上海中学2017-2018学年高一下学期期末数学试卷Word版含解析.pdf
2017-2018学年上海中学高一（下）期末数学试卷
一、填空题
1．arcsin （﹣）+arccos （﹣）+arctan （﹣）=．
2．=．
3．若数列{a n }为等差数列．且满足a 2+a 4+a 7+a 11=44，则a 3+a 5+a 10=．
4．设数列{a n }满足：a 1=，a n +1=（n ≥1），则a 2016=．
5．已知数列{a n }满足：a n =n ?3n （n ∈N *），则此数列前n 项和为S n =．
6．已知数列{a n }满足：a 1=3，a n +1=9?（n ≥1），则a n =．
7．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若=，则=．8．等比数列{a n }，a 1=3﹣5，前8项的几何平均为9，则a 3=．
9．定义在R 上的函数f （x ）=，S n =f （）+f （）+…+f （），n=2，3，…，则S n =．
10．设x 1，x 2是方程x 2﹣xsin +cos =0的两个根，则arctanx 1+arctanx 2的值为．
11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n =，则S 2016=．
12．设正数数列{a n }的前n 项和为b n ，数列{b n }的前n 项之积为c n ，且b n +c n =1，则数列{}的前n 项和S n 中大于2016的最小项为第项．
二、选择题.
13．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）?…？（n+n ）=2n ?1?3?…？（2n ﹣1）”，当“n 从k 到k+1”左端需增乘的代数式为（）
A ．2k +1
B ．2（2k +1）
C ．
D ．
14．一个三角形的三边成等比数列，则公比q 的范围是（）
A ．q ＞
B ．q ＜
C ．＜q ＜
D ．q ＜或q ＞
15．等差数列{a n }中，a 5＜0，且a 6＞0，且a 6＞|a 5|，S n 是其前n 项和，则下列判断正确的是（）
A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6，…
均大于0 B ．S 1，S 2，…，S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0
C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11，…均大于0
D ．S 1，S 2，…，S 11均小于0，S 12，S 13，…
均大于0 16．若数列{a n }的通项公式是
a n =，n=1，2，…，则（a 1+a 2+…+a n ）等于（
）A ．
B ．
C ．
D ．17．已知
=1，那么（sin θ+2）2（cos θ+1）的值为（）A ．9 B ．8 C ．12 D ．不确定
18．已知f （n ）=（2n +7）?3n +9，存在自然数
m ，使得对任意n ∈N *
，都能使m 整除f （n ），则最大的m 的值为（）
A ．30
B ．26
C ．36
D ．6 三、解答题.
19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n ﹣1）2+n 2+（n ﹣1）2+…+32+22+12=
n （2n 2+1）20．已知数列{a n }满足a 1=1，其前n 项和是S n 对任意正整数
n ，S n =n 2a n ，求此数列的通项公式．
21．已知方程cos2x+sin2x=k +1．
（1）k 为何值时，方程在区间
[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．
22．设数列{a n }满足a 1=2，a 2=6，a n +2=2a n +1﹣a n +2（n ∈N*）
．（1）证明：数列{a n +1﹣a n }是等差数列；
（2）求： ++…+．
23．数列{a n }，{b n }满足
，且a 1=2，b 1=4．
（1）证明：{a n +1﹣2a n }为等比数列；
（2）求{a n }，{b n }的通项．24．已知数列{a n }是等比数列，且a 2=4，a 5=32，数列{b n }满足：对于任意
n ∈N*，有a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）?2n +1+2．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{d n }满足：d 1=6，d n ?d n +1=6a?（﹣
）（a ＞0），设T n =d 1d 2d 3…d n （n ∈N*），当且仅当n=8时，T n 取得最大值，求a 的取值范围．
2015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=．
【考点】反三角函数的运用．
【分析】利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值．
【解答】解：arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=﹣arcsin（）+π﹣arccos﹣arctan
=﹣+（π﹣）﹣=，
故答案为：．
2．=5．
【考点】数列的极限．
【分析】利用数列的极限的运算法则化简求解即可．
【解答】解：==
==5．
故答案为：5．
3．若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11=44，则a3+a5+a10=33．
【考点】等差数列的性质．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，
∵a2+a4+a7+a11=44=4a1+20d，
∴a1+5d=11．
则a3+a5+a10=3a1+15d=3（a1+5d）=33．
故答案为：33．
4．设数列{a n}满足：a1=，a n+1=（n≥1），则a2016=2．
【考点】数列递推式．
【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．
【解答】解：依题意，a2===3，
a3===﹣2，
a4===，
a5===2，
∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，
又∵2016=504×4，
∴a2016=a4=2，
故答案为：2．
5．已知数列{a n}满足：a n=n?3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n=?3n+1+．
【考点】数列的求和．
【分析】利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：∵a n=n?3n，
则此数列的前n项和S n=3+2×32+3×33+…+n?3n，
∴3S n=32+2×33+…+（n﹣1）?3n+n?3n+1，
∴﹣2S n=3+32+33+…+3n﹣n?3n+1=﹣n?3n+1=（﹣n）3n+1﹣，
∴S n=?3n+1+．
故答案为：?3n+1+．
6．已知数列{a n}满足：a1=3，a n+1=9?（n≥1），则a n=27．
【考点】数列的极限．
【分析】把已知数列递推式两边取常用对数，然后构造等比数列，求出数列{a n}的通项公式，则极限可求．
【解答】解：由a n+1=9?（n≥1），得，。
2017-2018学年上海市长宁区高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)
2017-2018学年上海市长宁区高一第二学期期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，答案填在答题纸相应位置1．已知数列{a n}是等差数列，若a1＝5，a2＝2，则a5＝．2．已知角α的终边经过点（﹣1，2），则tanα＝．3．半径为2的圆上，弧长为π2的弧所对圆心角的弧度数为．4．函数y＝2sin（2x−π4）的最小正周期是．5．2与8的等比中项是．6．函数y＝arccos x，x∈[−12，1]的值域是．7．函数y＝sin x+√3cos x在[0，2π]上的递减区间为．8．若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5＝0，则S6S3=．9．若x=π6是方程2cos（x+α）＝1的解，其中α∈（0，2π），则α＝．10．数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*），则a4＝．11．已知数列{a n}、{b n}都是公差为1的等差数列，且a1+b1＝5，b n∈Z+，设∁n=a bn，则数列{∁n}的前n项和S n＝．12．如图所示为函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中M、N分别是函数图象的最高点和最低点，且|MN|＝5，那么f（﹣3）＝．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13．终边在y轴上的角的集合可表示为（）A．{α|α=2kπ+π2，k∈Z}B．{α|α=2kπ−π2，k∈Z}C．{α|α＝kπ+π，k∈Z}D．{α|α=kπ+π2，k∈Z}14．在△ABC中，a＝2，B＝60°，S△ABC=√32，则b＝（）A．1B．2C．√3D．2√315．要得到函数y ＝sin （2x −π3）的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象（ ）A ．向左平移π6B ．向右平移π6C ．向左平移π3D ．向右平移π316．数列{a n }满足“对任意正整数n ，都有a n +a n +3＝a n +1+a n +2“的充要条件是（ ） A ．{a n }是等差数列B ．{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列C ．{a 2n }是等差数列D ．{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列且公差相等三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．已知sin x =45，x ∈（π2，π）．（1）求tan （π﹣x ）的值；（2）求sin （2x +π3）−√3cos （2x +π3）的值．18．已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，且b 1＝a 1＝2，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ． （1）若S 3＝15，a n ＝56，求n ；（2）若数列{a n }的公差d ＝2，b 2＝a 3，求数列{b n }的公比q 及T n ．19．已知海岛B 在海岛A 北偏东45°，且与A 相距20海里，物体甲从海盗B 以2海里/小时的速度沿直线向海岛A 移动，同时物体乙从海岛A 以4海里/小时的速度沿直线向北偏西15°方向移动．（1）求经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛B 到达海岛A 的过程中，甲乙两物体的最短距离．20．已知函数f （x ）＝2sin 2（π4+x ）−√3cos2x（1）求函数f （x ）的最大值，以及取到最大值时所对应的x 的集合； （2）|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[π4，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．21．已知函数f n （x ）＝a 1sin （ωx +φ1）+a 2sin （ωx +φ2）+…+a n sin （ωx +φn ）（ω＞0），其中数列{a n }是公比为2的等比数列，数列{φn }是公差为π2的等差数列．（1）若a 1＝1，φ1=π2，分别写出数列{a n }和数列{φn }的通项公式； （2）若f 2（x ）是奇函数，且φ1∈（0，π），求φ1；（3）若函数f n （x ）的图象关于点（π2，0）对称，且当x ＝π时，函数f n （x ）取得最小值，求ω的最小值．2017-2018学年上海市长宁区高一第二学期期末数学试卷参考答案一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，答案填在答题纸相应位置 1．已知数列{a n }是等差数列，若a 1＝5，a 2＝2，则a 5＝ ﹣7 ．【分析】由数列{a n }是等差数列，结合等差数列的性质可求d ，然后代入a 5＝a 1+4d 即可求解．解：∵数列{a n }是等差数列， 若a 1＝5，a 2＝2， ∴d ＝a 2﹣a 1＝﹣3，则a 5＝a 1+4d ＝5﹣4×3＝﹣7． 故答案为：﹣72．已知角α的终边经过点（﹣1，2），则tan α＝ ﹣2 ． 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值． 解：∵角α的终边经过点（﹣1，2），则tan α=2−1=−2， 故答案为：﹣2．3．半径为2的圆上，弧长为π2的弧所对圆心角的弧度数为π4．【分析】由弧长公式L ＝R θ直接可以算出． 解：由题意可得：L =π2，R ＝2 ∵L ＝R θ， ∴θ=L R =π4． 故答案为：π4．4．函数y ＝2sin （2x −π4）的最小正周期是 π ．【分析】由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T =2π|ω|，即可求出函数的最小正周期． 解：y ＝2sin （2x −π4）， ∵ω＝2，∴T =2π2=π，∴函数的最小正周期为π． 故答案为：π．5．2与8的等比中项是 ±4 ． 【分析】利用等比中项公式求解． 解：2与8的等比中项是： G =±√2×8=±4． 故答案为：±4．6．函数y ＝arccos x ，x ∈[−12，1]的值域是 [0，2π3] ．【分析】根据余弦函数的图象与性质，可得y ＝cos x 在[0，2π3]上的值域为[−12，1]，结合反函数的定义域就是原函数的值域，可得本题函数的值域． 解：∵函数y ＝cos x ，当x ∈[0，π]时是单调减函数 当x ＝0时y ＝1，当x =2π3时，y =−12∴y ＝cos x 在[0，2π3]上的值域为[−12，1] 根据反函数的定义域就是原函数的值域， 可得函数y ＝arccos x ，x ∈[−12，1]的值域是[0，2π3] 故答案为：[0，2π3] 7．函数y ＝sin x +√3cos x 在[0，2π]上的递减区间为 [π6，7π6] ．【分析】利用正弦函数的单调递减区间可得． 解：∵y ＝2sin （x +π3）， 由π2+2k π≤x +π3≤3π2+2k π，k ∈Z ． 得π6+2k π≤x ≤7π6+2k π，k ∈Z ， 又x ∈[0，2π]，∴x ∈[π6，7π6]，故答案为：[π6，7π6]．8．若S n 为等比数列{a n }的前n 项的和，8a 2+a 5＝0，则S 6S 3= ﹣7 ．【分析】根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出q 3的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n 项和公式，即可求出结果． 解：由8a 2+a 5＝0，得到a 5a 2=q 3＝﹣8S 6S 3=a 1(1−q 6)1−q a 1(1−q 3)1−q=1−q 61−q =−7故答案为：﹣7．9．若x =π6是方程2cos （x +α）＝1的解，其中α∈（0，2π），则α＝π6或3π2．【分析】利用三角函数方程求出α的表达式，再根据α∈（0，2π）写出满足条件的α的值． 解：x =π6是方程2cos （x +α）＝1的解， ∴2cos （π6+α）＝1，∴cos （π6+α）=12，∴π6+α＝2k π±π3，∴α＝2k π+π6，α＝2k π−π2，k ∈Z ； 又α∈（0，2π）， ∴α=π6或3π2．故答案为：π6或3π2．10．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n （n ∈N *），则a 4＝ 18 ． 【分析】运用数列的递推公式计算可得结果． 解：根据题意，a n +1＝2S n ① 当n ≥2时，a n ＝2S n ﹣1② ①﹣②得，a n +1﹣a n ＝2a n ， ∴a n +1＝3a n （n ≥2） ∴a 1＝1，a 2＝2S 1＝2， a 3＝6，a 4＝18， 故答案为：18．11．已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，且a 1+b 1＝5，b n ∈Z +，设∁n =a b n ，则数列{∁n }的前n 项和S n ＝12n （n +7） ．【分析】根据等差数列的通项公式把ab n 转化到a 1+（b n ﹣1），再把b n 转化b 1+n ﹣1，然后由已知和等差数列的前n 项和可求结果． 解：S n ＝ab 1+ab 2+ab 3+⋯+ab n＝[a 1+（b 1﹣1）]+[a 1+（b 2﹣1）]+[a 1+（b 3﹣1）]+…+[a 1+（b n ﹣1）]＝[a 1+（b 1﹣1）]+[a 1+（b 1+1）﹣1]+[a 1+（b 1+2）﹣1]+…+[a 1+（b 1+n ﹣1）﹣1]＝na 1+nb 1﹣n +1+2+…+（n ﹣1）＝n （a 1+b 1 ）﹣n +n(n−1)2＝4n +n(n−1)2=12n （n +7）．故答案为：12n （n +7）．12．如图所示为函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中M 、N 分别是函数图象的最高点和最低点，且|MN |＝5，那么f （﹣3）＝ ﹣1 ．【分析】由图可知：A ＝2，因为T2=√|MN|2−42=√25−16=3，∴T ═6，∴ω=2π6=π3，再令x ＝0得sin φ=12，最后令x ＝﹣3及诱导公式可得． 解：由图可知：A ＝2，因为T2=√|MN|2−42=√25−16=3，∴T ═6，∴ω=2π6=π3，∴f （x ）＝2sin （π3x +φ），依题意令x ＝0，得f （0）＝1，即sin φ=12，∴f （﹣3）＝2sin （π3×（﹣3）+φ）＝2sin （﹣π+φ）＝﹣2sin φ＝﹣2×12=−1 故答案为：﹣1二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13．终边在y 轴上的角的集合可表示为（ ） A ．{α|α=2kπ+π2，k ∈Z} B ．{α|α=2kπ−π2，k ∈Z} C ．{α|α＝k π+π，k ∈Z }D ．{α|α=kπ+π2，k ∈Z}【分析】直接利用象限角、周线角的定义，弦长终边在y 轴上的角的集合，即可得到选项．解：由象限角、周线角的定义可知终边在y 轴上的角的集合可表示为：{α|α=kπ+π2，k ∈Z}． 故选：D ．14．在△ABC 中，a ＝2，B ＝60°，S △ABC =√32，则b ＝（ ）A ．1B ．2C ．√3D ．2√3【分析】由三角形面积公式12acsinB =12×2c ×√32=√32，可求c ，然后由余弦定理cos B =a 2+c 2−b 22ac，可求 解：∵a ＝2，B ＝60°，S △ABC =√32，∴12acsinB =12×2c ×√32=√32， ∴c ＝1，则由余弦定理可得，cos B =a 2+c 2−b 22ac，∴12=4+1−b 24，解可得，b =√3 故选：C ．15．要得到函数y ＝sin （2x −π3）的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象（ ） A ．向左平移π6B ．向右平移π6C ．向左平移π3D ．向右平移π3【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论．解：将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位，可得函数y ＝sin （2x −π3）的图象，故选：B ．16．数列{a n }满足“对任意正整数n ，都有a n +a n +3＝a n +1+a n +2“的充要条件是（ ） A ．{a n }是等差数列B ．{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列C ．{a 2n }是等差数列D ．{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列且公差相等【分析】根据题意，由a n +a n +3＝a n +1+a n +2变形可得a n +3﹣a n +1＝a n +2﹣a n ，即可得{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列且公差相等，即可得a n +a n +3＝a n +1+a n +2是{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列且公差相等的充分条件；反之验证即可得答案．解：根据题意，数列{a n}满足对任意正整数n，对任意正整数n，都有a n+a n+3＝a n+1+a n+2，则有a n+3﹣a n+1＝a n+2﹣a n，则有{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等，故a n+a n+3＝a n+1+a n+2是{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等的充分条件；反之，{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等，必有a n+3﹣a n+1＝a n+2﹣a n，变形可得a n+a n+3＝a n+1+a n+2，故a n+a n+3＝a n+1+a n+2是{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等的必要条件；故a n+a n+3＝a n+1+a n+2是{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等的充分必要条件；故选：D．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知sin x=45，x∈（π2，π）．（1）求tan（π﹣x）的值；（2）求sin（2x+π3）−√3cos（2x+π3）的值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系，求得cos x的值，再利用诱导公式求得tan（π﹣x）的值．（2）利用两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式，求得sin（2x+π3）−√3cos（2x+π3）的值．解：（1）∵sin x=45，x∈（π2，π），∴cos x=−√1−sin2x=−35，∴tan（π﹣x）＝﹣tan x=−sinxcosx=43．（2）sin（2x+π3）−√3cos（2x+π3）＝2sin（2x+π3−π3）＝2sin2x＝4sin x cos x=−4825．18．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，且b1＝a1＝2，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n．（1）若S3＝15，a n＝56，求n；（2）若数列{a n}的公差d＝2，b2＝a3，求数列{b n}的公比q及T n．【分析】（1）根据题意，分析可得S3＝a1+a2+a3＝3a2＝15，则a2＝5，进而可得d＝a2﹣a1＝5﹣2＝3，又由a n＝56，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）根据题意，分析可得b2＝a3＝a1+2d＝6，进而可得公比q，由等比数列的前n项和公式计算可得答案．解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，若S3＝15，则S3＝a1+a2+a3＝3a2＝15，则a2＝5，则d ＝a 2﹣a 1＝5﹣2＝3，又由a n ＝56，则有a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝3n ﹣1＝56， 解可得：n ＝19；（2）根据题意，b 2＝a 3＝a 1+2d ＝6， 则q =b2b 1=3，则T n =b 1(1−q n )1−q =2×(1−3n )1−3=3n ﹣1． 19．已知海岛B 在海岛A 北偏东45°，且与A 相距20海里，物体甲从海盗B 以2海里/小时的速度沿直线向海岛A 移动，同时物体乙从海岛A 以4海里/小时的速度沿直线向北偏西15°方向移动．（1）求经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛B 到达海岛A 的过程中，甲乙两物体的最短距离．【分析】（1）由正弦定理可解得； （2）由余弦定理及配方法可求得最小值．解：（1）设经过t （0＜t ＜10）小时，物体甲移动到E 的位置，物体乙移动到F 的位置， 物体甲与海岛A 的距离为AE ＝20﹣2t 海里，物体乙与海岛A 距离为AF ＝4t 海里， 当甲在乙正东方时，∠AFE ＝75°，∠AEF ＝45°， 在△AEF 中，由正弦定理得：AE sin∠AFE=AF sin∠AEF，即20−2tsin75°=4t sin45°，则t ＝20﹣10√3，所以，经过20﹣10√3小时，物体甲在物体乙的正东方向． （2）由（1）题设，AE ＝20﹣2t ，AF ＝4t ， 由余弦定理得：EF 2＝AE 2+AF 2﹣2AE •AF cos ∠EAF＝（20﹣2t ）2+（4t ）2﹣2×（20﹣2t ）×4t ×12=28（t −207）2+12007，由0＜t ＜5，得当t =207时，EF min =20√217海里 所以，甲乙两物体之间的距离最短为20√217海里．20．已知函数f （x ）＝2sin 2（π4+x ）−√3cos2x （1）求函数f （x ）的最大值，以及取到最大值时所对应的x 的集合；（2）|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[π4，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围． 【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f （x ）＝1+2sin （2x −π3），利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f （x ）的最大值，以及取到最大值时所对应的x 的集合；（2）由x ∈[π4，π2]，可求f （x ）max ＝3，f （x ）min ＝2．由题意可得m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2，即可解得实数m 的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵f （x ）＝[1﹣cos （π2+2x ）]−√3cos2x ＝1+sin2x −√3cos2x＝1+2sin （2x −π3），∴f （x ）max ＝3，…此时，∵2x −π3=2k π+π2，k ∈Z ，∴解得x =5π12+kπ(k ∈Z)⋯ （2）∵x ∈[π4，π2]，∴π6≤2x −π3≤2π3， 即2≤1+2sin （2x −π3）≤3，∴f （x ）max ＝3，f （x ）min ＝2．∵|f （x ）﹣m |＜2⇔f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2，x ∈[π4，π2]， ∴m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2，∴1＜m ＜4，即m 的取值范围是（1，4）．…21．已知函数f n （x ）＝a 1sin （ωx +φ1）+a 2sin （ωx +φ2）+…+a n sin （ωx +φn ）（ω＞0），其中数列{a n }是公比为2的等比数列，数列{φn }是公差为π2的等差数列． （1）若a 1＝1，φ1=π2，分别写出数列{a n }和数列{φn }的通项公式；（2）若f 2（x ）是奇函数，且φ1∈（0，π），求φ1；（3）若函数f n （x ）的图象关于点（π2，0）对称，且当x ＝π时，函数f n （x ）取得最小值，求ω的最小值．【分析】（1）根据等比数列、等差数列的通项公式a n ＝a 1q n ﹣1，b n ＝b 1+（n ﹣1）d 可得；（2）根据f 2（x ）为奇函数，所以f 2（﹣x ）＝﹣f 2（x ）恒成立，所以a 1sin φ1+a 2sin φ2＝0，解方程可得φ1＝π﹣arctan2；（3）将f n （x ）化成f n （x ）＝m sin ωx +n cos ωx =√m 2+n 2sin （ωx +φ）的形式，依题意有f n （π2）＝0，从而π2ω+φ＝k 1π，k 1∈Z ①，因为当x ＝π时，函数f n （x ）取得最小值，所以πω+φ＝2k 2π+3π2，k 2∈Z ②，两式相减得ω＝4k 2﹣2k 1+3，∴当k 2＝0，k 1＝1时，ω取得最小值为1 解：（1）a n ＝2n ﹣1，φn =nπ2； （2）f 2（x ）＝（a 1cos φ1+a 2cos φ2）sin ωx +（a 1sin φ1+a 2sin φ2）cos ωx因为f 2（﹣x ）+f 2（x ）＝0，所以a 1sin φ1+a 2sin φ2＝0即a 1sin φ1+2a 1cos φ1＝0，所以tan φ1＝﹣2，又由φ1∈（0，π），得φ1＝π﹣arctan2（3）f n （x ）＝a 1sin （ωx +φ1）+a 2sin （ωx +φ2）+…+a n sin （ωx +φn ）＝（a 1cos φ1+a 2cos φ2+…+a n cos φn ）sin ωx +（a 1sin φ1+a 2sin φ2+…+a n sin φn ）cos ωx 记a 1cos φ1+a 2cos φ2+…+a n cos φn ＝m ，a 1sin φ1+a 2sin φ2+…+a n sin φ＝n则f n （x ）＝m sin ωx +n cos ωx =√m 2+n 2sin （ωx +φ），其中m 2+n 2≠0； 因为f n （x ）的图象关于点（π2，0）对称，所以π2ω+φ＝k 1π，k 1∈Z ① 因为当x ＝π时，函数f n （x ）取得最小值，所以πω+φ＝2k 2π+3π2，k 2∈Z ② ②﹣①得ω＝4k 2﹣2k 1+3，因为k 1，k 2∈Z ，ω＞0，∴当k 2＝0，k 1＝1时，ω取得最小值为1。
2017-2018年上海市杨浦区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市杨浦区高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1．（4分）半径为2，圆心角为的扇形的面积为．2．（4分）已知P（4，﹣3）是角α终边上一点，则sinα＝．3．（4分）若cos（﹣α）＝cosα，则tanα＝．4．（4分）函数y＝tan x的定义域为．5．（4分）若△ABC的三边长为2，3，4，则△ABC的最大角的余弦值为．6．（4分）函数y＝﹣，（x≤1）的反函数为．7．（4分）设log23＝a，则log64＝．8．（4分）设α∈[，π]，sinα＝，则cos＝9．（4分）方程sin x＝，x∈[﹣，π]的解为10．（4分）设f（x）＝2sin（ωx﹣），x∈R，实数x1，x2满足：对于任意x∈R，不等式f（x1）≤f（x）≤f（x2）都成立，若|x1﹣x2|的最小值为，则正实数ω＝二、选择题（本大题共4小题，每题4分，共16分）11．（4分）设θ∈R，“sinθ＝0”是“sin2θ＝0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件12．（4分）下列函数是奇函数，且值域为实数集R的是（）A．y＝lgx B．y＝lg|x|C．y＝tan2x D．y＝3sin2x 13．（4分）已知，且sinθ＜0，则tanθ的值为（）A．B．C．D．14．（4分）函数y＝2sin x的图象经由下列变换可以得到函数y＝2sin（2x+）的图象的是（）A．先将图象向左平移，再将图象上每一点的横坐标变为原来的一半B．先将图象上每一点的横坐标变为原来的一半，再将所得图象向左平移C．先将图象向左平移，再将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍D．先将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移三、解答题（本大题满分44分）15．（6分）解方程：log2（x2+x）＝log2（x+1）+2．16．（8分）已知α∈（，π），tanα+cotα＝﹣．（1）求tanα的值；（2）化简并求的值．17．（8分）已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1，x∈R，其中集合D为函数的定义域．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）用五点法作出函数f（x）一个周期内的图象．18．（10分）某小区规划时，计划在周边建造一片扇形绿地，如图所示已知扇形绿地的半径为50米，圆心角．从绿地的圆弧边界上不同于A，B的一点P处出发铺设两条道路PO与PC（均为直线段），其中PC平行于绿地的边界OB．记∠POC＝θ（其中0）．（1）当θ＝时，求所需铺设的道路长：（2）若规划中，绿地边界的OC段也需铺设道路，且道路的铺设费用均为每米100元，当θ变化时，求铺路所需费用的最大值（精确到1元）．19．（12分）设f（x）＝lg（），其中常数a∈R，a≠﹣3．（1）当a＝0时，求不等式f（x）＞0的解；（2）若函数f（x）的图象关于原点对称，求实数a的值：（3）当a＝0时，求f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差．2017-2018学年上海市杨浦区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1．（4分）半径为2，圆心角为的扇形的面积为．【解答】解：∵r＝2，α＝，∴SS＝r2α＝22×＝．故答案为：．2．（4分）已知P（4，﹣3）是角α终边上一点，则sinα＝﹣．【解答】解：∵P（4，﹣3）是角α终边上一点，则x＝4，y＝﹣3，r＝|OP|＝＝5，∴sinα＝＝＝﹣，故答案为：﹣．3．（4分）若cos（﹣α）＝cosα，则tanα＝1．【解答】解：cos（﹣α）＝cosα，可得sinα＝cosα，所以tanα＝1．故答案为：1．4．（4分）函数y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}．【解答】解：根据正切函数y＝tan x的定义知，其定义域为：{x|x≠kπ+，k∈Z}．故答案为：．5．（4分）若△ABC的三边长为2，3，4，则△ABC的最大角的余弦值为﹣．【解答】解：根据大边对大角得到：设a＝2，b＝3，c＝4，所以：cos C＝＝﹣．故答案为：﹣．6．（4分）函数y＝﹣，（x≤1）的反函数为y＝1﹣x2（x≤0）．【解答】解：y＝﹣，（x≤1），则y2＝1﹣x，∴x＝1﹣y2，y≤0，∴函数y＝﹣，（x≤1）的反函数为y＝1﹣x2，（x≤0），故答案为：y＝1﹣x2，（x≤0）7．（4分）设log23＝a，则log64＝．【解答】解：∵log23＝a，∴log64＝＝＝＝．故答案为：．8．（4分）设α∈[，π]，sinα＝，则cos＝【解答】解：∵α∈[，π]，sinα＝，∴cosα＝，由cos，得，∵α∈[，π]，∴[]，∴cos＝﹣（舍），或cos＝．故答案为：．9．（4分）方程sin x＝，x∈[﹣，π]的解为x＝arcsin或x＝π﹣arcsin 【解答】解：∵方程sin x＝，x∈[﹣，π]，∴x＝arcsin或x＝π﹣arcsin．故答案为：arcsin或x＝π﹣arcsin．10．（4分）设f（x）＝2sin（ωx﹣），x∈R，实数x1，x2满足：对于任意x∈R，不等式f（x1）≤f（x）≤f（x2）都成立，若|x1﹣x2|的最小值为，则正实数ω＝【解答】解：由题意，对于任意x∈R，不等式f（x1）≤f（x）≤f（x2）都成立，可令f（x1）是最低点的值，那么f（x2）时最高点的值，由|x1﹣x2|的最小值为，即，可得T＝，那么：ω＝，∴ω＝．故答案为：．二、选择题（本大题共4小题，每题4分，共16分）11．（4分）设θ∈R，“sinθ＝0”是“sin2θ＝0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：由sinθ＝0，得θ＝kπ，k∈Z，则2θ＝2kπ，k∈Z，∴sin2θ＝0；由sin2θ＝0，得2θ＝kπ，k∈Z，则θ＝，k∈Z，∴sinθ＝0或±1．∴“sinθ＝0”是“sin2θ＝0”的充分非必要条件．故选：A．12．（4分）下列函数是奇函数，且值域为实数集R的是（）A．y＝lgx B．y＝lg|x|C．y＝tan2x D．y＝3sin2x【解答】解：A．y＝lgx的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝lg|x|是偶函数，不满足条件．C．y＝tan2x是奇函数，且函数的值域是R，满足条件．D．y＝3sin2x是奇函数，函数的值域是[﹣3，3]，不满足条件．故选：C．13．（4分）已知，且sinθ＜0，则tanθ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：已知，且sinθ＜0，∴cos θ＝2﹣1＝2×﹣1＝，故sinθ＝﹣＝﹣，∴tanθ＝＝，故选：C．14．（4分）函数y＝2sin x的图象经由下列变换可以得到函数y＝2sin（2x+）的图象的是（）A．先将图象向左平移，再将图象上每一点的横坐标变为原来的一半B．先将图象上每一点的横坐标变为原来的一半，再将所得图象向左平移C．先将图象向左平移，再将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍D．先将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移【解答】解：先将函数y＝2sin x的图象向左平移，可得函数y＝2sin（x+）的图象，再将图象上每一点的横坐标变为原来的一半，可得函数y＝2sin（2x+）的图象，故选：A．三、解答题（本大题满分44分）15．（6分）解方程：log2（x2+x）＝log2（x+1）+2．【解答】解：log2（x2+x）＝log2（x+1）+2，即为log2（x2+x）＝log2（4x+4），可得x2+x＝4x+4，即x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，当x＝4时，满足x+1＞0，x2+x＞0成立；当x＝﹣1时，x+1＝0不成立．则原方程的解为x＝4．16．（8分）已知α∈（，π），tanα+cotα＝﹣．（1）求tanα的值；（2）化简并求的值．【解答】解：（1）由tanα+cotα＝﹣，得tanα++，∴3tan2α+10tanα+3＝0，解得：tanα＝3或tanα＝．∵α∈（，π），∴tanα＝；（2）＝＝．17．（8分）已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1，x∈R，其中集合D为函数的定义域．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）用五点法作出函数f（x）一个周期内的图象．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）．∴函数f（x）的最小正周期T＝；（2）由（1）可知f（x）＝sin（2x+）．五点列表，+﹣作图：18．（10分）某小区规划时，计划在周边建造一片扇形绿地，如图所示已知扇形绿地的半径为50米，圆心角．从绿地的圆弧边界上不同于A，B的一点P处出发铺设两条道路PO与PC（均为直线段），其中PC平行于绿地的边界OB．记∠POC＝θ（其中0）．（1）当θ＝时，求所需铺设的道路长：（2）若规划中，绿地边界的OC段也需铺设道路，且道路的铺设费用均为每米100元，当θ变化时，求铺路所需费用的最大值（精确到1元）．【解答】解：（1）在△POC中，θ＝，∠CPO＝﹣＝，则∠PCO＝π﹣＝，由正弦定理可得＝，可得PC＝＝，所需铺设的道路长为50+m，（2）在△POC中，可得＝＝＝，0＜θ＜，可得PC＝sinθ，OC＝sin（﹣θ），则铺路所需费用为f（θ）＝100[50+sinθ+sin（﹣θ）]＝5000+（sinθ+cosθ﹣sinθ）＝5000+（cosθ+sinθ）＝5000+sin（+θ），当+θ＝，θ＝，sin（+θ）取得最大值1，则铺路所需费用的最大值为5000+≈10774元．19．（12分）设f（x）＝lg（），其中常数a∈R，a≠﹣3．（1）当a＝0时，求不等式f（x）＞0的解；（2）若函数f（x）的图象关于原点对称，求实数a的值：（3）当a＝0时，求f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差．【解答】解：（1）f（x）＞0，即lg＞0，可得＞1，即为＞0，解得0＜x＜，即解集为（0，）；（2）函数f（x）的图象关于原点对称，可得f（﹣x）+f（x）＝lg+lg＝lg＝0，即＝1，可得a＝3（﹣3舍去），则a的值为3；（3）当a＝0时，f（x）＝lg，即f（x）＝lg（﹣1），可得f（x）在[1，2]递减，可得f（1）取得最大值lg2；f（2）取得最小值﹣lg2，则f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为lg4．。
上海市徐汇区重点名校2017-2018学年高一下学期期末综合测试数学试题含解析
上海市徐汇区重点名校2017-2018学年高一下学期期末综合测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．ABC 中，已知()sin cos sin cos 1cos B C A B B A -+≤-=，，则角C =（ ） A ．90° B ．105°C ．120°D ．135°【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式和两角差的正弦公式化简已知不等式可求得,B C 关系，求出A 后即可求得,B C ． 【详解】()sin cos sin cos sin cos sin cos sin()1B C A B B B C C B B C -+=-=-≤-，∴sin()1B C -=-，,B C 是三角形内角，90B C -=-︒，90C B =+︒，则090A ︒<<︒由cos A =得30A =︒，∴150B C +=︒，从而30,120B C =︒=︒． 故选：C. 【点睛】本题考查两角差的正弦公式和诱导公式，考查正弦函数性质．已知三角函数值只要确定了角的范围就可求角．2．下列各角中，与角6π终边相同的角是（ ） A ．136π-B ．116π-C ．116πD ．196π【答案】B 【解析】 【分析】给出具体角度，可以得到终边相同角的表达式. 【详解】 角6π终边相同的角可以表示为2,()6a k k Z ππ=+∈，当1k =-时，6a 11π=-，所以答案选择B 【点睛】判断两角是否是终边相同角，即判断是否相差2π整数倍.3．在ABC ∆中，角A B 、均为锐角，且cos sin A B >，则ABC ∆的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】C【解析】cos sin ,sin 2A B sin A B π⎛⎫>∴-> ⎪⎝⎭，又角,A B 均为锐角，则022B A ππ<<-<，02A B π∴<+<，且ABC ∆中，,2A B C C πππ++=∴<<，ABC ∆的形状是钝角三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用诱导公式、正弦函数的单调性以及判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 4．若tan （4πα-）＝2，则sin2α＝（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】B 【解析】 【分析】由两角差的正切得tan α，化sin2α为tan α的齐次式求解 【详解】tan （4πα-）＝2，则1tan 12tan 1tan 3ααα-=∴=-+则sin2α＝2222sin cos 2tan sin cos 1tan αααααα==++ 35故选：B 【点睛】本题考查两角差的正切公式，考查二倍角公式及齐次式求值，意在考查公式的灵活运用，是基础题 5．如果数列{}n a 的前n 项和为332n n S a =-，则这个数列的通项公式是（ ） A ．()221n a n n =++ B ．23nn a =⋅C ．32nn a =⋅D ．31n a n =+【答案】B 【解析】 【分析】 根据332n n S a =-，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，再结合1n =时，111332S a a ==-，可知{}n a 是以6为首项，3为公比的等比数列，从而求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】 由332n n S a =-，当2n ≥时，1113333332222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫⎛⎫=-=---=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13nn a a -=， 当1n =时，111332S a a ==-，此时16a =， 所以，数列{}n a 是以6为首项，3为公比的等比数列，即16323n nn a -=⋅=⋅.故选：B. 【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题. 6．若，则向量的坐标是（ ） A ．（3，－4） B ．（－3，4）C ．（3，4）D ．（－3，－4）【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量的坐标运算法则化简求解即可． 【详解】 解：向量（3，2），（0，﹣1）， 则向量22（0，﹣1）﹣（3，2）＝（﹣3，﹣4）．故选D ． 【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力． 7．已知x 与y 之间的几组数据如下表 x 0 1 2 3 y1-3-4-7-则y 与x 的线性回归方程ˆybx a =+必过( ) A ．点()2,2 B ．点()1.5,4 C ．点()1.5, 3.75- D ．点()1.5,0【答案】C 【解析】 【分析】根据线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论． 【详解】()10123 1.54x =+++=，()11347 3.754y =----=-， ∴8根据线性回归方程必过样本中心点，可得y 与x 的线性回归方程ˆybx a =+必过()1.5, 3.75-． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点，属于基础题． 8．在△ABC 中，已知3b =，8c =，3A π=，则△ABC 的面积等于( )A ．6B ．12C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】通过A 角的面积公式1sin 2ABCS bc A =,代入数据易得面积． 【详解】11sin 38sin 223ABCSbc A π==⨯⨯⨯= 故选C 【点睛】此题考查三角形的面积公式1sin 2ABCSbc A =，代入数据即可，属于简单题目． 9．甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球，2个白球，乙袋中有2个红球，3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为（ ） A ．45B ．925C ．1225D ．1325【答案】D 【解析】 【分析】现从两袋中各随机取一球，基本事件总数5525n =⨯=，两球不同颜色包含的基本事件个数332213m =⨯+⨯=，由此能求出两球不同颜色的概率． 【详解】甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球、2个白球，乙袋中有2个红球、3个白球， 现从两袋中各随机取一球，基本事件总数5525n =⨯=，两球不同颜色包含的基本事件个数332213m =⨯+⨯=， 则两球不同颜色的概率为1325p =． 故选D ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 10．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A ．若//a α，//b α，则//a b B ．若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a b ⊥ C ．若a b ⊥，b α⊥，则//a α D ．若//αβ，a α⊂，则//a β【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 在A 中：若//a α，//b α，则a ，b 相交、平行或异面，故A 错误；在B 中：若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a ，b 相交、平行或异面，故B 错误； 在C 中：若a b ⊥，b α⊥，则//a α或a α⊂，故C 误；在D 中：若//αβ，a α⊂，由面面平行的性质定理知，//a β，故D 正确. 考点：空间中直线、平面之间的位置关系.11．已知函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|2π＜）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）＝sin （x 6π+）﹣1 B ．f （x ）＝2sin （x 6π+）﹣1 C ．f （x ）＝2sin （x 3π+）﹣1D ．f （x ）＝2sin （2x 3π+）+1【答案】D 【解析】由已知列式求得,A B 的值，再由周期求得w 的值，利用五点作图的第二个点求得ϕ的值，即可得到答案. 【详解】由题意，根据三角函数的图象，可得31A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，解得2,1A B ==，又由7212122T πππ=-=，解得T π=，则22w T π==， 又由五点作图的第二个点可得：2122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=，所以函数的解析式为()2sin(2)13f x x π=++，故选D.【点睛】本题主要考查了由sin()y A wx B ϕ=++的部分图象求解函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的五点作图法，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 12．用分层抽样的方法从10盆红花和5盆蓝花中选出3盆，则所选红花和蓝花的盆数分别为( ) A ．2，1 B ．1，2C ．0，3D ．3，0【答案】A 【解析】 【分析】利用分层抽样的性质直接求解． 【详解】解：用分层抽样的方法从10盆红花和5盆蓝花中选出3盆，则所选红花的盆数为：1032105⨯=+，所选蓝花的盆数为：531105⨯=+． 故选：A ． 【点睛】本题考查所选红花和蓝花的盆数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二、填空题：本题共4小题 13．对于任意，不等式恒成立，则常数的取值范围是_________.【答案】【解析】 【分析】先参变分离转化为对应函数最值问题，再通过求函数最值得结果.因为，所以，因为（当且仅当时取等号），因此【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【答案】128π 【解析】分析：由圆锥的几何特征，现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可求出答案.解析：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为h 、r ， 则由题意得R=10，由1802Rl π=，得16l π=， 由2lr π=得8r =.由222R r h =+可得6h =.∴()231164612833V r h cm πππ==⋅⋅=∴该容器的容积为3128cm π.故答案为128π.点睛：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示． 15．0cos 210=___________.【答案】3【解析】 【分析】先将0cos 210写成cos(180)α+的形式，再根据诱导公式进行求解. 【详解】由题意得：3cos 210cos(18030)cos302=+=-=-. 故答案为：32-. 【点睛】考查三角函数的诱导公式.sin()sin παα+=- ，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=, sin()sin ,cos()cos ααπ-=-.16．函数y=sin2x+2sin 2x 的最小正周期T 为_______.【答案】π 【解析】sin 23(1cos 2)2sin(2)3,.3y x x x T ππ=+-=-+∴=考点：此题主要考查三角函数的概念、化简、性质，考查运算能力. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
上海中学2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年上海中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=．2．=．3．若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11=44，则a3+a5+a10=．=（n≥1），则a2016=．4．设数列{a n}满足：a1=，a n+15．已知数列{a n}满足：a n=n•3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n=．=9•（n≥1），则a n=．6．已知数列{a n}满足：a1=3，a n+17．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若=，则=．8．等比数列{a n}，a1=3﹣5，前8项的几何平均为9，则a3=．9．定义在R上的函数f（x）=，S n=f（）+f（）+…+f（），n=2，3，…，则S n=．10．设x1，x2是方程x2﹣xsin+cos=0的两个根，则arctanx1+arctanx2的值为．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n=，则S2016=．12．设正数数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项之积为c n，且b n+c n=1，则数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第项．二、选择题.13．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）•…•（n+n）=2n•1•3•…•（2n﹣1）”，当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为（）A．2k+1 B．2（2k+1）C．D．14．一个三角形的三边成等比数列，则公比q的范围是（）A．q＞B．q＜C．＜q＜D．q＜或q＞15．等差数列{a n }中，a 5＜0，且a 6＞0，且a 6＞|a 5|，S n 是其前n 项和，则下列判断正确的是（ ）A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6，…均大于0B ．S 1，S 2，…，S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11，…均大于0D ．S 1，S 2，…，S 11均小于0，S 12，S 13，…均大于016．若数列{a n }的通项公式是a n =，n=1，2，…，则（a 1+a 2+…+a n ）等于（ ）A ．B ．C ．D ．17．已知=1，那么（sin θ+2）2（cos θ+1）的值为（ ） A ．9B ．8C ．12D ．不确定18．已知f （n ）=（2n +7）•3n +9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f （n ），则最大的m 的值为（ ） A ．30 B ．26 C ．36 D ．6三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n ﹣1）2+n 2+（n ﹣1）2+…+32+22+12=n （2n 2+1） 20．已知数列{a n }满足a 1=1，其前n 项和是S n 对任意正整数n ，S n =n 2a n ，求此数列的通项公式．21．已知方程cos2x +sin2x=k +1．（1）k 为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．22．设数列{a n }满足a 1=2，a 2=6，a n +2=2a n +1﹣a n +2（n ∈N*）． （1）证明：数列{a n +1﹣a n }是等差数列；（2）求：++…+．23．数列{a n }，{b n }满足，且a 1=2，b 1=4．（1）证明：{a n +1﹣2a n }为等比数列； （2）求{a n }，{b n }的通项．24．已知数列{a n }是等比数列，且a 2=4，a 5=32，数列{b n }满足：对于任意n ∈N*，有a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{d n }满足：d 1=6，d n •d n +1=6a •（﹣）（a ＞0），设T n =d 1d 2d 3…d n （n ∈N*），当且仅当n=8时，T n 取得最大值，求a 的取值范围．2015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=．【考点】反三角函数的运用．【分析】利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值．【解答】解：arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=﹣arcsin（）+π﹣arccos﹣arctan=﹣+（π﹣）﹣=，故答案为：．2．=5．【考点】数列的极限．【分析】利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】解：====5．故答案为：5．3．若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11=44，则a3+a5+a10=33．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4+a7+a11=44=4a1+20d，∴a1+5d=11．则a3+a5+a10=3a1+15d=3（a1+5d）=33．故答案为：33．4．设数列{a n}满足：a1=，a n+1=（n≥1），则a2016=2．【考点】数列递推式．【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．【解答】解：依题意，a2===3，a3===﹣2，a4===，a5===2，∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，又∵2016=504×4，∴a2016=a4=2，故答案为：2．5．已知数列{a n}满足：a n=n•3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n=•3n+1+．【考点】数列的求和．【分析】利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n=n•3n，则此数列的前n项和S n=3+2×32+3×33+…+n•3n，∴3S n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2S n=3+32+33+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=（﹣n）3n+1﹣，∴S n=•3n+1+．故答案为：•3n+1+．6．已知数列{a n}满足：a1=3，a n=9•（n≥1），则a n=27．+1【考点】数列的极限．【分析】把已知数列递推式两边取常用对数，然后构造等比数列，求出数列{a n}的通项公式，则极限可求．=9•（n≥1），得，【解答】解：由a n+1即，令b n=lga n，则，∴，则数列{b n﹣3lg3}是以b1﹣3lg3=lga1﹣3lg3=﹣2lg3为首项，以为公比的等比数列，∴，即，∴，则a n==103lg3=10lg27=27．故答案为：27．7．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若=，则=．【考点】等差数列的性质．【分析】由{a n}，{b n}为等差数列，且其前n项和满足若=，设S n=kn×2n，T n=kn（3n+1）（k≠0），则利用递推关系可得：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1；当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1．代入即可得出．【解答】解：∵{a n}，{b n}为等差数列，且其前n项和满足若=，∴设S n=kn×2n，T n=kn（3n+1）（k≠0），则当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4kn﹣2k；当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=6kn﹣2k．∴==，故答案为：．8．等比数列{a n}，a1=3﹣5，前8项的几何平均为9，则a3=．【考点】等比数列的性质．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由题意列式求得q，代入等比数列的通项公式得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由题意，，即，∴，得，∵a 1=3﹣5，∴，则q=9，∴．故答案为：．9．定义在R 上的函数f （x ）=，S n =f （）+f （）+…+f （），n=2，3，…，则S n =2n ﹣2 ．【考点】数列的求和．【分析】由已知得f （x ）+f （1﹣x ）=4，由此能求出S n =f （）+f （）+…+f （）的值．【解答】解：∵f （x ）=，∴f （1﹣x ）===，∴f （x ）+f （1﹣x ）=4，∴S n =f （）+f （）+…+f （）=4×=2n ﹣2．故答案为：2n ﹣2．10．设x 1，x 2是方程x 2﹣xsin +cos=0的两个根，则arctanx 1+arctanx 2的值为．【考点】反三角函数的运用．【分析】由条件利用韦达定理求得x 1+x 2 =sin，x 1•x 2=cos，再利用两角和的正切公式求得tan （arctanx 1+arctanx 2）的值，可得arctanx 1+arctanx 2 的值．【解答】解：由x 1、x 2是方程x 2﹣xsin +cos=0的两根，可得x 1+x 2 =sin，x 1•x 2=cos，故x 1、x 2均大于零，故arctanx 1+arctanx 2∈（0，π），且tan（arctanx1+arctanx2）===cotπ=tan（﹣π），∴arctanx1+arctanx2=．故答案为：．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n=，则S2016=．【考点】数列的求和．【分析】将a n=分子分母同乘，再使用裂项法得出a n=（﹣），从而得出S2016的值．【解答】解：a n===（﹣）．∴S2016=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）= [1﹣（）]==．故答案为：．12．设正数数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项之积为c n，且b n+c n=1，则数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第63项．【考点】数列的求和．【分析】由题意可得：a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）=1，可得a1=，a2=．…，猜想：a n=．验证：成立．可得n＜=＜n+1，进而得到＜S n＜，即可得出．【解答】解：由题意可得：a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）=1，n=1时，a1+a1=1，解得a1=．n=2时，a1+a2+a1•（a1+a2）=1，解得a2=．…，猜想：a n=．验证：a1+a2+…+a n=++…+==．∴a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）=××…×=．∴a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）=+=1．∴n＜=＜n+1，∴＜S n＜，∴2016＜S63＜2080，∴数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第63项．故答案为：63．二、选择题.13．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）•…•（n+n）=2n•1•3•…•（2n﹣1）”，当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为（）A．2k+1 B．2（2k+1）C．D．【考点】数学归纳法．【分析】分别求出n=k时左端的表达式，和n=k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式．【解答】解：当n=k时，左端=（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n=k+1时，左端=（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为=2（2k+1），故选B．14．一个三角形的三边成等比数列，则公比q的范围是（）A．q＞B．q＜C．＜q＜D．q＜或q＞【考点】等比数列的通项公式．【分析】设三边分别为：，a，aq，（a，q＞0）．分类讨论：q≥1时， +a＞aq；0＜q＜1时，＜a+aq，分别解出即可得出．【解答】解：设三边分别为：，a，aq，（a，q＞0）．则q≥1时， +a＞aq，解得：．0＜q＜1时，＜a+aq，解得：＜q＜1．综上可得：公比q的范围是．故选：C．15．等差数列{a n}中，a5＜0，且a6＞0，且a6＞|a5|，S n是其前n项和，则下列判断正确的是（）A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6，…均大于0B．S1，S2，…，S5均小于0，S6，S7，…均大于0C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11，…均大于0D．S1，S2，…，S11均小于0，S12，S13，…均大于0【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】由a5＜0，a6＞0且a6＞|a5|可得d=a6﹣a5＞0，a5+a6＞0，2a5＜0，2a6＞0，结合等差数列的求和公式及性质可判断．【解答】解：∵a5＜0，a6＞0且a6＞|a5|∴d=a6﹣a5＞0∴数列的前5项都为负数∵a5+a6＞0，2a5＜0，2a6＞0由等差数列的性质及求和公式可得，S9==9a5＜0S10=5（a1+a10）=5（a5+a6）＞0由公差d＞0可知，S1，S2，S3…S9均小于0，S10，S11…都大于0．故选：C．16．若数列{a n}的通项公式是a n=，n=1，2，…，则（a1+a2+…+a n）等于（）A．B．C．D．【考点】数列递推式；极限及其运算．【分析】由题意知a n=由此可知（a1+a2++a n）=+，计算可得答案．【解答】解：a n=即a n=∴a1+a2+…+a n=（2﹣1+2﹣3+2﹣5+）+（3﹣2+3﹣4+3﹣6+）．∴（a1+a2+…+a n）=+=，故选C．17．已知=1，那么（sinθ+2）2（cosθ+1）的值为（）A．9 B．8 C．12 D．不确定【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先将已知等式变形化简得到sinθ=1+cot2014θ，利用正弦函数的有界性，得到sinθ=1，cosθ=0，可求结果．【解答】解：将=1，变形得：sinθ+1=cot2016θ+2，整理得sinθ=1+cot2016θ≤1，即cot2016θ≤0，又∵cot2016θ≥0所以cot2016θ=0，所以cosθ=0，sinθ=1，所以（sinθ+2）2（cosθ+1）=（1+2）2=9；故选：A．18．已知f（n）=（2n+7）•3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（）A．30 B．26 C．36 D．6【考点】数学归纳法．【分析】依题意，可求得f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值，从而可猜得最大的m的值为36，再利用数学归纳法证明即可．【解答】解：由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立．（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除；当n=k+1时，[2（k+1）+7]•3k+1+9=3[（2k+7）•3k+9]﹣18+2×3k+1=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k﹣1﹣1），∵3k﹣1﹣1是2的倍数，∴18（3k﹣1﹣1）能被36整除，∴当n=k+1时，f（n）也能被36整除．由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值为36．三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+32+22+12=n（2n2+1）【考点】数学归纳法．【分析】用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．【解答】证明：利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，左边=1=右边，此时等式成立；（2）假设当n=k∈N*时，12+22+32+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+32+22+12=k（2k2+1）（k∈N*）成立．则当n=k+1时，左边=12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+22+12=k（2k2+1）+（k+1）2+k2=（k+1）[2（k+1）2+1]=右边，∴当n=k+1时，等式成立．根据（1）和（2），可知对n∈N*等式成立．20．已知数列{a n}满足a1=1，其前n项和是S n对任意正整数n，S n=n2a n，求此数列的通项公式．【考点】数列递推式．【分析】由S n =n 2a n ，可得n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，化为： =．利用“累乘求积”方法即可得出．【解答】解：∵S n =n 2a n ，∴n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2a n ﹣（n ﹣1）2a n ﹣1，化为：=．∴a n =••…••a 1=••…•××1=，n=1时也成立．∴a n =．21．已知方程cos2x +sin2x=k +1．（1）k 为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）令f （x ）=cos2x +sin2x=2sin （2x +），根据函数图象判断k 的范围；（2）求出f （x ）在[0，]上的对称轴，根据图象的对称性得出α+β的值．【解答】解：（1）令f （x ）=cos2x +sin2x=2sin （2x +），作出f （x ）在[0，]上的函数图象如图所示：由图象可知当1≤k +1＜2即0≤k ＜1时，f （x ）=k +1有两个相异的解．（2）令2x +=+k π，解得x=+，∴f （x ）在[0，上的对称轴为x=，∴α+β=．22．设数列{a n }满足a 1=2，a 2=6，a n +2=2a n +1﹣a n +2（n ∈N*）． （1）证明：数列{a n +1﹣a n }是等差数列；（2）求：++…+．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【分析】（1）由a n +2=2a n +1﹣a n +2，变形为（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）=2，a 2﹣a 1=4，即可证明．（2）由（1）可得：a n +1﹣a n =4+2（n ﹣1）=2n +2．利用a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1可得a n ．再利用“裂项求和”方法即可得出． 【解答】（1）证明：∵a n +2=2a n +1﹣a n +2，∴（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）=2，a 2﹣a 1=4，∴数列{a n +1﹣a n }是等差数列，首项为4，公差为2． （2）解：由（1）可得：a n +1﹣a n =4+2（n ﹣1）=2n +2． ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=2n +2（n ﹣1）+…+2×2+2==n 2+n ．∴==．∴++…+=++…+=1﹣=．23．数列{a n }，{b n }满足，且a 1=2，b 1=4．（1）证明：{a n +1﹣2a n }为等比数列； （2）求{a n }，{b n }的通项． 【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）由a n +1=﹣a n ﹣2b n ，可得：b n =，b n +1=﹣，代入b n +1=6a n +6b n ，化简整理可得：a n +2﹣2a n +1=3（a n +1﹣2a n ），即可证明．（2）由（1）可得：a n +1﹣2a n =﹣14×3n ﹣1．化为：a n +1+14×3n =2，利用等比数列的通项公式可得：a n ，进而得到b n ．【解答】（1）证明：由a n +1=﹣a n ﹣2b n ，可得：b n =，∴b n +1=﹣，代入b n +1=6a n +6b n ，可得：﹣=6a n+6×（），化为：a n+2﹣2a n+1=3（a n+1﹣2a n）．a2=﹣2﹣2×4=﹣10，a2﹣2a1=﹣14，∴{a n+1﹣2a n}为等比数列，首项为﹣14，公比为3．（2）解：由（1）可得：a n+1﹣2a n=﹣14×3n﹣1．化为：a n+1+14×3n=2，∴数列是等比数列，首项为16，公比为2．∴a n+14×3n﹣1=16×2n﹣1，可得a n=2n+3﹣14×3n﹣1．∴b n=﹣=28×3n﹣1﹣3×2n+2．24．已知数列{a n}是等比数列，且a2=4，a5=32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{d n}满足：d1=6，d n•d n+1=6a•（﹣）（a＞0），设T n=d1d2d3…d n（n∈N*），当且仅当n=8时，T n取得最大值，求a的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的应用．【分析】（1）通过a2=4、a5=32，利用等差数列性质可知：a5=a2•q3=32，即可求得q的值，求得a1=2，由等比数列通项公式即可求得数列{a n}的通项公式；（2）通过a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2与a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2）•2n+2作差，通过a n=2n，即可求得数列{b n}的通项公式，由c n=d n•d n+1，T n=d1d2d3…d n=，由题意可知：当n≤7时，|c n|＞1，当n≥8时，|c n|＜1，列方程即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵a2=4，a5=32，由等比数列性质可知：a5=a2•q3=32，∴q3=8，q=2，∴a1=2，∴由等比数列通项公式可知：a n=2×2n﹣1=2n，数列{a n}的通项公式a n=2n；（2）∵a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2，∴当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2）•2n+2，两式相减得：a n b n=（n﹣1）•2n+1+2﹣（n﹣2）•2n+2=n•2n，即b n==n（n≥2），又∵a1b1=2，即b1=1满足上式，∴b n=n；（2）令c n=d n•d n+1=6a•（﹣）n（a＞0），T n=d1d2d3…d n=，由当且仅当n=8时，T n取得最大值，∴|T2|＜|T4|＜|T6|＜|T8|＞|T10|＞…，|T1|＜|T3|＜|T5|＜|T7|＞…＞|T11|＞…．当n≤7时，|c n|＞1，当n≥8时，|c n|＜1，∴6a＞27，即a＞，6a＜28，即a＜，∴a的取值范围（，）．2016年12月1日。
2017-2018学年上海市静安区高一(下)期末数学试卷及答案
2017-2018学年上海市静安区高一（下）期末数学试卷一、填空题（本题共8道小题，每小题5分，满分40分)1．（5分）已知200°的圆心角所对的弧长等于50cm，则该圆的半径为cm．2．（5分）方程3sin x﹣1＝0在区间（0，2π）的解为．3．（5分）若＝，则sin2α的值为．4．（5分）命题“数列的前n项和S n＝3n2+n（n∈N*）”成立的充要条件是（填一组符合题意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母n）5．（5分）假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数r，则r＝（精确到0.1%）6．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n＝（n∈N*），那么使得其前n项和S n大于7.999的n的最小值为．7．（5分）函数y＝cos x（sin x﹣cos x）（x∈R）的最大值为．8．（5分）如图，动点P在以O为圆心，半径为1米的圆周上运动，从最低点M开始计时，用时4分钟逆时针匀速旋转一圈后停止，设点P的纵坐标y（米）关于时间t（分）的函数为y＝f（t）．则该函数的图象大致为（请注明关键点）二、解答题（本题共4道小题，满分60分)9．（15分）（1）设α≠kπ+（k∈Z），直接用任意角的三角比定义证明：sec2α﹣tan2α＝1．（2）给出两个公式：①tanα＝，②cos（）＝sinα．请仅以上述两个公式为已知条件证明：tan（）＝．10．（15分）已知余切函数f（x）＝cot x．（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）（2）求证：余切函数f（x）＝cot x在区间（0，π）上单调递减．11．（15分）设数列{a n}的前n项和为S n，对于n∈N*，（q﹣1）S n＝qa n﹣a1，其中q是常数．（1）试讨论：数列{a n}在什么条件下为等比数列，请说明理由；（2）设a1＝32，且对任意的n∈N*，b n＝log2a n有意义，数列{b n}的前n项和为T n，若T19＝19，求T n的最大值．12．（15分）如图是一景区的截面图，AB是可以行走的斜坡，已知AB＝2百米，BC是没有人行路（不能攀登）的斜坡，CD是斜坡上的一段陡峭的山崖．假设你（看做一点）在斜坡AB上，身上只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角）．（1）请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡BC的长的方案，用字母表示所测量的角，计算出BC的长，并化简；（2）设BC＝3百米，AC＝百米，∠DBA＝，∠BAD＝arccos，求山崖CD的长．（精确到米）2017-2018学年上海市静安区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题共8道小题，每小题5分，满分40分)1．【考点】G7：弧长公式．【解答】解：圆心角200°＝200×＝π，∵弧长为50＝πr，∴r＝（cm），即该圆的半径长cm．故答案为：．【点评】本题考查了角度和弧度的互化以及弧长公式的应用问题，是基础题．2．【考点】HV：反三角函数．【解答】解：由3sin x﹣1＝0，得sin x＝，∴x＝2kπ+arcsin，或x＝（2k+1）π﹣arcsin，k∈Z；∴方程在区间（0，2π）的解为：x＝arcsin或x＝π﹣arcsin．故答案为：arcsin或π﹣arcsin．【点评】本题考查了三角函数方程的解法与应用问题，是基础题．3．【考点】GS：二倍角的三角函数．【解答】解：由＝，得，∴，则sin，两边平方得：，即sin2α＝﹣．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．4．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：根据题意，设该数列为{a n}，若数列的前n项和S n＝3n2+n，则当n＝1时，a1＝S1＝4，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝6n﹣2，当n＝1时，a1＝4符合a n＝6n﹣2，故有数列为等差数列且a1＝4，d＝6，反之当数列为等差数列且a1＝4，d＝6时，a n＝6n﹣2，S n＝＝3n2+n；故数列的前n项和S n＝3n2+n（n∈N*）”成立的充要条件是数列为等差数列且a1＝4，d ＝6，故答案为：数列为等差数列且a1＝4，d＝6．【点评】本题考查充分必要条件的判定，关键是掌握充分必要条件的定义，属于基础题．5．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【解答】解：根据题意，设10年前的国民生产总值为a，则10年后的国民生产总值为2a，则有a（1+r%）10＝2a，即（1+r%）10＝2，解可得：r≈7.2，故答案为：7.2．【点评】本题考查函数的应用，涉及指数、对数的运算，关键是得到关于r的方程，属于基础题．6．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：列{a n}的通项公式a n＝（n∈N*），则：，所以：当时，即：，当n＝13时，成立，即：n的最小值为13．故答案为：13【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．【考点】HW：三角函数的最值．【解答】解：函数y＝cos x（sin x﹣cos x）＝sin2x﹣cos2x﹣＝sin（2x﹣）当sin（2x）＝1时，y取得最大值为．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的有界性，化简能力，考查转化思想以及计算能力．8．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【解答】解：设y＝f（t）＝A sin（ωt+φ）+b，t≥0，∴A＝1，T＝4，ω＝＝，t＝0时，φ＝﹣，b＝0∴y＝f（t）＝sin（t﹣），故答案为：【点评】本题考查了函数的图象与图象的变换．属中档题．二、解答题（本题共4道小题，满分60分)9．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【解答】解：（1）证明：设α≠kπ+（k∈Z），在α的中边上任意取一点P（x，y），r＝|OP|＝，sec2α﹣tan2α＝﹣＝﹣＝＝1，即sec2α﹣tan2α＝1．（2）证明：∵①tanα＝，②cos（）＝sinα．∴：tan（）＝＝＝cotα＝，即tan（）＝．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．10．【考点】H1：三角函数的周期性．【解答】解：（1）余切函数f（x）＝cot x，为奇函数，最小正周期为π，单调递减区间为（kπ，kπ+π）（k∈Z）；证明：（2）余切函数f（x）＝cot x在区间（0，π）设x1和x2，则：cot x2﹣cot x1＝，＝，由于：0＜x1＜x2＜π，则：﹣π＜x1﹣x2＜0，从而得到：sin（x1﹣x2）＜0，sin x1•sin x2＞0，故：cot x2＜cot x1，所以函数在（0，π）为单调递减函数．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，对于n∈N*，（q﹣1）S n＝qa n﹣a1，①当n≥2时，（q﹣1）S n﹣1＝qa n﹣1﹣a1②，①﹣②得：（q﹣1）a n＝qa n﹣qa n﹣1，即：a n＝qa n﹣1，所以：，所以：当a1≠0，q≠0时，数列{a n}为等比数列．（2）由（1）得：所以：b n＝5+（n﹣1）log2q，由于：T19＝19，所以：，即：，由b n＝5+（n﹣1）log2q≥0，解得：n≤12.25，故：．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求数列的通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12．【考点】HR：余弦定理；HU：解三角形．【解答】解：（1）由题意，可测得∠CAB＝α，∠ABC＝β，在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得BC＝；（2）解法一，在△ABC中，AB＝2百米，BC＝3百米，AC＝百米，由余弦定理，可得cos∠ABC＝＝＝﹣，∴∠ABC＝；如图所示，在△DBA中，∠DBA＝，∠BAD＝arccos，∴tan∠BAD＝2，BD＝4；又∵∠CBD＝∠ABC﹣∠DBA＝；在△BCD中，由余弦定理得CD＝≈205（米），∴山崖CD的长度约为206米．解法二，在Rt△ABD中，求得AD＝2，在△ABC中，由余弦定理得cos∠CAB＝，∴sin∠CAB＝，再由∠DAB＝arccos，可求得cos∠DAB＝，sin∠DAB＝，∴cos∠DAC＝cos（∠DAB﹣∠CAB）＝×+×＝；在△ACD中，由余弦定理，得CD＝≈205，所以山崖CD的长度约为205米．【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了三角函数模型应用问题，是中档题．。
2017-2018年上海市宝山区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市宝山区高一（下）期末数学试卷一、填空题(本大题满分35分，第1-5题每个空格填对得3分，第6-10题每个空格填对得4分)1．（3分）与2018°终边相同的最小正角是．2．（3分）若6是﹣2和k的等比中项，则k＝．3．（3分）已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则扇形的弧长为．4．（3分）适合条件|sinα|＝﹣sinα的角α的取值范围是．5．（3分）设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝．6．（4分）已知角α的终边上一点P落在直线y＝2x上，则sin2α＝．7．（4分）等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，a k+a4＝0，则k＝．8．（4分）等比数列{a n}前n项和为S n，若＝4，则＝．9．（4分）设x＝cosα，且，则arcsin x的取值范围是．10．（4分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）＝．二、选择题(本大题共4题，满分12分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上11．（3分）下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同12．（3分）设secα＝﹣6，α∈（0，π），则α的值可表示为（）A．π﹣arccos B．π+arccos C．arccos D．﹣arccos 13．（3分）数列1，﹣，，﹣，……的一个通项公式为（）A．（﹣1）n+1•B．C．（﹣1）n+1D．14．（3分）在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝，则△ABC的面积为（）A．B．16C．或16D．或三、解答题(本大题共有5题,满分39分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.15．（8分）已知f（α）＝cotα+cscα，若角α的终边经过点P（﹣4，3），求f（α）的值．16．（9分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3＝﹣6，S6＝﹣30．（1）求{a n}的通项公式；（2）若等比数列{b n}满足b1＝8，b2＝a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．18．（12分）已知函数．（Ⅰ）用五点法作图作出f（x）在x∈[0，π]的图象；（2）求f（x）在x∈[，]的最大值和最小值；（3）若不等式f（x）﹣m＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年上海市宝山区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题满分35分，第1-5题每个空格填对得3分，第6-10题每个空格填对得4分)1．（3分）与2018°终边相同的最小正角是218°．【解答】解：∵2018°＝360°×5+218°，∴与2018°终边相同的最小正角是218°．故答案为：218°．2．（3分）若6是﹣2和k的等比中项，则k＝﹣18．【解答】解：6是﹣2和k的等比中项，则﹣2k＝62，解得k＝﹣18，故答案为：﹣18．3．（3分）已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则扇形的弧长为4π．【解答】解：圆心角对应的弧度数为，则扇形的弧长l＝αr＝×6＝4π，故答案为：4π4．（3分）适合条件|sinα|＝﹣sinα的角α的取值范围是[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z．【解答】解：∵|sinα|＝﹣sinα，∴﹣sinα≥0，∴sinα≤0，由正弦曲线可以得到α∈[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z，故答案为：[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z5．（3分）设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝．【解答】解：∵q＝2，∴＝＝＝＝．故答案为：．6．（4分）已知角α的终边上一点P落在直线y＝2x上，则sin2α＝．【解答】解：∵角α的终边上一点P落在直线y＝2x上，∴tanα＝2，∴sin2α＝＝＝＝，故答案为：．7．（4分）等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，a k+a4＝0，则k＝10．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和∴9+36d＝4+6d∴d＝又∵a k+a4＝0∴1+（k﹣1）d+1+3d＝0∴k＝10故答案为：108．（4分）等比数列{a n}前n项和为S n，若＝4，则＝．【解答】解：∵等比数列{a n}前n项和为S n，＝4，∴＝1+q3＝4，∴q3＝3，∴＝＝＝＝．故答案为：．9．（4分）设x＝cosα，且，则arcsin x的取值范围是．【解答】解：∵x＝cosα，，∴﹣≤cosα≤1，即﹣≤x≤1．由反正弦函数的定义可得﹣≤arcsin x≤，即arcsin x的取值范围为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．10．（4分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）＝2+．【解答】解：由函数的图象可得A＝2，×＝6﹣2，ω＝．再根据五点法作图可得2×+φ＝，∴φ＝0，∴函数f（x）＝2sin x，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）＝252×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f （6）+f（7）+f（8）]+f（1）+f（2）＝f（1）+f（2）＝2sin+2sin＝2+，故答案为：2+．二、选择题(本大题共4题，满分12分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上11．（3分）下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同【解答】解：A、如角3900与300的终边相同，都是第一象限角，而3900不是锐角，故A 不对；B、终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故B不对；C、因为角的始边放在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故C正确；D、如角3900和300不相等，但是它们的终边相同，故D不对．故选：C．12．（3分）设secα＝﹣6，α∈（0，π），则α的值可表示为（）A．π﹣arccos B．π+arccos C．arccos D．﹣arccos【解答】解：secα＝﹣6，α∈（0，π），则：cosα＝﹣，所以：cos（π﹣α）＝，则：．故选：A．13．（3分）数列1，﹣，，﹣，……的一个通项公式为（）A．（﹣1）n+1•B．C．（﹣1）n+1D．【解答】解：数列；可以化为，﹣，，﹣，…；∴该数列的一个通项公式为a n＝（﹣1）n+1•．故选：A．14．（3分）在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝，则△ABC的面积为（）A．B．16C．或16D．或【解答】解：∵在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝，由余弦定理cos A＝得：cos30°＝＝解得：c＝16或c＝8又∵S△ABC＝•bc•sin A∴S△ABC＝32，或S△ABC＝16故选：D．三、解答题(本大题共有5题,满分39分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.15．（8分）已知f（α）＝cotα+cscα，若角α的终边经过点P（﹣4，3），求f（α）的值．【解答】解：若角α的终边经过点P（﹣4，3），则x＝﹣4，y＝3，r＝|OP|＝5，则f（α）＝cotα+cscα＝+＝﹣+＝﹣+＝．16．（9分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．【解答】解：（1）依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α．（2分）在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC（4分）＝122+202﹣2×12×20×cos120°＝784．解得BC＝28．（6分）所以渔船甲的速度为海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．（7分）（2）方法1：在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得．（9分）即．答：sinα的值为．（12分）方法2：在△ABC中，因为AB＝12，AC＝20，BC＝28，∠BCA＝α，由余弦定理，得．（9分）即．因为α为锐角，所以＝．答：sinα的值为．（12分）17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3＝﹣6，S6＝﹣30．（1）求{a n}的通项公式；（2）若等比数列{b n}满足b1＝8，b2＝a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．【解答】解：（1）∵{a n}为等差数列，设公差为d，由已知可得，解得a1＝﹣10，d＝2．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣12；（2）由b1＝8，b2＝a1+a2+a3＝﹣10﹣8﹣6＝﹣24，∴等比数列{b n}的公比q＝，∴{b n}的前n项和公式＝2﹣2•（﹣3）n．18．（12分）已知函数．（Ⅰ）用五点法作图作出f（x）在x∈[0，π]的图象；（2）求f（x）在x∈[，]的最大值和最小值；（3）若不等式f（x）﹣m＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）列表如下：﹣﹣﹣对应的图象如下：（2）∵f（x）＝1+2sin（2x﹣），又∵x∈[，]，∴≤2x﹣≤，即2≤1+2sin（2x﹣）≤3，∴f（x）max＝3，f（x）min＝2．（3）由题意可得：f（x）＜m+2在x∈[，]上恒成立，∴m+2＞3，解得：m＞1，∴m的范围是（1，+∞）．第11页（共11页）。
上海市黄浦区重点名校2017-2018学年高一下学期期末质量检测数学试题含解析
上海市黄浦区重点名校2017-2018学年高一下学期期末质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．化简AB BD CD +-的结果是（ ） A ．AC B ．ADC ．DAD ．CA【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义，即可求解，得到答案． 【详解】根据平面向量加法及数乘的几何意义，可得AB BD CD AD CD AD DC AC +-=-=+=， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的加法法则的应用，其中解答中熟记平面向量的加法法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置2223333DA B C D A B C -中放一个单位正方体礼盒1111DABC D A B C -，现以点D 为坐标原点，2DA 、2DC 、3DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则正确的是（ ）A ．1D 的坐标为(1,0,0)B ．1D 的坐标为(0,1,0)C ．13B B 293D ．13B B 14【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标系写出各点的坐标分析即可. 【详解】由所建坐标系可得：1(0,0,1)D ，1(1,1,1)B ，3(2,3,4)B ，13B B ==.故选：D. 【点睛】本题考查空间直角坐标系的应用，考查空间中距离的求法，考查计算能力，属于基础题. 3．经过(0,2)A ，(3,3)B -两点的直线方程为（ ） A ．35100x y +-= B ．3560x y ++= C ．5360x y +-=D ．5360x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件，选择两点式来求直线方程. 【详解】由两点式直线方程可得：2(3)03y y x x ---=-- 化简得：5360x y +-= 故选：C 【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．已知向量m ，n ，若1m =，22m n -=，则m n n -+的最大值为( )A BC ．4D ．5【答案】A 【解析】 【分析】设(1,0),(,)m n x y ==，由22m n -=可得点(,)x y 的轨迹方程，再对m n n -+两边平方，利用一元二次函数的性质求出最大值，即可得答案. 【详解】设(1,0),(,)m n x y ==，2(12,2)m n x y -=--，∵22m n -=，∴2=⇒22(12)(2)4x y -+-=，整理得：221()12x y -+=.∵(1)m n n x -+=-=∴2735()442m n n x x -+=-+++=+ 当12x =时，2()m n n -+的最大值为5， ∴m n n -+的最大值为故选：A. 【点睛】本题考查向量模的最值、模的坐标运算、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用.5．已知向量(),1a k =-，()3,4b =-，如果向量2a b +与3a b -平行，则实数k 的值为（ ） A ．14B ．34C ．14-D ．34-【答案】B 【解析】 【分析】根据坐标运算求出2a b +和3a b -，利用平行关系得到方程，解方程求得结果. 【详解】由题意得：()223,6a b k +=+-，()39,11a b k -=-()()2//3a b a b +- ()()112369k k ∴+=--，解得：34k = 本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示问题，属于基础题.6．已知()3,0A ,()1,1B ,()2,3C 三点,则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】计算三角形三边长度，通过边关系进行判断.由两点之间的距离公式可得：AB ==AC ==BC ==因为AB BC =，且222AB BC AC += 故该三角形为等腰直角三角形. 故选：D. 【点睛】本题考查两点之间的距离公式，属基础题.7．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ==AD 1AA =1AC 与CD 所成角的大小为( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．3π或23π 【答案】C 【解析】 【分析】平移CD 到AB ，则1C AB ∠即为异面直线1AC 与CD 所成的角，在直角三角形中即可求解. 【详解】连接AC 1，CD//AB ，可知1C AB ∠即为异面直线1AC 与CD 所成的角，在1Rt C AB ∆中，11tan BC C AB AB∠=，故选C ． 【点睛】本题考查异面直线所成的角.常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法. 8．在空间直角坐标系中，点(3,4,5)P 关于z 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,4,5)-- B ．(3,4,5)-C ．(3,4,5)--D ．(3,4,5)-【答案】A 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，点(,,)a b c 关于z 轴对称的点的坐标为(,,)a b c --.根据对称性，点()3,4,5P 关于z 轴对称的点的坐标为(3,4,5)--. 故选A. 【点睛】本题考查空间直角坐标系和点的对称，属于基础题.9．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>，若方程()1f x =-在(0,)π上有且只有三个实数根，则实数ω的取值范围为( ) A ．137(,]62B ．(72,256] C ．(,56211]2D ．11(,3726] 【答案】A 【解析】 【分析】先辅助角公式化简()sin (0)f x x x ωωω=->,先求解方程()1f x =-的根的表达式,再根据在(0,)π上有且只有三个实数根列出对应的不等式求解即可. 【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又()1f x =-在(0,)π上有且只有三个实数根,故12sin 1sin 332x x ππωω⎛⎫⎛⎫-=-⇒-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得236x k ππωπ-=-或7236x k ππωπ-=+, 即26k x ππωω=+或232k x ππωω=+,()k Z ∈. 设直线1y =-与()f x 在(0,)+∞上从做到右的第三个交点为A ,第四个交点为B .则21366A x πππωωω=+=,23722B x πππωωω=+=.故1313767622ππωωππω⎧<⎪⎪⇒<≤⎨⎪≥⎪⎩. 故实数ω的取值范围为137(,]62. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据三角函数的根求解参数范围的问题,需要根据题意先求解根的解析式,进而根据区间中的零点个数列出区间端点满足的关系式求解即可.属于中档题. 10．在ABC ∆中，已知2cos a B c =，21sin sin (2cos )sin 22C A B C -=+，则ABC ∆为（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等边三角形【答案】A 【解析】 【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A ＝B ，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B ＝C ，A ﹣B ＝0代入计算求出cosC 的值为0，进而确定出C 为直角，即可确定出三角形形状． 【详解】将已知等式2acosB ＝c ，利用正弦定理化简得：2sinAcosB ＝sinC ， ∵sinC ＝sin （A+B ）＝sinAcosB+cosAsinB ，∴2sinAcosB ＝sinAcosB+cosAsinB ，即sinAcosB ﹣cosAsinB ＝sin （A ﹣B ）＝0， ∵A 与B 都为△ABC 的内角，∴A ﹣B ＝0，即A ＝B ，已知第二个等式变形得：sinAsinB （2﹣cosC ）＝12（1﹣cosC ）+12＝1﹣12cosC ， ﹣12 [cos （A+B ）﹣cos （A ﹣B ）]（2﹣cosC ）＝1﹣12 cosC ， ∴﹣12（﹣cosC ﹣1）（2﹣cosC ）＝1﹣12cosC ，即（cosC+1）（2﹣cosC ）＝2﹣cosC ，整理得：cos 2C ﹣2cosC ＝0，即cosC （cosC ﹣2）＝0， ∴cosC ＝0或cosC ＝2（舍去）， ∴C ＝90°，则△ABC 为等腰直角三角形． 故选A ． 【点睛】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．11．已知2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解. 【详解】解：因为22103331111013244a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<==<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33log log 31c π=>=，所以a ，b ，c 的大小关系为c b a >>. 故选：D. 【点睛】本题考查三个数的大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，属于基础题.12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A =，且sin a b C =，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．不确定【答案】C 【解析】 【分析】通过正弦定理可得in 0()s A B -=可得三角形为等腰，再由sin a b C =可知三角形是直角，于是得到答案. 【详解】因为cos cos a B b A =，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，即A B =.因为A B =，所以a b =，又因为sin a b C =，所以sin 1C =，所以2C π=，故ABC ∆的形状是等腰直角三角形.【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等. 二、填空题：本题共4小题13．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n = . 【答案】13 【解析】(解法1)由分层抽样得3120806060n ＝＋＋，解得n ＝13.(解法2)从甲乙丙三个车间依次抽取a ，b ，c 个样本，则120∶80∶60＝a ∶b ∶3a ＝6，b ＝4，所以n ＝a＋b ＋c ＝13.14．已知函数()arcsin(2)2f x x π=+，则13f π-⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】1-【分析】根据题意令f （x ）＝3π，求出x 的值，即可得出f ﹣1（3π）的值． 【详解】令f （x ）＝2π+arcsin （2x ）＝3π，得arcsin （2x ）＝﹣6π，∴2x ＝﹣12，解得x ＝﹣14，∴f ﹣1（3π）＝﹣14．故答案为：﹣14．【点睛】本题考查了反函数以及反正弦函数的应用问题，属于基础题． 15．已知0a >，0b >，若()469log log log a b a b ==+，则ab=______．【解析】 【分析】首先令()469log log log a b a b t ==+=，分别把,a b 解出来，再利用整体换元的思想即可解决． 【详解】令()469log log log 4,6,9ttta b a b t a b a b ==+=⇒==+=所以22294691033t tt t t t a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⇒+=⇒+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦令()203tx x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以21102x x x +-=⇒=所以421632tt t a b ⎛⎫===⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了整体换元的思想以及对数之间的运算和公式法解一元二次方程．整体换元的思想是高中的一个重点，也是高考常考的内容需重点掌握．16．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若ABC ∆的面积为12，且1b =，2c =，则A ∠的弧度为__________． 【答案】6π利用三角形的面积公式求出sin A 的值，结合角A 为锐角，可得出角A 的弧度数. 【详解】由三角形的面积公式可知，ABC ∆的面积为111sin 12sin 222ABC S bc A A ∆==⨯⨯⨯=， 得1sin 2A =，A 为锐角，因此，A ∠的弧度数为6π，故答案为6π.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2017-2018学年上海交通大学附属中学高一数学第二学期期末试卷(解析版)
上海交通大学附属中学2017-2018学年度第二学期高一数学期末考试试卷（满分150分，120分钟完成. 答案一律写在答题纸上）命题：刘亚丽 审核：杨逸峰一、 填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1、已知12lim()13n an n n→∞-+=，则____________a = 答案：12、一个等差数列的前4项是1,,,2x a x ，则x 等于________ 答案：23、关于x 、y 的二元线性方程组25,32x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110301，则x y += 答案：44、函数sin y x =和tan y x =的图像在[2,2]ππ-上的交点个数是_______ 答案：55、在数列}{n a 中，1a ＝2，)(1*1N n a a n n ∈=++，设n S 为数列}{n a 的前n 项和，则2019201820172S S S -+的值为答案：3 解：法－当n 为偶数时，114321=+==+=+-n n a a a a a a Λ，故2n S n =当n 奇数时，21=a ，115432=+==+=+-n n a a a a a a Λ，故23212+=-+=n n S n 故201920182017210112100910103S S S -+=-⨯+= 法二由1a ＝2，)(1*1N n a a n n ∈=++，可得()()21n n a n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数故2019201820172019201820182017201920182()3S S S S S S S a a -+=---=-=6、把函数22sin 2cos )(+-=x x x f 的图象沿x 轴向左平移m 个单位（m>0），所得函数的图象关于直线π817=x 对称，则m 的最小值为 答案：4π7、给出下列等式：π2cos 4=，π2cos 8=，π2cos 16=， ……请从中归纳出第n ()n ∈*N2n 个答案：12cos n +π28、等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是第 项．答案：设抽取的是第n 项．∵S 11＝55，S 11－a n ＝40，∴a n ＝15，又∵S 11＝11a 6 a 6＝5．由a 1＝－5，得d ＝21616=--a a ，令15＝－5＋（n －1）×2，∴n ＝119、ABC ∆中，a b c 、、分别为A B C 、、对边，已知,2a c ==，且sin sin 0020cos 01C B b c A -=，则ABC ∆的面积= 。
2017-2018年上海市嘉定区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市嘉定区高一（下）期末数学试卷一.填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分1．（3分）计算：arcsin＝．2．（3分）若数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝3a n，n∈N*，则该数列的通项公式a n＝．3．（3分）函数y＝2cos2x﹣1的最小正周期是．4．（3分）方程2|x﹣1|＝4的解为．5．（3分）已知角α的终边经过点，则cosα＝．6．（3分）方程cos2x﹣2cos x＝0的解集是．7．（3分）若函数与函数g（x）＝5tan（ax﹣1）+2的最小正周期相同，则实数a＝．8．（3分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝10，B＝60°，AD＝30，则该平行四边形的面积等于．9．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2+n，则该等差数列的通项公式a n＝．10．（3分）已知等差数列{a n}，对于函数f（x）＝x3+arctan x满足：f（a2﹣2）＝8，f（a2017﹣4）＝﹣8，S n是该等差数列的前n项和，则S2018＝．11．（3分）函数f（x）＝x+的值域是．12．（3分）将函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1、x2，有|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝．二.选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分13．（3分）“tan a＝1”是“a＝”的（）A．充分而不必要条件B．必要不而充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）设M和m分别表示函数y＝cos x﹣1的最大值和最小值，则M+m等于（）A．B．C．D．﹣215．（3分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，＝（）A．﹣4B．﹣1C．1D．416．（3分）方程9x+|3x+b|＝5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5）B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确三.解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．（8分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，求数列{a n}的通项公式及其前n项的和．18．（8分）已知y＝cos x（1）若，且α∈[0，π]，求的值（2）求函数y＝f（2x）﹣2f（x）的最小值19．（10分）已知函数f（x）＝log2（x﹣m），其中m∈R．（1）若函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[1，t]（t＞1）上的最大值与最小值之差为2，且f（t）＞0，求m 的取值范围．20．（12分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形OAB所在圆的圆心，半径为r，∠AOB＝．广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设∠COA＝θ．（1）当θ＝时，求CD；（2）当θ取何值时，才能使得修建的道路CD与CE的总长s最大？并求出s的最大值．21．（14分）若函数f（x）满足f（x）＝f（x+）且f（+x）＝f（﹣x）（x∈R），则称函数f（x）为“M函数”．（1）试判断f（x）＝sin x是否为“M函数”，并说明理由；（2）函数f（x）为“M函数”，且当x∈[，π]时，f（x）＝sin x，求y＝f（x）的解析式，并写出在[0，]上的单调递增区间；（3）在（2）条件下，当x∈[﹣，+π]（k∈N）时，关于x的方程f（x）＝a（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S（k），求S（k）．2017-2018学年上海市嘉定区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分1．（3分）计算：arcsin＝．【解答】解：∵sin＝，∴arcsin＝．故答案为：．2．（3分）若数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝3a n，n∈N*，则该数列的通项公式a n＝2×3n﹣1．【解答】解：数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝3a n（n∈N），可得数列是等比数列，等比为3，a n＝2×3n﹣1．故答案为：2×3n﹣1．3．（3分）函数y＝2cos2x﹣1的最小正周期是π．【解答】解：∵f（x）＝2cos2x﹣1＝（1+cos2x）﹣1＝cos2x．∴由周期公式可得：T＝＝π．故答案为：π4．（3分）方程2|x﹣1|＝4的解为x＝3或x＝﹣1．【解答】解：∵方程2|x﹣1|＝4，∴|x﹣1|＝2，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得x＝3或x＝﹣1．故答案为：x＝3或x＝﹣1．5．（3分）已知角α的终边经过点，则cosα＝﹣．【解答】解：∵角α的终边经过点，∴x＝﹣1，y＝，r＝＝2，故cosα＝＝﹣．6．（3分）方程cos2x﹣2cos x＝0的解集是{x|x＝kx+，k∈Z}．【解答】解：方程cos2x﹣2cos x＝0，可得cos x（cos x﹣2）＝0，∴cos x＝0，∴x|x＝kx+，k∈Z．故答案为：{x|x＝kx+，k∈Z}．7．（3分）若函数与函数g（x）＝5tan（ax﹣1）+2的最小正周期相同，则实数a＝±2．【解答】解：函数的周期是；函数g（x）＝5tan（ax﹣1）+2的最小正周期是：；因为周期相同，所以，解得a＝±2故答案为：±28．（3分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝10，B＝60°，AD＝30，则该平行四边形的面积等于300．【解答】解：∵AB＝10，∠B＝60°，AC＝30，∴在三角形ABC中用余弦定理：AC2＝AB2+BC2﹣2AB×BC×cos B，可得：900＝300+BC2﹣2×10×BC×，∴解得：BC＝20，∴面积S＝AB×BC×sin B＝300．故答案为：300．9．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2+n，则该等差数列的通项公式a n＝4n﹣1．【解答】解：S n＝2n2+n，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n2+n﹣[2（n﹣1）2+n﹣1]＝4n﹣1．n＝1时，a1＝S1＝3，对于上式也成立．∴a n＝4n﹣1．故答案为：4n﹣1．10．（3分）已知等差数列{a n}，对于函数f（x）＝x3+arctan x满足：f（a2﹣2）＝8，f（a2017﹣4）＝﹣8，S n是该等差数列的前n项和，则S2018＝6054．【解答】解：由函数f（x）＝x3+arctan x为奇函数且在R上单调递增，∵f（a2﹣2）＝8，f（a2017﹣4）＝﹣8，∴a2﹣2＝4﹣a2017，∴即a2+a2017＝6∴a1+a2018＝6∴S2018＝1009（a1+a2018）＝6054．故答案为：605411．（3分）函数f（x）＝x+的值域是[﹣1，]．【解答】解：由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1．令x＝cosθ（0≤θ≤π），则函数f（x）＝x+化为y＝cosθ+sinθ＝．∵0≤θ≤π，∴，则∈[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]．12．（3分）将函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1、x2，有|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝或．【解答】解：由函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移φ，可得g（x）＝2sin（2x﹣2φ）不妨设f（x1）取得最大值，g（x2）取得最小值，∴2x1＝+2kπ，2x2﹣2φ＝+2kπ，k∈Z．可得2（x1﹣x2）+2φ＝π∵|x1﹣x2|的最小值为，即x1﹣x2＝±．∴+2φ＝π得φ＝或故答案为：或．二.选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分13．（3分）“tan a＝1”是“a＝”的（）A．充分而不必要条件B．必要不而充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“tan a＝1”，则K∈Z，α不一定等于；而若“a＝”则tanα＝1，∴“tan a＝1”是a＝的必要不而充分条件故选：B．14．（3分）设M和m分别表示函数y＝cos x﹣1的最大值和最小值，则M+m等于（）A．B．C．D．﹣2【解答】解：∵﹣1≤cos x≤1∴﹣≤cos x﹣1≤﹣∴M＝﹣，m＝﹣∴M+m＝﹣2故选：D．15．（3分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，＝（）A．﹣4B．﹣1C．1D．4【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d和等比数列{b n}的公比设为q，由a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，可得﹣1+3d＝﹣q3＝8，可得d＝3，q＝﹣2，则＝＝1，故选：C．16．（3分）方程9x+|3x+b|＝5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5）B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确【解答】解：∵9x+|3x+b|＝5，∴|3x+b|＝5﹣9x，∴3x+b＝5﹣9x或3x+b＝﹣5+9x，①若3x+b＝5﹣9x，则b＝5﹣3x﹣9x，其在（﹣∞，0）上单调递减，故当b≤3时，无解，当3＜b＜5时，有一个解，当b≥5时，无解；②若3x+b＝﹣5+9x，则b＝﹣5﹣3x+9x＝（3x﹣）2﹣，∵x∈（﹣∞，0）时，0＜3x＜1，∴当﹣＜b＜﹣5时，有两个不同解；当b＝﹣时，有一个解；综上所述，b的取值范围为（﹣5.25，﹣5），故选：B．三.解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．（8分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，求数列{a n}的通项公式及其前n项的和．【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，解得d＝﹣2，∴数列{a n}的通项公式a n＝1+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n+3，前n项的和S n＝n+＝﹣n2+2n．18．（8分）已知y＝cos x（1）若，且α∈[0，π]，求的值（2）求函数y＝f（2x）﹣2f（x）的最小值【解答】解：（1）若，且α∈[0，π]，则cosα＝，则sinα＝＝＝，则＝cos（α﹣）＝cosαcos+sinαsin＝＝+．（2）函数y＝f（2x）﹣2f（x）＝cos2x﹣2cos x＝2cos2x﹣2cos x﹣1＝2（cos x﹣）2﹣，∵﹣1≤cos x≤1，∴当cos x＝时，函数取得最小值，最小值为﹣．19．（10分）已知函数f（x）＝log2（x﹣m），其中m∈R．（1）若函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[1，t]（t＞1）上的最大值与最小值之差为2，且f（t）＞0，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由log2（x﹣m）＝0，得m＝x﹣1，由2＜x＜3得：1＜x﹣1＜2，故m的范围是（1，2）；（2）f（x）在[1，t]（t＞1）递增，∴f（t）﹣f（1）＝2，∴log2（t﹣m）﹣log2（1﹣m）＝2，∴log2＝log24，∴t＝4﹣3m，由f（t）＞0，得t＞m+1，∴4﹣3m＞m+1，解得：m＜．20．（12分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形OAB所在圆的圆心，半径为r，∠AOB＝．广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设∠COA＝θ．（1）当θ＝时，求CD；（2）当θ取何值时，才能使得修建的道路CD与CE的总长s最大？并求出s的最大值．【解答】解：（1）某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形OAB所在圆的圆心，半径为r，∠AOB＝．广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设∠COA＝θ，当θ＝时，由正弦定理得：，∴，∴CD＝＝．（2）在△ODC中，由正弦定理得：，∴，∴CD＝，同理，CE＝，∴s＝f（θ）＝＝r sin（）+＝r sin（），θ∈（0，），∵θ∈（0，），∴∈（，），当时，即时，s max＝f（）＝．21．（14分）若函数f（x）满足f（x）＝f（x+）且f（+x）＝f（﹣x）（x∈R），则称函数f（x）为“M函数”．（1）试判断f（x）＝sin x是否为“M函数”，并说明理由；（2）函数f（x）为“M函数”，且当x∈[，π]时，f（x）＝sin x，求y＝f（x）的解析式，并写出在[0，]上的单调递增区间；（3）在（2）条件下，当x∈[﹣，+π]（k∈N）时，关于x的方程f（x）＝a（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S（k），求S（k）．【解答】解：（1）f（x）＝sin x不是“M函数”．∵f（+x）＝sin＝sin（），f（﹣x）＝sin＝sin（﹣x）∴f（+x）≠f（﹣x）（x∈R），∴f（x）＝sin x不是“M函数”．（2）∵函数f（x）满足f（x）＝f（x+），∴函数f（x）的周期T＝∵f（+x）＝f（﹣x）（x∈R），∴f（x）＝f（﹣x）（x∈R），①当x时，f（x）＝f（x﹣）＝sin（x﹣）②当x∈[]时，f（x）＝f[﹣（x﹣）]＝cos（x﹣）∴f（x）＝在[0，]上的单调递增区间：[，]，[π，]；（3）由（2）可得函数f（x）在[﹣，π]上的图象为：①当0或1时，f（x）＝a（a为常数）有2个解，其和为②当a＝时，f（x）＝a（a为常数）有3个解，其和为．③当时，f（x）＝a（a为常数）有4个解，其和为π∴当x∈[﹣，+π]（k∈N）时，记关于x的方程f（x）＝a（a为常数）所有解的和为S（k），则S（k）＝．。
2017-2018学年上海市黄浦区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2021-2021学年上海市黄浦区高一(下)期末数学试卷、选择题(本大题共 4小题,共16.0分)函数y=tan2x 的最小正周期.函数y=arccos (x+2)的定义域是 与-600终边相同的最小正角的弧度数是 9 . 数列｛a n ｝的前4项为1,--,-,--,那么数列｛an ｝的一个通项公式为210 .右 sin a +cos (sin -cos ④ =.11 .tanx=2,贝U --------------------------- 的值为.12 .把函数y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的 一倍(纵坐标不变),再把所得图象上所有点向左平行移动 -个单位长度,得到函数y=g (x)的图象,那么g (x)13 .a n =2 (nCN *),那么以下命题： ①当k=4时,数列｛a n ｝是递增数列：②当k=5时,数列｛a n ｝是递增数列：③当k=6,数列｛a n ｝是递增数列.其中正确命题 的序号是.(请把所有正确命题的序号都填上)14 . f (x) =cosx,假设 f ( aF) =-,"C (0,用,贝U f ( a)的彳直为 .15 .如图,摩天轮的半径为 40m, O 点距地面的高度为 50m,摩天轮作匀速转动,每12分钟转一圈,摩天轮上 P 点的起始位置在最低处,那么在 t 分钟时,P 点距地面的高度 h= (m).1.函数f (x) =sin (x--) ( x CR), 卜面结论错误的选项是(2.3.4.A.函数 C.函数的最小正周期为 的图象关于y 轴对称等比数列｛a n ｝的前三项依次为 A. 4B. 5 x, B.函数 D.函数2x+2, 3x+3,C. 6对于某个与正整数 n 有关的命题 P,假设n=k (kCN 时命题P 成立,那么以下命题中必为真命题的是(A. B. C. D. 假设假设f (x)A.€=xsinx,假设时命题P 不成立,那么 时命题P 不成立,那么 时命题P 不成立,那么 时命题P 不成立,那二、填空题(本大题共 在区间-上是增函数 的图象关于点对称a m =——,那么m 的值是()D. 7时命题 P 成立可以推得 n=k+1 )时命题P 不成立 时命题P 不成立 时命题P 不成立时命题P 不成立f (sin > < f (sin E ,那么一定有( B. C.12小题,共36.0分) )D.5. 6. 7. 8.扇形的圆心角为-,面积为-,那么扇形的半径是16 .数列｛a n｝满足：a i=1 , a2=2,且a n+2-a n=3+cos (n- (nCN),假设数列｛a n｝的前n 项和为S n,那么S l00=.三、解做题(本大题共5小题,共48.0分)17 .COS a—, 代(国2城.(1)求sin2 a的值：(2)假设角3的顶点与坐标原点重合, 始边与x轴的正半轴重合,且终边经过点(3,-1),求tan ( a- 3)的值.218 . 函数 f (x) = sin x+sinxcosx, x€[-,兀](1)求函数f (x)的零点；(2)求函数f (x)的单调递减区间.19 .已如等比数列｛a n｝满足:a2=1, a4-2a3=3,且a5>0.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)假设数列｛a n｝的前n项和为S n,求满足10S5〈S nV 1000s5的n的值.20 .某公园拟利用废地建设两块三角形花圃ABD与BCD.如下图,其中AD=100 米,AB=300 米,DC=CB,且/DCB=90° .(1)假设ZADB=60° ,求/BAD 的大小(精到0.1 );(2)当ZBAD为何值时,两块花圃的总面积最大？并求出此最大值(精确到1平方米).21 .数列｛a n｝的各项均为正数,$是数列｛a n｝的前n项和,记T n=S n+i-S l, R n=S n+2-S2- (1)假设｛a n｝是等差数列,且a3=10-a〔,a〔0=10+a5,求「；Z -、It- - . . * 一.. .. .... . .. ...—.(2)右S1 = 1, R1=7,且对任意nCN , S n, T n, R n成等差数列,求数列｛a n｝的通项公式；(3)证实：攵寸任意nCN ,S n,T n,R n成等比数列的充分必要条件是对任意的mCN , 数列a1,a2,…,a m+2成等比数列答案和解析1 .【答案】D【解析】7r解:f K)=sin X-,1 )=-cosx,那么函数的周期是2%故A正确, —f X)在区可［0,：］上是增函数,故B正确,f X)为偶函数,函数的图象关于直线X=0对称,故C正确,函数fX)为偶函数,函数的图象关于直线x=0对称,故D错误,故错误的命题是D,应选：D.将三角函数进行化简,利用三角函数的图象和性质分别进行判断即可.此题主要考查三角函数的图象和性质,利用诱导公式将三角函数进行化简是解决此题的关键.2 .【答案】B【解析】解：.•等比数列｛a n｝的前三项依次为X ,2X+2,3X+3,2•・ 2x+2) =x 3x+3),解得x=-1 (舍)或=-4 ,•.等比数列｛a n｝的前三项依次为-4, -6, -9,• a1=-4, q=T =,SI ,,葭—I SI•a m=-］, • 明」产一4乂(5 )=-,,i解得m=5.应选：B.由等比数列的性质得2x+2)2=x 3x+3),解得=-4,从而等比数列｛a n｝的前三项依次为-4,-6,-9,进而明尸一卜(：/一,由此能求出m.此题考查实数值的求法,考查等比数列的性质等根底知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想, 是基础题.3 .【答案】C 【解析】. .. . 一—- ..................... I 一…* . . I 一....... 解：某个与正整数n有关的命题P,假设n=k KCN 〕时命题P成立可以推得n=k+1时命题P成立,可得n=k+1时命题P不成立,可得n=k时,命题P也不成立.一 * 一 ,—一 . .. . 一. 一 ,—一 ... .右n=m+2 m €N 〕时命题P不成立,那么n=m+1时命题P不成立,可得n=2m时命题P可能成立,故A正确；右n=2m mCN 〕时命题P不成立,那么n=2m-1时命题P不成立,可得n=m+2时命题P可能成立,故B错误；假设n=2m m割*〕时命题P不成立,那么n=2m-1时,命题P不成立,可得n=2m时命题P不成立,结论正确,故C正确；右n=2m meN 〕时命题P不成立,那么n=2m-1时命题P不成立,可得n=2m时命题P成立,结论错误,故D错误.应选:C .由题意可得n=k+1时命题P不成立,可得n=k时,命题P也不成立.对选项一一分析,结合奇数和偶数的概念,即可得到正确结论.此题考查命题的真假判断,注意结合原命题与其逆否命题等价,考查推理能力,属于根底题.4 .【答案】A【解析】解：根意,f K〕=xsinx,贝U f -x〕= -x〕sin -x〕=xsinx=f X〕,那么函数f x〕为偶函数,f x〕=xsinx, f'x〕=sinx+xcosx,在Q, 1〕上,f'x〕*,那么函数f K〕在& 1〕上为增函数,假设f Sin 〃 <f Sin 6 那么有|sin 女|sin 0 |即sin2 a< sin2 0,变形可得：1-2sin2a> 1-2sin2 0, 即cos2 o> cos2 B应选:A.根据题意,由函数的解析式可得f -x〕=f X〕那么函数f X〕为偶函数,求出其导数,分析可得f X〕在0 1〕增函数；据此f sin a <f sinr可以转化为|sin 京|sin 0挛形可得1-2sin2a> 1-2sin20,即cos2 Fcos2 g 分析可得答案. 此题考查函数的单调性奇偶性的判断,涉及利用导数分析函数的单调性,属于综合题.5 .【答案】一【解析】解：函数y=tan2x的最小正周期为叮, 故答案为：;.根据函数y=tan⑴x的周期为［,求出函数y=tan2x的最小正周期.此题主要考查正切函数的周期性和求法,属于根底题.6 .【答案】［-3, -1］【解析】解：根据反余弦函数的定义域知,令-10X+2WJ解得-3& xW,,函数y=arccos x+2〕的定义域是［-3, -1］.故答案为：［-3,-1］.根据反余弦函数的定义域,列不等式求得x的取值范围即可.此题考查了反余弦函数的定义域应用问题,是根底题.7 .【答案】一解：-600 =-720 +120°,与-600终边相同的最小正角为120°,120 =〞,3故答案为产. 3由-600.=-720°+120°,得到终边相同的角求出弧度,可得结果.此题考查终边相同的角的定义和表示方法,角度与弧度的互化,是解题的关键.8 .【答案】2【解析】解：设扇形的半径是R,••扇形的圆心角为2 ,面积为；, (,J J.•由扇形面积公式得：口:吃=:,解得R=2,.•扇形的半径是2.故答案为：2.设扇形的半径是R,由扇形面积公式得：盯上=；,由此能求出扇形的半径. 此题考查扇形的半径的求法,考查扇形的面积公式等根底知识,考查运算求解水平,考查函数与方程思想,是根底题.9 .【答案】a n= (-1) n+1—【解析】解：根挪S意,数列｛a n｝的前4项为1 ,-：,：,-；,那么a1= (1)1+1=1,a2=什)"1X.\ =-I ,a3= -1)3+1xj = ；,,,、4+1 1।a4= -1)Xp=-M,以此类推可得：a n= <1)n+1x\, 『J,故答案为：a n= -1)n+1x\ .根据题意,由数列的前4项分析可得数列的变化规律,进而归纳可得答案. 此题考查数列的表示法,涉及归纳推理的应用,属于根底题.10 .【答案】2解：,sin a +cos &=,1 1 /.川H. 口 + n* n+上町"小“出上= 95贝^ 2sin a cos a 二gsin - cos 12=sin2+ +cOs o-2sin a cos = =1+ :.把等式两边平方求得2sin a co§ a展开两数差的平方得答案.此题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数根本关系式的应用,11 .【答案】【解析】解：,tanx=2,■:口口3邱+ + 1 缶nH,F + sin-x + aiii-j- + ran -r2htn-T+ 4 X + 4 (i '利用同角三角函数根本关系式化弦为切求解.此题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数根本关系式的应用,12 .【答案】sin (2x+—)【解析】解：把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的1倍纵坐标不变),可彳iy=sin2x的图象；77再把所得图象上所有点向左平行移动彳个单位长度,得到函数y=g x)=sin 7E$ 7E$2x+ ;J)惘象,故g X)的解析式为g X)=sin 2x十二),J故答案为：sin 2x+:). J由题意利用函数y=Asin gx+6白狗象变换规律,得出结论.此题主要考查函数y=Asin (cox+Q白狗象变换规律,属于根底题.13 .【答案】①② 【解析】斛：a n=2 匕n CN )①当k=4 时,an=2,由f n)=2n2-4n=2 n-1)2-2,可得n｝lnCN,f n)递增,丫=2、在R上递增,那么数列｛a n｝是递增数列：②当k=5 时,a n=2%小,由f n)=2n2-5n=2 n- ' )2- -「,4 H可得n>2, n €N, f ⑴递增,且f 1)=f ) <f 2), 丫=2、在R上递增,那么数列｛a n｝是递增数列：③ 当k=6, a n=2 也, 由f n)=2n?-6n=2 n- .3)2-：,可得n>2, n€N, f①递增,又f 1)=f 2),那么数列｛a n｝不是递增数列.故答案为：①②.由复合函数的单调性：同增异减,以及二次函数的单调性和指数函数的单调性,对①②③ 讨论,即可得到所求结论.此题考查数列的单调性的判断,注意运用复合函数和二次函数的单调性,考查判断水平,属于根底题.14 .【答案】一【解析】解：,.f X)=cosx,右f G+,, )=cos (a+ )= r , aC.,械, J J i贝^ f (a) =COS a =COS血 +,. )- ।],产、叫.,丁、.打1 「乱区出13=COS (a +,,)COS,, +Sin (a +,)SIA ,1=--4 +-......... -=..,J J J i _ j 2 11故答案为：；由题意利用同角三角函数的根本关系、两角和差的余弦公式,求得f (a)“为、打,山,土=COS = =COS[a +,； ) - | ]的值.此题主要考查同角三角函数的根本关系、两角和差的余弦公式的应用,属于根底题.15 .【答案】50-40COS-t【解析】解：设在t分钟时,P点距地面的高度h=50-40COS④x+.,,•摩天轮的半径为40m, O点距地面的高度为50m,摩天轮作匀速转动,每12 分钟转一圈,/.■' =12,⑴二,.由U且振幅为40m,摩天轮上P点的起始位置在最低处,小=0 h=50-40=10m,由题意可得,在t分钟时,P点距地面的高度h=50-40COS“ t,单位m, _ 耳故答案为：50-40COS,, t.设在t分钟时,P点距地面的高度h=50-40COS (⑴x+0 ,根腿意求得以和小的值,可得h的解析式.此题主要考查函数y=ACOS (cox+6中,各量的几何意义,属于中档题.16 .【答案】7500【解析】*、解：21=1,82=2, JLa n+2-a n=3+COS n© n(€N ),当n 为奇数时,a n+2-a n=3-1=2,即有奇数项为首项为1,公差为2的等差数列；当n为偶数时,a n+2-a n=3+1=4,即有偶数项为首项为2,公差为4的等差数列；那么S i00= a1+a3+…+叱9〕+ a2+a4+…+a〔oo〕=50X1+ 1>50 >49 >2+50 >2+ 1X50M9M=7500.故答案为：7500.讨论n为奇数和n为偶数时,可得奇数项为首项为1,公差为2的等差数列,偶数项为首项为2,公差为4的等差数列,运用数列的求和：分组求和,结合等差数列的求和公式,计算可得所求和.此题考查数列的求和：分组求和,考查等差数列的定义和求和公式的运用,考查运算水平,属于中档题.17 .【答案】解：〔1〕 ,COS a- "C 〔4 2兀〕,- sin a = 一,. sin2 a =2sin a cos aWx —-;〔2〕由题意,tan 3=由〔1〕知,tan 尸—=-,贝U tan 〔纥3〕 = -------- ——=3.【解析】1〕由求得sin斗冉由倍角公式可得sin2由勺值；2〕利用任意角的三角函数定义求得tan 6再由两角差的正切求解tan 〔a-位的值.此题考查三角函数的化简求值,考查两角差的正切,是根底题.18 .【答案】解：f (x) = -sin2x+sinxcosx=- ------------------ -=- ——= - ——(1)由f (x) =0,得sin (2x—) + 一,得sin (2x--)=-一,x €[—,兀1- 2x——€[一,—].- 2x _=—或2x -=一,贝U x=—或x=兀；(2)由———,得一一 ,kCZ...xq—,兀].・函数f (x)的单调递减区间为[-,——].【解析】利用倍角公式降幕,再由辅助角公式化积.1)直接由f x)=0求解函数的零点；2)由复合函数的单调性求解.此题考查y=Asin &x+.型函数的图象和性质,是中档题.19.【答案】解：(1)设等比数列｛a n｝的公比为q, ,32=1, a4-2a3=3,且a s>0.. a i q=1, =3, a1>0.. a1=_, q=3.「a n=_ =3n-2.(2) Sn=Z ------ =- (3n-1).10S5< SnV 1000s5,即一〈一(3n-1) V - . 即2421V 3n V 242001 ,解得n=8, 9, 10, 11.【解析】Q)设等比数列｛a n｝的公比为q,由a2=1, a4-2a3=3,且叱>0.可得a1q=1, =3, a1 > 0.解出即可得出.2)S n= 13n-1) .由085V S n<1000E,可得:2421<3n< 242001,即可得出.此题考查了等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法,考查了推理能力、计算水平,属于中档题.20.【答案】解：(1)在GABD 中,由AD=100, AB=300, ZADB=60°,利用余弦定理可得：AB2=AD2+BD2-2AD?BD无os60 °,•1- 一,即BD2-100BD-80000=0 ,解得：BD= 337.23(负值舍掉).由正弦定理可得： ---- ------ ,•sinA= ____ 二• .BD>AB,「.zBAD= 103.2; °(2) BD2=10000+90000-2 100 >300cosA=100000-60000cosA,那么----------------=1500 (sinA-cosA) +25000 = 一.,.当 - -,即A=一时,两块花圃的总面积最大,最大值为46213平方米.【解析】Q)在次BD中,由利用余弦定理可得BD,再由正弦定理求解/BAD；2)利用余弦定理把BD用含有A的三角函数表示,求解直角三角形可得BC, 由两三角形面积和写出四边形面积,胡甫助角公式化积,那么答案可求.此题考查三角形中的几何计算,考查三角形的解法,练习了三角函数最值的求法,是中档题.21.【答案】(1)解：设等差数列｛a n｝的公差为d, -.93=10-81, 310=10+35, ・ 2a1+2d=10,5d=10,联立解得a1=3, d=2, . a n=3+2 (n-1) =2n+1 .-'S n= ----------- =n2+2n,.1T n=S n+1-Si= ( n+1) 2+2 (n+1) -3=n2+4n.(2)当n=1 时,可得T〔=a2=4,从而S2=5由2T n=S n+R n,可得2S n+1-2S1=S n+S n+2-S2 .. a n+2 =a n+1+3 5,.a2=a i +3.•对任意nCN*,者B有a n+2=a n+i+3, .•数列｛a n｝为等差数列.故得数列｛ a n｝的通项公式为a n=3n-2 ；〔3〕证实：充分性：对任意的mCN*,数列a1, a2,…,2出2成等比数列〞.可设数列a n a2,…,a m+2的公比为q,由题意a1>0, q>0,于是S n=a i+a2+ ••• +a n >0, T n=a2+…+a n+1 = qS n2R n=a3+ ••• + a n+2=q S n从而一一 > ,对任意nCN , S, Tn, Rn成等比数列.必要性：由对任思nCN , S n, T n, R n成等比数列那么数列a i, a2,…,a m+2成等比数列.利用数学归纳法证实：①当n=1时,可得S, T i, R i成等比数列,那么数列a i, a2, a3等比数列；命题成立;②同理,当n=k时,命题成立；数列a i, a2,…,a k+2成等比数列〞.设公比为q.那么当n=k+i时,可得————= ----------------------- ----------------------- ；可得: --------------- -------------------- ,故得数列a i, a2,…,a k+2成等比数列〞.综上,由①②可证实：对任意nCN , S n, T n, R n成等比数列, 那么数列a i, a2,…,a m+2成等比数列〞. *故得：攵寸任意nON , S n, T n, R n成等比数列〞的充分必要条件是 *对任意的mCN,数列a i, a2,…,a m+2成等比数列.【解析】Q〕根施意,设等差数列｛a n｝的公差为d,由a s=i.-4 , a i0=i0+a5,可得2a l+2d=i0,5d=i0,求解通项a n和S n=,可得T n=2〕由S n,T n,R n成等差数列,可得S0,2T n=S n+R n,把T0,R「带入化简可得数列｛a n｝的通项公式；3〕结合等比的性质,分别证实充分性和必要性即可.数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n玳成立,因此可将其中的n换成n+i或n-i等,这种方法通常称迭代或递推.了解数列的递推公式, 明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项.会利用定义证实命题.属于难题.。