大学数学《微积分BI》第2章 导数与微分知识点汇总
第2章导数与微分总结
1、极限的实质是：动而不达导数的实质是：一个有规律商的极限。
规律就是:2、导数的多种变式定义：lim 丄一x)f°)是描述趋近任意 x 时的斜率。
而x 03、I若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率， 如果趋近到了 x0,得到的就是这点的斜率一一导数。
4、可导与连续的关系:1基础总结lim -= limx 0 x x 0 f(x X)f(x)xlim x x o f(x )f (x o )X o叫 号严可以刻画趋近具体x0时的斜率。
lim o要注意细心观察发现,导数的实质是定义在某点的左右极限。
既然定义在了某点上，该点自然存在，而 且还得等于左右极限。
因此，可导一定是连续的。
反之，如果连续，不一定可导。
不多说。
同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定 极限有可能存在，但是导数绝不会存在。
同理要注意左右导数的问题。
如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存 在的。
如：f(x) x,x 0这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。
为什么嫩？看定义:万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该 点必须存在! 由此引发了一些容易误判的血案: 例如:A 旦主^謎IC m F 左电鼓 pg 总生戟乞f ( x) f (x)-中的f(x))至u 底是神马。
比如求上图limf(x x) f(x)x 0xlimf(X X)f(0)。
x 0定义里面需要用到f(0)啊！因此，千中 iimf (x)论) x 1x x 0,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1 ！定义解决时候一定要注意问。
X X o由此也可以知道，f (x)2x 3, x 1这个函数是不存在导数的，也不存在左导数,3只存在右导数。
5、反函数的导数与原函数的关系:注意，求反函数时候不要换元。
因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变, 与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算 果显然是错误的。
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
导数与微分重点知识归纳
导数的概念例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速度？我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量这就是质点在时间段△t的位移。
因此，在此段时间内质点的平均速度为：若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。
我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，即：质点在t0时的瞬时速度=为此就产生了导数的定义，如下导数的定义设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。
记为：还可记为：，函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。
若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。
这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。
注：导数也就是差商的极限左、右导数前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。
若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。
若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。
注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件函数的和差求导法则法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为：。
其中u、v为可导函数。
常数与函数的积的求导法则法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。
用公式可写成：函数的积的求导法则法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。
用公式可写成：函数的商的求导法则法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。
(完整word版)微积分(知识点概要).(良心出品必属精品)
微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。
2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。
例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。
一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。
P6）称幂函数x k（k为常数），指数函数a x ，对数函数loga x （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。
凡由基本初等函数经有限次．．．加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。
（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。
（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。
f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。
（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。
1．2极限概念与运算法则P11）当一个变量f(x)在x →a 的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b ，则称变量f(x)在x →a 的过程中极限存在。
称常数b 为它的极限，记为ax →lim f(x)=b 否则就称极限不存在。
导数与微分
第二章 导数与微分数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. . 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.第一节 导数概念下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度；(2) 求曲线上一点处的切线；(3) 求最大值和最小值.这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容要点： 1 导数的定义 2左右导数3导数的几何意义 4函数的可导性与连续性的关系一、引例1、直线运动速度设描述质点运动位置的函数为()s f t =，匀速时：tsv 时间路程=， 平均速度：tsv ∆∆=，因平均速度≠瞬时速度，则0t 到t 的平均速度为00()()f t f t v t t -=-，而0t 时刻的瞬时速度为000()()lim t t f t f t v t t →-=-2、切线问题（曲线在一点处切线的斜率）当点N 沿曲线C 趋于点M 时，若割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线因0000()()tan y y f x f x yx x x x xφ--∆===--∆ [切线应为割线的极限]当N 沿曲线M C →时，0x x →，故0000()() lim lim x x x f x f x yk x x x ∆→→-∆==∆- 即为割线斜率的极限，即切线斜率。
瞬时速度000()()limt t f t f t v t t →-=-切线斜率000()()limx x f x f x k x x →-=-两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .二、导数的定义： 1、函数在一点处的导数设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x +∆仍在该邻域内）时，相应的函数y 取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称此极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为：00000()()limlim x x x x f x x f x y y x x =∆→∆→+∆-∆'==∆∆或0()f x '，x x dy dx=或()x x df x dx =即：已知()f x ，构造yx∆∆，求此增量比的极限，若极限存在，则可导，不存在就不可导（此时切线必垂直于x 轴）。
微积分二知识点总结
微积分二知识点总结引言微积分是数学中的重要分支，用于研究函数的变化和曲线的性质。
微积分可以分为微分学和积分学两个部分。
本文将总结微积分二中的一些重要知识点，包括泰勒展开、泰勒级数、函数的傅里叶级数展开、常微分方程等内容。
泰勒展开和泰勒级数泰勒展开是函数在某一点附近用幂级数逼近的方法。
假设函数f(x)在x=a处具有n阶导数，那么泰勒展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)其中Rn(x)为余项，它表示当n趋向于无穷大时的误差。
泰勒级数是泰勒展开的一种特殊情况，当a=0时，泰勒展开可以简化为泰勒级数：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ... + f^n(0)x^n/n! + Rn(x)泰勒级数的应用非常广泛，可以用来近似计算各种函数的值。
傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的方法。
假设f(x)是一个周期为2π的函数，傅里叶级数展开可以表示为：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nx) + bn*sin(nx))其中a0、an和bn为函数f(x)的系数。
傅里叶级数展开的基本思想是将一个周期函数分解成多个简单的正弦和余弦函数的叠加。
这种表示方法在信号处理和频谱分析中非常有用。
常微分方程常微分方程是描述函数的变化规律与函数本身及其导数之间的关系的方程。
常微分方程可以分为一阶和二阶常微分方程。
一阶常微分方程可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中f(x, y)为已知函数。
二阶常微分方程可以表示为：d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)常微分方程在物理学、工程学和经济学等领域中都有着广泛的应用。
总结微积分二是微积分的进阶课程，涵盖了泰勒展开、泰勒级数、函数的傅里叶级数展开、常微分方程等重要知识点。
导数知识点总结
导数知识点总结导数是微积分的一个重要概念，也是研究函数变化率的基本工具。
在学习微积分的过程中，我们会接触到导数的定义、性质、计算方法等知识点。
本文将对这些知识点进行总结并加以阐述。
一、导数的定义导数有几种不同的定义方式，其中最常见的是函数在某一点的导数定义。
设函数y=f(x)，在点x处的导数定义为：当自变量x的增量趋于0时，函数值的增量与自变量增量的比值的极限，即dy/dx=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx (Δx→0)。
其中dy/dx称为y对x的导数。
二、导数的性质导数具有一些重要的性质，这些性质在计算中很有用。
首先，导数是函数的局部性质，即在某个点上的导数只与该点附近的函数值有关，与整个函数的形态无关。
其次，导数可以表示函数在某一点的斜率，即函数曲线在该点的切线斜率。
另外，导数还具有可加性、可乘性和可微性等性质。
可加性指的是导数可以用于求两个函数的和的导数，即(d(u+v))/dx=du/dx+dv/dx。
可乘性指的是导数可以用于求两个函数的乘积的导数，即(d(uv))/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)。
可微性指的是如果函数在某点可导，则在该点连续，反之不成立。
三、导数的计算方法导数的计算方法有多种。
其中最常用的是基本导数公式，例如：常数函数的导数为0，幂函数的导数可以通过幂次减一，再乘以幂函数的系数得到。
此外，三角函数、指数函数和对数函数的导数也有相应的公式。
另外，我们还可以通过求导法则来计算导数。
求导法则包括和差法则、积法则、商法则、复合函数求导法则等。
通过这些法则的运用，我们可以将复杂函数的导数转化为简单函数的导数。
四、导数应用导数在现实生活中有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以借助导数来描述物体的运动状态。
在经济学中，导数可以用来研究商品的需求和供给变化。
在工程学中，导数可以帮助我们优化设计和解决问题。
此外，导数还有一些重要的应用，例如极值问题和曲线的凹凸性判断。
微积分重点知识点梳理
微积分重点知识点梳理微积分是数学的一个重要分支，涉及到函数、极限、导数、积分等概念和方法。
它是研究函数变化规律、求解曲线斜率和曲线面积等问题的数学工具。
本文将对微积分的重点知识点进行梳理，帮助读者理解和掌握微积分的核心内容。
1. 函数的极限函数的极限是微积分的基础，通过研究函数在某一点处的极限可以描述函数的趋势和性质。
在函数的极限求解过程中，常用的方法有代数运算法、夹逼准则法和无穷小量法等。
函数极限的概念和求解方法对于理解微积分的后续内容非常重要。
2. 导数与微分导数表示函数在某一点处的变化率，是微积分的重要概念。
求导的过程可以帮助我们研究函数的斜率和变化趋势。
在求导的过程中，需要掌握基本的导数公式和求导法则，并能够应用它们解决实际问题。
3. 高阶导数与导数应用高阶导数是导数的导数，表示函数变化率的变化率。
通过研究高阶导数，我们可以更深入地理解函数的曲率和变化趋势。
在实际问题中，高阶导数的应用非常广泛，如求解最值、曲线拟合和泰勒展开等。
4. 积分与不定积分积分是导数的逆运算，求解函数曲线下的面积和定积分值。
通过对函数进行积分，我们可以得到函数的原函数或不定积分。
在积分的过程中，需要掌握积分的基本公式和常用积分法则，并能够应用它们解决实际问题。
5. 定积分与面积应用定积分表示函数在给定区间上的面积或曲线长度等量值。
通过定积分，我们可以求解实际问题中的面积、曲线长度、质量和质心等相关量。
在定积分的应用过程中，需要理解积分区间的选择、积分上下限的确定以及定积分的几何和物理意义。
6. 微分方程微分方程是描述变量之间关系的数学方程，是微积分与方程的结合体。
微分方程在自然科学和工程技术等领域中具有广泛的应用，如物理学中的运动学、化学中的反应动力学等。
掌握微分方程的基本概念和解法，可以帮助我们解决与变化和变动有关的实际问题。
总结起来，微积分是一门研究函数变化和趋势的数学学科，涵盖了函数极限、导数与微分、高阶导数与导数应用、积分与不定积分、定积分与面积应用以及微分方程等重要概念和方法。
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由导数定义得
(ax ) lim axx ax lim ax ax 1
x0 x
x0
x
lim ax (exlna 1) lim ax (x ln a)
x0
x
x0
x
ax ln a 。 评注 特别有 (ex ) ex 。
（五） 不可导函数一例
例 6 讨论函数 f (x) x 在 x 0 处的导数。
第二章 导数与微分
微分学是高等数学的重要内容，包括求导运算和微分运算，其应用十分广泛。求导运算 是高等数学中的基本运算，微分运算在以后的不定积分和定积分理论中也会十分有用。
§2.1 导数概念
一、切线及其斜率
切线概念： 如图，设点 P 在曲线 S 上， T 是某直线。如果当 Q P 时，割线 PQ 无
x
x
(x ) lim (x h)
x
(1 h) lim x 1 x
1
lim x 1
h x
x 1 。
h0
h
h0
h
h0
h
x
x
（三） 三角函数的导数
例 4 按导数定义证明： (sin x) cos x ， (cos x) sin x 。
证明 由导数定义
(sin x) lim sin(x x) sin x
解 据左右导数定义
f
lim
x0
f (x) x
f (0)
lim x0
x0 1。 x
f
lim
x0
f (x) x
f (0)
lim x 0 1 。 x x0
因为左右导数不相等，所以函数在 x 0 处的导数不存在。
四、导数的几何意义
（一）导数的几何意义
导数
f (x0 ) 表示曲线
y
f (x) 在点 x , 0
限贴近直线T ，则称直线T 是曲线 S 在点 P 的切线， P 是切点。
切线定义：设定点 P 、动点 Q 都在曲线 S 上，T 是某直线。如果当| QP | 0 时，割线
PQ 与直线T 的夹角 趋于零，即
lim 0 ，
|QP|0
则称直线T 是曲线 S 在点 P 的切线， P 是切点。
切线斜率求法：设曲线 S 的方程为 y f (x) ，如图示。那么割线 PQ 的斜率是
x x0
x x0
x0
x
存在，则称该极限为 f 在 x0 的右导数，记作 f (x0 ) ；类似定义左导数 f (x0 ) 。
（三）导数与左右导数的关系
在§1.3 的“极限与左右极限的关系”中，我们把“极限、左极限、右极限”分别换成 “导数、左导数、右导数”，得
（1） f (x0 ) A f (x0 ) f (x0 ) A ； （2） f (x0 ) 存在 f (x0 ) 与 f (x0 ) 都存在且相等。
42
二、导数的定义
（一） 函数在某点的导数
定义 1 设函数 y f (x) 在点 x0 的某邻域有定义。若极限
lim f (x) f (x0 ) ，或 lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x x0
x0
x
存在，则称 f 在点 x0 可导，该极限叫做 f 在点 x0 的导数，记为
（四）导函数
若函数 f 在区间 I 的每一点都可导（在端点指单侧导数），则称函数 f 在区间 I 可导； 把函数 f (x) ， x I 叫做 f 在区间 I 的导函数。导函数可表示为：
f (x) ， y ， dy ， df (x) 。 dx dx
三、求导数举例
（一） 常值函数的导数
例 1 按导数定义证明：若 f (x) C （常数函数），则 f (x) 0 。
x0
x
2sin x cos(x x)
lim
2
2
x0
x
li(cos x) sin x 。
（四） 指数函数的导数
例 5 按导数定义证明： (ax ) ax ln a (a 0, a 1) 。
证明 因为
ex 1 x (x 0) ，
44
那么极限
故 T 是切线。
arc tan f (x) f (x0 ) ， x x0
lim lim arc tan f (x) f (x0 )
|QP|0
x x0
x x0
arc tan k 0 ，
评注 可以类似说明，当 k 时，直线 x x0 就是切线。
f
(x0 ) 处切线的斜率；如果函数
f
在点 x0 的
导数是无穷大，那么曲线
y
f
(
x)
在点
x 0
,
f
( x0
) 处具有垂直于 x 的切线 x
x0 。
（二）曲线的切线方程与法线方程
过切点且与切线垂直的直线叫做法线；记 y0 f (x0 ) 。据导数的几何意义知
曲线 y f (x) 在点 (x0 , y0 ) 的切线方程是
令 x x0 ，那么极限 （ k 是实数）就是切线的斜率。
f (x) f (x0 ) ， x x0
k lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
我们以图示为例来说明上述结论。记割线 PQ 的倾斜角为 ，那么
tan f (x) f (x0 ) ， x x0
记 k tan ，作直线T 过点 P ，使其倾斜角为 ，那么直线T 与割线 PQ 的夹角 满足
f (x0 ) ， y
x x0
， dy dx
， df (x)
x x0
dx
。
x x0
若上述极限不存在，则称 f 在点 x0 不可导；如果不可导的原因是极限为 ，为方便起
见，也说导数是无穷大。
（二）左导数、右导数
定义 2 设函数 f 在[x0, x0 ) 有定义，若极限
lim f (x) f (x0 ) lim f (x0 x) f (x0 )
h0
h
Cnnhn ) xn
lim h0
Cn1 xn1 Cn2 xn2h
Cnnhn1
Cn1 xn1 nxn1 。
例 3 按导数定义证明： (x ) x1 ，其中 是实数。
证明 幂函数的定义域与常数 有关，以下设 x 总在定义域内且 x 0 ，注意到
由导数定义得
(1 h) 1 h (h 0) ，
证明 由导数定义得
43
f (x) lim f (x x) f (x) lim C C 0 。
x0
x
x0 x
（二） 幂函数的导数
例 2 按导数定义证明： (xn ) nxn1 ， n N 。
证明 由导数定义
(xn ) lim (x h)n xn
h0
h
lim (xn Cn1xn1h