可逆矩阵教案
《2.1.2 逆矩阵的性质》教案新部编本3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.2 逆矩阵的性质》教案3教学目标1.能用变换的观点认识解二元一次方程组的意义；2.会用二阶矩阵的逆矩阵求解二元一次方程组教学重点变换、矩阵的相等的概念。
教学难点变换、矩阵的相等的概念的应用。
教学过程1. 一元二次方程组：ax by e cx dy f +=⎧⎨+=⎩可写成a b x e c d y f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的形式，其中x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为一元二次方程组的解向量。
2. 二元一次方程组的线性变换意义设变换ρ：a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则方程组ax by e cx dy f +=⎧⎨+=⎩，亦即：ρx y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
3. 定理 如果关于x,y 的二元一次方程组ax by e cx dy f +=⎧⎨+=⎩的系数矩阵A ＝a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭是可逆的，则该方程组有唯一解：x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1a b c d -⎛⎫ ⎪⎝⎭e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭推论 关于x,y 的二元一次方程组00ax by cx dy +=⎧⎨+=⎩（a,b,c,d,均不为0），有非零解⇔a b c d ＝0例题分析例题1 用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 的解. 思路分析：利用二阶矩阵的逆矩阵求解二元一次方程组答案：已知方程组可以写为：⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡74令M=3231-⎡⎤⎢⎥⎣⎦其行列式33 12-=3×1-3×（-2）=9≠0 ∴M -1 =⎢⎢⎢⎣⎡93-91 ⎥⎥⎥⎦⎤9392 = ⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12 即方程组的解为：⎩⎨⎧==1y 2x 技巧点拨：从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是已知变换矩阵3231-⎡⎤⎢⎥⎣⎦和变换后的象47⎡⎤⎢⎥⎣⎦，去求在这个变换的作用下的原象x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
可逆矩阵教案
可逆矩阵教案第一篇：可逆矩阵教案§1.4 可逆矩阵★ 教学内容：1.2.3.4.★ 教学课时：100分钟/2课时。
★ 教学目的：通过本节的学习，使学生1.理解可逆矩阵的概念；2.掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；3.熟悉可逆矩阵的有关性质。
★ 教学重点和难点：本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。
可逆矩阵的概念；可逆矩阵的判定；利用转置伴随矩阵求矩阵的逆；可逆矩阵的性质。
★ 教学设计：一可逆矩阵的概念。
1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。
2.定义1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB=BA=E则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，或A的逆，记为A。
3.可逆矩阵的例子：（1）例1 单位矩阵是可逆矩阵；（2）例2 A=-1⎛10⎫⎛10⎫，B=⎪⎪，则A可逆；11-11⎝⎭⎝⎭⎛100⎫⎪（3）例3 对角矩阵A=020⎪可逆；003⎪⎝⎭⎛111⎫⎛1-10⎫⎪⎪（4）例4 A=011⎪，B=01-1⎪，则A可逆。
001⎪001⎪⎝⎭⎝⎭4.可逆矩阵的特点：（1）可逆矩阵A都是方阵；（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A和A是同阶方阵；-1（3）可逆矩阵A的逆A也是可逆矩阵，并且A和A互为逆矩阵；（4）若A、B为方阵，则AB=E⇒A=B。
二可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆1.方阵不可逆的例子：-1-1-1⎛11⎫例5 A=⎪不可逆；00⎝⎭例6 A=⎛12⎫⎪不可逆；⎝24⎭2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法：（1）说明利用定义判定及求逆的方法，（2）说明这种方法的缺陷； 3.转置伴随矩阵求逆（1）引入转置伴随矩阵1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论ai1As1+ai2As2+⎧D,i=s(i=1,2,n,，)+ainAsn=⎨0,i≠s⎩⎧D,j=t(j=1,2,+anjAnt=⎨⎩0,j≠tA21A2 2A2nAn1⎫⎛A⎪An2⎪0=⎪⎪Ann⎭⎝00A0,n)； a1jA1t+a2jA2t+ 2）写成矩阵乘法的形式有：⎛a11 a21 ⎝an1a12a22an2a1n⎫⎛A11⎪a2n⎪A12⎪⎪ann⎭⎝A1n 0⎫⎪0⎪=AE ⎪⎪A⎪⎭3）定义1.4.2（转置伴随矩阵）设Aij式是A=(aij)n⨯n的行列式中aij的代数余子式，则⎛A11 A*A=12 ⎝A1n称为A的转置伴随矩阵。
第三章 可逆矩阵 (第一讲)
（2）
Pl… P2 P1 （A|E )= (E|A-1)
（3）
利用（3）可以较容易地求3阶以上可逆矩阵的求逆。
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例4 用初等行变换求矩阵
1 2 3 0 1 2 A 0 0 1
的逆。 解 由于 1 2 3 1 0 0 1 0 1 1 2 0 ( A E ) 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
反之，若|A| ≠ 0，由定理2.1可知
A A A A E. A A
所以，按逆矩阵的定义，方阵A是可逆的，并且 1 1 A A. A
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1 2 3 A 2 2 1 . 3 4 3 验证A是否可逆，若有逆并求其逆。 解 由于|A|=2 ≠ 0 ，所以，A可逆。再计算 A11=2，A21=6，A31=-4， A12=-3，A22=- 6，A32=5， A13=2，A23=2，A33=-2，
AB
1
B A .
1
1
若n阶矩阵A1, A2,…, AS都可逆，则它们的乘积A1A2…AS 亦可逆，且
（A1A2…AS)-1= AS-1…A2-1A1-1.
若A可逆，m为正整数时， Am亦可逆，且 (Am)-1= (A-1) m. 若规定A-m= (A-1) m，则上式变成 (Am)-1= A-m.
§1 可逆矩阵的定义与性质
1.1可逆矩阵的概念 定义1.1 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B，使 AB = BA = E, 则称方阵 A 是可逆的，并称方阵 B称为 A 的逆矩阵,简称A 的逆.
《2.1.2 逆矩阵的性质》教案1
《2.1.2 逆矩阵的性质》教案1教学目标1. 理解变换、矩阵的逆变换和逆矩阵；2. 掌握逆矩阵的两个性质。
教学重点逆变换和逆矩阵的概念。
教学难点逆矩阵的两个性质。
教学过程1. 逆变换和逆矩阵1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，（I 是恒等变换）则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。
2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E 2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。
符号、记法：1A -，读作Ａ的逆。
注意：有些二阶矩阵是不可逆的。
2. 逆矩阵的性质1.二阶矩阵A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的。
2.设二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=【随堂练习】对于伸缩变换12''x k x y k y =⎧⎨=⎩(0)k ≠，对应的变换矩阵A=12 00 k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，是否存在变换矩阵B ， 使得连续进行两次变换（先T A 后T B ）的结果与恒等变换的结果相同？思路分析：利用伸缩变换计算公式解决。
答案：由题意知，进行第二次变换121'1'x x k y y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，对应的变换矩阵，121 010 k B k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 从而可知，AB BA E ==，技巧点拨：本题主要考查利用伸缩变换的思想求逆矩阵。
例题分析例题1 用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在,请把它求出来;若不存在,请说明理由.()011;10A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()102.10B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦思路分析：根据题设条件找出对应的变换矩阵，从而判断逆矩阵是否存在。
答案：(1) 矩阵 A 为反射变换矩阵,它对应的几何变换为以直线 y=x 为反射轴的反射变换,因此,它存在逆矩阵,即为其本身,故 101.10A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2) 矩阵 B 为投影变换矩阵,它对应的几何变换为将平面上所有的点沿垂直于 x 轴方向投影到直线 y=x 上,这个变换把多个向量变为同一个向量,因此,它不存在逆变换,即矩阵 B 不存在逆矩阵.技巧点拨：求逆矩阵是否存在的关键是找出相应的变换，通过几何变换来确定并找出逆矩阵。
第3节 可逆矩阵
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
阵.
调换主对角元
A
d c
b a d b c a
次对角元调符号
用 |A| 去除
1 d b c a |A|
适 阵 用 对 于 二 阶 以 上 的 矩 阵 不 ,
注
此 法 仅 适 用 于 二 阶 矩
.
所以逆阵为
…,
1 0 0 2n ,
n
故
1 2 1 0 1 4 2 A 1 4 0 2 n 2 1 1 1 1 2 n 1 4 2 n2 1 2 1 1 2 1 4 2 n 1 2 n 1 2 n2 n2 2 4 2 2 2
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 求 A 1 . 0 5
解： 因 A 5! 0,
故A1存在.
A 由伴随矩阵法得 A1 , A
0 0 0 3 4 00 0 2 1 5 0 0 0 1 2 4 5 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 4 0 3 0 5 00 . 0 5! 0 0 0 0 0 1 41 2 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 2 3 4 0 0
2.3 可逆矩阵
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 2 1 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0 7 5 2 0 1 0 5 4 2 0 0 1 3 2 1 0 0 1 2 7 2 3 7 5 2 1 A 5 4 2 ，BA 1 1 4 ，X 3 3 2 3 2 1 3 5 2 3 2 2 3 2 1
A B B AEij ci k A B B AE(i(k )) ci kc j B AE( j, i(k )) A B
a12 a13 1 0 0 a11 a12 a13 a11 例5 0 1 2 a 21 a 22 a 23 = a 21 2a 31 a 22 2a 32 a 23 2a 33 0 0 1 a a a a a a 31 32 33 31 32 33
2、初等方阵的性质 （1）初等方阵可逆且 其逆矩阵也是初等方阵， 即 1 1 1 1 E ij E ij ，E (i (k )) E (i( ))，E (i, j (k )) E (i, j (k )) k （2）用初等方阵左（右）乘 A， 相当于对 A 作初等行 （列）变换得到的矩阵， 即
3、用初等行变换求逆
行 A 可逆 A E 依据：Th2.3.2 ,
A B1 ( P1 A) B2 ( P2 B1 P2 P1 A)
行 行
行 Bm ( Pm Bm 1 Pm P2 P1 A) 行
A E Pm P2 P1 A E
第4节 可逆矩阵
甲 乙 200 350
A2
240 300
总价值 600 870
总利润 68 95
解 设矩阵 A 为产品的销售量,矩阵 B 为甲,乙两 种产品销往两地产品的总价值与总利润,矩阵 C 为销往两地产品的单位价值与单位利润,则
广 东 金 融 学 院
200 240 A= 350 300
600 68 B= AC = B 870 95 1 1 * 80 100 A 1 = 所以 A = 1 A 7 120 480 1 1 80 100 600 68 1.2 0.1 1 C = A B = = 7 1 870 95 1.5 0.2 120 480
A1 n A2 n = M A nn
A 0 M 0
0 L A L M 0 L
0 0 = AE M A
A* A = A E . 同理,由行列式按列展开性质,可得
AA* = A* A = A E 即 A 与其伴随矩阵 A 满足关系
*
1 * 1 * 当 A ≠ 0 时,则有 A A = A A = E A A 由此可得如下定理.
证 由 A, B 为同阶方阵,且 AB = E ,可得
AB = A B = E = 1≠ 0
所以 A ≠ 0 , B ≠ 0 由定理 1 知 A, B 可逆.
1 1 AB = E 两边左乘 A1 ,有 A ( AB) = A E ,得 在
B = A1 .
1 1 AB = E 两边右乘 B1 ,有 ( AB)B = EB , 在
12
广 东 金 融 学 院
2 6 4 得 A = 3 6 5 2 2 2
∴A
1
1 = A A
4 2 6 4 1 3 2 1 = 3 6 5 = 3 2 3 5 2. 2 2 2 2 1 1 1
【高等代数教案】可逆矩阵，方阵的逆矩阵（可编辑）
第一学期第十次课 0>.阵，方阵的逆矩阵 1、可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义定义设A是属于K上的一个n阶方阵，如果存在属于K上的n阶方阵B，使，则称B是A的一个逆矩阵，此时A称为可逆矩阵。
2、群和环的定义定义设A是一个非空集合。
任意一个由到A的映射就成为定义在A上的代数运算。
定义设G是一个非空集合。
如果在G上定义了一个代数运算（二元运算），称为乘法，记作，而且它适合以下条件，那么就成为一个群：乘法满足结合律对于G中的任意元素a,b,c有；存在单位元素，对于任意，满足；对于任意，存在，使得。
关于群的性质，我们有如下命题：命题对于任意，同样有证明对于，存在，使得，，两端右乘，得到。
命题对于任意，同样有证明。
命题单位元素唯一证明假设存在，均是单位元素，则。
命题对于任意，存在唯一，使得，于是元素就称为的逆元素，记为。
证明设存在，满足条件，则。
易知，。
命题对于G中的任意元素a,b，方程有唯一解。
定义一个群G称为一个交换群（Abelian Group），若定义在上面的代数运算满足交换律，即对于任意，都有。
定义设L是一个非空集合，在L上定义了两个代数运算，一个叫加法，记为a+b，一个叫乘法，记为ab。
如果具有性质：（1）、L关于加法成为一个交换群；（2）、乘法满足结合律，即，有；（3）、乘法关于加法满足分配律，即，有那么L就称为一个环。
命题数域上的阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群，称为上的一般线性群，记为GL；数域上的阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环，称为上的全矩阵环，记为M；证明按定义逐项验证即可。
其中GL中乘法的单位元是n阶单位矩阵，而M中加法的单位元是n阶零方阵。
命题证明，由逆矩阵的唯一性可知，命题成立。
命题假设n阶可逆方阵A的逆矩阵是B，则是的逆矩阵。
证明只需要证明即可。
事实上，，于是命题得证。
命题矩阵可逆当且仅当满秩；证明必要性若n阶方阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得，于是有，于是；充分性若n阶方阵满秩，则A可以表为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使得。
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§1.4 可逆矩阵
★教学内容：
1.可逆矩阵的概念；
2.可逆矩阵的判定；
3.利用转置伴随矩阵求矩阵的逆；
4.可逆矩阵的性质。
★教学课时：100分钟/2课时。
★教学目的：
通过本节的学习，使学生
1. 理解可逆矩阵的概念；
2. 掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；
3. 熟悉可逆矩阵的有关性质。
★教学重点和难点：
本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。
★教学设计：
一可逆矩阵的概念。
1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。
2.定义1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB BA E
==则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，或A的逆，记为1
A-。
3.可逆矩阵的例子：
（1）例1 单位矩阵是可逆矩阵；
（2）例2
10
11
A
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
10
11
B
⎛⎫
= ⎪
-
⎝⎭
，则A可逆；
（3）例3 对角矩阵
100
020
003
A
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
可逆；
（4）例4
111
011
001
A
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
，
110
011
001
B
-
⎛⎫
⎪
=-
⎪
⎪
⎝⎭
，则A可逆。
4.可逆矩阵的特点：
（1）可逆矩阵A都是方阵；
（2）可逆矩阵A的逆唯一，且1
A-和A是同阶方阵；
（3）可逆矩阵A 的逆1A -也是可逆矩阵，并且A 和1A -互为逆矩阵； （4）若A 、B 为方阵，则1
AB E A B -=⇒=。
二 可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆
1.方阵不可逆的例子：
例5 1100A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
不可逆；
例6 1224A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
不可逆； 2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法： （1）说明利用定义判定及求逆的方法， （2）说明这种方法的缺陷； 3.转置伴随矩阵求逆
（1）引入转置伴随矩阵
1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论
1122,0,i s i s in sn D i s
a A a A a A i s =⎧++
+=⎨≠⎩ (1,2,,)i n =，
1122,0,j t j t nj nt D j t
a A a A a A j t
=⎧++
+=⎨
≠⎩ (1,2,,)j n =；
2）写成矩阵乘法的形式有：
1112111
2112122212
22212120
00
00
n n n n n n nn n n
nn a a a A A A A a a a A A A A A E a a a A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪⎪ ⎪
⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3）定义1.4.2（转置伴随矩阵）设ij A 式是()ij n n A a ⨯=的行列式中ij a 的代数余
子式，则
11
21112
222*
12n n n
n
nn A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
称为A 的转置伴随矩阵。
（2）转置伴随矩阵求逆： 1）*
AA A E =；
2）定理1.4.1 A 可逆的充分必要条件是0A ≠（或A 非奇异），且
1*
1A A A
-=
； 3）例7 判断矩阵1235A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。
4）例8 设223110121A ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，判断A 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。
三 可逆矩阵的性质 1.性质1 11
()A A --=； 2.性质2 1
11()AB B A ---=； 3.性质3 1
1()()A A T --T =；
4.性质4 1
1
1()kA A k
--=
； 5.性质5 11A
A
-=
； 6.性质6 1
*
n A A -=；
7.1
11()
A B A B ---+≠+。
例9 设A ，B 均为三阶方阵，且12
A =，3
B =，求1
(2)B A T -。
四 可逆的应用——解矩阵方程
例10 设方程2
2A A E O --=，证明：2A E +可逆，并求其逆。