含字母系数的一元二次方程
数学《一元二次方程》教案设计
数学《一元二次方程》教案设计只含有一个未知数(一元)，并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。
下面就是小编给大家带来的数学《一元二次方程》教案设计，希望能帮助到大家！数学《一元二次方程》教案1一、教材分析1、教材的地位和作用一元二次方程是中学教学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在一元二次方程的前面，学生学了实数与代数式的运算，一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和一次方程组，上述内容都是学习一元二次方程的基础，通过一元二次方程的学习，就可以对上述内容加以巩固，一元二次方程也是以后学习(•指数方式，对数方程，三角方程以及不等式，函数，二次曲线等内容)的基础，此外，学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义。
2、教学目标及确立目标的依据九年义务教育大纲对这部分的要求是：“使学生了解一元二次方程的概念”，依据教学大纲的要求及教材的内容，针对学生的理解和接受知识的实际情况，以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学目标。
知识目标：使学生进一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。
能力目标：通过一元二次方程概念的教学，培养学生善于观察，发现，探索，归纳问题的能力，培养学生创造性思维和逻辑推理的能力。
德育目标：培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。
3、重点，难点及确定重难点的依据“一元二次方程”有着承上启下的作用，在今后的学习中有广泛的应用，因此本节课做为起始课的重点是一元二次方程的概念，一元二次方程(特别是含有字母系数的)化成一般形式是本节课的难点。
二、教材处理在教学中，我发现有的学生对概念背得很熟，但在准确和熟练应用方面较差，缺乏应变能力，针对学生中存在的这些问题，本节课突出对教学概念形成过程的教学，采用探索发现的方法研究概念，并引导学生进行创造性学习。
三、教学方法和学法教学中，我运用启发引导的方法让学生从一元一次方程入手，类比发现并归纳出一元二次方程的概念，启发学生发现规律，并总结规律，最后达到问题解决。
一元二次方程的解法-公式法
一元二次方程根的判别式
b 4ac
2
（1） （2）
＞0 =0 ＜0 ≥0
两个不相等实根 两个相等实根 无实数根 两个实数根
（3）
（ 4）
应用1.
不解方程判断方程根的情况：
(1) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) 解：△=4 k2-16k+16 =4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
一般形式 缺一次项
缺常数项 缺一次项及常数项
ax2 bx c 0(a 0)
ax2 c 0(a 0, b 0, c 0)
ax2 bx 0(a 0, b 0, c 0) ax2 0(a 0, b c 0)
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时,方程无实数解;
当b 4ac 0时, 一元二次方程才有实数根.
2
b b2 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
x2 4、写出方程的解： x1、
动手试一试吧！
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 3、练习:用公式法解方程: x2 - 2
x 8 0 2 （3） x x 1 0 2 （5） 2 x x 3 0
（1）
2
9 0 2 （4） x x 1 0 2 （6） 2 x x 3 0
（2） x
2
有两个实数根的方程的序号是（ （1） （4） （6） ）
没有实数根的方程的序号是（ （2）（3） （5）） a、c异号，一元二次方程 有两个不相等的实数根
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式Ting Bao was revised on January 6, 20021一元二次方程的根的判别式学习指导一、基本知识点：1.根的判别式：对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为:(x+)2=因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2－4ac来判定。
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b2－4ac。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当⊿=b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根；当⊿=b2－4ac=0时，有两个相等的实数根；当⊿=b2－4ac＜0时，没有实数根。
上述性质反过来也成立。
2.判别式的应用(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；(3)证明方程的根的性质；(4)运用于解综合题。
二、重点与难点一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。
正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。
三、例题解析例1不解方程，判断下列方程根的情况(1)2x2－5x+10=0(2)16x2－8x+3=0(3)(－)x2－x+=0(4)x2－2kx+4(k－1)=0(k为常数)(5)2x2－(4m－1)x+(m－1)=0(m为常数)(6)4x2+2nx+(n2－2n+5)=0(n为常数)解：(1)⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0∴方程没有实数根(2)⊿=(－8)2－4×16×3=0∴方程有两个相等的实数根(3)⊿=（－)2－4(－)×=5－4+8＞0∴方程有两个不相等实根(4)⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16=4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0∴方程有实数根(5)⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1)=16m2－8m+1－8m+8=16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0∴方程有两个不相等实根(6)⊿=(2n)2－4×4(n2－2n+5)=4n2－16n2+32n－80=－12n2+32n－80=－12(n－)2－＜0∴方程没有实数根说明：①解这类题目时，一般要先求出⊿=b2－4ac，然后对⊿=b2－4ac进行化简或变形，使⊿=b2－4ac的符号明朗化，进而说明⊿=b2－4ac的符号情况，得出结论。
一元二次方程的判别式的字母的读音。
一元二次方程的判别式的字母的读音。
一元二次方程的判别式的字母的读音在学习一元二次方程的时候，我们常常会接触到判别式这个概念。
判别式是用来判断一元二次方程的根的性质的一个重要指标，它可以告诉我们方程的解的情况。
而判别式中涉及到的字母包括a、b和c，那么这些字母究竟该如何读音呢？1. 字母a的读音在一元二次方程中，a代表二次项系数，它的读音是“啊”。
这个字母所代表的含义是方程中二次项的系数，它决定了方程的开口方向和开口的大小。
2. 字母b的读音字母b代表一元二次方程中的一次项系数，它的读音是“北”。
一次项系数决定了方程图像的平移，它可以改变函数图像在坐标系中的位置。
3. 字母c的读音字母c是一元二次方程中的常数项，它的读音是“西”。
常数项决定了函数图像在y轴上的截距，也就是函数图像在坐标系中的位置。
思考总结通过学习一元二次方程的判别式以及字母的读音，我们可以更好地理解一元二次方程的性质和解的情况。
字母a、b和c分别代表了方程中二次项系数、一次项系数和常数项，它们在方程中扮演着不同的角色。
通过判别式可以判断方程根的情况，从而更深入地理解方程的图像特征。
个人观点对于一元二次方程来说，判别式是一个非常重要的概念，它对我们理解方程的根和图像特征起着至关重要的作用。
而字母a、b和c的读音则是帮助我们更好地记忆和理解这些概念的一种方式。
通过了解这些内容，我们可以更深入地理解数学的美妙之处。
总结回顾通过本文的阐述，我们深入探讨了一元二次方程判别式中的字母读音问题。
我们了解了字母a、b、c的读音分别是“啊”、“北”、“西”，并梳理了它们在方程中的作用和意义。
个人观点部分共享了作者对这一主题的理解和看法，最后总结了文章的重点内容。
希望本文能帮助您更深入地理解一元二次方程的判别式。
在写作中，我们应该从简到繁地探讨主题，引导读者深入理解。
文章内容应该包含总结和回顾性的内容，以便读者全面、深刻和灵活地理解主题。
文章格式可以参考知识的标准，使用序号标注内容，并多次提及指定的主题文字。
含字母参数的一元二次不等式的解法
含字母参数的一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法是解不等式中最基本﹑最重要的内容，很多解不等式题都需要转化为一元二次不等式来解决，特别是含参数的一元二次不等式解法在近几年高考中屡屡出现，应给与予足够的重视与强化。
下面分类介绍含参数的一元二次不等式的解法。
一﹑ 两根中有参数例1解关于x 的不等式<0 (.解：方程=0的根为x=或x=.1) 当a<0或a>1时，有，此时不等式的解集为2) 当0<a<1时，有a>，此时不等式的解集为{x| <x<a};3) 当a=0或a=1时，有=a ，此时不等式的解集为.综上，当a<0或a>1时，原不等式的解集为当0<a<1时，原不等式的解集为{x| <x<a};当a=0或a=1时，原不等式的解集为.评注：一元二次不等式的解集与它对应的方程的两根的大小有关，若两根中含有参数并其大小不确定时，要分类讨论，分界数就是使两根相等的参数的取值。
二﹑判别式中有参数例2解关于x 的不等式，解：1)当<0, 即a>1时，对所有实数x ，都有，此时不等式的解集为R ；2)当=0，即a=1时，不等式的解集为{x|x≠1};3)当>0,即0<a<1时,方程的根为此时不等式的解集为{x|综上，当a>1时，原不等式的解集为R ；当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1};当0<a<1时，原不等式的解集为{x|。
评注：一元二次不等式，当二次项的系数符号确定时，他的解集与其判别式的符号有关，要求出其解集，一般分为：>0，=0与<0三种情况。
三﹑二次项系数中有参数例3 已知a >0，解关于x 的不等式：解：原不等式等价于（1） 当>0，即a >1时，<0 ②等价于x ≥0,或x ≤, x ≥0.（2） 当=0, 即a =1时，②等价于x ≥0, x ≥0.（3） 当<0, 即0<a <1时，②等价于0≤x ≤, ∴0≤x ≤.综上,当0<a <1时 ,原不等式的解集为{x ∣0≤x ≤};当a ≥1时, 原不等式的解集为{x ∣x≥0}.例4 已知m ，解关于的不等式：(m+3)>0解：（1）当m+3>0,即m>-3时,. 若>0,即-3<m<6时，方程(m+3)=0的两根为或, 不等式的解集为{x ∣x>，2a 2a 2a 2a ∆∆∆21a -∴21a -221a a -221aa -∆或x<}；若=0,即m=6时,原不等式变为,解集为若<0,即m>6时, 不等式的解集为R.(2) 当m+3=0,即m=-3时, 原不等式变为-6x-5>0, 解集为{x|x<}.(3) 当m+3<0,即m<-3时, =4(6-m)>0,< ,不等式的解集为{x ∣<x<}.综上所述, 当m<-3时, 原不等式解集为{x ∣<x<},当m=-3时, 原不等式解集为{x|x<},当-3<m<6时,原不等式的解集为{x ∣x>，或x<},当m=6时, 原不等式的解集为当m>6时, 原不等式的解集为R.评注:由以上两例可知,解不等式应按以下步骤进行分类讨论:1.若a 的符号不确定应先分a>0,a=0,a<0三种情况讨论.2.若a ≠0,就确定方程是否有解,有几解,即分 >0, =0, <0 三种情况讨论.3. 若方程有两不同解,则需比较这两根的大小.四 ﹑与含参数的一元二次不等式的解有关的问题例5 已知不等式对任意实数x 恒成立,求实数的取值范围.解:满足题意当且仅当m=0或,即m=0或,所以实数m 的取值范围是-1<m ≤0.例6 设均是非零实数，不等式和的解集分别为集合M 和N ，那么“”是“M=N”的( ).A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件解：如果>0,则“M=N”，如果<0，则“M≠N”.∴“”不是“M=N”的充分条件；反之，若M=N=，即说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只需要判别式小于零。
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和分解法）一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式:ax²+bx+c=0(a,b，c为常数，x为未知数，且a≠0）.顶点式: y=a（x—h）²+k（a≠0，a、h、k为常数）交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）(a≠0）［有交点A（x₁，0)和B（x₂，0)的抛物线，即b²-4ac≥0］ .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x—m）²=n(n≥0）的方程，其解为x=m±配方法：1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式（此一元二次方程满足有实根）2.将二次项系数化为13.将常数项移到等号右侧4。
等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.将等号左边的代数式写成完全平方形式6。
左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法:1。
化方程为一般式：ax²+bx+c=0 (a≠0）2。
确定判别式，计算Δ(=b²—4ac)；3。
若Δ〉0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根因式分解法:因式分解法又分“提公因式法”;而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0;2. 将方程左边分解为两个一次式的积;3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0）.(2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时,可设解析式为顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0)。
一元二次方程根的判别式
解：b2 4ac (2) 2 4 1 m 4 4m 0 ∴ m 1 注意：一元二次方程有实根， 说明方程可能有两个不等实根 或两个相等实根的两种情况。
2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两 个不等的实根，则k的取值范围是 （ B Ａ） A.k>-1 B. k>-1 且k≠ 0
（1） 2 x 5 x 7 0 ；
2
（2） 3x x 0 ；
2
2 x （3） 4kx 2k 3 。
提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步 根据△的正负写结论。
解： （1）因为△=b -4ac=5 -4×2×7=-31<0, 所以原方程无解。
因为△ = b2 4ac=1 0 ，所以原方 （2） 程有两个不等的实根。
m 1
x1 1
； 当 m 3 时， x
1
3.
或 m 3
结束寄语
同学们：
学无止境！ 没有最好,只有更好！！！ 再见
个相等的实数根；
1 （3）当 16m 1 0 ，即 m 16 时，方程没有
实数根.
问题三：解含有字母系数的方程。
2 ax 5x 5 0 。 解方程：
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为：
5 x 5 0
当 a≠0 时，方程为一元二次方程，再利用△确 定方程的根的个数，用求根公式求出解。
（1）解：
b 2 4ac 3(m 1) 4m(2m 3) (m 3) 2
2
∵方程有两个不相等的实数根，
2 ∴ (m 3) 0 且 m 0
∴ m 3且 m 0 ∴ m 的取值范围是 m 3 且 m 0
2022人教版数学《一元二次方程根的判别式 参考教案2》配套教案(精选)
一、教学内容分析“一元二次方程的根的判别式”从定理的推导到应用都比较简单，教材中都没有很明显的涉及，但是在中考中年年都要用到，在整个中学数学中占有重要的地位。
既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。
通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。
教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。
教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。
二、学情分析学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对24b ac -的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究24b ac -作用，它是前面知识的深化与总结。
从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。
所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
三、教学目标依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是： 知识和技能：1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围； 过程和方法：1、培养学生的探索、创新精神；2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
情感态度价值观：1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；2、加深师生间的交流，增进师生的情感；3、培养学生的协作精神。
四、教学策略：本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。
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（6）含字母系数的一元一次方程
班别______姓名________
一、性质：一般地，当
（1）a ≠0⇔方程ax=b 有且只有一解；
（2）a=0且b=0⇔方程ax=b 有无数多个解；
（3）a=0且b ≠0⇔方程无解。
二、例题
例1 解关于x 的方程（m-1）x – 1=3x + 4
解：整理，得 （m – 4）x=5，当m ≠4时，x=
45-m ；当m=4时，原方程无解。
例2 解关于y 的方程（k 2+2k+3）y + 4=3（y+2）+k
解：整理，得（k 2
+2k ）y=2 + k ∴ k （k+2）y=2+k
当k=－2时，方程有无数多个解；
当k ≠－2时，得ky=1
∴当k ≠－2且k ≠0时，方程的解为y=
k
1 当k=0时，原方程无解
当k=－2时，方程有无数多个解。
例3 b （b ≠0）为何值时，关于x 的方程（b+1）x=2bx –3b 2
的解为负数。
解：整理，得（1 - b ）x= –3b 2 当b ≠1时，方程有解x = b
b --132
，由于b ≠0分子（–3b 2）为负，只需分母为正，即b ﹤1时，方程的解为负数。
例4 某施工队第一组原有96人现调出16人到第二组，调整人数后，第一组人数是第二组人数的k （k 是不等于1的正整数）倍还多6人，问第二组原有多少人。
解：设第二组原有x 人。
调整后，第一组有96 – 16 = 80（人），第二组有x+16（人）。
根据题意，得
80=k （x+16）+6
整理，得 kx=74 – 16k
k 是不等于1的正整数，∴x=k
k 1674-
因为x 为所求人数，必须为正整数，而k 是不等于1人正整数，故74 – 16K 也是正整数，k 只能取2、3、4。
代入计算得k 为3、4均不适合。
∴当k=2时，得第二组原有x=2
21674⨯-=21（人） 评注 ： 对含字母系数的一元一次方程中的字母系数要讨论，如果是应用问题，还得根．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．据实际意义，对字母系数的取值范围进行取舍．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
三、练习
1、选择题：设关于x 的方程a （x - a ）+b （x+b ）=0有无穷多个解，则（ ）
（A ）a+b=0 （B ）a-b=0 （C ）ab=0 （D ）
0=b a 2、填空：若方程249x+8
a ∣x ︱－1=0解小于零，则a 的取值范围是________. 3、解下列关于x 的方程：
（1）x+b a b ax +=； （2）=+n x m m
n x -；
（3）x=b a a b a bx -++； （4）（=-x m
n n m )m n n m +
4、k 为何值时，方程（m – 3）（m - 4）x=（m – 3）（m+2）的解是负数？
5、解关于x 的方程m+122++=+m x m mx。