正格子与倒格子的关系
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倒格子空间
K h CA，K h CB K h 晶面ABC。
3.倒格矢 K h 和面间距的关系 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。
d h1h2h3 a1 K h h1 K h h1 K h 2 Kh
O
a1 h1 b1 h2 b2 h2 b3
a
期，方向为晶面族法向方向，把P平移，得出一 个新点阵。则这个新的格子称为原来晶格的倒格 子。而把原来的晶格称为正格子。
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系 正格子基矢：a1、a2、a3； 倒格子基矢：b1、b2、b3 ;
晶面族：a1a2、a2 a3、a3 a1的面间距分别为d 3、d1、d 2 ;
后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。
(2)对称轴表示方式
①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示 C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示 1、 2 、 3、 4 、 6。
4.对称轴度 数符号表示
度数 n
2
3
4
2 a 2 a3 a1 2 a2 a3 1 a2 b3 ，b2 ，b1 。 (5)倒格子的物理意义 ①倒格子中的一个点代表了晶格中的一族晶面。 ②正格子单位为米，表示位置空间；倒格子单位 为米-1，表示状态空间。
h1、h2、h3 整数。
2.倒格子基矢和正格子基矢的关系 倒格子基矢和正格子基矢具有正交性。即 i j 2 ai b j 2 ij i j 0 2 a3 a1 2 a1 b2 a1 a1 a3 a1 0 2 2 a2 a3 2 a1 b1 a1 a1 a2 a3 2 3.倒格矢和正格矢的关系 K h Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 h1b1 h2 b2 h3 b3
倒格子空间
A1
BA nAB AB ABcos BAcos AB(1 2cos )
cos n 1
2
n是整数。
cos n 1，且1 cos 1， n只能取值：3，2，1，0， 1。
2 n : 3 2 1 0 - 1;
cos : 1 0.5 0 - 0.5 - 1
:0
2
323
2 2 2 2 2 即
a1
a2
可得：1
d3
a1 a2
因b3由 为bb323和daa311 aa222的，可方b得2向： 一2致b3，a3所2d以a31可，以2b写1 a成12矢 量aa22形式a3：。
(5)倒格子的物理意义
①倒格子中的一个点代表了晶格中的一族晶面。
②正格子单位为米，表示位置空间；倒格子单位
为米-1，表示状态空间。
期矢量)。晶体也只能有1，2，3，4，
A2
6度螺旋轴。
如图所示，为4度螺旋轴。晶体 A1
2
绕轴转90°后，再沿该轴平移a/4，能 A
自身重合。
1
2.滑移反映面
M
经过该面的镜象
操作以后,再沿平行于 A2
A2
该面的某个方向平移
T/n的距离(T是该方向 A1
A1
上的周期矢量，n为2
或4)，晶体中的原子 A
1 643 2
2 n 1，2，3，4，6。分别称为1，2，3，4，6次(度)转轴。
n
注意：1200 必满足2400 ； 900必满足2700。
但是， 2400不满足1200 ； 2700不满足900
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis) (1)定义——晶体绕某一固定轴u旋转角度2π/n以 后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。 n只能取1，2，3，4，6。
固体物理题库之名词解释
a)晶体的共性：i.长程有序：晶体中的原子按一定规则排列ii.自限性：晶体自发地形成封闭几何多面体的特性，晶面夹角守恒定律iii.各向异性：晶体的物理性质是各向异性的，是区别晶体与非晶体的中要特征。
原胞：布拉维格子的周期重复单元，有惯用原胞（能反映点对称性的周期性重复单元），初基原包（Bravais格子中体积最小的周期性重复单元，一般为平行六面体）和WS原包（体积最小又能反映点对称性的周期性重复单元）晶面指数：某一晶面把基矢分别分成h1h2h3等分h1h2h3为米勒指数，互质化以后为该晶面的晶面指数d)倒格空间：i.倒格基矢：倒格基矢具有与正格基矢倒逆的量纲，以 b1、b2、b3 表示。
ii.倒格矢：倒格矢是倒格基矢的线性组合，一般用 Kh 表示。
由倒格基矢平移组成的格子称为倒格子，倒格子构成原胞称为倒格原胞。
iii.倒格子和正格子的性质：1.正格原胞的体积与倒格原胞的体积之积等于(2π)^3;2.正格子与倒格子互为对方倒格子。
b) 3.倒格矢Kh = h1b1 + h2b2 +h3b3 与正格子晶面族 (h1h2h3)正交。
晶体对称性：i.对称操作：一个晶体在某一个变换后，晶格在空间的分布保持不变，这一变换称为对称变换。
ii.空间群：若包括平移，有230种对称类型。
点群：不包括平移，有32钟宏观对称类型。
c)晶体结构的分类：i.七大晶系：立方晶系，六角晶系，四方晶系，三角晶系，正交晶系，单斜晶系，三斜晶系。
ii.十四钟布喇菲格子晶胞：1.简单三斜、2.简单单斜、3.底心单斜、4.简单正交、5.底心正交、6.体心正交、7.面心正交、8.六角、9.菱面三角、10.简单四方、11.体心四方、12.简单立方、13.体心立方、14.面心立方。
布拉格反射：行进平面波在布里渊区边界上发生发生反射产生散射平面波布拉格定律用公示表达为：2dsinθ=nλ德拜模型：德拜提出的计算固体热容得模型，用连续介质波代替格波，w=cq的关系，在第一布里渊区积分视为在等效的德拜球中积分，最后得到固体热容，低温时与T的三次方正比，与实验温和很好结论：德拜模型低温时符合好的原因：低温时，对晶格比热的贡献主要来自于声学波，而声学波在长波长极限下，就是弹性波爱因斯坦模型：爱因斯坦提出计算固体热容的模型，假设N个原子构成的晶体所有的格波都以w（常数）振动，最后得出的结果与高温时的实验结果温和较好1.理想晶体：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间无限重复排列而构成的。
1-2倒格子空间
1
4.正格子和倒格子互为正倒格子
证明FCC和ＢＣＣ互为倒易点阵
• 证明过程： • BCC点阵为：
a a ( i j k ) 2 a b (i j k ) 2 a c (i j k ) 2
• 其倒易点阵为
a2 2 2b c 4 (i j k ) (i j k ) 2 ( j k ) a* V a a3 2 a2 2 2c a 2 4 b* (i j k ) (i j k ) (i k ) 3 V a a 2 a2 2 2a b 4 (i j k ) (i j k ) 2 (i j ) c* V a a3 2
a
C
3
a3
h3
Kh
a2 h2 a1 h1
B
a2
A
a1
正格子基矢：a1、a2、a3；原胞体积： 倒格子基矢：b1、b2、b3 ; 原胞体积： 倒格子的倒格子的基矢：b1 、b2 、b3 ;
2 2 2 2 b ＝ b2 b3 a3 a1 a1 a2 3 8 1 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2 a1 1 b1＝ a1 a1
注意：1200 必满足2400 ； 900必满足2700。 但是， 2400不满足1200 ； 2700不满足900
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis)
(1) 定义 —— 晶体绕某一固定轴 u 旋转角度 2π/n 以 n只能取1，2，3，4，6。
4.正格子和倒格子互为正倒格子
证明FCC和ＢＣＣ互为倒易点阵
• 证明过程： • BCC点阵为：
a a ( i j k ) 2 a b (i j k ) 2 a c (i j k ) 2
• 其倒易点阵为
a2 2 2b c 4 (i j k ) (i j k ) 2 ( j k ) a* V a a3 2 a2 2 2c a 2 4 b* (i j k ) (i j k ) (i k ) 3 V a a 2 a2 2 2a b 4 (i j k ) (i j k ) 2 (i j ) c* V a a3 2
a
C
3
a3
h3
Kh
a2 h2 a1 h1
B
a2
A
a1
正格子基矢：a1、a2、a3；原胞体积： 倒格子基矢：b1、b2、b3 ; 原胞体积： 倒格子的倒格子的基矢：b1 、b2 、b3 ;
2 2 2 2 b ＝ b2 b3 a3 a1 a1 a2 3 8 1 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2 a1 1 b1＝ a1 a1
注意：1200 必满足2400 ； 900必满足2700。 但是， 2400不满足1200 ； 2700不满足900
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis)
(1) 定义 —— 晶体绕某一固定轴 u 旋转角度 2π/n 以 n只能取1，2，3，4，6。
固体物理 1 (2)
CD+OD, CD = - RlS0 OD=RlS
当光程差是波长的整数时产生衍射极大为 整数。 CD+OD=Rl( S - S0) = 为整数 (11)
这个方程称为劳厄(Laue)方程。
The Nobel Prize in Physics 1914 "for his discovery of the diffraction of X-rays by crystals"
反射球的作法 设入射线沿CO方向，取线段 C=2/， 是所用单色X射线的 波长。再以C为心，以OC=2/为半径所作的球就是反射球。 若P是球面上的一个倒格点，则CP就是以OP为倒格矢的一族晶 面(h1h2h3)的反射方向，如图所示，图中虚线示晶面族(h1h2h3)之 迹。同样，设想球面上另有一倒格点 Q (图中未曾画出)，则CQ 代表以OQ为倒格矢的另一族晶面的反射方向。 作反射球时要注意，晶体 并不在球心C，而是在倒格点 O处，C不一定是倒格点。
原子散射因子的计算方法
设 r 为原子中某一点P 的位矢，So，S分别是入射方向和衍射 方向的单位矢量，则由P点的散射波相由0 r (k k 0 ) r 2
sr
设(r)d是电子在P点附近体积元 d 内的几率，原子散射因子为
这里所考虑的是一级反射，则自O点和球面上一倒格 点间的联线OP间不含倒格点。如果反射是二级的，则当 中还含有一个倒格点。
波长一定时，反射球大小一定。倒易格子参数越小 (晶 胞越大)，倒易格子点越密集，所产生衍射的数目也越多。
(4) 实验方法 当晶体相对入射线有一种取向，即倒易格子分布一定 时即有一定数量的倒易格子点落到球面上，产生相应数目 的衍射。 当改变晶体取向，即倒易格子与反射球做相对运动的 过程，将有另一些倒易格子点落到反射球面上。 因此晶体 (倒易格子) 和反射球之间不同形式的相对运 动对应于晶体的X射线衍射的各种实验。
倒格子
e
即
i G ( l1 a1 l 2 a 2 l 3 a3 )
1
(m为整数)；
G ( l1 a1 l 2 a2 l3 a3 ) 2m
或者
G R 2m( m为整数)
所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空 间中的表述之间遵守傅里叶变换关系。
小
结
每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联 系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易 点阵），二者互易(例如体心立方与面心立方互 为倒格子)，这两个点阵都是由三个基矢所定义 的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成，且 两种格子空间中长度的量纲互为倒数； 对于给定的正格子，基矢 a1 , a2 , a3 的选择是不 唯一的，相应的倒格子基矢 的选择也是 b1 , b2 , b3 不唯一的，但对应的倒格子却是唯一确定的； 同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的 表述之间遵守傅里叶变换；
位置矢量
R l1 a1 l 2 a2 l3 a3
G n1 b1 n2 b2 n3 b3
正格子空间
倒格子空间
简称“倒格矢” (Reciprocal lattice vector)
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
a i 和b j 之间存在如下关系：
2 ( i j ) i,j=1,2,3 ai b j 0( i j )
§1-4 倒格子 (Reciprocal lattice)
主要内容
1、倒格子定义
2、倒格子与正格子的关系
3、倒格子与傅立叶变换
为何要引入“倒格子”概念？
倒格子概念是理解晶格X射线衍射、处理晶 格振动和固体电子论等有关问题的有力工具。倒
2.4 倒格子
欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任 意整数，则要求： Gh a1 2 h1; Gh a2 2 h2 ; Gh a3 2 h3
h1,h2,h3为整数
显然,如果令 Gh h1b1 h2b2 h3b3 h1,h2,h3为整数
3
3
3
2. 倒格矢与晶面 倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 和正格子中晶面族 (h1h2h3)正交且其倒格矢长度为：
2π Gh d h1h2 h3
其中 d h1h2 h3 是正格子晶 面族(h1h2h3)的面间距
首先我们证明
倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 和正格子中晶面族 (h1h2h3)正交
可以成为倒易空间的基矢。 和 Rn n1a1 n2 a2 n3a3 对比,表明 Gh h1b1 h2b2 h3b3 对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格 子是倒易空间的布拉维格子。 从而 Gh h1b1 h2b2 h3b3 且 bi a j 2 ij ; i 1,2,3; j 1,2,3 也可作为以 a1 , a2 , a3 为基的某一布拉维格子的 倒格子的定义。
因而，面间距 a1 a2 a3 d h1h2h3 n n n O h1 h2 h3 a1 Gh a1 Gh 2 h1 2 h1 Gh h1 Gh h1 Gh Gh
利用 A B C A C B A B C
a3 a1 a1 a2 [ a3 a1 a2 ]a1 [ a3 a1 a1 ]a2
正格子与倒格子基矢关系的矩阵形式
类
似
于
基
（１１） 矢之间
的关系式（１）和式（２）．
２ 倒格子与正格子基矢关系的矩阵形式
利用正格子和倒格子基矢分别反映的是位置和
动量的周期性，我们在互易矢量关系式（８）中引入
常数 ２π，定义
则其矩阵关系为
（ ） ２πａｊ ＝ ａｉｊ ｂｉ （ ） ｂｉ ＝ ｂｉｊ ２πａｊ
（ ） １２．１ （ ） １２．２
（ ） １５．３
可 见 ，式 （１５）与 正 格 子 和 倒 格 子 的 基 矢 关 系 式 （１ ）
一 子
致 的
． 所 以 ，由 式 （１２ ）或 （１３ ）定 基矢，且自然满足基矢关系
式义（的２）矢．当量然ｂ，ｉ 为也
倒 可
格 以
参 照 式 （９）和 （１１ ），直 接 得 到 这 一 结 论 ． 比 较 式 （２ ）
布的周期性［１－３］． 利用倒格子和正格子的对偶性， 人们通常用倒格子来反推正格子的对称性，甚至原
子分布［４－６］．因此，对正格子和倒格子的基矢关系的 理解显得尤为重要［７］．
在 大 学 “固 体 物 理 ”教 学 中 ［１－ ６］，人 们 通 常 定 义
一组不在同一平面上的 ３ 个基矢ａ （ｉ ｉ＝ １，２，３），并由
第 第 期 ３８ １１ 年 月 ２０１９ １１
大 学 物 理
ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖｏｌ．３８ Ｎｏ．１１ Ｎｏｖ． ２０１９
櫍殻
櫍櫍櫍櫍櫍殻
櫍殻
櫍教櫍学櫍研櫍究櫍 殻
正格子与倒格子基矢关系的矩阵形式
薛德胜，常 鹏，范小龙
（兰州大学 物理科学与技术学院，甘肃 兰州 ） ７３００００
)
Ｖ
２ ｃ
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R • K N l1l2l3
h1h2h3
N 0,1,2,
晶面ABC在三个坐标轴上的截距分别是 a1 h1, a2 h2 , a3 h3
则矢量
AC
OA
OC
a1
h1
a3
/
h3
AB
OA
OB
a1
h1 a2 / h2
Kh1h2h3
h1b1
h2b2
h3b3
K h1h2h3
•
AC
(h1b1
h2b2
h3b3 ) •
(a1
h1 a3 / h3 )Leabharlann b1•a1
b3
•a3
0
K h1h2h3
•
AB
(h1b1
h2b2
h3b3 ) • (a1
h1 a2 / h2 )
b1 • a1 b2 • a2 0
所以
K
与晶面
h1h2h3
(h1
,
h2
,
h3
)
正交
3.倒格矢
K h1h2 h3
的长度与晶面(h1, h2, h3)的面间距成反比
在上一页的图中，最靠近原点的晶面ABC在 a1轴上的截
有
(a3
a1
)
(a1
a2
)
[(a3
a1
)
•
a2
]a1
[(a3
a1
)
•
a1]a2
a1
则有
1 3
(a2
a3
)
•
a1
1 2
(a2
a3
)
•
a1
1
即正格子与倒格子的体积互为倒数
2.正格子中一族晶面 (h1, h2, h3)
与倒格子矢量
K h1h2 h3
正交
在晶面族 (h1, h2, h3)中，离原点最近的一个
X射线衍射图样
倒格子
1.倒格子的引入
2. 倒格子与正格子的关系
设正格子的基矢为a1,a2,a3, 则倒格子的基矢为
b1
2
a2
a3
,
b2
2
a3
a1
,
b3
2
a1
a2
其中 a1 • (a2 a3 ) a2 • (a3 a1) a3 • (a1 a2 )
也可以将倒格子基矢定义为
距为
a1
h1 ，那么，晶面族的面间距就是原点到ABC平面的
距对Kh1离于hd2h3h。正1的h2h这格3单个子位ah11距中向• 离的KK量hh等矢11hh可22hh33于量以O表ahRA11l1示l在2•l3 h为倒1bl11a格K1hK1hh式l2h2h231bah222KhK3hh11lhh23hh2a3h333b方，3 向所有K的以h11h投有2h3 影。倒格式
b1
a2 a3
,
b2
a3 a1
,
b3
a1
a2
倒格子基矢与正格子几何关系
正格子与倒格子的关系
1. 利用倒格子的第二个定义可得正格子和倒格子的体积互为倒数
b1
•
(b2
b3)
1
3
(a2
a3) •[(a3
a1) (a1
a2
)]
利用矢量运算公式 A (B C) ( A • C)B ( A • B)C