逆矩阵的定义及可逆条件
可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义；
第一学期第十次课2.5.2可逆矩阵，方阵的逆矩阵1、可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义定义 设A 是属于K 上的一个n 阶方阵，如果存在属于K 上的n 阶方阵B ，使BA AB E ==，则称B 是A 的一个逆矩阵，此时A 称为可逆矩阵。
2、群和环的定义定义 设A 是一个非空集合。
任意一个由A A ⨯到A 的映射就成为定义在A 上的代数运算。
定义 设G 是一个非空集合。
如果在G 上定义了一个代数运算（二元运算），称为乘法，记作a b *，而且它适合以下条件，那么,G <*>就成为一个群：1、 乘法满足结合律对于G 中的任意元素a,b,c 有 ()()a b c a b c **=**；2、 存在单位元素e G ∈，对于任意a G ∈，满足 e a a *=；3、 对于任意a G ∈，存在b G ∈，使得 b a e *=。
关于群的性质，我们有如下命题：命题 对于任意a G ∈，同样有a b e *=证明 对于b ，存在c G ∈，使得cb e =，()()a e a c b a c b a c e =*=**=**=*，两端右乘b ，得到a b e *=。
命题 对于任意a G ∈，同样有a e a *=证明 ()()a e a a b a a b a a e =*=**=**=*。
命题 单位元素唯一证明 假设存在,'e e G ∈，均是单位元素，则''e e e e ==。
命题 对于任意a G ∈，存在唯一b G ∈，使得 a b b a e *=*=，于是元素b 就称为a 的逆元素，记为1a -。
证明 设存在,b c G ∈，满足条件，则 ()()b e b c a b c a b c e c =*=**=**=*=。
易知，11()a a --=。
命题 对于G 中的任意元素a,b ，方程a x b *=有唯一解。
定义 一个群G 称为一个交换群（Abelian Group ），若定义在上面的代数运算*满足交换律，即对于任意,a b G ∈，都有a b b a *=*。
逆矩阵
证毕
四、可逆矩阵的性质
设 A, B, Ai (i = 1, 2, · , m) 为 n 阶可逆矩阵， · ·
k 为非零常数，则
A-1, kA, AB, A1A2 · Am , AT · · 也都是可逆矩阵，且 (1) (2) (3) (A-1)-1 = A;
( kA )
1
1 k
A
1
;
(AB)-1 = B-1A-1, (A1A2 · Am)-1 = Am-1 · A2-1A1-1 ; · · · ·
从而 A 的多项式可以像数 x 的多项式一样相乘或 分解因式. 例如 ( E + A )( 2E – A ) = 2E + A – A2 , ( E – A )3 = E – 3A + 3A2 – A3 .
3. 计算方法
（1）如果 A = P P –1，则 Ak = Pk P –1，从而
(A) = a0 E + a1 A + · + am Am · ·
2.矩阵 A 满足什么条件时可逆？若可逆，如何求？ 3.可逆矩阵有什么性质？
三、矩阵可逆的充要条件
定理 1 如果 n 阶矩阵Ａ可逆，则它的逆 定理
矩阵是唯一的． 矩阵是唯一的．
证明 设矩阵 B 与 C 都是 A 的逆矩阵，则有
AB = BA = E， 因而 B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C ． AC = CA = E ，
1
0 0 , , AP PP , , AP 0 2 0 2
求 An .
1 4
2
六、矩阵多项式
例 14 设
1 P 1 1 1 0 1 1 1 2 , Λ 0 0 1 0 2 0 0 0 , AP P Λ , 3
3.3 逆矩阵
求矩阵X使满足 AXB C .
1 2 3
解 A 2 2 1 2 0, B
2 1 5 3
1 0,
3 4 3
A , B 都存在.
1
1
3 2 1 1 且 A 3 2 3 5 2 , 1 1 1
3 1 B , 5 2
1
【例3】设
解：
且
3 1 0 A 2 1 1 2 1 4 3 1 0 A 2 1 1 2 1 4 1 1 1 2 2 11 1 10 A11 ( 1) 5 A12 ( 1) 2 4 1 4
判断A是否可逆，若 可逆， 求其逆。 =5≠0 ，A可逆。
AB A B E 1 0
A 0, B 0
由定理2· 1知，A、B均可逆
A 1 得 在等式AB=E的两边左乘
A ( AB) A E ( AB) B1 EB1
1 1
B A1
B 1 得 在等式AB=E的两边右乘
A B 1
【例4】已知n阶方阵A满足A3 +A2-A-E=0, 证明 A可逆，并求A-1
由已知 2A(A-E) A 解：ห้องสมุดไป่ตู้
3 3
3
A E +2A( E A) E
3
( A E )(A2 A E) ( E A)(2 A) E
( E A)(A2 A E) E
E 由推论知： A 可逆，且 ( E A)1 A2 A E
5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且
( AB)1 B1 A1
证明：
( AB)( B1 A1 ) A( BB1 ) A1 AEA1 AA1 E
3.3 逆矩阵
1 1
7
6
即为矩阵方程的解.
推论1 若n阶方阵A, B 满足 AB=E, 则必有 BA=E 证 因为 AB=E, 由 A B AB E 1
知|A|≠0，于是有
A
1 A
A
1 A
A
A
E
BA
EBA
1 A
A
ABA
1 A
A
EA
1 A
A
A
E
推论2 若n阶方阵A, B 满足 AB=E 或 BA=E,
A32 0 , A33 1 ,
从而
5 9 1
A1
2
3
0
.
0 2 1
二、逆矩阵的应用
1.利用逆矩阵解线性方程组
例4
解线性方程组
3 -2
x1 x1
7 x2 5 x2
3x3 1, 2 x3 0,
-4 x1 10 x2 3 x3 2.
解
3
设 A 2
4
7 5 10
3
2 ,
3
x1
AB BA E
(1)
则称A是可逆的，并把B 称为A 的逆, 记为 A1.
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
则 B A1,且 A B 1
例7 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证 由A2 A 2E 0,
得AA E 2E
A
1 2
(
2.3_可逆矩阵
Aij为行列式 A中元素aij的代数余子式.
a (2) 特别地，对二阶方阵 A c 当 A ad bc 0时，有 d 1 1 A A A ad bc c
1
b d
b a
11
三、可逆矩阵的运算性质 1 1 1 1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且A A.
2 若A可逆, 数 0, 则A可逆, 且
A A1 .
1
1
3 若A, B为同阶方阵且均可逆则AB亦可逆, 且 , 1 AB B 1 A1 .
证明：
ABB1 A1 ABB1 A1 AEA 1 1 1 1 1 AA E , AB B A .
0
A
k
A
. k为正整数
A .
13
当 A 0, , 为整数时, 有 A A A
,
A
A 可逆，则有 A1 1 A 1 . (5) 若 A
1 证明： AA E
A A 1
1
因此 A
1
1 1 A A
14
12
推广
A1 A2 Am1 Am 1 A21 A1.1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明： A A
逆矩阵的定义及性质
[3 0、[1/3 0、 11 0、 Lo Lo L J<0
1/3 0]0 0]
<0 1JLo
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
矩阵.
分析先看二阶的情形：
r IVO 1) _ri o〕
lo
oJll oj O]0/3 0
IJLO i
<0 、 11J 0、
并且(M…"1 F…邳色•
定理
3
证明 （
其中Pl9 P29…,氏为初等矩阵,
由于初等矩阵都可逆， 而且可 逆矩阵的乘积仍然可逆, 所以』 可逆.
定理3矩阵幺可逆。4可以写成一些初等矩阵的乘积. 证明(=>)因为4可经初等行变换化为行最简形矩阵玖
故存在初等矩阵R,「2,…，己使得 U=Ps...P2PrA.
定理4设A^jmxn矩阵，则存在所阶可逆矩阵尸和
«阶可逆矩阵Q使得A =PE^nQ^A的标准分解 其中
ERn= %
为幺的等价标准形.
证明 因为A可经初等变换化为等价标准形E鶴, 反过来,E編可经初等变换化为A,
即存在如阶初等矩阵Pi，P”..,Ps和"阶初等矩阵
0, 0,…,0使得氏..强E厲00...0 =4 于是令P = Ps...P2Pl,
I)T=ET=E
性质(1)若4可逆，则也可逆并且JT)T =4
(2) 若A可逆，则-T也可逆并且以T)-1 = (Q)T.
(3) 若4可逆,4为非零的数，
则kA也可逆，并且(kA) 】=LAT. (4) 若A,B为同阶可逆矩阵，
则也可逆，并且(4B)T = \、反序律
证明=A(BBl)Al = AEA1 = AA1 = E (B^A-^iAB) = = Br^EB = BrlB =E
矩阵的逆矩阵公式
矩阵的逆矩阵公式矩阵是线性代数中最基本的概念之一，逆矩阵则是矩阵理论中的一个非常重要的概念。
一个矩阵的逆矩阵是唯一的，其存在判定方法和求解方法也是线性代数中的重要内容之一。
首先，我们来介绍矩阵的逆矩阵的定义以及存在条件。
设A是一个n×n的方阵（即行数和列数相同的矩阵），若存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=In（其中In为n阶单位矩阵），则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
如果矩阵A存在逆矩阵A^-1，则称矩阵A是可逆的（或非奇异的），否则称其为不可逆的（或奇异的）。
那么，如何判定一个矩阵是否存在逆矩阵呢？一个n×n的矩阵A 可逆的充分必要条件是其行列式不等于0（即det(A) ≠ 0）。
接下来，我将介绍一种常见的求解矩阵逆矩阵的方法——高斯-约旦消元法。
这种方法也叫做矩阵的初等行变换法。
具体方法如下：1. 将A矩阵和n阶单位矩阵In作为一个n×2n的增广矩阵。
2. 对增广矩阵进行初等行变换，将矩阵A化为一个上三角矩阵。
3. 对上三角矩阵进行初等行变换，将其变为一个对角矩阵。
4. 对对角矩阵进行初等行变换，使其对角线上每个元素都为1。
5. 通过初等行变换，将单位矩阵In变为逆矩阵A^-1。
6. 最终得到逆矩阵A^-1。
通过以上步骤，可以快速地求出一个矩阵的逆矩阵。
需要注意的是，对于某些矩阵来说，其逆矩阵可能不存在，此时使用高斯-约旦消元法求解逆矩阵则会发现矩阵变成了不合法的矩阵。
总的来说，矩阵逆矩阵的概念及判定方法是线性代数中的重要内容之一。
在实际应用中，矩阵逆矩阵是非常重要的，能够帮助我们求解一些线性方程组，解决科学与工程中的很多问题。
逆矩阵的知识点总结
逆矩阵的知识点总结一、逆矩阵的基本概念1.1 矩阵的逆在矩阵理论中，矩阵的逆是一个重要的概念。
如果存在一个矩阵B，使得矩阵A与矩阵B相乘得到单位矩阵I，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A-1。
换句话说，如果AB=I，那么B就是A的逆矩阵。
1.2 逆矩阵的存在性并非所有的矩阵都有逆矩阵。
只有当矩阵是可逆的时候，才会存在逆矩阵。
一个矩阵是可逆的，当且仅当它是一个方阵且其行列式不为0。
1.3 逆矩阵的求解要求解矩阵的逆，可以使用多种方法。
其中最常用的方法是高斯-约当法求解逆矩阵。
这一方法通过行变换和列变换来将矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。
1.4 逆矩阵与解的关系在线性代数中，矩阵的逆与线性方程组的解密切相关。
如果一个矩阵是可逆的，那么它所代表的线性方程组一定有唯一解，反之亦然。
二、逆矩阵的性质2.1 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵有逆矩阵，那么逆矩阵是唯一的。
这是因为如果存在两个不同的矩阵B和C，使得AB=I且AC=I，那么由矩阵乘法的结合律可得B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C，即B=C。
2.2 逆矩阵的乘法逆矩阵有一个重要的性质，即两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆的，并且其逆矩阵等于这两个矩阵的逆的乘积的逆。
换句话说，如果A和B都是可逆的矩阵，那么(AB)-1=B-1A-1。
2.3 逆矩阵与转置矩阵的关系矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
在逆矩阵的情况下，有一个重要的性质，即一个矩阵的逆与其转置的逆是相等的，即(A-1)T=(AT)-1。
2.4 逆矩阵与幂的关系矩阵的逆与幂有着密切的关系。
如果一个矩阵A是可逆的，那么其幂A^n也是可逆的，并且(A^n)-1=(A-1)^n。
2.5 逆矩阵与伴随矩阵的关系在矩阵理论中，有一个与逆矩阵密切相关的概念，即伴随矩阵。
伴随矩阵是一个矩阵的行列式和代数余子式构成的矩阵。
与逆矩阵的关系在于，如果一个矩阵A是可逆的，那么它的伴随矩阵乘以矩阵A的行列式就等于单位矩阵。
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AA A A AE
定理:n阶方阵A可逆的充要条件是 A 0.
A1 1 A A
1.方阵满足什么条件时可逆? 条件是？ 2.可逆时，逆阵怎样求？ 公式是？
牢记这个定理
证:
“”由A可逆知AA1 E, 两边取行列式
AA1 A A1 = E 1
A0
A1 A 1
“”由 A 0, AA A A AE
1 a
0 1
0 0 0
0
0
0
A
a2
a
1 0 0
a
n1
an2
an3
a
1
的逆怎样求？
AB BA E.
因此有两种情形， 问题 你会研究哪种情形？
定义：对n阶方阵A，若有n阶矩阵B，使 AB=BA=E，
则称B为A的逆矩阵，称A为可逆的。
1 逆阵惟一。A的逆记为： A1
设B,C都是A的逆，则 B=EB =(CA)B =C(AB) =CE=C
2 并非每个方阵都可逆。
要解决的问题：
1.方阵满足什么条件时可逆 ?
A( 1 A) ( 1 A)A E
A
A
A1 1 A A
A可逆 A非奇异 A满秩
例1.
求
A
a
b 的逆。(ad bc 0)
c d
解： A1 1 A
1
d
A
ad bc c
b a
练习1
A
1 1
0 1
，A1
,
B
1
3
2
1
，1 B ,
C=
2 1
43, C 1 .
练习2
A
1
2
11, A1 ,
B
1 1
21, B1 ,
C
2
0
2 1
,
C
1
.
练习1答案
A-1
1 1
10，B-1
1 7
1 3
2 1
，C-1
=11141
32.
练习2答案
A1
1 1 3 2
11,
B1
2 1
11,C1
1 2
1 0
22.
？？ ？A
1 3
1 2
1 1 的逆怎样求？
2
0
1
还用公式吗？
2.可逆时，逆阵怎样求？
复习：伴随矩阵 A
A11 A21
A
A12
A22
aij nn
An1 An2
A1n
A2n
Ann
Aij为aij的代 数余子式
伴随矩阵
关于A的公式？
AA A A AE
AA A A AE
要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆? 2.可逆时，逆阵怎样求？
逆矩阵 a 0, a1, 使aa1 a1a 1.
矩阵A O, ?矩阵B,使
AB BA E.
例如 1 A 0
0 0
,
假如有B
a c
ห้องสมุดไป่ตู้
b d
,
使得
AB BA E.
1
0
0 a 0 c
b d
a 0
b 0
1 0
0 1
0 1
这是不可能的。
并非所有的非零方阵都有矩阵B，使得