可逆矩阵
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§2.3 可逆矩阵
可逆， 所以λ A可逆， 且（ λ A ) − 1 =
λ
1
λ
A −1
AB可逆
性质2.3.3 性质 性质2.3.4 性质
若同阶矩阵A 均可逆,则 也可逆， 若同阶矩阵 ,B 均可逆 则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− 可逆， 也可逆， 若A可逆，则 AT 也可逆，且（ AT）1 = ( A−1 )T .
预 习： §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩
*14(1) 例3
1 1 , Λ = 4 例3 P = 0 1 − 5 AP = PΛ , 求 A n。
0 , − 2
3 1 A= 5 − 1 ,
解： A = PΛP −1 ⇒ A 2 = PΛP −1 PΛP −1 = PΛ2 P −1= AE依据Fra bibliotekP10,
P16,
P17
性质1.2.2 (展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各 展开定理) 性质 展开定理 行列式等于它的任意一行（ 元素与其对应的代数余子式乘积之和， 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯⋯ + a in Ain
要解决的问题： 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆 方阵满足什么条件时可逆? 方阵满足什么条件时可逆 2.可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时
可逆概念 结束
2.3.2 方阵可逆的充要条件
伴随矩阵
定义2.3.2 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,元素 ij在|A|中的代数余子 元素a 元素 中的代数余子 式为 Aij ,(i , j = 1,2 , ……, n) . 则矩阵
λ
1
λ
A −1
AB可逆
性质2.3.3 性质 性质2.3.4 性质
若同阶矩阵A 均可逆,则 也可逆， 若同阶矩阵 ,B 均可逆 则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− 可逆， 也可逆， 若A可逆，则 AT 也可逆，且（ AT）1 = ( A−1 )T .
预 习： §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩
*14(1) 例3
1 1 , Λ = 4 例3 P = 0 1 − 5 AP = PΛ , 求 A n。
0 , − 2
3 1 A= 5 − 1 ,
解： A = PΛP −1 ⇒ A 2 = PΛP −1 PΛP −1 = PΛ2 P −1= AE依据Fra bibliotekP10,
P16,
P17
性质1.2.2 (展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各 展开定理) 性质 展开定理 行列式等于它的任意一行（ 元素与其对应的代数余子式乘积之和， 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯⋯ + a in Ain
要解决的问题： 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆 方阵满足什么条件时可逆? 方阵满足什么条件时可逆 2.可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时
可逆概念 结束
2.3.2 方阵可逆的充要条件
伴随矩阵
定义2.3.2 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,元素 ij在|A|中的代数余子 元素a 元素 中的代数余子 式为 Aij ,(i , j = 1,2 , ……, n) . 则矩阵
可 逆 矩 阵
解 由A2-A+E=O可得A-A2=E，利用矩阵乘法运算法则可得 A-A2=A（E-A）=（E-A）A=E 由定义2-11可知A可逆，且A-1=E-A.
可逆矩阵
二、 矩阵可逆的充要条件
在数的运算中，并不是所有的数都有倒数， 只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶 方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为 任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接 下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下 可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先 介绍一个转置伴随矩阵的概念．
可逆矩阵
因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义211，有
AB1=B1A=E，AB2=B2A=E 于是 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2 这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆 矩阵记作A-1，则有 AA-1=A-1A=E
可逆矩阵
【例2-13】
若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出 其逆阵．
可逆矩阵
性质2-5
可逆矩阵
可逆矩阵
【例2-17】
可逆矩阵
故Λ-1=B．
谢谢聆听
可逆矩阵
【例2-16】
证明：若A，B是同阶方阵，且满足AB=E或BA=E，则 A，B都可逆，且
A-1=B，B-1=A 证明 由A，B是同阶方阵且AB=E可得|AB|=|||B|=|E|=1． 所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．
可逆矩阵
在等式AB=E的两边同时左乘A-1，可得A1(AB)=A-1E，即A-1=B．
(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11
性质2-3
可逆矩阵
若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T． 因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据 矩阵的转置运算规律，有 AT(A－1)T=(A－1A) T=ET=E 则AT可逆，且(AT)-1 =(A-1)T．
可逆矩阵
二、 矩阵可逆的充要条件
在数的运算中，并不是所有的数都有倒数， 只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶 方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为 任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接 下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下 可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先 介绍一个转置伴随矩阵的概念．
可逆矩阵
因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义211，有
AB1=B1A=E，AB2=B2A=E 于是 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2 这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆 矩阵记作A-1，则有 AA-1=A-1A=E
可逆矩阵
【例2-13】
若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出 其逆阵．
可逆矩阵
性质2-5
可逆矩阵
可逆矩阵
【例2-17】
可逆矩阵
故Λ-1=B．
谢谢聆听
可逆矩阵
【例2-16】
证明：若A，B是同阶方阵，且满足AB=E或BA=E，则 A，B都可逆，且
A-1=B，B-1=A 证明 由A，B是同阶方阵且AB=E可得|AB|=|||B|=|E|=1． 所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．
可逆矩阵
在等式AB=E的两边同时左乘A-1，可得A1(AB)=A-1E，即A-1=B．
(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11
性质2-3
可逆矩阵
若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T． 因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据 矩阵的转置运算规律，有 AT(A－1)T=(A－1A) T=ET=E 则AT可逆，且(AT)-1 =(A-1)T．
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义1. 定义阐述- 设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB = BA=E（E为n阶单位矩阵），则称矩阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，记作B = A^-1。
例如，对于二阶矩阵A=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}，若ad - bc≠0，则A可逆，其逆矩阵A^-1=(1)/(ad - bc)begin{pmatrix}d& - b-c&aend{pmatrix}。
2. 可逆矩阵的唯一性- 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。
假设B和C都是A的逆矩阵，那么AB = BA = E且AC=CA = E。
由B = BE=B(AC)=(BA)C = EC = C，可证得逆矩阵的唯一性。
二、可逆矩阵的性质1. 基本性质- 若A可逆，则A^-1也可逆，且(A^-1)^-1=A。
因为A与A^-1满足AA^-1=A^-1A = E，所以A^-1的逆矩阵就是A。
- 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
证明如下：(AB)(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E，同理(B^-1A^-1)(AB)=E。
- 若A可逆，k≠0为常数，则kA可逆，且(kA)^-1=(1)/(k)A^-1。
因为(kA)((1)/(k)A^-1)=k×(1)/(k)(AA^-1) = E，同理((1)/(k)A^-1)(kA)=E。
2. 与行列式的关系- 矩阵A可逆的充要条件是| A|≠0。
当| A| = 0时，称A为奇异矩阵；当| A|≠0时，称A为非奇异矩阵。
例如，对于三阶矩阵A=begin{pmatrix}1&2&34&5&67&8&9end{pmatrix}，计算其行列式| A|=0，所以A不可逆；而对于矩阵B=begin{pmatrix}1&0&00&2&00&0&3end{pmatrix}，| B| = 6≠0，则B可逆。
第3节 可逆矩阵
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
阵.
调换主对角元
A
d c
b a d b c a
次对角元调符号
用 |A| 去除
1 d b c a |A|
适 阵 用 对 于 二 阶 以 上 的 矩 阵 不 ,
注
此 法 仅 适 用 于 二 阶 矩
.
所以逆阵为
…,
1 0 0 2n ,
n
故
1 2 1 0 1 4 2 A 1 4 0 2 n 2 1 1 1 1 2 n 1 4 2 n2 1 2 1 1 2 1 4 2 n 1 2 n 1 2 n2 n2 2 4 2 2 2
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 求 A 1 . 0 5
解： 因 A 5! 0,
故A1存在.
A 由伴随矩阵法得 A1 , A
0 0 0 3 4 00 0 2 1 5 0 0 0 1 2 4 5 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 4 0 3 0 5 00 . 0 5! 0 0 0 0 0 1 41 2 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 2 3 4 0 0
2.3 可逆矩阵
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 2 1 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0 7 5 2 0 1 0 5 4 2 0 0 1 3 2 1 0 0 1 2 7 2 3 7 5 2 1 A 5 4 2 ，BA 1 1 4 ，X 3 3 2 3 2 1 3 5 2 3 2 2 3 2 1
A B B AEij ci k A B B AE(i(k )) ci kc j B AE( j, i(k )) A B
a12 a13 1 0 0 a11 a12 a13 a11 例5 0 1 2 a 21 a 22 a 23 = a 21 2a 31 a 22 2a 32 a 23 2a 33 0 0 1 a a a a a a 31 32 33 31 32 33
2、初等方阵的性质 （1）初等方阵可逆且 其逆矩阵也是初等方阵， 即 1 1 1 1 E ij E ij ，E (i (k )) E (i( ))，E (i, j (k )) E (i, j (k )) k （2）用初等方阵左（右）乘 A， 相当于对 A 作初等行 （列）变换得到的矩阵， 即
3、用初等行变换求逆
行 A 可逆 A E 依据：Th2.3.2 ,
A B1 ( P1 A) B2 ( P2 B1 P2 P1 A)
行 行
行 Bm ( Pm Bm 1 Pm P2 P1 A) 行
A E Pm P2 P1 A E
证明矩阵可逆的9种方法是
证明矩阵可逆的9种方法是矩阵可逆是指一个矩阵存在一个逆矩阵，其乘积等于单位矩阵。
下面将介绍9种证明矩阵可逆的方法。
方法一：行列式法要证明一个矩阵可逆，可以计算其行列式。
如果矩阵的行列式不为零，则矩阵可逆。
方法二：逆矩阵法如果一个矩阵存在一个逆矩阵，且这个逆矩阵满足乘积为单位矩阵，那么这个矩阵可逆。
方法三：初等变换法通过对矩阵进行一系列的初等行变换或初等列变换，能够将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形。
如果最终得到的行阶梯形或列阶梯形存在没有零行或零列，那么该矩阵可逆。
方法四：伴随矩阵法对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记为adj(A)，满足A * adj(A) = adj(A) * A = A * I，其中A 表示A的行列式，I表示单位矩阵。
如果一个矩阵A的伴随矩阵存在，且A 不为零，则A可逆。
方法五：特征值法计算矩阵A的特征值，如果所有特征值都不为零，则矩阵A可逆。
方法六：线性相关法将矩阵A的列向量组看作是一个线性相关的向量组，当且仅当这个向量组的秩等于矩阵的列数时，矩阵可逆。
方法七：投影矩阵法如果一个矩阵A是一个投影矩阵，即A * A = A，则矩阵A可逆。
方法八：正交矩阵法如果一个矩阵A满足A的转置矩阵与A的乘积等于单位矩阵，即A * A^T = I，其中A^T表示A的转置矩阵，则矩阵A可逆。
方法九：哈达玛矩阵法如果一个n阶方阵H满足H的每一个元素的模都是1，且任意两行之间的内积等于0，则矩阵H可逆。
以上是证明矩阵可逆的9种方法。
每种方法都有其独特的思路和侧重点。
可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
§1.5可逆矩阵
1 2 1 1 2 1
0 1 3 0 1 3
A21 A22 A23
求A 1
2.公式法：
A
1
1 * A A
1 1 0 0 1 1 2, 0 1 3
5 3 1 1 * 1 1 A A 3 3 1 . A 2 1 1ห้องสมุดไป่ตู้1
作业：P40 18, 19（1），21，22
三、简单的矩阵方程
其中，A，B，C已知 当A，B可逆时，它们有唯一解 ：
(1) AX B ( 2) XA B ( 3) AXB C
X BA X A CB
X A1 B
1
1
1
例 3 若 A BA C , 求 B ,
1.定义法：
AB I .
A
1
2.公式法：
1 * A . A
AA A A AI 三.
课堂习题
2 1 1. 4 3
1
1
2 0 0 2. 0 3 0 0 0 1
A
1
1 * A . A
3.初等变换法：
2.1节学习
例 1 若方阵 A 可逆，试证 A*也可逆，并求(A*)-1.
A0 解 A* A A I 又 A可逆，
1 两边同除 A，得A A I A
*
1 得 A 可逆，( A ) A. A
*
* 1
1.定义法：
AB I .
例 2 设方阵 A 满足方程 A2 A 2 I 0, 证明
注 1 逆矩阵是一种对称的相互关系；
注 2 逆矩阵是唯一的；
可逆矩阵
A I 行初等变换 I
A
1
11（24）
例3 设
1 A 2 3
2 2 4
2 2 4 3 1 3
3 1 1 , 求 A . 3
1 0 0 0 1 0 0 0 1
矩阵的对角化
解
1 A E 2 3
1 0 0 2 2 0 1 0 0
1 r2 ( 2 ) 0 r3 ( 1 ) 0
3 5 1
1 2 1
0 1 1 0 0 1
0 0 1
1 0 0
0 2 3 3 2 0 3 6 5 2 0 1 1 Nhomakorabea1 1
6（24）
矩阵的对角化
1 0 这组数字构成的矩阵为： Y 0 2 1
汉字 十 七 时 进 攻
编码 1200 0210 0112 2101 1021
2 2 1 1 0
0 1 1 0 2
0 0 2 1 1
7（24）
矩阵的对角化
借助于一个加密矩阵 A，用 A 右乘 Y 得矩阵
1 0 0 1 2 3 r2 2 r1 r3 r2 0 2 5 2 1 0 r3 3 r1 0 2 6 3 0 1
1 0 0
2 2
3 5
1 2
0 1 1
0 1 0 1 1 0
12（24）
矩阵的对角化
1 0 YA 0 2 1 2 2 1 1 0 0 1 1 0 2 2 0 0 0 0 2 A 1 4 1 2 5 4 2 4 1 2 4 3 1 4 0 1 5 T 2 4
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高 等 代 数
矩阵求逆运算规律
性质1 性质 可逆， 若A可逆，则 可逆
−1
A
可逆， 可逆，且
(A )
−1 −1
= A.
高 等 代 数
性质2 性质
两个n阶可逆矩阵 、 的乘积 的乘积AB可逆且 两个 阶可逆矩阵A、B的乘积 可逆且 阶可逆矩阵
( AB )
证明 由于
−1 −1 −1
−1
=B A .
−1 −1
−1
A
*
称为 A 的伴随矩阵.
证明: "⇒": 若A可逆,有
AA−1 = A−1 A = E
| A || A−1 |=| A−1 A |= E = 1
两边取行列式,得 从而
| A≠0 |
高 等 代 数
" ⇐ ": Q AA* = A* A =| A | I .
又 | A |≠ 0,
所以,A可逆,且
1 1 3 3 可逆， 1 2 所以 A 可逆，且 − 3 3 2 1 − 3 3
A
−1
0 = 0 − 1
1 3 1 3 2 3
高 等 代 数
1 3 2 − 3 1 − 3
例
0 设 A = 1 1
2 1 4 −1 0 1
∴ (A′) = (A )′.
−1 −1
性质4 性质
1 −1 (kA) = A ; k
−1
高 等 代 数
1 ; 性质5 |A | = 性质 |A|
−1
可逆矩阵与初等矩阵的关系 由初等矩阵的定义可以看出， 由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵
−1 i, j
E
=
都是可逆的， 都是可逆的，且： 1 −1 E i , j E i (k ) = E i ( ) k
(2)
B = 0.故B不可逆
高 等 代 数
1 例2 求矩阵A的逆矩阵，其中 A = 2 1
解 Q
1+1
2 1 3
3 2 . 3
1 | A |= 2 1
1 2 3 3
2 +1
2 1 3
3 2 = 4 ≠ 0, ∴ A 可 逆 . 3
1+ 2
A11 = (−1)
= −3, A12 = (−1)
A为可逆矩阵,而B叫做A逆矩阵,记为A -1 那么称
可逆矩阵也叫做非奇异矩阵 非退化矩阵 非奇异矩阵或非退化矩阵 非奇异矩阵 注：⑴可逆矩阵一定是方阵，并且它的逆矩阵是与它同阶
P
的方阵。 ⑵可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的。
高 等 代 数
例如
1 0 1 0 A= , B = −1 1 , 1 1
−1
−1
( AB)(B A ) = A(BB ) A = ( AI ) A = AA = I , (B A )( AB) = B ( A A)B = B (IB) = B B = I ,
故AB可逆，且 ( A B ) AB可逆， 可逆
−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
−1
= B
−1
−1
A
−1
.
数方程 ax = b 一样求解? 即:
对方阵 A是否存在矩阵 A −1 , 使 A −1 A = I
若是，则AX = B有唯一解X = A−1 B
高 等 代 数
可逆矩阵
可逆矩阵的定义： 一.可逆矩阵的定义： 可逆矩阵的定义 定义： １.定义： 设 A是数域 P上n阶矩阵,若存在n阶矩阵B,使 定义 AB = BA = E
A （2）若作 2n × n 阶分块矩阵 I ）
试判断A是否可逆， 试判断 是否可逆，若可逆求 是否可逆
A−1
0 1 2 1 0 0 r3−r2 1 1 4 0 1 0 r [A I] =1 1 4 0 1 01↔r2→0 1 2 1 0 0 解 0 −2 −4 0 −1 0 1 −1 0 0 0 1
都是A的逆矩阵 证明 若B、C都是 的逆矩阵，则 、 都是 的逆矩阵，
AB = BA = I , AC = CA = I.
于是 性质2 性质
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.
可逆， 若A可逆，则 可逆
A
−1
可逆， 可逆，且
(A )
−1 −1
= A.
事实上， 可以直接推出. 事实上，这由等式 AA−1 = A−1 A = I ，可以直接推出
1 0 1 0 1 0 AB = −1 1 = 0 1 = I , 1 1
1 0 1 0 1 BA = 1 1 = 0 −1 1 0 = I. 1
矩阵A,B互为可逆矩阵
高 等 代 数
3 1 3 − 4 1 −3 3 4 4 1 1 = −1 −1 ∴ A = ⋅ A* = −4 0 4 0 1 . |A| 4 5 −1 −3 5 1 3 − − 4 4 4
高 等 代 数
逆矩阵的性质
定理2.4.2 定理 若矩阵可逆， 的逆矩阵是唯一的. 若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的 的逆矩阵是唯一的
伴随矩阵
a12 a22 M an2
L a1n L a2n M L ann
中元素 aij 的代数余子式，矩阵 的代数余子式，
A 11 A * A = 12 M A 1n
A L A1 21 n A L A2 22 n M M An L A 2 nn
2 2 1 3
= −4, A13 = (−1)
1+ 3
2 1 1 3
= 5,
A 21 = ( −1)
2 3 3 3
= 3, A 22 = (−1)
2+ 2
1 3 1 3
= 0, A 23 = (−1)
2+3
1 2 1 3
= −1,
A 31 = (−1)3+1
2 3 1 2
= 1 , A 32 = (−1)3+ 2
⇔ AX = B.
b1 b2 . B= M bn
L a1n L a2 n , M L ann
x1 x2 , X= M xn
高 等 代 数
问题的提出： 问题的提出：
n×n
的线性方程组 AX = B 是否可以象一元一次代
1 3 2 2
= 4, A 33 = (−1)3+3
1 2 2 1
= −3.
高 等 代 数
A11 ∴ A* = A12 A13
A 21 A 22 A 23
A 31 −3 3 1 A 32 = −4 0 4 . A 33 5 −1 −3
高 等 代 数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A = ; 3 4 1 2 3 (2) B = 4 5 6 3 3 3
解:
(1)
A −1 =
A = −2 ≠ 0. 故 A可逆，
1 * A A
−2 1 4 −2 1 = = 3 1 −2 −3 1 − 2 2
A* A* ∴ A = A=I | A| | A|
1 * A = A | A|
−1
注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆. 2)此定理在理论推导中非常有用. 3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.
高 等 代 数
a11 a21 定义 设 Aij 是矩阵 A = M a n1
( = (I
−1 l −1
−1 1
(A I )
A −1
)
)
施行初等行变换， 即对 n × 2 n 矩阵 ( A I ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 I 时，原来的 I 就变成 A −1 .
高 等 代 数
1 1 −1 2 1 0 求 A−1 例 A 设 = 1 −1 0 1 1 − 1 1 0 0 0 0 1 0 解 [A I ] = 2 1 1 − 1 0 0 0 1 1 1 − 1 1 0 0 r2 − 2r1 2r r3 −→ 0 − 1 2 − 2 1 0 r1 0 − 2 1 − 1 0 1
高 等 代 数
a11 a 21 L an1
a11 a21 A= M an1
a12 a22 L an 2
a12 a22 M an 2
L L L L
a1n x1 b1 a2 n x2 b2 = L L L ann xn bn
−1 −1 2 1
一般地， ( A1 A2 L As )
= A A LA A
−1 s
−1 s −1
高 等 代 数
性质3 性质3
可逆矩阵A的转置矩阵可逆， 可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且
(A ) = (A )
证−1ຫໍສະໝຸດ ' −1−1 '
A′(A −1 )′ = (AA −1 )′ = I ′ = I ,
′A′ = (A −1A)′ = I ′ = I , (A )
高 等 代 数
求逆矩阵方法二： 求逆矩阵方法二：初等变换法
当 A ≠ 0时，由 A = P1 P2 L Pl，有
Pl −1 Pl −1 L P1−1 A = I , 及 −1
Pl −1 Pl −1 L P1−1 I = A−1 , −1
∴
Pl P L P
−1
= Pl −1 Pl −1 L P1−1 A Pl −1 Pl −1 L P1−1 I −1 −1
矩阵求逆运算规律
性质1 性质 可逆， 若A可逆，则 可逆
−1
A
可逆， 可逆，且
(A )
−1 −1
= A.
高 等 代 数
性质2 性质
两个n阶可逆矩阵 、 的乘积 的乘积AB可逆且 两个 阶可逆矩阵A、B的乘积 可逆且 阶可逆矩阵
( AB )
证明 由于
−1 −1 −1
−1
=B A .
−1 −1
−1
A
*
称为 A 的伴随矩阵.
证明: "⇒": 若A可逆,有
AA−1 = A−1 A = E
| A || A−1 |=| A−1 A |= E = 1
两边取行列式,得 从而
| A≠0 |
高 等 代 数
" ⇐ ": Q AA* = A* A =| A | I .
又 | A |≠ 0,
所以,A可逆,且
1 1 3 3 可逆， 1 2 所以 A 可逆，且 − 3 3 2 1 − 3 3
A
−1
0 = 0 − 1
1 3 1 3 2 3
高 等 代 数
1 3 2 − 3 1 − 3
例
0 设 A = 1 1
2 1 4 −1 0 1
∴ (A′) = (A )′.
−1 −1
性质4 性质
1 −1 (kA) = A ; k
−1
高 等 代 数
1 ; 性质5 |A | = 性质 |A|
−1
可逆矩阵与初等矩阵的关系 由初等矩阵的定义可以看出， 由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵
−1 i, j
E
=
都是可逆的， 都是可逆的，且： 1 −1 E i , j E i (k ) = E i ( ) k
(2)
B = 0.故B不可逆
高 等 代 数
1 例2 求矩阵A的逆矩阵，其中 A = 2 1
解 Q
1+1
2 1 3
3 2 . 3
1 | A |= 2 1
1 2 3 3
2 +1
2 1 3
3 2 = 4 ≠ 0, ∴ A 可 逆 . 3
1+ 2
A11 = (−1)
= −3, A12 = (−1)
A为可逆矩阵,而B叫做A逆矩阵,记为A -1 那么称
可逆矩阵也叫做非奇异矩阵 非退化矩阵 非奇异矩阵或非退化矩阵 非奇异矩阵 注：⑴可逆矩阵一定是方阵，并且它的逆矩阵是与它同阶
P
的方阵。 ⑵可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的。
高 等 代 数
例如
1 0 1 0 A= , B = −1 1 , 1 1
−1
−1
( AB)(B A ) = A(BB ) A = ( AI ) A = AA = I , (B A )( AB) = B ( A A)B = B (IB) = B B = I ,
故AB可逆，且 ( A B ) AB可逆， 可逆
−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
−1
= B
−1
−1
A
−1
.
数方程 ax = b 一样求解? 即:
对方阵 A是否存在矩阵 A −1 , 使 A −1 A = I
若是，则AX = B有唯一解X = A−1 B
高 等 代 数
可逆矩阵
可逆矩阵的定义： 一.可逆矩阵的定义： 可逆矩阵的定义 定义： １.定义： 设 A是数域 P上n阶矩阵,若存在n阶矩阵B,使 定义 AB = BA = E
A （2）若作 2n × n 阶分块矩阵 I ）
试判断A是否可逆， 试判断 是否可逆，若可逆求 是否可逆
A−1
0 1 2 1 0 0 r3−r2 1 1 4 0 1 0 r [A I] =1 1 4 0 1 01↔r2→0 1 2 1 0 0 解 0 −2 −4 0 −1 0 1 −1 0 0 0 1
都是A的逆矩阵 证明 若B、C都是 的逆矩阵，则 、 都是 的逆矩阵，
AB = BA = I , AC = CA = I.
于是 性质2 性质
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.
可逆， 若A可逆，则 可逆
A
−1
可逆， 可逆，且
(A )
−1 −1
= A.
事实上， 可以直接推出. 事实上，这由等式 AA−1 = A−1 A = I ，可以直接推出
1 0 1 0 1 0 AB = −1 1 = 0 1 = I , 1 1
1 0 1 0 1 BA = 1 1 = 0 −1 1 0 = I. 1
矩阵A,B互为可逆矩阵
高 等 代 数
3 1 3 − 4 1 −3 3 4 4 1 1 = −1 −1 ∴ A = ⋅ A* = −4 0 4 0 1 . |A| 4 5 −1 −3 5 1 3 − − 4 4 4
高 等 代 数
逆矩阵的性质
定理2.4.2 定理 若矩阵可逆， 的逆矩阵是唯一的. 若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的 的逆矩阵是唯一的
伴随矩阵
a12 a22 M an2
L a1n L a2n M L ann
中元素 aij 的代数余子式，矩阵 的代数余子式，
A 11 A * A = 12 M A 1n
A L A1 21 n A L A2 22 n M M An L A 2 nn
2 2 1 3
= −4, A13 = (−1)
1+ 3
2 1 1 3
= 5,
A 21 = ( −1)
2 3 3 3
= 3, A 22 = (−1)
2+ 2
1 3 1 3
= 0, A 23 = (−1)
2+3
1 2 1 3
= −1,
A 31 = (−1)3+1
2 3 1 2
= 1 , A 32 = (−1)3+ 2
⇔ AX = B.
b1 b2 . B= M bn
L a1n L a2 n , M L ann
x1 x2 , X= M xn
高 等 代 数
问题的提出： 问题的提出：
n×n
的线性方程组 AX = B 是否可以象一元一次代
1 3 2 2
= 4, A 33 = (−1)3+3
1 2 2 1
= −3.
高 等 代 数
A11 ∴ A* = A12 A13
A 21 A 22 A 23
A 31 −3 3 1 A 32 = −4 0 4 . A 33 5 −1 −3
高 等 代 数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A = ; 3 4 1 2 3 (2) B = 4 5 6 3 3 3
解:
(1)
A −1 =
A = −2 ≠ 0. 故 A可逆，
1 * A A
−2 1 4 −2 1 = = 3 1 −2 −3 1 − 2 2
A* A* ∴ A = A=I | A| | A|
1 * A = A | A|
−1
注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆. 2)此定理在理论推导中非常有用. 3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.
高 等 代 数
a11 a21 定义 设 Aij 是矩阵 A = M a n1
( = (I
−1 l −1
−1 1
(A I )
A −1
)
)
施行初等行变换， 即对 n × 2 n 矩阵 ( A I ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 I 时，原来的 I 就变成 A −1 .
高 等 代 数
1 1 −1 2 1 0 求 A−1 例 A 设 = 1 −1 0 1 1 − 1 1 0 0 0 0 1 0 解 [A I ] = 2 1 1 − 1 0 0 0 1 1 1 − 1 1 0 0 r2 − 2r1 2r r3 −→ 0 − 1 2 − 2 1 0 r1 0 − 2 1 − 1 0 1
高 等 代 数
a11 a 21 L an1
a11 a21 A= M an1
a12 a22 L an 2
a12 a22 M an 2
L L L L
a1n x1 b1 a2 n x2 b2 = L L L ann xn bn
−1 −1 2 1
一般地， ( A1 A2 L As )
= A A LA A
−1 s
−1 s −1
高 等 代 数
性质3 性质3
可逆矩阵A的转置矩阵可逆， 可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且
(A ) = (A )
证−1ຫໍສະໝຸດ ' −1−1 '
A′(A −1 )′ = (AA −1 )′ = I ′ = I ,
′A′ = (A −1A)′ = I ′ = I , (A )
高 等 代 数
求逆矩阵方法二： 求逆矩阵方法二：初等变换法
当 A ≠ 0时，由 A = P1 P2 L Pl，有
Pl −1 Pl −1 L P1−1 A = I , 及 −1
Pl −1 Pl −1 L P1−1 I = A−1 , −1
∴
Pl P L P
−1
= Pl −1 Pl −1 L P1−1 A Pl −1 Pl −1 L P1−1 I −1 −1