矩阵论(华中科技大学)课后习题问题详解(1)
矩阵论(华中科技大学)课后习题答案(1)
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=而()()1212r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈由此，得 21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
华中科技大学研究生矩阵论Matrix2-1
1
1
（backward identity）
§2.3 最小多项式 (minimal polynomials)
讨论 n 阶矩阵多项式的相关问题： 矩阵多项式（重点是计算） 矩阵的化零多项式（Cayley 定理） 最小多项式 Jordan标准形的应用（简化计算） 相似不变性 Jordan化的方法
n (2) 由 I A 0 知 1 2 n 0
(3) 解方程
( A 0 ) X 0 得通解
x2 x3 xn 0, x1 k
即
X k (1,0, , 0)T
于是，A关于 0 的特征向量为 X k (1,0, , 0)T , k 0, n-1 从而得T=d/dx的特征向量为 (1, x, , x ) X k , k 0.
背景：求基{i，i=1~n}, 使得 T(1 2 … n) = (1 2 …n)
1. {1 2 … n} 线性无关
1 2 n
2. L{i}是不变子空间: Ti=ii
一、变换T的特征值与特征向量
(I T )( ) O (T I )( ) O
定理2.5 (存在定理) 在复数域上，每个方阵A都相似于 一个Jordan阵JA。 含义： Jordan 矩阵可以作为相似标准形。 惟一性：Jordan 子块的集合惟一。 A相似于B JA 相似于JB
4 方阵A的Jordan 标准形的求法
目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA ，使AP=PJA 分析方法： 在定理 2.5 的基础上逆向分析矩阵JA和P的构成。 求法与步骤：
例1 求Pn[x]上微分变换d/dx的特征值与特征向量。
矩阵论 杨明 华中科技大学 课后习题解答
1.判断下列集合对指定的运算是否构成 R 上的线性空间
n
（1）V1 {A (aij )nn | aii 0}，对矩阵加法和数乘运算； i 1
（2）V2 {A | A Rnn , AT A}，对矩阵加法和数乘运算；
（3）V3 R3 ；对 R3 中向量加法和如下定义的数乘向量： R3 , k R, k 0 ；
x2 3 4 x3
x3 x4
分别取 x3 1, x4 0 和 x3 0, x4 1 ，求得齐次方程 AX 0 解空间的一组基
1 4 1 0T , 1 1 0 1T
所以 A 的零空间为
N(A ) L 1 4 1 T0 , 1 1 T0 1
8.在 R22 中，已知两组基
1
E1
0
A1, A2 , , Ar 线性无关矛盾，故
所以
dimN(A)=n-r dimR(A)+dimN(A)=n
1 1 3 0
7.设
A
2
1
2 1 ，求矩阵 A 的列空间 R(A)和零空间 N(A)。
1 1 5 2
解：通过矩阵的行初等变换将矩阵 A 化为行阶梯形
1 1 3 0 1 1 3 0
（4）V4 { f (x) | f (x) 0}，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为 R 上线性空间
（3）不是，由线性空间定义，对 0 有 1 = ，而题（3）中1 0 （4）不是，若 k<0，则 kf (x) 0 ，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间V {A Rnn | AT A}的维数和一组基。
由此，得过渡矩阵
0 1 1 1
C
1
0
1
1
1 1 0 1
矩阵论第三章答案
n
因此初等因子只有一个，即有 (λ − a )n .
11. 证：
A（ λ ）与 B（ λ ）相抵当且仅当它们有相同的不变因
子，当且仅当它们的各阶行列式因子相同.
1 1 ⎤ ⎡λ − 2 ⎢ 12. 解 ： （ 1 ） 因 为 λI − A = ⎢ − 2 λ + 1 2 ⎥ ⎥ 的初等因子为 ⎢ − 1 λ − 2⎥ ⎣ 1 ⎦
0 0 ⎤ r2 − (− 1)r3 ⎡1 0 0 ⎤ c 2 − (2λ − 1)c1 ⎡1 ⎢0 ⎥ ⎢ 2 λ − λ ⎥ ⎯⎯ ⎯ λ2 ⎥ ⎯⎯ ⎯ ⎯→ ⎢ ⎯→ ⎢0 λ ⎥ 2 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ c3 + (− λ )c1 ⎢ ( ) r + 1 − λ r 0 λ − λ − λ − λ 0 0 − λ − λ 3 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2. 解 ： （ 1）因为 A 的特征矩阵为
⎡λ + 1 ⎤ ⎢ ⎥ λ+2 ⎢ ⎥ A(λ ) = λI − A = ⎢ ⎥ λ −1 ⎢ ⎥ λ − 2⎦ ⎣
所以 A（ λ ）的行列式因子为
⎡1⎤ A=⎢ ⎥ ⎣1⎦
不变因子为
d 1 (λ ) = D1 (λ ) = 1, d 4 (λ ) = D4 (λ ) D3 (λ ) d 2 (λ ) = d 3 (λ ) = 1,
10. 解：
因为 A(λ ) = (λ − a )n ，所以 Dn (λ ) = (λ − a )n ，又因
c1 λ − a c2 O
O
= c1c 2 L c n −1 ≠ 0 ，
λ − a c n −1
矩阵论华中科技大学课后习题答案
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=而()()1212r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈由此，得21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
矩阵论真题讲解题(含解答)
2011年《矩阵论》习题解答 一、 掌握线性空间的定义及判断是否为线性空间。
二、 在4R 中有两组基，()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1αααα====()()()()12342,1,1,1,0,3,1,0,5,3,2,1,6,6,1,3ββββ=-===求 （1）由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵；（2）向量()1234,,,x ξξξξ=在基1234,,,ββββ之下的坐标；（3）在两组基下有相同坐标的非零向量。
解：(1)因为()()()12341234123420561336,,,,,,,,,1121113C ββββαααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ 所以由基123,,,αααα到基123,,,ββββ的过渡矩阵20561********13C ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭(2) ()()()112211234123412343344,,,,,,,,,x C ξξξξξξξξααααββββξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以向量()1,0,1,0在基1234,,,ββββ之下的坐标为12134C ξξξξ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或解 非齐次线性方程组的解11223344k k C k k ξξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由 （2）式有112213344C ξξξξξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()12340C E ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，该方程组的通解为()1,1,1,1Tk -,对两个基有相同坐标的非零向量为()1234k x xx x ++-，k 非零常数。
二、已知线性空间V 是矩阵空间22R ⨯,(1)证明：123410010000,,00001001E E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦是V 的一组基；(2) 求向量1223A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在基1234,,,E E E E 下的坐标。
矩阵论课后习题答案
第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。
（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。
（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。
矩阵论杨明华中科技大学课后习题答案.
（2）由得
所以
，求 e ， e ，sinA。
解：由的特征值
由此得
对，对 f ，
对 f ，
2cos
已知 A2=A，求 sinA。
解：设为 A 的特征值，为特征向量由得
因 A2=A，故有于是为矩阵 A 的化零多项式（最小多项式），且为一次银子乘积，所以 A 可对角化即有
这里
10.求解微分方程组
解：
习题五
设，求解：
取矩阵 A 的第1、3 列构成列满秩矩阵 B，取矩阵 F 第 1、2 行构成行满秩矩阵
证明非齐次线性方程组有解的充分必要条件是。
证明：必要性设有解，由得，，即有
充分性设，则有，令 x，于是，故方程组
有解
设，且 A 的 n 个列是标准正交的，证明。
证明：因为矩阵 A 的 n 个列向量是标准正交的，则矩阵 A 为列满秩的矩阵，且有于是是幂等且为 Hermite 矩阵，证明。
证明：因为，且，矩阵 A 是正规阵，可酉相似对角阵，即于是，U 为酉矩阵，并设
求线性方程组的最佳的最小二乘解。
解：
最佳最小二乘解为。
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习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩L L L ⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r αααL 为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=L L而()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆 于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L由此，得 21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
4.设111213315A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，讨论向量(2,3,4)Tα=是否在R (A )中。
解：构造增广矩阵()111|2111|2|213|3011|1315|4000|0A α⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矩阵A 与其增广矩阵秩相同，向量α可由矩阵A 的3个列向量线性表示，α在列空间R (A )中。
5.讨论线性空间P 4[x ]中向量3211P x x x =+++，32223Px x x =-+，323452P x x x =+++的线性相关性。
解：()23123102135(1)111124P P P x x x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪-⎪⎝⎭而102102135011111000124000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，该矩阵秩为2 所以向量组P 1,P 2,P 3线性相关。
6.设m nA R⨯∈，证明dim R (A )+dim N (A )=n 。
证明：12(){,,,}n R A L A A A =L ，(){|0,}nN A X AX X R ==∈ 假定dim R (A )=r ，且设12,,,r A A A L 为R (A )的一组基 则存在 12,,,(1,,)i i rik k k i r n =+L L ，其中12,,,i i ri k k k L 不全为零使11220(1,,)i i ri r i k A k A k A A i r n ++++==+L L显然1,11,21,2,12,22,,1,2,()100010001r r n r r n r r r r r n k k k k k k k k k N A ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M M M L M M M 上述n -r 个向量线性无关，而()121,,,,1,0,0Ts k k k -L L ，s <r 不为N (A )中的向量，否则与12,,,r A A A L 线性无关矛盾，故dim N (A )=n -r 所以dim R (A )+dim N (A )=n7.设113021211152A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，求矩阵A 的列空间R (A )和零空间N (A )。
解：通过矩阵的行初等变换将矩阵A 化为行阶梯形113011302121014111520000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭矩阵A 的秩为2，从A 中选取1、2列（线性无关）作为R (A )的基，于是 ()(){}()121,111T TR A L =----由0AX =，1234(,,,)T X x x x x =，rank(A )=2，有12323434x x x x x x -=-⎧⎨-=--⎩分别取341,0x x ==和340,1x x ==，求得齐次方程0AX =解空间的一组基()()1410,1101T T所以A 的零空间为()(){}()1410,1101T TN A L =8.在22R⨯中，已知两组基11000E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20100E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，30010E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，40001E ⎛⎫= ⎪⎝⎭10111G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21011G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31101G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41110G ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 求基{E i }到基{G i }的过渡矩阵，并求矩阵0123⎛⎫⎪-⎝⎭在基{G i }下的坐标X 。
解：()()()4123412341234,i G G G G E E E E C C C C C R =∈由此，得过渡矩阵111101111011110C ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭再由123401011011112311110110x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得 ()0123TX =--9.判别下列集合是否构成子空间。
（1）2221{(,,)|1,,,}W x y z x y z x y z R α==++≤∈； （2）22{|,}n n W A A I A R ⨯==∈； （3）3R 中，231231230{(,,)|(}0}tW x x x x x x d ατττ==++=⎰；（4）411{()|0}m nij m n iji j W A a a⨯=====∑∑。
解：（1）不是3R 子空间，对加法及数乘运算不封闭。
如取k =2，(100)T α=，(200)T k α=，而22241x y z ++=>，1k W α∉。
（2）不是子空间，因为W 2中没有零元。
（3）、（4）为子空间。
10.设1(1,2,1,0)T α=，2(1,1,1,1)T α=-，1(2,1,0,1)T β=-，2(1,1,3,7)T β=-，112{,}W span αα=，212{,}W span ββ=，求12W W ⋂和12W W +。
解：设12W W γ∈⋂，则1122x x γαα=+且3142x x γββ=+于是，有112231420x x x x ααββ+--=即 123411210211101103001170x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 而11211121211101171103001301170000A ------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭取41x =，得12341,4,3,1x x x x =-==-= 所以{}{}121212143W W L L ααββ⋂=-+=-+由于rank(A )=3则 {}12121,,W W L ααβ+=11.在矩阵空间22R⨯中，子空间121123434{|0}x x V A x x x x x x ⎛⎫==-+-=⎪⎝⎭，212{,}V L B B =，其中11023B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，求（1）V 1的基和维数；（2）12V V +和12V V ⋂的维数。
解：（1）1V 中，1223422343434111010001001x x x x x x A x x x x x x x -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令123111010,,001001A A A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可验证A 1，A 2，A 3线性无关，它们构成空间V 1的一组基，空间V1的维数dim V 1=3。
（2）212{,}V L B B =中，B 1与B 2线性无关，它们是V 2的一组基，故dim V 2=2，而 V 1+V 2 = L {A 1,A 2,A 3} + L {B 1,B 2} = L { A 1,A 2,A 3,B 1,B 2}在22R ⨯的标准基E 11，E 12，E 21，E 22下，A 1,A 2,A 3,B 1,B 2对应的坐标X 1,X 2,X 3,X 4,X 5排成矩阵()123451111011110100020111201020001320013100001X X X X X --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭于是dim(V 1+V 2)=4，由维数定理121212dim()dim dim dim()3241V V V V V V ⋂=+-+=+-=12.设1W 和2W 为n V 的子空间，1121{(,,,)|0}nTn ii W x x x xα====∑L ，21212{(,,,)|}T n n W x x x x x x α=====L L ，证明12n V W W =⊕。
证明：对W 1，由120n x x x +++=L ，解得 ()()()1121110001010010001T T Tn X k k k -=-+-++-LL L L显然W 1的维数dim W 1=n -1，而向量组 ()()()12111000,10100,10001TTTn ααα-=-=-=-L L L L为W 1的一组基。
对W 2，由12n x x x ===L ，解得 ()211111TX k =LW 2的基为()11111Tβ=L ，dim W 2=1于是{}{}{}12121121,,,,,,,n n W W L L L αααβαααβ--+=+=L L这里12111111001det(,,,,)00101011n αααβ----=≠LL L L L L L L L L所以121,,,,n αααβ-L 为W 1+W 2的基，则dim (W 1+W 2)=n ，由维数定理可知12dim()0W W ⋂=，故有 12n V W W =⊕13.n R 中，12(,,,)T n αααα=L ，12(,,,)T n ββββ=L ，判别下面定义的实数(,)αβ是否为积。