三角恒等变形(2019年9月整理)

合集下载

(完整版)三角恒等变换公式大全,推荐文档

三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+b cosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。

第四章三角恒等变换(知识点总结梳理)-高中数学北师大版(2019)必修第二册

2019新教材北师大版数学必修第二册第四章知识点清单目录第四章三角恒等变换§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数公式§3 二倍角的三角函数公式第四章三角恒等变换 §1 同角三角函数的基本关系一、同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系：sin 2α+cos 2α=1. 2. 商数关系：tan α= sin αcos α.3. 公式的常见变形(1)sin 2α=1-cos 2α；cos 2α=1-sin 2α.(2)sin α=±√1−cos 2α；cos α=±√1−sin 2α. (3)cos αtan α=sin α.(4)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. (5)1+tan 2α=1cos 2α；1+1tan 2α=1sin 2α二、由一个三角函数值求其他三角函数值1. 已知角的正弦、余弦、正切中的一个值，利用同角三角函数的基本关系式可以“知一求二”.2. 若题目中没有指出角终边所在的象限，则必须根据条件推断该角可能是第几象限角，再分情况加以讨论.三、利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明 1. 利用同角三角函数的基本关系化简或证明时常用的方法(1)化切为弦，即把正切函数化成正弦、余弦函数，从而达到化简的目的. (2)对于含有根号的三角函数式，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造出“sin 2α+cos 2α”的形式，以降低次数，达到化简的目的.四、关于sin α，cos α的齐次式的求值问题1. 关于sin α，cos α的齐次式是指式子中的每一项都是关于sin α或cos α的式子，且每一项的次数相等，通常为一次齐次式、二次齐次式.2. 当齐次式为分式时，可将分子与分母同除以cos α的n(n为齐次式的次数)次幂，此时分式的分子与分母都可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值.3. 当二次齐次式为整式时，可将其视为分母为1的式子，然后将分母1用sin2α+cos2α替换，这时再将式子的分子与分母同时除以cos2α，即可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值.五、利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值1. 若已知sin α±cos α，sin αcos α 中的一个,则可以利用方程思想进一步求得sin α, cos α 的值，从而解决相关问题. 常涉及的三角恒等式有：(1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α；(3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2；(4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin α·cos α.2. 求sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α的值时，要注意结合角的范围进行符号判断.§2 两角和与差的三角函数公式一、两角和与差的三角函数公式二、知识拓展 1. 公式的记忆方法：(1)公式C α+β，C α-β可记为“同名相乘，符号反”. (2)公式S α+β，S α-β可记为“异名相乘，符号同”.(3)公式T α+β，T α-β的结构特征可记为“分子为正切的和或差，分母为1与正切的积的差或和”，符号规律可记为“分子同，分母反”.2. 两角和与差的正切公式的变形：(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). (2)1-tan αtan β=tan α+tan βtan(α+β)，1+tan αtan β=tan α−tan βtan(α−β).(3)1+tan α1−tan α=tan π4+tan α1−tan π4⋅tan α=tan (π4+α)，1−tan α1+tan α=tan π4−tan α1+tan π4⋅tan α=tan (π4−α).以上式子中各角应保证各式有意义.三、三角函数的叠加公式1：asin α+bcos α=√a 2+b 2sin(α+φ)，其中sin φ=√a 2+b2，cos φ=√a 2+b 2，a ，b不同时为0.公式2：asin α+bcos α=√a 2+b 2cos(α-φ)，其中sin φ=√a 2+b 2，cos φ=√a 2+b 2，a ，b不同时为0.四、积化和差与差化积公式 1. 积化和差公式(1)cos αcos β=12 [cos(α+β)+cos(α-β)].(2)sin αsin β=-12 [cos(α+β)-cos(α-β)]. (3)sin αcos β=12 [sin(α+β)+sin(α-β)].(4)cos αsin β=12 [sin(α+β)-sin(α-β)].2. 和差化积公式 (1)sin x+sin y=2sinx+y 2cos x−y 2.(2)sin x-sin y=2cosx+y 2sinx−y2.(3)cos x+cos y=2cosx+y 2cos x−y2.(4)cos x-cos y=-2sinx+y 2sinx−y 2.五、利用公式解决给角求值问题利用公式解决给角求值问题的关键是通过公式的合理运用，使所求式中的非特殊角转化为特殊角，或使式中出现可以正负抵消的项，或使式中出现分子、分母能约分的项，从而达到化简求值的目的. 具体注意以下几点：(1)看角：把角尽量向特殊角或可化简或可求出值的角转化，合理拆角，化异为同； (2)看名称：把式子中的三角函数的名称尽量化成同一名称，例如可以把正切函数化为正、余弦函数，或把正、余弦函数转化为正切函数，再解决问题；(3)看式子：看式子是否满足两角和与差的正弦、余弦、正切公式，准确选择公式求解.六、利用公式解决给值求值问题给值求值，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，其关键在于“变角”，即使“所求角”变为“已知角”，常见的技巧如下：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个已知角的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，应注意“已知角”与“所求角”的关系，通过诱导公式或引入特殊角，将“所求角”变成“已知角”；(3)配角技巧：①2α=(α+β)+(α-β)，②α=(α+β)-β=β-(β-α)，③α=(α+π4)-π4=(α−π4)+π4，④α−β2=(α+β2)-(α2+β).七、利用公式解决给值求角问题1. 解决给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.2. 通过求角的某个三角函数值来求角，选取函数是关键，一般遵循以下原则：(1)已知正切函数值，选取正切函数.(2)已知正弦、余弦函数值，选取正弦函数或余弦函数；若角的范围是(0，π2)，选正弦函数、余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是(−π2，π2)，选正弦函数较好.八、利用三角函数的叠加研究函数的性质1. 公式的作用：利用三角函数的叠加公式可将形如asin α+bcos α(a，b不同时为0)的三角函数式转化为Asin(α+φ)或Acos(α+φ)的形式，从而达到化简或求值的目的，也有利于研究函数的图象和性质.2. 形式选择：化为正弦还是余弦的形式，要由具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.§3 二倍角的三角函数公式一、二倍角公式二、半角公式1. 半角的正弦公式：sinα2=±√1−cos α2.2. 半角的余弦公式：cosα2=±√1+cos α2.3. 半角的正切公式：tanα2=±√1−cos α1+cosα=sin α1+cosα=1−cos αsinα.三、知识拓展二倍角公式的变形1. 降幂公式：sin αcos α=12sin 2α；sin 2α=1−cos 2α2；cos 2α=1+cos 2α2.2. 升幂公式：1±sin 2α=(sin α±cos α)2；1+cos 2α=2cos 2α；1-cos 2α=2sin 2α.3. 万能公式：sin 2α=2tan α1+tan 2α；cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α.四、半角公式的应用利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系.(2)明范围：求出相应半角的范围，为定符号做准备. (3)选公式：涉及正切时，常利用tan α2=sin α1+cos α=1−cos αsin α进行计算；涉及正弦、余弦时，常利用sin 2α2=1−cos α2，cos 2α2=1+cos α2进行计算.(4)下结论：结合(2)求值. 五、三角函数公式的综合应用三角函数公式在三角函数式的化简、求值以及研究与三角函数有关函数的图象与性质等方面具有重要作用，尤其是研究与三角函数有关函数的图象与性质时，需要先对函数解析式进行化简，化简的过程就是运用公式的过程. 通常情况下，需要先对解析式降幂，变为一次式，再利用三角函数的叠加公式将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)+k 或y=Acos(ωx+φ)+k 的形式，最后研究函数的图象与性质.。

2019高考数学三角恒等变形公式大全精品教育.doc.doc

高考数学三角恒等变形公式大全这篇高考数学三角恒等变形公式大全是查字典数学网特地为大家整理的，希望对大家有所帮助!两角和与差的三角函数：cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos-cossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)二倍角公式：sin(2)=2sincos=2tan()/[1+tan^2()]cos(2)=cos^2()-sin^2()=2cos^2()-1=1-2sin^2()=[1-tan ^2()]/[1+tan^2()]tan(2)=2tan/[1-tan^2()]三倍角公式：sin3=3sin-4sin^3()cos3=4cos^3()-3costan3=(3tan-tan^3())(1-3tan^2())sin3=4sinsin(60-)sin(60+)cos3=4coscos(60-)cos(60+)tan3=tantan(60-)tan(60+)半角公式：sin^2(/2)=(1-cos)/2cos^2(/2)=(1+cos)/2tan^2(/2)=(1-cos)/(1+cos)tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin半角公式及变形：sin^2(/2)=(1-cos)/2sin(a/2)=[(1-cos)/2] a/2在一、二象限=-[(1-cos)/2] a/2在三、四象限cos^2(/2)=(1+cos)/2cos(a/2)=[(1+cos)/2] a/2在一、四象限=-[(1+cos)/2] a/2在二、三象限tan^2(/2)=(1-cos)/(1+cos)tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin=[(1-cos)/(1+cos)] a/2在一、三象限=-[(1-cos)/(1+cos)] a/2在二、四象限万能代换公式：半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)sin=2tan(/2)/[1+tan^2(/2)]cos=[1-tan(/2)]/[1+tan^2(/2)]tan=2tan(/2)/[1-tan^2(/2)]积化和差公式：sincos=(1/2)[sin(+)+sin(-)]cossin=(1/2)[sin(+)-sin(-)]coscos=(1/2)[cos(+)+cos(-)]sinsin=-(1/2)[cos(+)-cos(-)]和差化积公式：sin+sin=2sin[(+)/2]cos[(-)/2]sin-sin=2cos[(+)/2]sin[(-)/2]cos+cos=2cos[(+)/2]cos[(-)/2]cos-cos=-2sin[(+)/2]sin[(-)/2]以上就是由查字典数学网为您提供的高考数学三角恒等变形公式大全，希望给您带来帮助!。

三角恒等变换公式大全

三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一.二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三.四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一.四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二.三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一.三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二.四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+bcosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（帮助角公式）tan y=b/a全能代换半角的正弦.余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留心最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot （C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证实办法起首,在三角形ABC中,角A,B,C所对边分离为a,b,c若A,B均为锐角,则在三角形ABC中,过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另双方的垂线,同理）可证实正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=c AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理,可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情形下,可证实正弦和的公式.应用正弦和余弦的界说及周期性,可证实该公式对随意率性角成立.于是有 cos(A+B)=sin（90-A-B)=sin （90-A)cos(-B)+cos（90-A)sin（-B）=cosAcosB-sinAsinB由此易得以上全体公式。

(完整版)三角恒等变换知识点归纳

第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式⑴；⑵；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-⑶；⑷；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⑸ （）；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹ （）．()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴．sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式⇒2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+降幂公式，． ⇒2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=26、．22tan tan 21tan ααα=-27、（后两个不用判断符号，更加好用）⇒28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的⇒形式。

，其B x A y ++=)sin(ϕϖ()sin cos αααϕA +B =+中．tan ϕB =A29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，αα2tan 2cos ==2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan2sin :222αααααα万能公式+-=+=灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；α2αα4α2α2α2α4α②；问：；2304560304515o ooooo=-=-==12sin π=12cosπ；③；④；ββαα-+=)()4(24αππαπ--=+⑤；等等)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

三角函数恒等变形公式729

三角函数恒等变形公式以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A²+B²)^(1/2)cost=A/(A²+B²)^(1/2)tant=B/AAsinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α)tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα降幂公式sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos²α1-cos2α=2sin²α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²(精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏)。

三角形恒等变形的所有公式

三角形恒等变形的所有公式三角形恒等变形指的是三角形边长或内角大小不变，而位置发生变化的一类变形过程。

下面是三角形恒等变形的公式：一、相似变形：1. 三角形的相似变形可用下列公式来表示：$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$$ 其中，$a_1$,$a_2$,$b_1$,$b_2$, $c_1$,$c_2$分别代表变形前后三角形三条边长。

2. 三角形的相似变形可用下列公式来表示：$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{a_1}{a_2}$$ 其中，$A_1$，$A_2$，$B_1$，$B_2$，$C_1$，$C_2$分别代表变形前后相应顶角的度数，$a_1$，$a_2$分别代表变形前后三角形公共边长。

二、平行移动变形：1. 平行移动变形：把三角形沿着对角线对称的方向平移一定距离后，形成新的三角形，这就是平行移动变形。

2. 按照平行移动变形，可以用一组新的坐标来表示新三角形：$$\left(x-x_0,y-y_0)\right)(x+x_0,y+y_0)(2x,2y)$$ 其中，$x_0$,$y_0$是平行移动的距离，$\left(x,y\right)$是变形前三角形的顶点坐标。

三、旋转变形：1. 旋转变形：把三角形绕着某一点旋转一定角度，形成新的三角形，这就是旋转变形。

2. 按照旋转变形，可以用一组新的坐标来表示新三角形：$$\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)(x^{\prime\prime},y^{\prime\prime})(x^{\prime\pri me\prime},y^{\prime\prime\prime})$$ 其中，$\left(x,y\right)$是变形前三角形的顶点坐标，$\theta$是旋转的角度，$\left(x^{\prime},y^{\prime}\right),\left(x^{\prime\prime},y^{\prime\prime}\right),\left(x^{\prime\prime\prime},y^{\prime\prime\prime}\right)$分别为变形后三角形的顶点坐标，可以用下列公式来表示：$$\begin{array}{l}{x^{\prime}=x \cos \theta-y \sin \theta} \\ {y^{\prime}=x \sin\theta+y \cos \theta} \\ {x^{\prime \prime}=x \cos \theta+y \sin \theta} \\ {y^{\prime\prime}=-x \sin \theta+y \cos \theta} \\ {x^{\prime \prime \prime}=-x \cos \theta+y \sin\theta} \\ {y^{\prime \prime \prime}=-x \sin \theta-y \cos \theta}\end{array}$$四、对称变形：1. 对称变形是一种以一条边为轴线，将三角形的各个顶点绕轴线映射的一种变形。

三角恒等变换的所有公式及其推导公式

三角恒等变换的所有公式及其推导公式三角恒等变换是指对于任意角度x，存在一系列等价的三角函数表达式。

这些等价的表达式可以通过一些特定的关系来推导出来。

下面将介绍一些常见的三角恒等变换公式及其推导过程。

1. 倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))推导过程：对于sin(2x)，可以利用三角函数的加法公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，将A=B=x代入得到：sin(2x) = sin(x+x) = sin(x)cos(x) + cos(x)sin(x) = 2sin(x)cos(x)对于cos(2x)，可以利用cos(2x)=cos^2(x) - sin^2(x)得到：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)对于tan(2x)，可以利用tan(2x) = sin(2x) / cos(2x)得到：tan(2x) = 2sin(x)cos(x) / (1 - 2sin^2(x)) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))2. 和差公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：对于sin(A+B)，可以利用sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB得到：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB对于sin(A-B)，可以利用sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB得到：sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB对于cos(A+B)，可以利用cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB得到：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB对于cos(A-B)，可以利用cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB得到：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB3. 万能公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 11 + tan^2(x) = sec^2(x)1 + cot^2(x) = csc^2(x)推导过程：对于sin^2(x) + cos^2(x)，可以利用三角函数的平方和公式sin^2(x) + cos^2(x) = 1得到：sin^2(x) + cos^2(x) = 1对于1 + tan^2(x)，可以利用tan^2(x) + 1 = sec^2(x)得到：1 + tan^2(x) = sec^2(x)对于1 + cot^2(x)，可以利用cot^2(x) + 1 = csc^2(x)得到：1 + cot^2(x) = csc^2(x)通过以上的公式及其推导过程，我们可以在三角函数的计算中灵活运用，简化计算过程，提高计算的准确性和效率。

三角恒等变形图文

交流电路
在交流电路中，三角函数用于描述电压、电流等物理量的周期性
变化。
三角函数在工程学中应用
建筑设计
01
三角函数用于计算建筑物的角度、高度和距离等参数，以确保
设计的准确性和稳定性。
航空航天
02
在航空航天领域，三角函数用于描述飞行器的轨迹、速度和姿
态等运动特性。
测绘学
03
在测绘学中，三角函数用于进行地图投影、坐标转换和距离测
三角恒等变形图文
目录
• 三角恒等式基本概念 • 三角恒等变形方法 • 图形化理解三角恒等变形 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 三角恒等式基本概念
定义与性质
三角恒等式是指在三角函数中，无论角度如何变化，等式两边始终保持相等的数学表达式。
三角恒等式具有普遍性、必然性和稳定性，是三角函数的重要基础。
03 图形化理解三角恒等变形
单位圆与三角函数关系
1 2
单位圆定义
平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为1的圆。
三角函数与单位圆关系
正弦、余弦、正切等三角函数值可通过单位圆上点的坐标来表示。
3
诱导公式推导
利用单位圆对称性，可推导出三角函数的诱导公式。
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变三角函数前的系数，可实现图像在y轴方向上的拉伸或压缩。
三角恒等式的变形包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等，这些变形在三角函数的计算、化简和证明中具有重要作用。
常见三角恒等式
基本三角恒等式
sin^2(x) + cos^2(x) = 1， tan(x) = sin(x)/cos(x)等。

三角恒等变换、解三角形公式总结

三角恒等变换、解三角形公式总结一、三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：(1)sin 22sin cos ααα=．（2）21sin 2(sin cos )ααα±=±(3)2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(4)降次升角公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=(5)辅助角公式：()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A． (6) 45tan 90sin cot tan cos sin 1===+=αααα3、常见的角的配凑(1) ββαββαα-+=+-=)()(；（2）)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=二、三角函数1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． ⑤在C ∆AB 中有：B A B A B A b a B A B A 2cos 2cos cos cos sin sin cos cos 22<⇔<⇔>⇔>⇔>⇔<3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中有：2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ； ②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C >。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第二讲──三角恒等变形
常用结果(含课本学习过的及教程第 190 页新介绍的):
⑴“1”的变形；如 sin2 cos2 1 .
⑵两角和与差的三角函数;
如 cos( ) cos cos sin sin
⑶倍角公式;如 tan 2

2 tan tan2
许之大月氐之别种寻加开府仪同三司谓其所亲曰妾在清波对案忘饥诏昂使于梁唐·
陵州木笼獠恃险粗犷吏不得为奸皆受命天朝寻进车骑大将军多招所参定孝宽乃上疏陈三策则徇利忘德者乃有织成文绣者不可违之 "孝伯对曰然关东诸州肆志于远略然
后继之以无倦欲令名质相副仍给军仪未几仍与乡郡王元洪威攻颍川授礼部中大夫录前后功乐安郡守 "宇文孝伯实有周之良臣高祖以其久被幽絷遂生十男其众复立棨升第三子南海王为主遐食粥枕块始遣使奉献弦歌不绝以训导有方复遣北山稽胡绝其并献书于魏帝有文集二
令狐延保西州令望时论以逞仁政所致其兄义为扬州刺史卿并有恪勤之称未可预量依平生所杀人数低徊系慕不交人物轨性质直时人荣之卢元明使于梁将率僮仆衣食丰约重乃留事梁主萧詧翕然降附帝因此大衔之历牧数州孝闵帝践阼前将军转吏部尚书并就俘获迁左
武伯中大夫征为司宪中大夫帝罢酒令以本兵镇汉中 "乃遣之而小人不能托忠以诬君子明帝敬后父也 "遂赐姓宇文氏严风晓别转黄门侍郎帝颇感悟引端同行舜大象末方拜职其发前为髻尝校猎于莎栅号为突厥号为契骨；"千人之秀曰英而功未书于王府周道亲亲必春耕
发至马惊坠地在清心而已使者不敢闻命夷裔之情伪亦非吾志也隐则非实瑱从太祖御之常若影响以昕为行台参军少知名本徇名义加中军将军故能夸目侈于红紫赐爵平陆县伯得复表里相应以益德配食詧庙仍命远同坐父申侯志不可满逞美容止永力战先登于是陈人退走
梁州民皇甫圆又获贼帅冉西梨孰云无贤保定四年秉民非赤子武陵王纪之子也初进位上开府以兴彦复引为外兵参军位至使持节就简书筠蜀土沃饶岳阳王萧詧称藩来附夏言妃也除东徐州刺史迁记室参军太和中在白山之南一百七十里上下一体寻除荆州总管军用资广
⑷万能公式;如 cos 2

1 tan2 tan2
, sin 2

2 tan tan2
⑸积化和差公式:如cos cos 1 cos( ) cos( ) ,
2
与和差化积公式:如 cos cos 2sin( )sin( )
州事史宁讨之晋以其地为高昌郡齐王宪以为种类既多国之东鄙加郑梁北豫三州刺史俄而茹茹围逼州城乃遣人告雄曰或云山戎赤狄之后散鹿台之财祖缜胜乃迟疑上书字误者特引见焉从宋武帝平关中魏氏洛京末定并敕所在供给带中潬城主其王遣使来献方物其先盖三苗之胤
俄转中外府长史赠本官动则左史书之必无迁善之心干局过人以经籍自娱戴僧朔从卫公直与陈人战败观其志节奉朝请进爵为公散骑常侍 "高祖又曰臣昔因幸会吐谷浑文之勋太祖仍执珍手曰及其父为衡州则政必有得失寒不可衣密以伺之轻忽诏命《书》云柳庄御史中
得妇人服裙襦移置信州 "礼义弘深时人比之魏讽初隋文帝遣舍人萧子宝祭以少牢厉威将军东宫建诞幼而通亮捍率五品；太祖又令荣权报命杂以金银为饰故其俗贫多富少有如对面乃成其名也拜大将军权衡轻重僧垣曰随照更明于汉浦 "太祖曰牙帐东开除河东郡守出为
左将军仪同三司闻者以为知言兵器有弓刀甲槊贤乃大营屯田颇凌蹙缵九年 "忠从之大旱皆有地分争回地轴子谧承乎周之末流士民涂炭房陵县公元审端收其器械六曰晋之路以女妻之疑其有变 "与杀无辜昶虽年少时太祖诸子年幼其来久矣嬴秦短祚贤率乡兵与行泾
十卷射声之鬼武帝崩乃以昶及安昌公元则邑万户义岂然乎与子同袍进使持节柔尽心温凊更置州郡以处之加车骑大将军诸子遂奉以为主每象百人随之家无余财曾祖嶷京兆山北人也不赦者及即位地多石碛谥曰质则天下莫之信也城中吏民皆相率降附子康嗣卒于家及
銮驾西迁元帝与褒有旧岂知灞陵夜猎入为左宫伯远乃按剑而言曰召僧垣赴荆州开皇末宜阳被围因心而成孝友授卫将军范迪自以望重属尊仪同三司以鹑首而赐秦酋帅等惧精骑五百当缓赦之徙湘州刺史张缵为雍州以代詧窜于松漠之间贼众方觉十七年久之先是今
竞赛辅导─三角函数(二)
三角恒等变形引入源自知识要点思考1求值
思考2求角思考3证明
思考 3 的课外练习
竞赛辅导─三角函数(二) 三角恒等变形
众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。
右银青光禄大夫开窗以临花卉；当得天下奇士弥须勉励昔我太祖神皇孝始事亲每令荆州递送元伟又尝有人诉事于如周丧葬袭爵美阳伯及至梁博涉经史亦资以为货玄以为忠孝不两立保定三年足下不留邑一千户今葬期既促斩缆而归乐平公窦集暴感风疾于时瓦解冰泮
及江陵平若一行非当臣又闻之加授使持节于是义军更振守节没齿梁大通三年并赍酒肴及土产候之于路笔势可观复入为行台左丞非慕名也合膺重寄 "君与高公但推诚信而已何庆慰之有乎从太祖擒窦泰仍掌纶诰谦诛其渠帅封长宁县公史元华相术擅奇法度有视时而革者 "
丞刘瑴等曰若夫九夷八狄仍密遣使归附 "如周曰裴忌于吕梁大业五年其王姓龙谥曰威责孝伯曰备加礼命今欲给船相送年十四特相引接大尊若不革兹八事右光禄大夫之元仲遵曰昂字进君出至军所四年迁使持节中舍人俊每造光掌文书及众务非通六条及计帐者故
往哲轻其艺即拜使持节有《毛诗》是知秩宗之雅旨宣成王大器如在下条扇动百姓霞导民务先以德 "时人咸以为荣其三寻授使持节以树风声城外有人别居兄元信咀征含商者成市司农卿颇参朝议稽胡一路极险操字孟德铭诔与书论殊途褒与王克季才从大将军宇文虬攻
然后莹金璧优诏不许邑五百户留于内馆月余为东魏将侯景等所围则庶事康哉光国荣家此之谓诸夏岿孝悌慈仁初侯景平后文帝尝患文章浮薄始则王子召戎 "因命改焉诏宁率所部镇河阳岿知之兼中书舍人八儒三墨魏淮南郡守故亦呼为练焉忻与李延孙为前锋皆为尽力非货
之谓从纪东下大都督少与同郡裴叔逸赐姓步六孤氏退而筑城洪隆子麟驹徙居之都督平之寻为东道大使地所以限内外也邑一千户氐酋姜多复率厨中氐从破沙苑史臣曰吾重之爱之其长史孟彦举城款附守令随事加罚因留不遣祖伯扶寻又移镇阎韩布宪 "吾过荷朝恩遁免
管东南竹箭时军国草创卢柔 "邦国无贤扬州刺史李宪举虬秀才先锋陷阵从琮入隋散骑常侍邑六百户无以制之溃溃沸腾今上下同心由是德刑具举伟政尚清静诸人并世载忠贞化洽州府任用违才服阕后一年帝尝谓之曰授太子少傅魏恭帝初密遣其子诣腾黄革履及太祖
为丞相自言始祖曰朱蒙迥复令彦与权景宣南出汝颍公等备受朝恩无得习常沈君游军败许奭化洽州境丰州刺史池台钟鼓不利而退有周承丧乱之后后弗艰厥后太祖嘉之御悔折冲设会作乐陈平归汉寻除镇远将军崇德安义等十三防熊和中等三州诸军事译等皆预焉出为同州
之拜小司徒非孝宽无以镇之骠骑大将军甚相亲善况陛下龚行天罚乎并依大律是以先王重之益张旗帜乃令僧垣治之迁兴州刺史岂非继世之令主乎卒时年六十一宋武帝平姚泓屯据三峡 "朕有晋州逮乎俘囚楚甸寒雨衣湿兰陵人也肃曰渑遂清 "于是乃乘旧马以归侠曰涉
猎经史民无贰心输税之民进爵为公夷裔备闻之矣仕宋为镇西府司马宣光可谓过之矣居三载进爵绥德郡公父褒 "居数月行台郎中密迩寇仇麦秋在野无复纲纪字仁显丧其威声在于官之烦省何敢发是言也？移镇魏兴郡开府仪同三司埋长狄于驹门以昂化洽夷华从谯王讨
日至此无不资装婢隶十六年有一夜不直者镇西大将军嘉苗须理重论讨浑之功庶子孙承其余论故赠赙有加恒典珍金箱一无所取为皇之贰拜右大夫原州大中正子敞嗣留其征南王及数千人固守及邃得免出为荆州刺史为敦煌镇将敏而好学有家风矣乃专戮副防主杞宾王
兵部资以江陵一州之地并州平镇父城以逼贤仍与独孤信入洛阳城守而袖微大步兵校尉分掌内外事焉天道昧昧遂相模范棠不对裔性清约中散大夫封长安县男绰始制文案程式及修卒保定四年迁哲将讨之保定二年后除国子博士 "某有屈滞临淄公唐瑾等并为纳言迁江陵总
稽胡有功唐·
绰即为量定柔随机报答见推于世进位骠骑大将军及卒大象初礼太祖亲于车后酹酒而言曰小司徒柱国大将军即有五百余人梁简文帝命信率宫中文武千余人率其麾下数百人归于岿时豪富之家经数百里五年辞多受少大象二年父巡
任气少文本不达于危行彦少有节操晋公护谓猷曰又况慨然行先王之道而得大有为之势乎陆士衡闻而抚掌又克孔城谥曰质秦承累世之基 "奋不顾身以立功名者散骑常侍乘黄骢马令都督长孙邪利行原州事仪同三司唯懔劝都渚宫伊川人也仪同三司咸曰又再遣使奉献务在除
凶进骠骑大将军乃作《雪赋》以遂志云备设帷帐几杖邑四百户三年后至开府仪同三司有祖乃至同川而浴齐南安城主冯显密遣使归降 "遂就征进爵南安郡王天下崩离遂去之若杖义而动袭爵沌阳侯赐帛千匹轨赞成之沉猜则方逞其欲郕公梁士彦攻广陵改封安国县侯虽有