应力状态分析及强度理论习题教材
mx
45
45
A
d D
mx
（a）
解： 从图（a）所示受扭圆轴表面A点取出纯剪应力状态， 作应力圆45 方位上的两向应力状态（图（b）），于是有
1 ， 2 0， 3
45 ， 45
90 90
45 45
45
x
O
45 ， 45
（b）
45
45
x
（c）
（d）
4.用电阻应变仪测得空心钢轴表面一点与母线成45 方向 上的正应变 45 200 103。已知该轴转速为120r / min ， 外径D 120mm，内径d 80mm,钢材E 210GPa， =0.28， 求轴传递的功率。
（a）
a b
y = 40MPa
代入式
b 得
= =10 3MPa =17.3MPa
由于 xy 0，于是
1 x 80MPa ， 2 y 40MPa ， 3 0
3.拉伸试件如图（a）所示。已知横截面上正应力 ，材料 的弹性模量E和泊松比，试求与轴线成45 与135 方向上的 正应变 45 与135 。
y 应为： ____ 。
（A） x =0， x =0 （C） x = y， x =0 （B） x =0， x =+ y /E （D） x =- y， x =- y /E
A B
y yC
答案：
C
x
D
m
4.单向应力状态下，微元体： ____ 。 （A）只有体积改变 （C）既无体积又无形状改变 （B）只有形状改变 （D）既有体积又有形状改变
答案：
D
四、计算
1.已知应力状态如图（a）所示，要求：1）用截面法求指定 截面上应力；2）用斜截面上应力公式校核；3）用应力圆 法校核。
40MPa
30
20MPa
（a）
解：1）对图（b）写平衡条件（设斜面面积为dA）
n dA 20sin 30 dA sin 30
所以 所以
40 cos 30 dA cos 30 0 40 cos 30 dA sin 30 0
二、选择题
1. 纯剪应力状态如图所示，其45 方向的线应变为： ____ 。 （A）大于零
答案：
（B）小于零
B
（C）等于零
45
（D）不定
2. 应力状态如图所示，其45 方向的线应变为： ____ 。 （A）大于零
答案：
（B）小于零
C
（C）等于零
（D）不定
45
3.钢制薄方板ABDC的3个边刚好置于图示刚性壁内，AC 边受均匀压应力 y，则板内靠壁上一点m沿x方向的正应变
（2）由点1、2，得圆心C，以 1C 为半径作圆； （3）自 1C逆时针转 240 圆心角得点3；
（c）
（4）按比例尺量得图（b）所求 =+120 面上的应力
OB 25MPa ， 3B 26 MPa
2.二向应力状态如图（a）所示（应力单位为MPa）， 试求主应力并作应力圆。
135
45
（a）
解： 利用广义胡克定律求解。 对图（b）所示单向应力状态作应力圆（图（c））， 得图（ d）所示应力状态，即有 45 、 135 方向正应力
45 /2 ， 135 45 /2
代入广义胡克定律有 1 1 45 45 135 E 2 E 1 1 135 135 45 E 2 E
n
dA
y
30
120
1
t
30
20
1 2
x
2
40 30
（b）
4 5,26 B C
68
240
3)作应力圆（图（c）） （1）取比例尺，1cm-20MPa，在 - 坐标平 面内作点1（+20，0）、2（-40，0）；
2 -40,0
O A
1 20,0
3 -25,-26
20MPa
50
80
60
80
50
（a）
解： 1 ）应力圆法 如图（b），取比例尺，在 轴上作 OA 80 MPa， OE 50 MPa；过E作EF // 轴，过A作与 轴成30 夹角的斜线，交 EF与G；作GC，使AGC 30 ， 则以C为圆心， GC CA 为半径r作应力圆，交 轴于B。
2
50
F
G
30 60 30
O
B E
1
C
A
80
（b）
50
80
60
80
2） 解析法 由图（a）， x 80MPa ， xy 0， =60 ，
50
50MPa其中 y， = 待求，由斜截面上
应力公式 1 1 50 80 y 80 y cos 2 60 0 2 2 1 80 y sin 2 60 0 2 由 a 式得
1 2
x
2
40 30
（b）
2）已知 x 20MPa , y 40MPa , xy 0， ，则 1 1 20-40 + 20+40 cos 2 120 +0 2 2 10 30 0.5 25MPa 1 20+40 sin 2 120 30 0.866 26 MPa 2
2
50 80
F
G
30 60 30
O
B E C
1
A
（b）
= GE AE tan 30 (80 50) tan 30
=10 3 =17.3MPa 10 3 r 20MPa sin 60 3/2 = OB OA AB 80 2r 40MPa 所以 1 80MPa ， 2 40MPa ， 3 0
t dA 20sin 30 dA sin 30
实际方向均与所设方向相反。
= 20sin 2 30 -40 cos 2 30 =-25MPa =- 20sin 30 cos30 - 40sin 30 cos 30 =-26MPa
n
dA
30
y
1
120
t
30
20
45
45
A
d D
mx
（a）
解： 从图（a）所示受扭圆轴表面A点取出纯剪应力状态， 作应力圆45 方位上的两向应力状态（图（b）），于是有
1 ， 2 0， 3
45 ， 45
90 90
45 45
45
x
O
45 ， 45
（b）
45
45
x
（c）
（d）
4.用电阻应变仪测得空心钢轴表面一点与母线成45 方向 上的正应变 45 200 103。已知该轴转速为120r / min ， 外径D 120mm，内径d 80mm,钢材E 210GPa， =0.28， 求轴传递的功率。
（a）
a b
y = 40MPa
代入式
b 得
= =10 3MPa =17.3MPa
由于 xy 0，于是
1 x 80MPa ， 2 y 40MPa ， 3 0
3.拉伸试件如图（a）所示。已知横截面上正应力 ，材料 的弹性模量E和泊松比，试求与轴线成45 与135 方向上的 正应变 45 与135 。
y 应为： ____ 。
（A） x =0， x =0 （C） x = y， x =0 （B） x =0， x =+ y /E （D） x =- y， x =- y /E
A B
y yC
答案：
C
x
D
m
4.单向应力状态下，微元体： ____ 。 （A）只有体积改变 （C）既无体积又无形状改变 （B）只有形状改变 （D）既有体积又有形状改变
答案：
D
四、计算
1.已知应力状态如图（a）所示，要求：1）用截面法求指定 截面上应力；2）用斜截面上应力公式校核；3）用应力圆 法校核。
40MPa
30
20MPa
（a）
解：1）对图（b）写平衡条件（设斜面面积为dA）
n dA 20sin 30 dA sin 30
所以 所以
40 cos 30 dA cos 30 0 40 cos 30 dA sin 30 0
二、选择题
1. 纯剪应力状态如图所示，其45 方向的线应变为： ____ 。 （A）大于零
答案：
（B）小于零
B
（C）等于零
45
（D）不定
2. 应力状态如图所示，其45 方向的线应变为： ____ 。 （A）大于零
答案：
（B）小于零
C
（C）等于零
（D）不定
45
3.钢制薄方板ABDC的3个边刚好置于图示刚性壁内，AC 边受均匀压应力 y，则板内靠壁上一点m沿x方向的正应变
（2）由点1、2，得圆心C，以 1C 为半径作圆； （3）自 1C逆时针转 240 圆心角得点3；
（c）
（4）按比例尺量得图（b）所求 =+120 面上的应力
OB 25MPa ， 3B 26 MPa
2.二向应力状态如图（a）所示（应力单位为MPa）， 试求主应力并作应力圆。
135
45
（a）
解： 利用广义胡克定律求解。 对图（b）所示单向应力状态作应力圆（图（c））， 得图（ d）所示应力状态，即有 45 、 135 方向正应力
45 /2 ， 135 45 /2
代入广义胡克定律有 1 1 45 45 135 E 2 E 1 1 135 135 45 E 2 E
n
dA
y
30
120
1
t
30
20
1 2
x
2
40 30
（b）
4 5,26 B C
68
240
3)作应力圆（图（c）） （1）取比例尺，1cm-20MPa，在 - 坐标平 面内作点1（+20，0）、2（-40，0）；
2 -40,0
O A
1 20,0
3 -25,-26
20MPa
50
80
60
80
50
（a）
解： 1 ）应力圆法 如图（b），取比例尺，在 轴上作 OA 80 MPa， OE 50 MPa；过E作EF // 轴，过A作与 轴成30 夹角的斜线，交 EF与G；作GC，使AGC 30 ， 则以C为圆心， GC CA 为半径r作应力圆，交 轴于B。
2
50
F
G
30 60 30
O
B E
1
C
A
80
（b）
50
80
60
80
2） 解析法 由图（a）， x 80MPa ， xy 0， =60 ，
50
50MPa其中 y， = 待求，由斜截面上
应力公式 1 1 50 80 y 80 y cos 2 60 0 2 2 1 80 y sin 2 60 0 2 由 a 式得
1 2
x
2
40 30
（b）
2）已知 x 20MPa , y 40MPa , xy 0， ，则 1 1 20-40 + 20+40 cos 2 120 +0 2 2 10 30 0.5 25MPa 1 20+40 sin 2 120 30 0.866 26 MPa 2
2
50 80
F
G
30 60 30
O
B E C
1
A
（b）
= GE AE tan 30 (80 50) tan 30
=10 3 =17.3MPa 10 3 r 20MPa sin 60 3/2 = OB OA AB 80 2r 40MPa 所以 1 80MPa ， 2 40MPa ， 3 0
t dA 20sin 30 dA sin 30
实际方向均与所设方向相反。
= 20sin 2 30 -40 cos 2 30 =-25MPa =- 20sin 30 cos30 - 40sin 30 cos 30 =-26MPa
n
dA
30
y
1
120
t
30
20
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08第八章 材料力学习题解答(应力状态分析和强度理论)
=
σ x +σ y
2 +
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ xy sin 2α
80 + σ y
80 − σ y
2 2 ∴σ y = 40 MPa
(3) 主应力
cos(120o ) − 0
σ 1 = σ x = 80 MPa
8.6. 图示矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为 M=10 kN.m， Q=120 kN。 试绘出截面上 1、 2、3、4 各点的应力状态单元体，并求其主应力。
y 50 1 2 100 z 3 4 50
M
25
x
Q 解：(1) 截面上 1 点的应力：
σ (1) = −
M 1 2 bh 6
=−
10 × 103 1 × 0.05 × 0.12 6
27MPa 60MPa
4
2 σ max ⎫ 60 ⎧70.4 MPa ⎛ 60 ⎞ ± ⎜ ⎟ + 27 2 = ⎨ ⎬= σ min ⎭ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎩ −10.4 MPa σ 1 = 70.4 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −10.4 MPa
(4) 截面上 4 点的应力：
σ (4) = −σ (1) = 120 MPa
δ
T P 解：(1) A 点的应力状态 T
30 A
o
d
P
τxy σx
属二向应力状态，应力分量是
P 20000 = = 63.7 × 106 Pa = 63.7 MPa A π × 50 × 2 × 10−6 σy =0
σx =
τ xy = −
T 600 =− = −70.6 × 106 Pa = −70.6 MPa 2 2π r t 2π × 262 × 2 × 10−9
σ x +σ y
2 +
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ xy sin 2α
80 + σ y
80 − σ y
2 2 ∴σ y = 40 MPa
(3) 主应力
cos(120o ) − 0
σ 1 = σ x = 80 MPa
8.6. 图示矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为 M=10 kN.m， Q=120 kN。 试绘出截面上 1、 2、3、4 各点的应力状态单元体，并求其主应力。
y 50 1 2 100 z 3 4 50
M
25
x
Q 解：(1) 截面上 1 点的应力：
σ (1) = −
M 1 2 bh 6
=−
10 × 103 1 × 0.05 × 0.12 6
27MPa 60MPa
4
2 σ max ⎫ 60 ⎧70.4 MPa ⎛ 60 ⎞ ± ⎜ ⎟ + 27 2 = ⎨ ⎬= σ min ⎭ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎩ −10.4 MPa σ 1 = 70.4 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −10.4 MPa
(4) 截面上 4 点的应力：
σ (4) = −σ (1) = 120 MPa
δ
T P 解：(1) A 点的应力状态 T
30 A
o
d
P
τxy σx
属二向应力状态，应力分量是
P 20000 = = 63.7 × 106 Pa = 63.7 MPa A π × 50 × 2 × 10−6 σy =0
σx =
τ xy = −
T 600 =− = −70.6 × 106 Pa = −70.6 MPa 2 2π r t 2π × 262 × 2 × 10−9
应力状态分析与强度理论-习题与答案
1、一点的应力状态是指（）
（A）受力构件横截面上各点的应力情况
（B）受力构件各点横截面上的应力情况
（C）构件未受力之前，各质点之间的相互作用力状况
（D）受力构件内某一点在不同横截面上的应力情况
2、一实心均质钢球，当其外表面迅速均匀加热，则球心O点处的应力状态是（）
（A）单向拉伸应力状态（B）平面应力状态
（A）铸铁为塑性材料
（B）铸铁在三向压应力状态下产生塑性变形
（C）铸铁在单向压应力作用下产生弹性变形
（D）材料剥脱
7、混凝土立方试块在作单向压缩试验时，若在其上、下表面上涂有润滑剂，则试块破坏时将沿纵向裂开，其主要原因是（）
（A）最大压应力（B）最大剪应力
（C）最大伸长线应变（D）存在横向拉应力
8、一中空钢球，内径d＝20cm，内压p＝15Mpa，材料的许用应力 ＝160Mpa，则钢球壁厚t只少是（）
（A）t＝47㎜（B）t＝2.34㎜
（C）t＝4.68㎜（D）t＝9.38㎜
9、将沸水注入厚玻璃杯中，有时玻璃杯会发生破裂，这是因为（）
（A）热膨胀时，玻璃杯环向线应变达到极限应变，从内、外壁同时发生破裂
（B）玻璃材料抗拉能力弱，玻璃杯从外壁开始破裂
（C）玻璃材料抗拉能力弱，玻璃杯从内壁开始破裂
（D）水作用下，玻璃杯从杯底开始破裂
因圆柱与钢筒之间的空隙 ，而 > ，故圆柱受钢筒弹性约束。设柱与筒之间的作用力为p，则铝柱中各点处主应力为
钢筒中各点处主应力为
设铝柱和钢筒的径向应变分别为 ，变形协变条件为
即
于是
得
p＝2.74Mpa
故钢筒周向应力为
即
得
所以则其相当应力为
由于 <0.5
（A）受力构件横截面上各点的应力情况
（B）受力构件各点横截面上的应力情况
（C）构件未受力之前，各质点之间的相互作用力状况
（D）受力构件内某一点在不同横截面上的应力情况
2、一实心均质钢球，当其外表面迅速均匀加热，则球心O点处的应力状态是（）
（A）单向拉伸应力状态（B）平面应力状态
（A）铸铁为塑性材料
（B）铸铁在三向压应力状态下产生塑性变形
（C）铸铁在单向压应力作用下产生弹性变形
（D）材料剥脱
7、混凝土立方试块在作单向压缩试验时，若在其上、下表面上涂有润滑剂，则试块破坏时将沿纵向裂开，其主要原因是（）
（A）最大压应力（B）最大剪应力
（C）最大伸长线应变（D）存在横向拉应力
8、一中空钢球，内径d＝20cm，内压p＝15Mpa，材料的许用应力 ＝160Mpa，则钢球壁厚t只少是（）
（A）t＝47㎜（B）t＝2.34㎜
（C）t＝4.68㎜（D）t＝9.38㎜
9、将沸水注入厚玻璃杯中，有时玻璃杯会发生破裂，这是因为（）
（A）热膨胀时，玻璃杯环向线应变达到极限应变，从内、外壁同时发生破裂
（B）玻璃材料抗拉能力弱，玻璃杯从外壁开始破裂
（C）玻璃材料抗拉能力弱，玻璃杯从内壁开始破裂
（D）水作用下，玻璃杯从杯底开始破裂
因圆柱与钢筒之间的空隙 ，而 > ，故圆柱受钢筒弹性约束。设柱与筒之间的作用力为p，则铝柱中各点处主应力为
钢筒中各点处主应力为
设铝柱和钢筒的径向应变分别为 ，变形协变条件为
即
于是
得
p＝2.74Mpa
故钢筒周向应力为
即
得
所以则其相当应力为
由于 <0.5
第七章 应力应变分析 强度理论
三、应力状态的分类 （The classification of stresses-state）
1.空间应力状态（Triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ） 三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零 2.平面应力状态（Biaxial stress-state or plane stress-state） 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零 3.单向应力状态（Uniaxial stress-state or simple stress-state） 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
1.截面法（Section method） 假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象
y n
e
yx x
f
e
x
x
x
xy
α
α
n α
xy
α
f
a
a
yx
y
(Analysis of stress-state and strain-state)
y n
e
1. 单元体（Element body） 2. 单元体特征 （Element characteristic） （1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布 （2）任意一对平行平面上的应力相等 3.主单元体（Principal body） 各侧面上切应力均为零的单元体
2
3 1
1
3 2
(Analysis of stress-state and strain-state) 4.主平面（Principal plane）
3.重要结论（Important conclusions）
应力状态分析和强度理论(例题)
50 x 100 x 100 cos 600 0
300
2
2
100MPa x
(3)求主应力：因为τxy = 0，所以有
1 100 MPa 2 0 3 100 MPa
(4)求最大剪应力：
100 100 100MPa
max
例题
例7-4 薄壁锅炉的平均直径D=1060 mm，壁厚t=25 mm，蒸气压力p=2.5 MPa，材料许用应力
[σ]=40 MP；按最大剪应力理论校核锅炉的强度。
σ’ p
σ’
p
σ’’
σ’’
强度不够，重新设计 pD
r3
1
3
2t
t
pD
2
0.033m
(5)用最大形状改变比能理论计算
210 109
3.11104
τα
σα
300
τxy
p.5
例题
例题
例7-4 薄壁锅炉的平均直径D=1060 mm，壁厚t=25 mm，蒸气压力p=2.5 MPa，材料许用应力
[σ]=40 MP；按最大剪应力理论校核锅炉的强度。
σ’ p
σ’
p
σ’’
σ’’
解：(1)由横截面分离体的平衡条件
' Dt p 1 D2 4
例题
（d） （1）应力分量 （2）用解析法求斜截面上的应力
（3）应力圆
p.9
例题
例题
例7-6. 已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa。试求：
（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。
第12章 应力状态分析和强度理论—《材料力学》课程PTT精华版
σα = σxcos2α σ ysin2α τxysin2α
12.2 平面应力状态分析
σα
=
σx
1 cos2α 2
σy
1 cos2α 2
τ xy sin 2α
σα
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α τxysin2α
同理，由 Ft = 0 得：
τα
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
一点的应力状态有三个主应力，
s2
s1
按其代数值排列：
σ1 σ2 σ3
4. 应力状态分类
s3
（1）单向应力状态：三个主应力中，有两个等于零，一
个不等于零的应力状态。
s
ss
s
F
F
12.1 引言
（2）二向应力状态：三个主应力中，有一个等于零，另 外两个不等于零的应力状态。
F
A
sx txy
z
B
sz
t zx t zy
2
s
A
2 Ax
CDE σ
Ay
2α
sx
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α
τxysin2α
=
σα
同理可以证明：
Aα D
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
=
τα
12.2 平面应力状态分析
tyx t txy
4. 应力圆的特点
sy tyx
n
s
sx
t
sx txy
sy
t
s
t
A
12.2 平面应力状态分析
σα
=
σx
1 cos2α 2
σy
1 cos2α 2
τ xy sin 2α
σα
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α τxysin2α
同理，由 Ft = 0 得：
τα
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
一点的应力状态有三个主应力，
s2
s1
按其代数值排列：
σ1 σ2 σ3
4. 应力状态分类
s3
（1）单向应力状态：三个主应力中，有两个等于零，一
个不等于零的应力状态。
s
ss
s
F
F
12.1 引言
（2）二向应力状态：三个主应力中，有一个等于零，另 外两个不等于零的应力状态。
F
A
sx txy
z
B
sz
t zx t zy
2
s
A
2 Ax
CDE σ
Ay
2α
sx
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α
τxysin2α
=
σα
同理可以证明：
Aα D
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
=
τα
12.2 平面应力状态分析
tyx t txy
4. 应力圆的特点
sy tyx
n
s
sx
t
sx txy
sy
t
s
t
A
《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解..pdf
应力圆（ O.Mohr 圆）
主单元体图
[ 习题 7-9 （ c）] 解：坐标面应力： X（ -20 ， -10 ）； Y（ -50 ， 10）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 1cm 代表 10MPa 。按比例尺量得斜面的应力为：
1 0MPa , 2 16.25MPa ， 3 53.75MPa ； 0 16.10 。
1 d3
d3
16
6
16 8 10 N mm 3.14 803 mm3
79.618MPa
[ 习题 7-1 （ b）] 解： A 点处于纯剪切应力状态。
MA 0
RB 1.2 0.8 2 0.4 0
RB 1.333(kN )
1
A A
QA RB 1.333( kN)
Q A 1.5
A
1333N 1.5 40 120 mm2
单元体图
应力圆（ O.Mohr 圆）
主单元体图
[ 习题 7-9 （ d）] 解：坐标面应力： X（ 80， 30）； Y（ 160， -30 ）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 1cm 代表 20MPa 。按比例尺量得斜面的应力为：
1 170MPa , 2 70MPa ， 3 0MPa ； 0 71.60 。
第七章 应力状态和强度理论 习题解
[ 习题 7-1] 试从图示各构件中 A 点和 B 点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。
[ 习题 7-1 （ a）]
解： A 点处于单向压应力状态。
N F 2F 4F
A
A
1 d2
d2
4
[ 习题 7-1 （ b）] 解： A 点处于纯剪切应力状态。
应力状态分析 、强度理论、组合变形
试按第三强度理论设计圆轴的直径。
Page57
BUCT
解：1 T＝3×0.25 ＝ 0.75KN.M
2 MxY ＝7×0.22 ＝ 1.54KN.M
3 MxY中＝7×0.22×0.5 ＝0.77KN.M
4 MxZ＝3.5×0.4＝ 1.4KN.M
5
M总
M
2 z
M
2 y
=1.6
6
r3
1 W
M 2 T 2 [ ]
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BUCT
化工设备机械 基础
然后叠加
= + = Pcos / A + Pl sin y / Iz
1 = N / A + M / Wz
2 = N / A - M / Wz
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BUCT
例题5-5
化工设备机械 基础
Page30
BUCT
化工设备机械 基础
Page31
BUCT
uf 达到某一数值时，材料失效。
强度条件：
1 2
[(1
2
)2
(
2
3
)2
(
3
1)2
]
[]
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BUCT
化工设备机械 基础
r1 1
r2 1－μ（σ2 － σ3 ）
r3 1 3 2 4 2
r4
1 2
2 3 2
r3
( M )2 4( T )2 1
W
Wp
W
M 2 T 2 [ ]
Page2
BUCT
§1 应力状态的概念
化工设备机械 基础
一、问题的提出
杆件在基本变形时横截面上应力的分布规律
1. 轴向拉压：
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BUCT
解：1 T＝3×0.25 ＝ 0.75KN.M
2 MxY ＝7×0.22 ＝ 1.54KN.M
3 MxY中＝7×0.22×0.5 ＝0.77KN.M
4 MxZ＝3.5×0.4＝ 1.4KN.M
5
M总
M
2 z
M
2 y
=1.6
6
r3
1 W
M 2 T 2 [ ]
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BUCT
化工设备机械 基础
然后叠加
= + = Pcos / A + Pl sin y / Iz
1 = N / A + M / Wz
2 = N / A - M / Wz
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BUCT
例题5-5
化工设备机械 基础
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BUCT
化工设备机械 基础
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BUCT
uf 达到某一数值时，材料失效。
强度条件：
1 2
[(1
2
)2
(
2
3
)2
(
3
1)2
]
[]
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BUCT
化工设备机械 基础
r1 1
r2 1－μ（σ2 － σ3 ）
r3 1 3 2 4 2
r4
1 2
2 3 2
r3
( M )2 4( T )2 1
W
Wp
W
M 2 T 2 [ ]
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BUCT
§1 应力状态的概念
化工设备机械 基础
一、问题的提出
杆件在基本变形时横截面上应力的分布规律
1. 轴向拉压：
应力状态分析和强度理论(例题)
80MPa
80
40 2
602
2
84.9MPa 84.9MPa
α1 = α0+45 0 = 67.5 0 , 对应τmax
(4)在单元体上标出它们的位置；
σ1
τmax
α0
σ3
p.3
例题
例7-2 已知图示正三角形单元体上的应力，求主应力和最大剪应力。 50MPa
r4
1 2 2 2
2
1
2
2
3
3
1
3 pD
4t
t
3 pD
4
0.0285m
p.7
例题
例7-5 .在图示各单元体中，试用解析法和应力圆求斜面ab上的应力。应力单位为MPa。
例题
解：（a） （1）应力分量
（2）用解析法求斜截面上的应力
解： （1）应力分量
应力圆
（2）求主平面位置和主应力大小
p.10
例题
例题
例7-6. 已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa。试求： （1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。
（2）求主平面位置和主应力大小
（3）最大剪应力
p.11
例题
例题
例7-7. 薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如图所示。若P=20kN，T=600NN·m，且d=50mm，=2mm。试
(3)计算斜截面上的应变
1
300
E 300
1200
1 51.5 0.28 51.5106
7工程力学(下)—应力分析与强度理论2
0.34 σx =σz = σy = − 30 ×10 6 Pa = −15.5 × 10 6 Pa 1 −ν 1 − 0.34 = −15.5 MPa
ν
(
)
由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦， 由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以 σx，σy，σz都是主应力，且 ， 都是主应力，
σ 1 = σ 2 = −15.5 MPa σ 3 = −30 MPa
∴σ 1 = 44.3MPa
σ 3 = −20.3MPa
1 0.3 ε z = [0 − υ (σ x + σ y )] = − ( − 20.3 + 44.3) × 10 6 E 210 × 10 9 = − 34.3 × 10 − 6
边长a 例7-8 边长 =0.1 m的铜质立方体置于刚性很 的铜质立方体置于刚性很 大的钢块中的凹坑内(图 ， 大的钢块中的凹坑内 图a)，钢块与凹坑之间无 间隙。 间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向外 加荷载F 加荷载 =300 kN时，铜块内的主应力、最大 时 铜块内的主应力、 切应力。已知铜的弹性模量E 切应力。已知铜的弹性模量 =100 GPa，泊松 ， 比n＝0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略 ＝ 。 不计。 不计。
思考题： 已知单元体上的应力， 思考题： 已知单元体上的应力，求 σ x τ x .
解：σ α = 120MPa、τ α = 80MPa、
(MPa)
α = 30°、σ y = 0
σα = σx
2 2 3 3 = σx − τ x = 120MPa 4 2 +
τx
σx120Fra bibliotek80σx
30°
cos 60° − τ x sin 60°
ν
(
)
由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦， 由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以 σx，σy，σz都是主应力，且 ， 都是主应力，
σ 1 = σ 2 = −15.5 MPa σ 3 = −30 MPa
∴σ 1 = 44.3MPa
σ 3 = −20.3MPa
1 0.3 ε z = [0 − υ (σ x + σ y )] = − ( − 20.3 + 44.3) × 10 6 E 210 × 10 9 = − 34.3 × 10 − 6
边长a 例7-8 边长 =0.1 m的铜质立方体置于刚性很 的铜质立方体置于刚性很 大的钢块中的凹坑内(图 ， 大的钢块中的凹坑内 图a)，钢块与凹坑之间无 间隙。 间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向外 加荷载F 加荷载 =300 kN时，铜块内的主应力、最大 时 铜块内的主应力、 切应力。已知铜的弹性模量E 切应力。已知铜的弹性模量 =100 GPa，泊松 ， 比n＝0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略 ＝ 。 不计。 不计。
思考题： 已知单元体上的应力， 思考题： 已知单元体上的应力，求 σ x τ x .
解：σ α = 120MPa、τ α = 80MPa、
(MPa)
α = 30°、σ y = 0
σα = σx
2 2 3 3 = σx − τ x = 120MPa 4 2 +
τx
σx120Fra bibliotek80σx
30°
cos 60° − τ x sin 60°
习题第六章应力、应变分析与强度理论
答案： 1） =0.5
2） 1 2 3 0；两个非零主应力择题
1. 纯剪应力状态如图所示，其45方向的线应变为： ____ 。 （A）大于零
答案：
（B）小于零
B
（C）等于零
45
（D）不定
2. 应力状态如图所示，其45方向的线应变为： ____ 。 （A）大于零
2.图示应力状态下，其3个主应力有 1 _____ ，
2 _____ ， 3 _____ ；最大剪应力 max _____ 。
70MPa
1 70MPa， 2 20MPa， 答案： 3 0， max 35MPa
20MPa
3.设微元体的主应力为 1、 2、 3，则微元体只有体积改 变而无形状改变的条件是 _____ ；只有形状改变而无体积 改变的条件是 _____ 。
2
（b）
n
dA
2
y
30
120
1
t
30
20
x
40 30
1
2
（b）
3)作应力圆（图（c）） （1）取比例尺，1cm-20MPa，在 - 坐标平 面内作点1（+20，0）、2（-40，0）； （3）自 1C逆时针转 240圆心角得点3；
2 -40,0 B C
68
4 5,26
r1 1 24.3MPa t 30MPa
2)铝合金为塑性材料，选第三强度理论
r 1 3 24.27 9.27 33.54MPa 90MPa
3
或 r3 2 4 2 152 4 152 33.54MPa 选第四强度理论 1 2 2 2 r4 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 2 24.27 9.27 24.27 9.27 2 30.0MPa 90MPa 或 r4 2 3 2 152 3 152 30.0MPa 90MPa