同余法解题
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和是 6,32+19 除以 5 的余数就恰好等于它们的余数的和 6 除以 5 的余数。
性 质 2：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性 质 3：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定
能被这个除数整除。
应用同余性质解题的关键是在于正确理解的基础上灵活运用同余性质。
把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为一个较小的数除以这个数的
性 质 2：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性 质 3：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能
被这个除数整除。
应用同余性质解题的关键是在于正确理解的基础上灵活运用同余性质。
把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为一个较小的数除以这个数的余
数，使复杂的问题变简单，使困难的题变容易。
例 3： 自然数 16520,14903,14177 除以 m 的余数相同，m 的最大值是多少？ （提示：利用同余性质 3）
例 4： 某数用 6 除余 3，用 7 除余 5，用 8 除余 1.这个数最小是几？ （提示：可以用列举法）
课 练习 1：
1.求 4217×364 除以 6 的千万事。！
总第
次课
-3-
我学习 我快乐 我努力 我成功
例 2: 已知 2001 年的国庆节是星期一，求 2010 年的国庆节是星期几？ （提示：一个星期有 7 天，要求 2010 年的国庆节是星期几，就要求从 2001 年到 2010 年的国庆节的总天数被 7 除的余数就行了；也可以利用同余的性质求出余数。）
余数，使复杂的问题变简单，使困难的题变容易。
例 例 1：
求 1992×59 除以 7 的余数。
同余法解题完整版
同余法解题集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。
同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。
记作a≡b（mod.m）。
读作：a同余于b模m。
同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。
3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。
4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。
5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d （mod m），（可加减性）6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=3412X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。
余数问题的解题方法
余数问题的解题方法
解题方法：
1. 除法互换律：将被除数和除数互换，得到的结果是余数。
例如：1÷3=0...1，则3÷1=3...0，即余数为零。
2. 同余定理：如果a÷b=c...d（c为商，d为余数），则a-d÷b=c...0，即余数为零。
例如：7÷3=2...1，则7-1÷3=2...0，余数为零。
3. 分解质因数法：将被除数和除数分解质因数，列出所有的可能组合，直到得到能够整除的结果则余数为零。
例如：6÷3=2...0，则2×3=6，余数为零。
4. 模运算：使用模运算，即a mod b=d，其中d为余数。
5. 对于除法不可整除的情况，可以使用乘除法，即a×b=c+d（c大于等于a，d为余数），其中d为余数。
例如：7×3=21，则21-7=14，余数为7。
6. 开平方法：将被除数平方，或者除数平方，直到得到整除的结果则余数为零。
例如：64÷8=8...0，则8×8=64，余数为零。
7. 拆分成多项式：将被除数和除数拆分成多项式，例如
a=a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n，b=b_1x_1+b_2x_2+…+b_nx_n，则a÷b=c...d（其中d为余数）。
二次同余式的解法
二次同余式的解法（原创实用版）目录1.二次同余式的概念和基本形式2.解二次同余式的常用方法3.实际例子与解题过程4.二次同余式在数学和计算机科学中的应用正文一、二次同余式的概念和基本形式二次同余式是指包含两个未知数的同余方程组，它的一般形式为：ax + by ≡ c (mod m)dx + ey ≡ f (mod m)其中，a、b、c、d、e、f 都是整数，m 是一个正整数，且 a、d 不为零。
二、解二次同余式的常用方法解二次同余式的常用方法有代入法、消元法和矩阵法。
1.代入法：先解出一个未知数，然后将其代入另一个方程，从而得到一个一元一次方程，最后解出另一个未知数。
2.消元法：通过加减消元，将二次同余式化为两个一元一次方程，然后解出未知数。
3.矩阵法：将二次同余式转化为线性方程组，然后用矩阵的方法求解。
三、实际例子与解题过程例如，解以下二次同余式：2x + 3y ≡ 1 (mod 5)x + 4y ≡ 2 (mod 5)我们可以使用消元法，首先将第二个方程的系数乘以 2，然后将两个方程相减，得到：x + y ≡ 0 (mod 5)解得 x = 5k, y = 5l，其中 k、l 是整数。
将 x、y 的解代入原方程，得到：2(5k) + 3(5l) ≡ 1 (mod 5)k + 2l ≡ 1 (mod 5)k = 5m + 1, l = n，其中 m、n 是整数。
因此，解为 x = 5(5m + 1), y = 5n。
四、二次同余式在数学和计算机科学中的应用二次同余式在密码学、计算机图形学和数论等领域都有广泛应用。
例如，在密码学中，二次同余式常用于求解加密和解密过程中的密钥；在计算机图形学中，二次同余式可以用于求解图形的交点；在数论中，二次同余式可以用于求解素数等。
总结：二次同余式是数学中的一个基本问题，解法有多种，包括代入法、消元法和矩阵法。
应用同余问题
同余法解题（进阶）知识精讲例题1 求1992×59除以7的余数。
练习1 求4217×364除以6的余数。
例题2 已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？练习2 已知2002年元旦是星期二。
求2008年元旦是星期几？例题3 求2001的2003次方除以7的余数。
（费尔马小定理：某数的6次方除以7，余数为1）练习3 求12的200次方除以7的余数。
例题4 自然数300，262，205除以m的余数相同，m最大是多少？练习4 1.一个整数除226、192、141都得到相同的余数，且余数不为0，这个整数是几？2.有一个整数，用它去除63、91、129得到三个余数的和是25，这个整数是多少？例题5 某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？练习5 某数除以7余1，除以5余1，除以12余9。
这个数最小是几？挑战极限例6 当1991和1769除以某一个自然数m时，余数分别为2和1，那么m最小是多少？例7在一个圆圈上有几十个孔（如图38-1），小明像玩跳棋那样从A孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先试着每隔2孔跳一步，也只能跳到B孔。
最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。
问：这个圆圈上共有多少个孔？课内练习1.求1339655×12除以13的余数。
2.求879×4376×5283除以11的余数。
3.已知2002年的“七月一日”是星期一。
求2015年的“七月一日”是星期几？4.2004的2004次方除以7的余数是多少？5.某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数最小值。
6.一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？7.A除以5余1，B除以5余4，如果3A大于B,那么3A-B除以5的余数是多少？8.若442、297、210都被同一个数相除，所得的余数相同。
这个除数最大是多少？9.有一个自然数，用它分别除63,90,130，都有余数，三个余数的和为25，这三个余数中最小的一个是多少？10.号码分别为101, 126，173, 193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数，那么打球盘数最多的运动员打了多少盘？。
六年级奥数第27讲-同余法解题(学)
学科教师辅导讲义学员编号：年级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第27讲——同余法解题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，教学目标和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识梳理一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、中国剩余定理1.中国古代趣题韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
同余法解题
精心整理五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。
同余的定义是这样的：?两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。
记作a≡b（mod.m）。
读作：a同余于b模m。
?同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如201?×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一?定能被这个除数整除。
? 例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一? 定能被这个除数整除。
?3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。
??4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。
5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d （mod m），（可加减性）6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（modm），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=3412X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。
同余问题解题技巧
同余问题解题技巧
同余问题是数论中的重要内容，解决它可以应用到大量的科学问题中。
本文介绍一种解决同余问题的技巧，以及与之相关的实例。
首先定义一些概念，以便理解同余问题的实质。
定义P、Q均
为正整数，如果存在正整数m，使得P*m=Q mod N，则称P
和Q模N具有同余性，记作P≡Q (mod N)。
解决同余问题的技巧很简单，具体来说就是首先找出所有满足
P*m=Q mod N的m，然后将这些m都加起来，如果结果是N
的整倍数，就说明P与Q是同余的。
举一个例子来说明该技巧的实际效果，假设我们要求P≡Q (mod 10)，我们只需要找出所有满足P*m=Q mod 10的m即可，显然m=1,3,7都是符合要求的。
将这三个m加起来，结果11，因此P和Q就是同余的。
实际上，这种技巧可以扩展到求解多项式同余问题，并可以利用中国剩余定理来解决。
因此，在解决同余问题时，应当充分考虑各种情况，以便及时捕捉解题技巧，从而提高工作效率。
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五年级奥数培训资料
第六讲同余法解题
一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。
同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。
记作a≡b（mod.m）。
读作：a同余于b模m。
同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如201 ×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。
3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除
数同余，当然余数大小随次方变化。
4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）
例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。
5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d（mod m），（可加减性）
6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）
二、中国剩余定理解法
一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
解法：
求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24
第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40
第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30
这3个数的最小公倍数为60，
所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=34
12X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。
三、解题技巧
同余口诀：“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍n倍加”这是同余问题的口诀。
1）、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求
的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。
例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示
为60-3或者60n-3
2）、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。
例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。
3）、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。
例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。
4）、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，称为：“最小公倍n倍加”，也称为：“公倍数作周期”。
三、例题解评
例1：判定288和214对于模37是否同余
思路点拨：可直接由定义判断。
解：∵288-214=74=37×2
∴288≡214（mod 37）
例2、用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
【解析】假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以a｜(412－133),a｜(412－257),a｜(257－133),说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
(155,124,279)=31,所以a最大是31。
例3、249×388×234除以19，余数是几？
【解析】如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
因为249≡2（mdo19）, 388≡8（mdo19）,234≡6（mdo19）,
所以249×388×234≡2×8×6≡1（mdo19）
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例4：求1992×59除以7的余数。
思路点拨：可应用性质2，将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。
解：∵1992≡4（mod 7），59≡3（mod 7）
∴根据性质5可得：1992×59≡4×3（mod 7），余数为12÷7的余数。
答：1992×59除以7的余数是5。
例5：自然数16520、14903、14177除以m的余数相同，m的最大值是多少？
思路点拨：自然数16520、14903、14177除以m的余数相同，也就是
16520≡14903≡14177（mod m）
根据同余补充定义，这三个数同余，那么它们的差就能被m整除。
要求m最大是多少，就是求它们差的最大公约数是多少。
解：因为16520-14903=1617
16520-14177=2343
14903-14177=726
（1617、2343、726）=33
所以m的最大值是33。
〖评注〗实际上，这三个差数还可以继续两两相减，得到1617-726=891,891-726=165，算出726和165的最大公约数即可，通常其结果与上面相同。
例6：在除13511，13903，及14598时能剩下相同余数的最大整数是几？
思路点拨：根据同余的性质，若几个数被同一个数除，余数相同，则这几个数中两两相减的差必能被这个数整除。
所以这个数应是这三个数两两相减后所得数的最大公约数。
解：这两个数两两只减的差是：
13903-13511=392
14598-13903=686
14589-13511=1078
因为（392，686，1078）=98，所以这个数是98。
也可以以上三个差再两两相减，得686-392=294，再392-294=98
答：这个最大整数是98。
例7：一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3。
这样的三位数共有几个？
思路点拨：由中国剩余定理解法求。
解法：
求3个数：第一个：能同时被9和5整除，但除以4余3，即45X3＝135
第二个：能同时被4和5整除，但除以9余7，即20X8＝160
第三个：能同时被9和4整除，但除以5余2，即36x2＝72
这3个数的最小公倍数为180，
所以满足条件的最小数字为135＋160+72-180=187
7＋180×5=907＜1000
7＋180×6=1087＞1000
所以符合条件的三位数共有5个。
分别是7＋180×n（n=1,2,4,5）.
答：这样的三位数共有5个。
例8、有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？
【解析】这个数除以13，商是有规律的。
商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右
数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢？
则
解析过程：本题商共有1996位，每6位循环，共有332次循环后余4，
所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，个位的余数就对应商为9时的余数5。
三、练习题
1. 求下列算式中的余数。
（1）（2）
（3）（4）
2. 6254与37的积除以7，余数是几？
3. 如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？
4、300、262、205被同一个整数除，得到相同的余数，这个整数是几？
5、一个自然数被247除余63，被248除余63，求这个自然数被26除的余数。
6、一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被4除余3，被3除余2，被2除余1，求N的最小值。
7、两个数除以11分别余9和10，这两个数的和除以11余几？
8、甲、乙、丙三个数之和是100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，得数都商5余1，乙数是多少？
9、求下列各式的余数。
（1）2123÷6 （2）4848÷5
（3）求20的200次方除以13的余数。
（4）求80的1000次方除以12的余数。
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