可逆矩阵
可逆矩阵的充分必要条件
可逆矩阵的充分必要条件一、引言矩阵是线性代数中的重要概念，而可逆矩阵是其中的一个特殊类型。
可逆矩阵具有许多重要的性质和应用，因此对其充分必要条件的探究具有重要意义。
二、定义1. 矩阵的定义：设A为m×n矩阵，则称A为一个m行n列的矩阵。
2. 可逆矩阵的定义：若存在一个n×n矩阵B，使得AB=BA=In，则称A为可逆矩阵或非奇异矩阵，B称为A的逆矩阵，记作B=A^-1。
三、充分必要条件1. 充分条件：若A为可逆矩阵，则其行列式不等于0。
证明：设A为可逆矩阵，则存在一个n×n矩阵B，使得AB=BA=In。
因此，det(AB)=det(A)det(B)=det(B)det(A)=det(In)=1。
由于B存在，故det(B)≠0，因此det(A)≠0。
2. 必要条件：若A的行列式不等于0，则A为可逆矩阵。
证明：设A的行列式不等于0，则存在一个n×n的伴随矩阵Adj(A)，使得A×Adj(A)=det(A)In。
因为det(A)≠0，所以A×(1/det(A))×Adj(A)=In，即A的逆矩阵为(1/det(A))×Adj(A)。
四、应用可逆矩阵在线性代数中具有广泛的应用，以下是其中的一些例子：1. 线性方程组求解：对于线性方程组Ax=b，若A为可逆矩阵，则可以通过求解x=A^-1b来得到唯一解。
2. 行列式的计算：由于可逆矩阵的行列式不等于0，因此可以通过将矩阵转化为可逆矩阵来简化行列式的计算。
3. 线性变换的表示：对于线性变换T:R^n→R^m，若存在一个n×n 可逆矩阵A和一个m×m可逆矩阵B使得T(x)=Ax，则可以将T表示为从R^n到R^m的标准线性变换，并且可以通过求解Ax=b来得到T(x)=b的唯一解。
五、总结本文介绍了可逆矩阵充分必要条件的证明过程，并且给出了其在线性代数中的一些重要应用。
判断可逆矩阵的方法
判断可逆矩阵的方法矩阵是线性代数中的重要概念，而可逆矩阵是其中一种特殊的矩阵。
可逆矩阵也被称为非奇异矩阵或满秩矩阵，它在线性代数和各个应用领域中都具有重要的作用。
那么，如何判断一个矩阵是否可逆呢？本文将介绍几种常见的判断可逆矩阵的方法。
一、行列式判断法判断一个矩阵是否可逆，最常用且简便的方法就是计算其行列式。
对于一个n阶矩阵A，如果其行列式det(A)不等于0，那么矩阵A 是可逆的；如果det(A)=0，那么矩阵A是不可逆的。
二、逆矩阵判断法逆矩阵是指对于一个n阶可逆矩阵A，存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
因此，判断一个矩阵是否可逆，可以通过求解其逆矩阵来判断。
如果一个矩阵A存在逆矩阵B，那么矩阵A是可逆的；如果不存在逆矩阵B，那么矩阵A是不可逆的。
三、秩判断法秩是矩阵的一个重要性质，它表示矩阵所包含的线性无关的行或列的最大数量。
对于一个n阶矩阵A，如果其秩等于n，那么矩阵A 是可逆的；如果秩小于n，那么矩阵A是不可逆的。
四、特殊矩阵判断法除了上述常用的方法外，还有一些特殊矩阵的判断方法。
例如，对于对角矩阵来说，只要对角线上的元素都不为0，那么它就是可逆的；而上三角矩阵和下三角矩阵，只要主对角线上的元素都不为0，也是可逆的。
需要注意的是，虽然上述方法可以判断一个矩阵是否可逆，但并不一定能够求解出具体的逆矩阵。
对于某些特殊的矩阵，可以使用化简矩阵的方法来求解逆矩阵，或者利用伴随矩阵的方法来求解逆矩阵。
但这些方法在实际应用中并不常见，通常可以使用计算机软件来求解逆矩阵。
总结起来，判断一个矩阵是否可逆，常用的方法包括行列式判断法、逆矩阵判断法和秩判断法。
其中，行列式判断法是最常用且简便的方法，通过计算矩阵的行列式来判断矩阵的可逆性。
逆矩阵判断法则是通过求解矩阵的逆矩阵来判断矩阵的可逆性。
而秩判断法则是通过计算矩阵的秩来判断矩阵的可逆性。
此外，对于特殊的矩阵，还可以使用特殊矩阵判断法来判断其可逆性。
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义1. 定义阐述- 设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB = BA=E（E为n阶单位矩阵），则称矩阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，记作B = A^-1。
例如，对于二阶矩阵A=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}，若ad - bc≠0，则A可逆，其逆矩阵A^-1=(1)/(ad - bc)begin{pmatrix}d& - b-c&aend{pmatrix}。
2. 可逆矩阵的唯一性- 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。
假设B和C都是A的逆矩阵，那么AB = BA = E且AC=CA = E。
由B = BE=B(AC)=(BA)C = EC = C，可证得逆矩阵的唯一性。
二、可逆矩阵的性质1. 基本性质- 若A可逆，则A^-1也可逆，且(A^-1)^-1=A。
因为A与A^-1满足AA^-1=A^-1A = E，所以A^-1的逆矩阵就是A。
- 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
证明如下：(AB)(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E，同理(B^-1A^-1)(AB)=E。
- 若A可逆，k≠0为常数，则kA可逆，且(kA)^-1=(1)/(k)A^-1。
因为(kA)((1)/(k)A^-1)=k×(1)/(k)(AA^-1) = E，同理((1)/(k)A^-1)(kA)=E。
2. 与行列式的关系- 矩阵A可逆的充要条件是| A|≠0。
当| A| = 0时，称A为奇异矩阵；当| A|≠0时，称A为非奇异矩阵。
例如，对于三阶矩阵A=begin{pmatrix}1&2&34&5&67&8&9end{pmatrix}，计算其行列式| A|=0，所以A不可逆；而对于矩阵B=begin{pmatrix}1&0&00&2&00&0&3end{pmatrix}，| B| = 6≠0，则B可逆。
常见的可逆矩阵
常见的可逆矩阵
常见的可逆矩阵包括：
1. 单位矩阵：所有对角线上的元素都是1，其余元素都是0。
例如：
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2. 对角矩阵：除了对角线上的元素外，其余元素都是0。
例如：
2 0 0
0 3 0
0 0 4
3. 上三角矩阵：除了对角线及其以下的元素外，其余元素都是0。
例如：
2 1 3
0 3 4
0 0 2
4. 下三角矩阵：除了对角线及其以上的元素外，其余元素都是0。
例如：
2 0 0
1 3 0
3 4 2
5. 块对角矩阵：由多个对角块组成的矩阵，每个对角块都是可逆矩阵。
例如：
2 3 0 0
1 4 0 0
0 0 2 3
0 0 1 4
6. 正交矩阵：满足乘积等于单位矩阵的矩阵。
例如：
0.8 0.6
-0.6 0.8
7. 特殊线性群矩阵：满足行列式等于1的矩阵。
例如：
1 2
3 4
以上是一些常见的可逆矩阵，但并不是全部家族。
矩阵可逆的条件
矩阵可逆的条件矩阵可逆是线性代数中一个重要的概念，一个矩阵是否可逆对于很多问题都有着重要的意义。
矩阵可逆的条件是怎样的呢？下面我们来详细介绍。
矩阵的定义首先，我们来回顾一下矩阵的定义。
矩阵是一个二维数组，由m行n列的数构成。
比如一个3行2列的矩阵可以表示为：\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix} \]其中每一个\(a_{ij}\)表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的可逆一个矩阵A可逆的条件是存在一个矩阵B，使得\[AB=BA=I\]，其中I是单位矩阵。
如果一个矩阵可逆，那么我们称这个矩阵为非奇异矩阵；如果一个矩阵不可逆，那么我们称这个矩阵为奇异矩阵。
矩阵的条件矩阵可逆的条件有以下几个方面：行列式不为0对于一个n阶方阵A，如果它的行列式\[|A|eq 0\]，那么矩阵A是可逆的，反之亦然。
行列式不为0保证了矩阵A的列是线性独立的，使得矩阵A可以被逆矩阵所逆。
矩阵秩等于行数矩阵A的秩等于它的行数时，矩阵A是可逆的。
这是因为矩阵的秩反映了矩阵A的列空间的维数，如果矩阵的秩等于行数，那么矩阵的列空间就是整个空间，所以矩阵A是可逆的。
列向量线性无关如果一个矩阵的列向量线性无关，那么这个矩阵是可逆的。
列向量线性无关保证了矩阵A的列是一个基，可以表示整个空间，从而使得矩阵A是可逆的。
总的来说，矩阵可逆的条件主要包括行列式不为0、矩阵的秩等于行数和列向量线性无关。
只有在满足这些条件的情况下，一个矩阵才是可逆的。
结论矩阵可逆是线性代数中一个非常重要的概念，矩阵的可逆性决定了很多问题的解的存在性。
通过本文的介绍，我们了解了矩阵可逆的条件，包括行列式不为0、矩阵的秩等于行数和列向量线性无关。
希望本文能帮助读者更好地理解矩阵的可逆性。
矩阵可逆与秩的关系
矩阵可逆与秩的关系
矩阵可逆与秩的关系 :
1. 矩阵可逆的条件：当且仅当矩阵的秩等于其行数时，矩阵才可逆。
也就是说，只有在矩阵的列线性无关情况下，矩阵才可以被逆转。
换句话说，矩阵可逆意味
着它没有零空间，只有零向量。
2. 如果矩阵A可逆，则其秩为n，n是矩阵A的行数和列数。
在这种情况下，
矩阵A也被称为满秩矩阵。
3. 如果矩阵A的秩小于n，则矩阵A不可逆。
因此，如果一个矩阵不可逆，则其秩小于它的行数和列数。
4. 如果矩阵A的秩为r，则矩阵A的零空间的维度为n-r。
这也表示如果矩阵
A可逆，则它的零空间只包含零向量。
5. 矩阵可逆的另一个重要性质是，它可以通过一系列的初等矩阵乘积来转化为一个单位矩阵。
6. 最后，矩阵可逆与矩阵的行列式不为零是等价的。
当且仅当矩阵的行列式不等于零时，矩阵才可逆。
总之，矩阵可逆与秩之间有着密切的联系。
只有在矩阵的列线性无关情况下，矩阵才可以被逆转。
当矩阵可逆时，其秩为n且其零空间只包含零向量。
另外，矩阵可逆还可以通过初等矩阵乘积来转换为单位矩阵，而矩阵可逆与行列式不为零是等价的。
矩阵可逆的判别方法
矩阵可逆的判别方法矩阵的可逆性是矩阵理论中的重要概念，对于矩阵的可逆性判断方法，可以从多个角度进行分析。
以下是关于矩阵可逆的几种判别方法的详细介绍。
1. 行列式判别法：行列式是矩阵理论中重要的概念之一，而矩阵可逆与行列式呈现一定的关系。
具体来讲，如果一个矩阵的行列式不等于零，即det(A) ≠0，那么该矩阵是可逆矩阵，反之亦然。
这是因为行列式的值为零意味着矩阵没有逆矩阵，而非零则保证了逆矩阵的存在。
2. 初等行变换法：初等行变换是矩阵矩阵中的一种操作，包括以下三种：（1）互换两行；（2）某一行乘以一个非零常数；（3）某一行乘以一个非零常数再加到另一行上。
通过进行一系列的初等行变换，可以将矩阵化简为行阶梯形式或行最简形式。
如果通过初等行变换将矩阵化简为单位阵，即变换后得到了行最简形式，那么原始矩阵是可逆矩阵。
3. 奇异值分解（SVD）：奇异值分解是一种将矩阵分解成三个矩阵的方法，即A = UΣV^T，其中U和V 都是正交矩阵，而Σ是对角矩阵。
根据SVD的性质，如果矩阵A是可逆矩阵，那么A的奇异值都不为零，反之亦然。
因此，我们可以通过计算矩阵的奇异值分解，判断矩阵的可逆性，即检查奇异值是否都不为零。
4. 逆矩阵计算法：逆矩阵是矩阵理论中与可逆矩阵密切相关的概念。
具体来说，如果一个矩阵A存在逆矩阵A^-1，那么A是可逆矩阵，反之亦然。
逆矩阵的计算可以使用伴随矩阵和行列式的方法进行，即A^-1 = adj(A) / det(A)，其中adj(A)是矩阵A的伴随矩阵。
因此，通过计算矩阵的逆矩阵，可以判断矩阵的可逆性。
5. 矩阵秩判定法：矩阵的秩是一个与矩阵特征紧密相关的概念，其定义为矩阵中非零行的最大线性无关数。
根据代数学的基本原理，对于一个n阶矩阵A，如果其秩等于n，那么A是可逆矩阵；如果秩小于n，那么A不是可逆矩阵。
因此，我们可以通过计算矩阵的秩来判断矩阵的可逆性。
总结起来，矩阵可逆的判别方法有行列式判别法、初等行变换法、奇异值分解法、逆矩阵计算法和矩阵秩判定法等。
第三章可逆矩阵2013
3 − 2⎞ 6 − 4⎞ ⎛ 1 ⎛ 2 ⎟ ⎟ ⎜ 1 1⎜ A = A∗ = ⎜ − 3 − 6 5 ⎟ = ⎜ − 3 2 − 3 5 2 ⎟ . A 2⎜ ⎟ ⎜ 1 −1⎠ 2 − 2⎟ ⎠ ⎝ 1 ⎝ 2
−1
故
例
1 ⎛ 4 − 7⎞ ⎛ 2 7⎞ ⎜ ⎜3 2 ⎟ ⎟ ⎜ − 3 4⎟ ⎟ = 29 ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
§2 方阵可逆的充要条件与逆矩阵计算
定义2.1 n阶方阵A的元素在 A 的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵
例
⎛a b⎞ * 求A = ⎜ ⎜c d⎟ ⎟的伴随矩阵 A . ⎝ ⎠
⎛ A11 ⎜ ⎜ A12 ∗ A =⎜ L ⎜ ⎜A ⎝ 1n
A21 L An1 ⎞ ⎟ A22 L An 2 ⎟ L L L⎟ ⎟ A2 n L Ann ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ O ⎟, λi ≠ 0 1 ⎟ ⎟ λn ⎠
5
A9解: 由A−1 BA = 6 A + BA, 有
A−1 BA − BA = 6 A, B = 6( A−1 − E ) −1 ( A−1 − E ) BA = 6 A,
法一
A9解: 由A−1 BA = 6 A + BA, 有
2 2
法二
BA = 6 A + ABA, BA − ABA = 6 A , ( E − A) BA = 6 A2 ,
a12 a 22 M an 2
L a1n ⎤ ⎡ A11 ⎢ L a2 n ⎥ ⎥ ⎢ A12 M ⎥⎢ M ⎥⎢ a nn ⎦ ⎣ A1n
A21 L An1 ⎤ A22 L An 2 ⎥ ⎥ M M ⎥ ⎥ A2 n Ann ⎦
定理2.2 方阵 A可逆的充要条件是 A ≠ 0，
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哈尔滨师范大学学年论文题目浅谈可逆矩阵的判定、求法学生赵怀志指导教师高鹤讲师年级2010级专业数学与应用数学系别数学与应用数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2012年11月论文提要在高等代数中矩阵占有很重要的部分,而可逆矩阵又是矩阵比较重要的一类,在多项式理论、线性方程组理论、向量空间、线性变换、二次型理论等相关理论中具有极其重要的地位，为此本文从最基本的矩阵出发阐述了可逆的定义、性质及相关的应用，体现了数学的逻辑性及严密性的特点，从整体把握可逆矩阵的思想方法，希望对大家有所帮助。
浅谈可逆矩阵的判定、求法赵怀志摘 要：本文主要介绍了有关可逆矩阵的定义、判定、性质、求法，。
对可逆矩阵相关知识做了一个较为详尽的总结。
关键词：可逆 单位矩阵 初等变换。
1 预备知识：定义1 由 n m ⨯个实数ij a 排成的一个 m 行n 列的矩形数表A =111212122212mn n n m m a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称之为 n m ⨯ 矩阵，位置（i ,j ）上的元素，一般用ija 表示（强调两个足标的意义）。
矩阵可简记为n m A ⨯或}{ij a A =或n m ij a A ⨯=}{ .特殊矩阵:方矩阵 若 n m =，称A 为n 阶（方）矩阵，也可记作 n A . （强调矩阵的（主）对角线，）而nn a a a ,,,2211 称之为对角元素；（反主对角线）。
当 1==n m 时，即 ()11a A =， 此时矩阵退化为一个数11a .矩阵相等 若同型矩阵n m ij a A ⨯=}{和n m ij b B ⨯=}{在对应位置上的元素都相等即,,,1;,,1,n j m i b a ij ij ===零矩阵 所有元素都为零的矩阵，称之为零矩阵。
一般记作O ；或 n m O ⨯ . 注意，不同型的零矩阵是不相等的。
负矩阵 设 n m ij a A ⨯=}{，称矩阵 }{ij a A -=- 为矩阵A 的负矩阵。
三角矩阵 设}{ij a A =是 n 阶矩阵。
1）若A 的元素满足 j i a ij >∀=,0，称A 是上三角矩阵； 2）若A 的元素满足 j i a ij <∀=,0 ，称A 是下三角矩阵；⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a A 00022211211 和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a aa a a A21222111000。
对角矩阵 若元素满足 j i a ij ≠∀=,0；其形状是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn a a a A0000002211 ， 记作 }{},,{,2211ii nn a diag a a a diag A == .单位矩阵 对角元素为1的对角矩阵，记作E 或n E （n 阶），即100010001E ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭零矩阵和单位矩阵在矩阵运算中所起的作用类似于0和1在数的运算中所起的作用。
矩阵基本运算：加法运算设 }{ij a A = 和 }{ij b B = 是 n m ⨯ 的矩阵，A 与B 的加法（或称和），记作A+B ，定义为一个n m ⨯ 的矩阵B A cC ij +==}{⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=mn mn m m m m n n n n b a b a ba b a b a ba b a b a b a221122222221211112121111矩阵的减法: )(B A B A -+=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=mn mn m m m m n n n n b a b a ba b a b a b a b a b a b a221122222221211112121111由定义，容易验证矩阵的加法满足下列运算法则（其中O C B A ,,,为同型矩阵）。
（1） 交换律 A B B A +=+（2） 结合律 )()(C B A C B A ++=++ （3） A O A =+ （4） O A A =-数乘矩阵： 数λ与矩阵n m ij a A ⨯=}{的乘积（称之为数乘），记作A λ 或λA ，定义为一个n m ⨯ 的矩阵λλA A c C ij ===}{⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a aa a aa a a λλλλλλλλλ 212222111211 。
由定义，数乘运算满足下列运算法则（设O B A ,,是同型矩阵，μλ,是数）： （1） 数对矩阵的分配律 B A B A λλλ+=+)( （2） 矩阵对数的分配律 A A A μλμλ+=+)( （3） 结合律 )()(A A μλλμ= （4） O A =⋅0矩阵乘法： 设}{ij a A =是一个s m ⨯矩阵，}{ij b B =是一个n s ⨯矩阵，A 与B 的乘法，记作AB ，定义为一个n m ⨯ 的矩阵 }{ij c AB C ==，其中∑==+++=sk kj ik sj is j i j i ij b a b a b a b a c 12211),,2,1;,,2,1(n j m i ==.由定义，不难看出（强调）：（1） 只有在左矩A 的列数和右矩阵B 的行数相等时，才能定义乘法AB ； （2） 矩阵C=A B 的行数是A 的行数，列数则是B 的列数； （3） 矩阵C=AB 在),(j i 位置上的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和。
注: 矩阵乘法不满足交换律(对一般情况而言), 若两个矩阵A 和B 满足BA AB =则称矩阵A 和B 是可交换的，如1）单位矩阵与任何（同阶）矩阵可交换，即成立 IA AI =。
2）任何两个对角矩阵也都是可交换的。
3）一个矩阵与任何（同阶）矩阵可交换的当且仅当该矩阵为数量矩阵。
矩阵乘法也不满足消去律，但矩阵乘法仍满足分配律和结合律： （1） 分配律 AC AB C B A +=+)(； CA BA A C B +=+)(。
（2） 结合律 )()(BC A C AB =。
（3） 数乘结合律 )()()(B A B A AB λλλ==, 其中 λ 是一个数。
（4） A IA AI ==。
矩阵转置： 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a aa a a a a a A 212222111211 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn nn m m T a a aa a aa a a A 212221212111将A 的行和列对应互换得到的m n ⨯矩阵，定义为的A 转置矩阵，记作TA 。
由定义可知，ji ij TA A )()(=，即TA 在位置上的元素是矩阵A 在位置),(i j 上的元素。
2主要理论一 定义 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵，若是存在F 上n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==那么A 叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 叫作A 的逆矩阵。
注 若矩阵A 可逆，那么A 的逆矩阵由啊唯一决定。
二 判定（以下列出的均为充要条件，即可由这些定理判定矩阵A 是否为可逆矩阵）：定理1设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,矩阵A 可逆的充要条件是存在n 阶矩阵BE BA AB ==.定理2 设矩阵A 为n 阶矩阵,则以下几个命题是等价的: (1)矩阵A 可逆;(2)矩阵A 的行列式0A ≠; (3)矩阵的A 伴随矩阵*A 可逆;(4)矩阵的A 伴随矩阵*A 的行列式*0A ≠.证 ()()12⇒ 因为矩阵A 可逆,所以存在n 阶矩阵使AB BA E ==,因此1AB A B E ===,所以0A ≠.()()21⇒当0A ≠时,因为**AA A A A E ==,所以**A A A E A A A==,所以存在*A A 使得**A A AE A A A==,所以矩阵A 可逆. ()()23⇒因为**AA A A A E ==,所以***AA A A A E A ===,又因为0A ≠,所以*0A ≠,由()()21⇒的过程可知矩阵A 的伴随矩阵*A 可逆.()()32⇒因为矩阵*A 可逆,所以*0A ≠,且存在()1*A -使()1*A A E -=成立,则一定有0A ≠(否则假设0A ≠），()()()111****0A A E A A A A A A A E A ---⎢⎥=====⎢⎥⎣⎦,由此可以推得矩阵A 为零矩阵,从而可得*A 也为零矩阵,则*0A ≠.这与*0A ≠相矛盾,所以*0A ≠.()()34⇒和()()43⇒与()()12⇒和()()21⇒的证明方法一样.定理3 矩阵A 可逆的充要条件是存在n 阶矩阵B 使得()AB E BA E ==. 证 (必要性)矩阵A 可逆时,由定义可知存在n 阶矩阵B 使得AB BA E ==,所以存在n 阶矩阵B 使得AB E =.(充分性)由AB E =两边同时取行列式可得1AB A B E ===,所以0A ≠,由定理2可知矩阵A 可逆.定理4 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 为满秩矩阵(即()r A n =).证 因为矩阵A 为满秩矩阵等价于*0A ≠,而由定理2知0A ≠又等价于矩阵A 可逆,因此矩阵A 为满秩矩阵等价于矩阵A 可逆.定理5 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 与单位矩阵E 等价(对矩阵A 施行初等变换可以使矩阵A 转化为单位矩阵E ).证 (必要性)因为矩阵可逆,所以0A ≠.由定理4知,又因为()r E n =,所以()()r E r E n ==,即矩阵A 与单位矩阵E 是等价的.(充分性)由矩阵A 与单位矩阵E 等价可得()()r E r E n ==,所以由定理4知矩阵A 可逆.定理6 矩阵A 为可逆矩阵的充要条件是以矩阵A 为系数矩阵的齐次线性方程组AX B =的解唯一.证 齐次线性方程组AX B =的解唯一等价于0A ≠,又等价于矩阵A 可逆. 定理7 矩阵A 可逆的充要条件是以矩阵A 为系数矩阵的齐次线性方AX B =的解唯一.定理8 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 的特征值均不为0.证 (必要性)假设矩阵A 有一个特征值为10λ=,则10E A λ-=,又因为()11nE A A A λ-=-=-,所以0A ≠;,由此可得矩阵A 不可逆这与矩阵A 可逆相矛盾,所以由矩阵A 可逆可得矩阵A 的特征值均不为0.(充分性)设矩阵A 的全部特征值为12n λλλ 、、(其中()0,1,2,,i i n λ≠= ,因为12n A λλλ= ,而120n λλλ≠ ,所以0A ≠,因此矩阵A 可逆.三．性质：性质1 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,若矩阵1A -可逆,且()11A A --=. 证明 因为矩阵A 可逆,所以11AA E A A --==,所以矩阵1A -可逆.设1B A -=则E B A =-1,A B =-1,即()111A AA ---=.性质2 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,当0k ≠时,则kA 可逆,且()111KA A K--=. 证明 因为矩阵A 可逆，所以存在矩阵B 使AB BA E ==，即1B A -=，又因为0k ≠,所以kAB kBA kE ==,所以()()11kA B B kA E k k ⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以kA 可逆,且()1111kA A B k k--==. 性质3 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,若矩阵T A 可逆,且()()11TT A A --=.证明 因为矩阵A 可逆,且()()11T T T T A A A A E E --===,所以矩阵T A 可逆且()()11TT A A --=.性质4 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,则11A A --=.证明 因为矩阵A 可逆,所以1AA E -=,所以111AA A A E --===, 所以11A A-=,即11A A --=.性质5 设矩阵A 和B 均为n 阶可逆矩阵,若0AB =,则0B =.证明 因为矩阵A 可逆,所以它的逆矩阵1A -存在,使0AB =两边都左乘1A -可得1100A AB A --==,又因为1AA E -=,所以0EB =,即0B =.性质6 设矩阵A 和B 均为n 阶可逆矩阵,若AB AC =,则B C =.证明 因为矩阵A 可逆,所以1A -存在,因为使AB AC =两边都左乘1A -可得11A AB A CA --=,所以EB EC =,即B C =.性质7 若矩阵A 、B 均为可逆矩阵,则矩阵AB 可逆且()111AB B A ---=.证明 因为矩阵A B 、为可逆矩阵,所以它们的逆矩阵11A B --、均存在,又由于1111111()()()()B A AB B A AB B A A B B B E -------====111111()()()()AB B A AB B A A B B A AA E ------==== 所以()()()11111AB BA B A E -----==,所以矩阵AB 可逆且()111AB B A ---=.推论 若矩阵12K A A A 、、均为n 阶可逆矩阵,则矩阵12K A A A 可逆,且11111221k k A A A A A A ----= （）.性质8 可逆阵A 的乘方仍可逆且()()11mm A A --=证明 可借助性质7，令12k A A A A ==== ，即可得证。