矩阵可逆的充分必要条件
逆矩阵存在的充分必要条件方阵A可逆且推论
B12 B22 Bs 2
B1t B2t Bst
s
C11 C12 C21 C22 则 AB C r 1 Cr 2
其中
Cij Aik Bkj
k 1
注意： A的列块数=B的行块数；A i k的列数=B k j的行数
例题：设
1 0 A 1 1
1 2 4 3 1 1 1 0 1 1 X A CB 6 1 1 0 1 2 1 2 1 / 4 0
1 1
★逆矩阵的性质
1、逆矩阵是唯一存在的。 2、AB=E BA=E （此性质可将定义简化）
T A21 T A22
T A2 s
ArT1 T Ar 2 T Ars
p11 p21 ... p n1
记作
p12 p22 ... pn 2
p1n 1 ... p2 n ... ... 0 ... pnn ...
★ 分块对角矩阵 （方阵）
A11 0 A ... 0 0 A22 ... 0 0 0 0 ... ... 0 Ass ...
其中对角线上的子块全是方阵，其余子块是零矩阵。如
2 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 9 0 0 2 0 8 0 0 3 0 7 是AFra bibliotek A且
n 1
推论：如果A是n阶方阵，则
2、逆矩阵存在的充分必要条件 方阵A可逆 推论：如果A可逆，则
det A 0
A
1
1 A
可逆矩阵
A( A 2E) 3( A 2E) 4E
( A 3E)(A 2E) 4E ( A 2E)1 1 (3E A)
4
定理2.5 设 A, B 均为 m n 阶矩阵，则
（1）A, B行等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵 P, 使得PA B.
（2）A, B 等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P, n阶可逆矩阵Q, 使得PAQ B.
对上式右乘 A1 得， Pl P2 P1E A1.
考虑对 A E 作行变换 P1, P2 , , Pl 即
Pl P2P1A E Pl P2P1A Pl P2P1E
E
A1
1 2 3
例4
设
A
2
2
1 , 求A1.
3 4 3
1 2 3 1 0 0
解：
A
E
2
3
2 4
1 3
0 0
1 0
0 1
r2 2r1 r3 3r1
1 2 3 1 0 0
0 2 5 2 1 0
0 2 6 3 0 1
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 1 0
1 0 0 1 3 2
0
0
2 0
5 1
2 1
1 1
0 1
r12r3 r2 5r3
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
由 BA E 可知 Eu O, 即 u O 矛盾！
充分性得证。
例7 设方阵 A 满足 A2 A 2E O,
证明 A 和 A+2E 都可逆, 并求其逆。
证明: A2 A 2E O A( A E) 2E
A 1 ( A E) E A1 1 ( A E)
矩阵可逆的一个充分必要条件的几种讲法
矩阵可逆的一个充分必要条件的几种讲法不论是在线性代数的教学中还是高等代数的教学中，矩阵的相关内容都是十分重要的。
而其中矩阵可逆的部分又是要重点讲授的，因为逆矩阵在讨论研究矩阵问题时有重要作用。
在矩阵可逆的这部分内容中，矩阵可逆及逆矩阵的定义是必然要介绍的，而矩阵可逆的条件中有一个充分必要条件即一个方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零是一定会讲授的，也是应用较多的，因此要求同学们一定理解掌握。
而就这一个充分必要条件不同的教师有不同的讲法，本文根据自己的体会，介绍了这一个充分必要条件的三种讲法并进行了一定的对比分析。
第一种讲法是非常常见的，很多教师都采用，特别是刚开始教线性代数的新教师。
我在第一次教这部分时也用的是这种讲法。
首先介绍了矩阵可逆的定义[1]，即设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B,使得AB=BA=E（E是n阶单位矩阵），则称方阵A是可逆的，而B称为A的逆矩阵。
在同学们知道理解了矩阵可逆及逆矩阵概念后，就引入介绍矩阵可逆的条件，我们主要介绍矩阵可逆的一个常用的充分必要条件。
而为了介绍这个充分必要条件，首先需要介绍一个相关的内容，那就是伴随矩阵的相关概念[2] 。
对于伴随矩阵首先介绍伴随矩阵的定义：设矩阵A，则称矩阵为A的伴随矩阵，其中Aij是矩阵A中元素aij 的代数余子式。
接着介绍伴随矩阵的一个重要性质：同时给出其证明：事实上，由代数余子式的性质同理可得，所以。
这样准备工作已做好，就来讲最重要的矩阵可逆的充分必要条件。
定理（矩阵可逆的充分必要条件）矩阵 A 可逆的充分必要条件是，且。
证明：（必要性）若，且，则，故 A 可逆且。
（充分性）若 A 可逆，，那么，因此。
以上是第一种讲法的基本过程，当然这其中还有很多教师的引导讲解，这里未体现。
但这种讲法的讲授思路和顺序基本按照教材中给出的顺序来讲，其实就是直接教授给学生们概念和结论，让学生们去理解应用，缺乏探究这些结论的过程。
而第二种讲法恰恰是由矩阵可逆的定义出发按照正常的推理过程得到了矩阵可逆的充分必要条件。
可 逆 矩 阵
可逆矩阵
二、 矩阵可逆的充要条件
在数的运算中，并不是所有的数都有倒数， 只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶 方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为 任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接 下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下 可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先 介绍一个转置伴随矩阵的概念．
可逆矩阵
因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义211，有
AB1=B1A=E，AB2=B2A=E 于是 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2 这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆 矩阵记作A-1，则有 AA-1=A-1A=E
可逆矩阵
【例2-13】
若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出 其逆阵．
可逆矩阵
性质2-5
可逆矩阵
可逆矩阵
【例2-17】
可逆矩阵
故Λ-1=B．
谢谢聆听
可逆矩阵
【例2-16】
证明：若A，B是同阶方阵，且满足AB=E或BA=E，则 A，B都可逆，且
A-1=B，B-1=A 证明 由A，B是同阶方阵且AB=E可得|AB|=|||B|=|E|=1． 所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．
可逆矩阵
在等式AB=E的两边同时左乘A-1，可得A1(AB)=A-1E，即A-1=B．
(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11
性质2-3
可逆矩阵
若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T． 因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据 矩阵的转置运算规律，有 AT(A－1)T=(A－1A) T=ET=E 则AT可逆，且(AT)-1 =(A-1)T．
逆矩阵存在的充分必要条件方阵A可逆且推论
再转置。如
3 1 3 3 3 3 3 T 4 2 1 3 3 1 4 3 T 0 5 6 5 6
T
先把子块当作元素运算，然后子块再运算。
1 1 3 A23 1 3 2 1
1 1 A33 2 3 1
1 3 7 A31 1 A32 3 2 1 2
0 1 1 * A 5 3 7 1 1 2
所以
1 0 1 A 1 5 3 7 1 1 2
——只适用于矩阵的加、减、数乘、相乘、转置等运算。
★ 分块矩阵的乘法运算
设A、B矩阵分块得
A11 A21 A A r1
A12 A22 Ar 2
A1s A2 s Ars C1t C2 t Crt
B11 B21 B B s1
0 n 0 n
列分块
P 1
P 2
1 ... P n 0
P P2 ... Pn 1
分块矩阵的转置运算——子块当作元素转置后子块本身
T 3 2 T 3 2 1 0 1T 3 1 4 5 3 3 3 6 T 0
A为分块对角矩阵。
A11 A
A22
Ass
其中A i i 为方阵子块，其余子块 均为零子块
★分块对角矩阵的性质 （1） A A 11 A 22
1 A11 （2）若A可逆，则 A1 1 A22
Ass
1 Ass
2.3 可逆矩阵
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 2 1 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0 7 5 2 0 1 0 5 4 2 0 0 1 3 2 1 0 0 1 2 7 2 3 7 5 2 1 A 5 4 2 ，BA 1 1 4 ，X 3 3 2 3 2 1 3 5 2 3 2 2 3 2 1
A B B AEij ci k A B B AE(i(k )) ci kc j B AE( j, i(k )) A B
a12 a13 1 0 0 a11 a12 a13 a11 例5 0 1 2 a 21 a 22 a 23 = a 21 2a 31 a 22 2a 32 a 23 2a 33 0 0 1 a a a a a a 31 32 33 31 32 33
2、初等方阵的性质 （1）初等方阵可逆且 其逆矩阵也是初等方阵， 即 1 1 1 1 E ij E ij ，E (i (k )) E (i( ))，E (i, j (k )) E (i, j (k )) k （2）用初等方阵左（右）乘 A， 相当于对 A 作初等行 （列）变换得到的矩阵， 即
3、用初等行变换求逆
行 A 可逆 A E 依据：Th2.3.2 ,
A B1 ( P1 A) B2 ( P2 B1 P2 P1 A)
行 行
行 Bm ( Pm Bm 1 Pm P2 P1 A) 行
A E Pm P2 P1 A E
矩阵可逆的充分必要条件
逆矩阵与转置
若A是可逆矩阵，则A的转置A^T也 是可逆的，且(A^T)^-1 = (A^1)^T。
逆矩阵与行列式
一个方阵A可逆的充分必要条件是其 行列式|A| ≠ 0。
判别方法
高斯消元法
通过高斯消元法将给定矩阵化为行阶梯形 式，若存在全零行或主元位置为0，则该
此，不是所有对称矩阵都是可逆的。
稀疏矩阵与可逆性
稀疏矩阵的定义
若一个矩阵中大部分元素为0，则该矩阵称为稀疏矩阵。
稀疏矩阵与可逆性的关系
稀疏矩阵并不一定是可逆的，其可逆性与矩阵中非零元素的分布和数量有关。只有当稀 疏矩阵的行列式不等于0时，它才是可逆的。因此，需要根据具体情况来判断稀疏矩阵
的可逆性。
特征值均非零
矩阵可逆的第三个充分必要条件是其所有特征值均非零。
特征值是矩阵的一个重要性质，反映了矩阵变换对特征向量的缩放程度。
当且仅当矩阵的所有特征值均不为零时，矩阵才具有逆矩阵。这是因为如果存在零特征值，则对应的特 征向量在变换后会被压缩到零向量，导致逆变换无法恢复原始向量。
PART 03
必要条件探讨
矩阵可逆定义及性质
可逆矩阵定义
方阵
可逆矩阵必须是方阵，即行数和列数相等的矩阵。
存在逆矩阵
存在一个与给定矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵， 称为该矩阵的逆矩阵。
非奇异矩阵
可逆矩阵也称为非奇异矩阵，与之相对的是奇异 矩阵（不可逆矩阵）。
性质与定理
逆矩阵的唯一性
一个可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的运算性质
优点是数值稳定性好，适用于中小规模矩阵 ；缺点是对于大规模矩阵，计算量较大。
二阶矩阵可逆的条件
二阶矩阵可逆的条件二阶矩阵可逆的条件二阶矩阵是指由两行两列的数构成的矩阵。
在线性代数中，矩阵的可逆性是一个重要的概念。
一个矩阵可逆，当且仅当它的行列式不为零。
对于二阶矩阵而言，它的可逆性可以通过一个简单的公式来判断。
设二阶矩阵为A，其行列式为|A|，则A可逆的条件为：|A| ≠ 0也就是说，当且仅当二阶矩阵的行列式不为零时，它才是可逆的。
那么，为什么行列式不为零就意味着矩阵可逆呢？首先，我们需要了解行列式的概念。
行列式是一个数，它是由矩阵中各行各列元素的代数和所组成的。
对于二阶矩阵而言，行列式的计算公式为：|A| = a11a22 - a12a21其中，a11、a12、a21、a22分别表示矩阵A中的元素。
当行列式不为零时，它的值就不为零。
这意味着矩阵中的各行各列元素不是线性相关的，也就是说，它们可以通过一定的线性组合得到任意一个向量。
因此，矩阵A就是可逆的。
反之，当行列式为零时，它的值为零。
这意味着矩阵中的各行各列元素是线性相关的，也就是说，它们不能通过一定的线性组合得到任意一个向量。
因此，矩阵A就是不可逆的。
总之，二阶矩阵可逆的条件是行列式不为零。
这个条件非常简单，但却非常重要。
它不仅可以帮助我们判断矩阵是否可逆，还可以帮助我们求解矩阵的逆矩阵。
因此，对于学习线性代数的人而言，掌握这个条件是非常必要的。
除了二阶矩阵外，对于任意n阶矩阵而言，它的可逆性也可以通过行列式来判断。
具体来说，一个n阶矩阵可逆的条件是其行列式不为零。
但是，对于高阶矩阵而言，行列式的计算会变得非常复杂，因此，我们通常会使用高斯消元法等方法来求解矩阵的行列式和逆矩阵。
总之，矩阵的可逆性是线性代数中的一个重要概念。
对于二阶矩阵而言，它的可逆性可以通过行列式来判断。
因此，我们需要掌握行列式的计算方法和判断矩阵可逆性的条件，以便更好地理解线性代数的相关知识。
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A 的秩为 n 。 符号表示为 R(A) = n p 67～68
一个 n 阶方阵 A 可逆有以下充分必
要条件 (续前页)：
以 A 为系数矩阵的 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解。 可从 p 72 定理 3 (ii) 推得
以 A 为系数矩阵的 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有唯一解。 可从 p 72 定理 3 (ii) 可得
方阵可逆的充分必要条件整理
一个 n 阶方阵 A 可逆有以下充分必 要条件：
A 的行列式 不等于 0 。 用行列式符号表示为 |A| ≠ 0 或 det(A) ≠ 0 ； 或说 A 是非奇异矩阵。 课本 p 40
A 可写成有限个初等矩阵的乘积。 p 62 性质 1
A 和 n 阶单位矩阵行等价。 A ～r E，也就是说 A 对应的行最简形矩阵为
A 的行 (列) 向量组线性无关。 可从 p 88 定理 4 推得
A 的列 (行)向量组的秩为 n。
符号表示为 R(A) = n 可从 p p 120