC 的面积用含a 式子表示是_________.4.根据下列所给条件解直角三角形，结果不能确定的是（ ）①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边.A.②③B.②④C.只有②D.②④⑤教师点拨：第3小题要过点A 作BC 的垂线，构造两个直角三角形，再解直角三角形.第4小题要注意解直角三角形中已知的两元素不包括直角.活动1 小组讨论例2 如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m 的顶灯，已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m ，矩形面与地面所成的角a 为78°，李师傅的身高为1.78m ，当他攀升到头顶距天花板0.05-0.20m 时，安装起来比较方便，他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便？（参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F.∵AB=AC ，∴EC=21BC=21×1=21.在Rt △AEC 中，cos ∠ACE=cosa=ACEC ， ∴AC21=co s78°≈0.21∴AC≈2150.∴DC=73AC=73×2150=4950. 在Rt △DFC 中，sin ∠DCF=DC DF ，∴4950DF =sin78°≈0.98.∴DF=1.∴h=2.90-1.78-1=0.12（m ）. ∵0.05<0.12<0.20，∴他安装时比较方便.教师点拨：像这种实际问题应该建立解直角三角形的数学模型，通过构造直角三角形，然后得以解决.活动2 跟踪训练（独立完成后展示学习成果）已知，如图：△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=10，D 为△ABC 外一点，连结AD 、BD ，过D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，交AC 于E.①若△ABD 是等边三角形，求DE 的长；②若BD=AB ，且tan ∠HDB=43，求DE 的长.教师点拨：求出AB 的长，根据等腰三角形“三线合一”可求出AH 和BH 等于AB 的二分之一，然后在直角三角形AHD 和AHE ，可利用tan ∠DAH 和tan ∠EAH 求出DH 和EH 的长，从而求出DE 的长；第②小题思路和方法同上.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识：解直角三角形.2.本节学习的数学方法：转化的数学思想.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①略 ②略 ③略【合作探究1】活动2 跟踪训练1.略2.53.14a 24.C【合作探究2】活动2 跟踪训练①DE=53-5 ②4第2课时1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.2.进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.3.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.阅读教材P87-88页，自学“例3”与“例4”，复习圆的切线相关的知识，弄清仰角与俯角的概念.自学反馈 独立完成后小组内展示学习成果①某人从A 看B 的仰角为15°，则从B 看A 的俯角为______.②什么叫圆的切线？它有什么性质？③弧长的计算公式是什么？④P89练习题1-2题.教师点拨：把求线段的长转化成解直角三角形的知识，构造直角三角形，把相应的元素放到相应的直角三角形中去.活动1 小组讨论例1 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10m ，∠A=26°，求中柱BC （C 为底边中点）和上弦AB 的长.（精确到0.01m ）解：∵tanA=ACBC ，∴BC=AC·tanA=5×tan26°≈2.44（m ）.∵cosA=ACAB ， ∴AB=cosA AC = cos265≈5.56（m ）.答：中柱BC 约长2.44m ，上弦AB 约长5.56m. 教师点拨：这类问题往往是将等腰三角形转化成解直角三角形，同一个问题可以用不同的关系式来解.活动2 跟踪训练（独立完成后展示学习成果）1.如图，某飞机于空中处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200m ，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角a=16°31′，求飞机A 到指挥台B 的距离.（精确到1m ）2.在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m ，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少m.（精确到0.1m ）教师点拨：这类求距离的问题往往转化成求直角三角形边长的问题，另外，要注意理解有关的名词术语.第2小题要抽象成几何图形再来解决实际问题.活动1 小组讨论例2 如图，两建筑物的水平距离为32.6m ，从A 点没得D 点的俯角α为35°12′，测得C 点俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.（精确到0.1m ）解：过D 作DE ⊥AB 于E ，则∠ACB=β=43°24′，∠ADE=α=35°12′，DE=BC=32.6m.在Rt △ABC 中，∵tan ∠ACB=BC AB ，∴AB=BC·tan ∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83（m ）. 在Rt △ADE 中，∵tan ∠ADE=DE AE ，∴AE=DE·tan ∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00（m ）. ∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8（m ）.答：两个建筑物的高分别约为30.8m ，7.8m.教师点拨：关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化成几何问题解决.活动2 跟踪训练（小组讨论完成并展示学习成果）如图，一只运载火箭从地面L 处发射，当卫星到达A 点时，从位于地面R 处的雷达站测得AR 的距离是6km ，仰角为43°，1s 后，火箭到达B 点，此时测得BR 的距离是6.13km ，仰角为45.54°，这个火箭从A 到B 的平均速度是多少（精确到0.01km/s ）?教师点拨：速度=路程÷时间，本题中只需求出路程AB ，即可求出速度.无论是高度还是速度，都转化成解直角三角形.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形解决实际问题.2.本节学习的数学方法：数形结合、数学建模的思想.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①15° ②略 ③360n ·2πr ④7.7m 334.2m 【合作探究1】活动2 跟踪训练1.4221m2.6.0m【合作探究2】活动2 跟踪训练0.28km/s第3课时1.能运用解直角三角形解决航行问题.2.能运用解直角三角形解决斜坡问题.3.理解坡度i=坡面的水平宽度坡面的铅直高度=tan 坡角.阅读教材P89-90，自学“例5”和“归纳”，掌握利用解直角三角形的知识解决方位角的实际问题.自学反馈 独立完成后小组内交流①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：a.将实际问题抽象为数学问题，画出图形，转化为解__________的问题；b.根据条件的特点，适当地选用__________去解直角三角形；c.得到数学问题的答案；d.最后得到___________问题的答案.②已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的方向.活动1 小组讨论例1 如图，海中一小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？解：如图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D.在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD=AD BD ，∴BD=AD·tan55°. 在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD=AD CD ，∴CD=AD·tan25°. ∵BD=BC+CD ，∴AD·tan55°=20+AD·tan25°.∴AD=tan25-tan5520≈20.79>10.∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险. 教师点拨：应先求出点A 距BC 的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险.活动2 跟踪训练（独立完成后展示学习成果）如图所示，A 、B 两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ）.经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？（参考数据：3≈1.732，2≈1.414）教师点拨：解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.阅读教材P90-91，自学关于坡度的问题，弄懂坡度与坡角的实际意义，理解铅垂高度与水平宽度的实际意义.自学反馈 独立完成后小组内交流①拦水大坝的横断面为梯形，其中坡度i 是指_________与__________的比，这个值与坡角的_________值相等.②坡度i 一般写成1∶m 的形式，坡度i 的值越大，表明坡角越_______，即坡越陡. ③已知一大坝的坡角为45°，则它的坡度i 的值等于__________. 教师点拨：通过书上的例题掌握“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的方法来解决一些实际和数学问题.活动1 小组讨论例2 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i′=1∶2.5，求斜坡AB 的坡角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长（精确到0.1m ）解：如图，过点B 作BE ⊥AD 于E ，过C 作CF ⊥AD 于F ，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，AE BE =31，FD CF =5.21，∴AE=3BE=3×23=69（m ），FD=2.5CF=2.5×23=57.5（m ）. ∴AD=AE+DF+FD=69+6+57.5=132.5（m ）.∵斜坡的坡度i=31≈0.3333，∴AEBE =0.3333，即tanα=0.3333.∴α≈18°26′.∵AB BE =sinα，∴AB= sin BE ≈0.316223≈72.7（m ）. 答：斜坡AB 的坡角α约为18°26′，坝底宽AD 为132.5m ，斜坡AB 的长约为72.7m.教师点拨：这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形.活动2 跟踪训练1.教材P91页，练习题第2小题.2.如图，已知在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400m 到D 处，测得A 的仰角为60°，求出AB 的高度.教师点拨：第2小题，要过点D 作AB 和BC 的垂线，构造两个直角三角形和一个矩形，将AB 分成两段来求.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题.2.本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学1】自学反馈 ①直角三角形锐角三角函数等实际问题②北偏东40°【合作探究1】活动2 跟踪训练过点P 作PD 垂直AB 于点D ，可求得PD≈63.4m>50m ，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.【预习导学2】自学反馈①坡面的铅垂高度 它的水平宽度 正切 ②大 ③1【合作探究2】活动2 跟踪训练1.α=33.69° β=18.43° 10.8m2.AB=（2003+200）m。
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（教案2）28.2解直角三角形第一篇：(教案2)28.2解直角三角形课题28.2解直角三角形一、教学目标1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识二、教学重点、难点重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．难点：实际问题转化成数学模型三、教学过程（一）复习引入1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．2、在中Rt△ABC中已知a=12 ,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。
（二）实践探索要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角，(如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角能够安全使用这个梯子引导学生先把实际问题转化成数学模型然后分析提出的问题是数学模型中的什么量在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？几分钟后，让一个完成较好的同学示范。
（三）教学互动例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0.1 km)分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.如图,⊙O表示地球，点F 是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出(即)等于多少(精确到1o)这时人是否一般要满足 1解:在上图中，FQ是⊙O的切线，是直角三角形，弧PQ的长为由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离 P点约2 009.6 km.（四）巩固再现练习1,习题 1四、布置作业习题 2,3第二篇：28.2.1解直角三角形教案28.2.1解直角三角形西湖中学黄勇一、内容和内容解析1、内容：解直角三角形的意义，直角三角形的解法。
2、内容解析：本节是学习锐角三角函数之后，结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的问题。
本课内容既能加深对锐角三角函数的理解，又能为后续解决与其相关的实际问题打下基础，在本章起到承上启下的作用。
二、目标和目标解析1．了解解直角三角形的意义和条件．2．能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形，能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题．目标解析：达成目标1的标志是，知道解直角三角形的内涵，能根据直角三角形中已知元素，明确所有要求的未知元素。
达成目标2的标志是根据元素的关系，选择适当关系式，求出未知元素。
三、学情分析在直角三角形的边角关系中，三边之间的关系、两锐角之间的关系比较直接，而两边的比与一个锐角的关系，学生通过学习锐角三角函数，有了一定的基础，但在具体的直角三角形中，根据已知条件选择恰当的锐角三角函数，还是有些困难，且解直角三角形往往需要综合运用勾股定理及三角函数的知识，具有一定的综合性。
CB四、教学过程1、实例引入，初步体验本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题。
设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A 的度数。
sinA=BC5.2=≈0.0954 AB54.5A一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个角，由已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如下图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B＝90°；222边边关系：勾股定理，即a+b=c；边角关系：锐角三角函数，即：a,cosA=cbsinB=,cosB=csinA=b,tanA=ca,tanB=ca,cotA=bb,cotB=abaab解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．例 1 在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形． AC=2,BC=6解这个直角三角形。
思路与技巧求解直角三角形的方法多种多样，可以先求AB，也可以先求∠A，依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据．解答tanA=BC=6=3AC2∴∠A=60o∠B=90o-∠A=90o-60o=30o AB=2AC=22AC B 例2 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，BC=23，CD=22,求AC，AB，∠A，∠B(精确到1′)．思路与技巧在Rt△ABC中，仅已知一条直角边BC的长，不能直接求解．注意到BC和CD在同一个Rt△BCD中，因此可先解这个直角三角形．解答在Rt△BCD中BD=BC2-CD2=12-8=2sinB=cosB=CD226==BC323BD23==BC323用计算器求得∠B＝54°44′ 于是∠A＝90°-∠B＝35°16′ 在Rt△ABC 中，AB=BC3=23⨯=6cosB36=263 AC=AB⨯sinB=6⨯五、课堂小结1、直角三角形中，除直角外，五个元素之间的关系。
2、什么是解直角三角形。
六、课堂练习在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形。
（1）C＝20，b=20;（2）∠B＝72°，c=14；（3）∠B＝30°，a=7第三篇：28.2 解直角三角形教案5课题28.2解直角三角形一、教学目标1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．3、培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．二、教学重点、难点重点：解决有关坡度的实际问题．难点：理解坡度的有关术语．三、教学过程（一）复习引入1．讲评作业：将作业中学生普遍出现问题之处作一讲评．2．创设情境，导入新课．例同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．（二）教学互动通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义． 1．坡度与坡角结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。
即ｉ＝，常i=1：m的形式如i=1:2.5 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？答：i＝hl＝tanα这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角α______度．为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：(1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．答：(1)如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，因为 tanα＝ABBC，AB不变，tanα随BC增大而减小（2）与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanαAB 也随之增大，因为tanα=BC不变时，tanα随AB的增大而增大 2．讲授新课引导学生回头分析引题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∴AE=3BE=3×23=69(m)．FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．因为斜坡AB的坡度i＝tan ＝α≈18°26′13≈0.3333，答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．其实这是旧人教版的一个例题，由于新版里这样的内容和题目并不少，但是对于题目里用的术语新版少提，基于学生的接受情况应插讲这一内容。
（三）巩固再现1、习题2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC 为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．四、布置作业习题第四篇：解直角三角形的应用教案解直角三角形的应用教案教学目标：1.使学生能运用解直角三角形模型，将斜三角形问题转化为解直角三角形。
2.通过对比练习，使学生体会到用斜三角形构造直角三角形，要构造为可解(含特殊角)的直角三角形。