力偶和力偶矩
哈工大建筑力学第3章(第2 3节) 力偶 力偶矩(2学时)
第三章力系简化的基础知识林国昌§3-2 力对点的矩A o o4力对物体具有转动效果，转动效果与三个因素有关：（1）力F 的大小;（2）转动中心O 到力F 作用线的距离d ;（3）力F 使扳手转动的方向。
注意：距离d 是转动中心O 到力F 作用线的垂直距离。
5力对点的矩:力对点的矩是力使物体绕点转动效果的度量，它是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力臂之积。
正负规定:力使物体绕矩心逆时针转动时取正号，反之取负号。
符号表示:)(F M O Fd=±力矩的单位：牛顿•米(N •m)1.在门位置上施力，门很容易转动2.从门位置依序至位置施力，转动越不易ABC转轴OO ＇OO’C B A 3-2 力对点的矩转动效果与三个因素有关：（1）力F 的大小;（2）转动中心O 到力F 作用线的距离d ;（3）力F 使扳手转动的方向。
7M O (F ) = ±2ΔOAB 面积=±Fd力对点的矩还可以用矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的2倍来表示，即：三角形ΔOAB 底边：力矢量F 三角形ΔOAB 的高：力臂d 力矩的单位：牛顿•米(N •m)注意：距离d 是转动中心O 到力F 作用线的垂直距离。
§3-3 力偶· 力偶矩林国昌103-3 力偶· 力偶矩一、力偶(F ,F ′)FF ′力偶实例由物理学可知：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为作用在该点的合力。
合力：是作用在同一点上的各力的矢量和。
13a)力偶没有合力；b)力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡；c)力偶只能与力偶等效,也只能与力偶平衡。
力偶的性质1：力偶与力同属于机械作用的范畴，但又不同于力。
力与力偶分别是力学中的两个基本参量！3-3-1力偶•力偶的第一个性质143-3-1力偶•力偶的第二个性质力对物体具有转动效果，力使物体绕点转动的效果用力对点的矩来度量。
力偶对物体也有转动效果，力偶使物体转动的效果用力偶矩来度量。
力系的简化和平衡-2.2力矩和力偶
定理叙述：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等
于各分力对同一点力矩的代数和
n
M o FR
M o Fi
i 1
定理证明：
FR
F1
r
A
O
Fn
F2 Fi
若 n 个力汇交于A点，则其合力为：
n
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
r 用 同时矢积上式两端
r FR
r F1
zFx
xFz
j
xFy yFx k
由此可得：
M x
F
yFz zFy
M y
F
zFx xFz
M z F xFy yFx
Fz Fx Fy
18
力矩的单位： N m 或 kN m
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
③力对点之矩矢的性质： a) 当力沿其作用线移动时，
M O F 保持不变。
12
①力对点之矩矢的概念 力对刚体产生的绕点转动效应取决于三要素： a.强度：力与力偶臂乘积 b.方位：转动轴的方位 c.方向：转动方向
13
力矩矢量的方向
MO
r
F
按右手定则
MO r F
14
②力对点之矩矢的矢量积和解析表达式
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
力矢： F Fx , Fy , Fz
求： 光滑螺柱AB所受水平力。
解：由力偶只能由力偶平衡的 性质，其受力图为：
M 0
FAl M1 M 2 M 3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
理论力学13力偶与力偶矩
习题: P.29 1-15、1-16
2020/4/30
19
谢谢大家!
2020/4/30
20
理论力学
主讲
广东海洋大学寸金学院
庞雪飞
2020/4/30
1
1.3 力偶与力偶矩
F ＝－F′
F' F
2020/4/30
2
F ＝－F′
■力偶的定义
F
两个大小相等、
作用线不重合的反
向平行力组成的力
系称为力偶
F′
(couple)。
2020/4/30
3
力偶中两个力的作
用线所确定的平面称 为力偶的作用面
(acting plane of a couple)，二力作用线 之间的垂直距离d称 为力偶臂(couple arm)。
x
黑版手书计算上例。
2020/4/30
17
练习
如图汽缸盖上4个相同的 孔，每个孔的切削力偶矩大 小为M1=M2=M3=M4=15 N.m。
求工件的总切削力偶矩
解：根据 M Mi 可得
M2
M1
M4
M3
M M 1 M 2 M 3 M 4
415 60N .m 负号表示合力偶矩的转向为顺时针方向
2020/4/30
8
d1 M=F0×d1=F×d
平面问题
由于力偶的作用面总是与力系所在的平面 重合，力偶矩由矢量变成代数量
M = Fd
正负号用来区别 转向，通常规定: 逆时针为正 顺时针为负
+–
这里的逆时针或顺时针转向是指物体在力偶的作用下转
动202的0/4/方30 向。
10
■力偶是最简单的力系之一
第2章 平面力系-平面力对点之矩及平面力偶
即
MO(F) F d
O点为力矩的中心，称为矩心； d 为O点到力F 作用线的垂直
距离，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动时为正，反
之为负。
应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋 转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。
力矩的单位： 国际制 N·m，kN·m 工程制 公斤力米（kgf·m）
偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
例题
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3
=F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
F 1 180mm
解：由式
F2
M = M1 + M2
F4
则
M =-F1 ·0.18 –F3 ·0.08
FBA
B
A
FAB
M1
FO
O
M2 D
FD
M1 - FABrcosq 0 - M 2 2FBArcosq 0
因为 FAB FBA
所以求得 M 2 2M1
思考题1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ，F2′)作用在
Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否 等效，为什么？
F1
d1
F2 d2
F1′
=
F2′
M1 F1 d1 , M 2 -F2 d2
F22 d F11
F11′
=
F22′
d
FR
FR′
M1 F11 d , M 2 -F22 d
FR F11 - F22 , FR F11 - F22
力偶的概念
力偶的概念
力偶是指数值相等但方向相反的两平行力，产生的力矩为力偶矩。
力偶就是作用在同一物体上的等值、反向、不共线的一对力。
力偶对物体产生转动效应，它的度量以力偶矩表示，即其中任一个力的大小与两个力作用线之间的垂直距离的乘积。
力偶就是受到大小相等，方向相反，互相平行的两个力的作用。
它对物体产生的是纯转动效应（力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。
力偶最简单的例子包含两个大小相同、反向相反的力。
力矩平面力偶
30◦
B RB
∑ mi = 0
R A ⋅ L sin 30o = M 2M 方向如图所示 R A = RB = L
15
16
NB =
60 = 300N 0.2
N A = N B = 300 N
14
平衡时, 处和 处的反力 处和B处的反力? [例2] 已知M 和 L，图示梁AB平衡时,A处和 处的反力? 解: BC 杆为二力杆
C M A L M RA
RB 沿BC 杆方向
由力偶只能与力偶平衡的性质， 由力偶只能与力偶平衡的性质， 与力R 组成一力偶。 力RA与力 B组成一力偶。 根据平面力偶系平衡方程有: 根据平面力偶系平衡方程有:
1
第三章 平面汇交力系 §3–1 力对点之矩 §3–2 力偶与力偶矩 §3–3 力偶的等效 §3–4 平面力偶系的合成与平衡
2
§3-1 力对点之矩
一、平面上力对点之矩 力对物体可以 产生运动效应 移动效应——取决于力的大小、方向 取决于力的大小、 移动效应 取决于力的大小
转动效应——取决于力矩的大小、转向 取决于力矩的大小、 转动效应 取决于力矩的大小 r 点的矩， 力F 对O 点的矩，简称力矩 M O F = ± F ⋅ d + O 点称为力矩中心（简称矩心） 点称为力矩中心（简称矩心）
(
)
现沿力偶臂AB方向 现沿力偶臂 方向 r r 加一对平衡力 Q， Q′ r r r r r r 将Q， F合成R， 将Q′， F ′合成R′， r r 得到新力偶 R， R′ r r r r r r 将R和R′移到 A′, B′点， 则 R , R′ 取代了原力偶 F , F ′ ，
(
)
(
( )
( )
工程力学(人民交通出版社)第3章 第2节力偶系
Fy
F
C
B D
b
Fx x
a
MA( F ) MA( Fx ) MA( Fy ) Fx b Fy a F cos b F sin a Fa sin Fb cos
F Fx Fy
Fx F cos Fy F sin
Mo (F , F ' ) Mo (F ) Mo (F ' ) F (d x ) F ' x F d
⑦正负规定：逆时针为正 ⑧单位量纲：N m 或 kN m
二、力偶与力偶矩
2、力偶的特点 ⑨力偶的三要素： 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面 ⑩力偶矩矢 用一个矢量表达三要素：力偶矩矢。
§3-2
力矩与力偶理论
一、力对点之矩 二、力偶与力偶矩 三、力偶系的合成与平衡
一、力对点之矩
1、平面中力矩的概念
力对物体可产生运动效应，在一般情况下，既可能产生移动（平动）效应， 也可能产生转动效应，或者同时产生这两种运动效应。力的移动效应取决于 力的大小和方向，而力使物体绕某点的转动效应，则用力对该点的矩来度量， 简称力矩。
2）合力矩定理 将力Fn分解为切由合力矩定理得：
M o (Fn ) M o (Ft ) M o (Fr ) Fn r cos 0 Fn r cos
小结力偶和力偶矩
1. 力矩是力学中的一个基本概念。度量力对物体的转动 效应：
即有： Mx mx My my Mz mz 同理： M Mx 2 My 2 Mz 2
( Mx ) ( My ) ( Mz )
2 2 2
z
MZ
力矩力偶
力偶系的合成和平衡
空间力偶系的合成：
M Mi
M x M xi M y M yi M z M zi
合力偶矩的大小：
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
合力偶矩矢的方向：
cos(M , i )
M x
cos(M ,
MO (F) = MO (F cos)+MO(F sin )
例题 1
如 图 所 示 圆 柱 直 齿 轮 ， 受 到 啮 合 力 Fn 的 作 用 。 设 Fn=1400N。压力角α=20o ，齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r = 60
mm，试计算力 Fn 对于轴心O的力矩。
解： 计算力Fn对轴心O的矩，按力矩的定义得
其力偶矩矢为：
解得
FA
M1 r sin 30
再取摇杆BC为研究对象：
∑M = 0：
M 2 FA
r
sin
0
其中 FA FA
解得 M2 4M1 8 kN m
FO
FB
FA
M1 r sin 30
8
kN
例题 4
图示三角柱刚体是正方体的一半，其上作用着三个力偶。已知力 偶（F1，F1）的矩 M1= 20 N·m；力偶（F2， F2）的矩 M2= 20 N·m；力偶（F3，F3）的矩 M3= 20 N·m，试求合力偶矩矢 M。 又问若要使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶？
0
0l
3
力偶及其性质
力偶及其性质
1. 力偶与力偶矩 2. 力偶等效定理 3. 力偶系的合成和平衡
力偶的实例
力矩力偶力偶矩滑轮差动轮
力矩力偶力偶矩滑轮差动轮【力矩】又叫转矩,是表示力对物体作用时,使物体发生转动或改变转动状态的物理量.力矩是矢量.力矩的大小等于力与从转轴到力的作用线的垂直距离之乘积.如果物体所受的力不在垂直于转轴O的平面内,就必须把力分解成两个分力:一个分力与转轴平行;另一个分力是在转动的平面内.只有转动平面内的分力才可能改变物体的转动状态.因此,在力矩等于力跟力臂乘积的计算中,应理解力是在它的作用点的转动平面内的分力.如这一点在力的作用线上,则力矩为零.如果若干个力同时作用在一个物体上,则合力矩是所有分力矩的代数和.一个处于平衡的物体,顺时针方向力矩的和等于逆时针方向力矩的和,在国际单位制中,力矩的单位是米.牛顿.其方向用右手螺旋法则决定.在中学阶段,因为只研究有固定转轴的物体的平衡,力矩就只有两种转向.规定物体逆时针转动的力矩为正,使物体顺时针转动的力矩为负.力矩愈大,使物体转动状态发生改变的效果就愈明显.用大小相同的力推门时,力的作用点离转轴愈远,且方向垂直于门,力臂愈大,则推门愈省力.【力偶】大小相等、方向相反,但作用线不在同一直线上的两个力叫作力偶.用双手攻螺纹或用手旋钥匙、水龙头时,所施加的作用常是力偶.它能使物体发生转动,或改变其转动状态.汽车驾驶员双手转动转向盘时所施加的一对力就是一个力偶.力偶的转动效果决定于力偶矩的大小.力偶矩等于其中任何一个力的大小和两力作用线之间的垂直距离(力偶臂)的乘积.如图1-24所示.如果作用力F的方向跟AB垂直,AB的长度等于d,那么这个力偶的力偶矩(M)为:M=/-Fd.式中Fd为力偶矩的大小,符号用来表示力偶的转向.规定力偶逆时针转向取,反之取-(也可规定,力偶顺时针转向取,那么力偶逆时针转向就取-).应注意:力偶中力的方向不跟AB垂直时,应像力矩那样分解成垂直分量,再进行计算.力偶的转矩(即力偶矩)和所绕着转动的点无关.由于力偶的合力为零,它不能使物体产生位移,只能使物体发生转动或改变物体的转动状态.【力偶矩】简称为力偶的力矩,亦称力偶的转矩.力偶是两个相等的平行力,它们的合力矩等于平行力中的一个力与平行力之间距离(称力偶臂)的乘积,称作力偶矩,力偶矩与转动轴的位置无关.力偶矩是矢量,其方向和组成力偶的两个力的方向间的关系,遵从右手螺旋法则.对于有固定轴的物体,在力偶的作用下,物体将绕固定轴转动;没有固定轴的物体,在力偶的作用下物体将绕通过质心的轴转动.【力偶臂】力偶之两个力之间的垂直距离.见力偶条图1-24所示.【轮轴】是固定在同一根轴上的两个半径不同的轮子构成的杠杆类简单机械.半径较大者是轮,半径较小的是轴.从形式上看是圆盘,但从实质上看起来只有它们的直径或半径起力学作用.用R表示轮半径,也就是动力臂;r表示轴半径,也就是阻力臂;O表示支点.当轮轴在作匀速转动时,动力t轮半径=阻力t轴半径,所以轮和轴的半径相差越大则越省力.上式动力用F表示,阻力用W表示,则可写成FR=Wr.即利用轮轴可以省力.若将重物挂在轮上则变成费力的轮轴,但它可省距离.轮轴的原理也可用机械功的原理来分析.轮轴每转一周,动力功等于Ft2pR,阻力功等于Wt2pr.在不计无用阻力时,机械的日常生活中常见的辘轳、绞盘、石磨、汽车的驾驶盘、手摇卷扬机等都是轮轴类机械.【滑轮】滑轮是属于杠杆变形的一种简单机械,是可以绕中心轴转动的,周围有槽的轮子.使用时,根据需要选择.滑轮可分为定滑轮、动滑轮、滑轮组、差动滑轮等.有的省力,有的可以改变作用力的方向,但是都不能省功.【定滑轮】滑轮的轴固定不动,它实质上是一个等臂杠杆.动力臂和阻力臂都是滑轮的半径r,根据杠杆原理Fr1=Wr2.它的机械利益为变了动力的方向,如要把物体提到高处,本应用向上的力,如利用定滑轮,就可以改用向下的力,优惠打折,因而便于工作.【动滑轮】滑轮的轴和重物一起移动的滑轮.它实质上是一个动力臂二倍于阻力臂的杠杆.根据杠杆平衡的原理Wr=F.2r,它的机械利改变用力的方向.其方向是与物体移动的方向一致.【滑轮组】动滑轮和定滑轮组合在一起叫滑轮组.因为动滑轮能够省力,定滑轮能改变力的方向,若将几个动滑轮和定滑轮搭配合并而成滑轮组,既可以改变力的大小,又能改变力的方向.普通的滑轮组是由数目相等的定滑轮和动滑轮组成的.而这些滑轮或者是上下相间地坐落在同一个轮架(或叫轮辕),优惠打折,或者是左右相邻地装在同一根轴心上.绳子的一端固定在上轮架上,即相当于系在一个固定的吊挂设备上,然后依次将绳子绕过每一个下面的动滑轮和上面的定滑轮.在绳子不受拘束的一端以F力拉之,被拉重物挂在活动的轮架上.对所有各段绳子可视为是互相平行的,当拉力与重物平衡时,则重物W必平均由每段绳子所承担.若有n个定滑轮和n个动滑轮时,且为匀速运动时,淘宝客,则所需之F力的大小仍和上面一样.因此,在提升重物时才能省力.其传动比乃为F∶W=1∶2n.注意,在使用滑轮组时,不能省功,只能省力,但省力是以多耗距离(即行程)为前题的.前边所分析的定滑轮、动滑轮以及滑轮组,都是在不计滑轮重力,滑轮与轴之间的摩擦阻力的情况下得出的结论.但在使用时,实际存在轮重和摩擦阻力,所以实际用的力要大些.【差动滑轮】即链式升降机,是一种用于起重的滑轮组.上面是由两个直径不同装在同一个轴上的圆盘A、B组成的定滑轮.下面是一个动滑轮,用铁索与上面的定滑轮联结起来而成滑轮组.若大轮A的半径是R,小轮B的半径是r,如图1-25所示.当动力F拉链条使大轮转一周,动力F拉链条向下移动了2pR,大轮卷起链条2pR,此时小轮也转动一周,并放下链条长2pr于是动滑轮和重物W上升的高度为由于2R大于(R-r),差动滑轮的机械利益大于1,若提高机械利益,可加大两轮的半径同时缩小两轮间的半径差.这种机械,亦称葫芦,有手动,也有用电来驱动的.链条是闭合的,为防止滑轮和链条间的滑动,滑轮上有齿牙与链条配合运动.。
力矩和平面力偶系
所以两个力偶等效，必须是该两个力偶旳力偶矩 大小相同，转向相同，作用面相同。（对刚体， 可作用面平行。）
例题：
F
1.习题3-2
a
b
Fx F cosa
a
Fy f sin a
M A (F ) -Fx b Fy 0 -Fb cosa
M B (F ) -Fx b Fy a F (a sin a - b cosa )
2．习题3-7
正三角形ABC
B F2
F1 F2 F3 F
X F1 cos 60 F2 cos 60 - F3 0
F1
Y F1 sin 60 - F2 sin 60 0
A
即合力FR=0
F1x
F
cos 60
第三章: 力矩与平面力偶系
本章研究力矩和力偶旳概念、力偶旳 性质、平面力偶系旳合成与平衡。本 章与第二章旳理论是研究平面一般力 系旳基础。
§3-1 力矩旳概念和计算
一般情况下，力对物体作用时能够产 生移动和转动两种外效应。力旳移动 效应取决于力旳大小和方向。为了度 量力旳转动效应，需要引入力矩旳概 念。
设物体上作用有一 力偶臂为d旳力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点旳矩之大小恒等于力偶中 一力旳大小和力偶臂旳乘积，而与矩心旳位置无关。
力偶对物体旳转动效应可用力与力偶臂旳乘积Fd 及转向来度量，该物理量称为力偶矩。
互成平衡旳二力对同一点旳力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点旳 作用引出。实际上，作用于物体上旳力 能够对任意点取矩，即矩心可是空间中 旳任意点。
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8. 力偶的等效定理 定理:在同平面内的两个力偶,如果力偶矩相等,则 两力偶彼此等效。
二、力的平移定理
1.定理：可以把作用在刚体上点 A的力F平行移到 一点B,但同时必须附加一个力偶,这个附加力偶的 矩等于原来的力 F对新作用点B的矩。
F'
F'
F
F
B
d
= A
B
d
= BM
A
A
（a）Biblioteka F（" b）（c）
一、力偶 1.定义：由两个大小相等方向相反的平行力组成 的二力,称为力偶。 2.记作：(F,F′)。 3.力偶臂：力偶两力之间的垂直距离 d。
显然力偶不能合成一个 力,也不能用一个力来平衡, 或用一个力来等效替换。力 偶可使物体转动或改变物体 的转动的状态。
力偶对物体的转动效果与力矩对物体的转动效果 相同,力偶对物体的作用效应可用力偶矩来度量。 5.力偶矩：
课堂小结
定义：等值、反向、共线的一对平行力。
表达式： （ F， F '） 力偶 影响因素: ①力的大小；②力偶臂的长短
正负规定：逆正顺负 单位： 国际单位制中，牛顿米，记作N·M。
第五节 力偶 力偶矩
考纲要求
1.力、力矩、力偶的概念与基本特性； 2.力的三要素； 3.静力学四公理； 4.约束力与约束反力的分类与概念；
本节课学习目标 1.掌握力偶的定义； 2.掌握力偶的性质； 3.正确应用力的平移定理解决实际问题。 4.区分力偶与平衡二力的不同点。
在实际生活中,我们常见到汽车司机用双手转动 方向盘,钳工用手动铰刀铰孔等。
力与力偶臂的乘积称为力偶矩,记作 M。
MO(F,F′) = MO(F) + MO(F′)= F・d
6.方向规定: 逆时针转向为正,顺时针转向为负,于是力偶矩可 记作 M= F・d。 7.单位：N・m。
7.性质： (1)力偶在任何坐标轴上的投影为零，力偶无合 力。 (2)力偶可以在其作用面内任意移转,而不改变 它对刚体的作用。 (3)只要保持力偶矩大小和力偶的转动方向不变, 可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短, 而不改变力偶对刚体的作用。